精品解析：甘肃靖远县第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章、第2章. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果函数在处的导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以. 故选：D. 2. 已知点是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系中关于坐标平面对称问题直接求解. 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故选：A 3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，结合空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为平面，则， 所以，，解得. 故选：B. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于，A错误. 对于B：，B错误. 对于：，C错误. 对于D：，D正确. 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出可得函数在点处的切线的斜率为，再利用两斜率相等求出答案. 【详解】由题意知直线的斜率为 又，则 因为函数的图象在点处的切线与直线平行， 所以 解得. 6. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由导数判断单调性后比较大小， 【详解】设，则，当时，， 故在上单调递减， 而，故， 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间共面向量定理，结合基底的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】依题意构成空间的一个基底， 对于A选项，由于，所以共面，故A不正确. 对于B选项，由于不存在实数使，所以不共面，B正确. 对于C选项，由于不存在实数使，所以，不共面，故C正确. 对于D选项，由于，所以共面，故D不正确. 故选：BC. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD． 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 函数有五个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ，恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数是奇函数，求出时的解析式，可判断A；利用导数求出函数在上的单调区间及极值，再结合是奇函数，可作出函数在上的大致图象，从而可逐项判断B，C，D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 设，则，所以， 所以当时，，故A正确； 当时，，所以， 令，解得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极小值， 当时，，又， 由零点存在定理知函数在仅有一个零点1； 当时，，所以函数在没有零点， 所以函数在上仅有一个零点， 又因为函数是定义在上的奇函数， 故函数在上仅有一个零点，又， 所以函数在定义域上有3个零点，故B错误； 作出函数的大致图象，如图： 若关于的方程有解，则实数的取值范围是，故C错误； 由图可知，对，，故D正确． 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处取得极值，则的值为_______. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用可导函数在极值点的导数等于0求参数即可. 【详解】由题，因为在处取得极值，所以， 所以，此时，为增函数， 令，所以当时，；当时，， 所以函数在处取得极值，故. 13. 已知，向量，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】由得，， 解得，所以. 故答案为：. 14. 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【详解】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求OE的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由空间向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由模长的公式结合数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 连接OD， 则. 【小问2详解】 由（1）得 ，. 17. 已知四棱锥，，，，，是上一点， （1）若是中点，证明：平面. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点为，连接，，则，， 而，，故，，故四边形SFBC为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面 （2） 【解析】 【分析】（1）由中位线定理及面面平行的判定定理可证明； （2）建立空间直角坐标系求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故，， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而，平面，故，，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，，， 设平面的一个法向量为， 则由，可得，取， 设平面的一个法向量为， 则由，可得，取， 设平面与平面的夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数，在和取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若关于x的方程在区间上有唯一实数根．求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2）单调递增区间为和，单调递减区间为，极大值为，极小值为； （3） 【解析】 【分析】（1）对函数求导可知和是方程的两个实数根，解方程组可得，； （2）根据（1）中的结论，由导函数符号可判断出函数单调性，代入计算可得其极值； （3）利用（2）中单调性分别求出函数在上的值域，结合图象可知与仅一个交点，可求得其范围. 【小问1详解】 由可得， 由于和是极值点，故且， 即，解得，； 此时， 由可得或；由可得， 则函数在和上单调递增，在上单调递减. 故和是极值点，符合题意， 故，； 【小问2详解】 由（1）知的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则的极大值为， 极小值为； 【小问3详解】 由知，在上单调递增，且，； 在上单调递减，且，在上单调递增，且， 作出函数在上的图象如下. 要使在上有唯一实根，需使与仅一个交点， 由图知，当时，与只有一个交点，故方程有唯一解； 当时，与只有一个交点，故方程有唯一解. 故实数C的取值范围是. 19. 已知函数． （1）当时，比较与的大小； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明． 【答案】（1） （2）时在上单调递增；时在上单调递增，在上单调递减 （3）证明：由（2）知，当时，在取得最大值，最大值为， 所以等价于，即， 设，则， 当时，，当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值，最大值为，所以当时，， 从而当时，，即． 【解析】 【分析】（1）求导判断单调性，根据单调区间比较大小即可； （2）求导后分子因式分解，按的正负讨论单调区间； （3）利用最大值点代入，转化为恒成立即可得证. 【小问1详解】 当时，，的定义域为， 则， 故当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 又，故． 【小问2详解】 的定义域为，． 若，则当时，，故在上单调递增， 若，则当时，；当时，． 故在上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章、第2章. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如果函数在处的导数为2，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4 2. 已知点是空间直角坐标系中的一点，则点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若平面，则（ ） A. B. 5 C. D. 1 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的图象在点处的切线与直线平行，则（ ） A. －1 B. C. 1 D. 6. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱和的中点，则以为原点，所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（ ） A. 平面 B. C. 是平面的一个法向量 D. 点到平面的距离为 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 函数有五个零点 C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是 D. ，恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在处取得极值，则的值为_______. 13. 已知，向量，若，则__________. 14. 在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 如图，四面体OABC各棱的棱长都是，是的中点，在上，且，记，，. （1）用向量，，表示向量； （2）求OE的长. 17. 已知四棱锥，，，，，是上一点， （1）若是中点，证明：平面. （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数，在和取得极值． （1）求实数的值； （2）求函数的单调区间和极值； （3）若关于x的方程在区间上有唯一实数根．求实数的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，比较与的大小； （2）讨论的单调性； （3）当时，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $