第10章　概率统计课件-2027届高考数学一轮复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 高考大题规范解答——概率统计 提能训练　练案[69] 1．(13分)(2025·高考新课标Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1 000人，得到如下列联表： 超声波检查结果 组别　　 正常 不正常 合计 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为P，求P的估计值； (2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关． P(χ2≥k) 0.005 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 得分保障：得分点：第(1)问，正确找出人数给3分，概率计算正确再给3分；第(2)问，写出零假设给2分，χ2计算正确并比较给3分，结论正确再给2分． 失分点：第(1)问未正确获取信息．第(2)问缺少零假设；计算χ2时代入或计算错误；计算正确但结论写错． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)记甲同学答对的试题数为X，求X的分布列与期望； (2)求甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多的概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)打完3个球后甲比乙至少多得2分，只有一种情况：甲全胜得3分． 所以p3＝p3. (1分) 打完4个球后甲比乙至少多得2分，有两种情况： 甲全胜得4分；甲胜3个球得3分，乙胜1个球得1分． (2)由(1)可知p4－p3＝p3(4－3p)－p3＝3p3(1－p)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【打完2m个球后甲比乙至少多得2分，包括：甲得2m分，乙得0分；甲得2m－1分，乙得1分；……；甲得m＋2分，乙得m－2分；甲得m＋1分，乙得m－1分】 【p2m的表达式比较复杂且不易化简，如果继续计算p2m＋1，p2m＋2，q2m等，会使问题更加复杂．注意到要证p2m＋1－q2m＋1<p2m－q2m，即证q2m－q2m＋1<p2m－p2m＋1，所以考虑寻求p2m＋1与p2m的递推关系，同理也可得到q2m＋1与q2m的递推关系，达到简化计算的目的】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 对于p2m＋1，考虑前2m个球的情况．若打完2m个球后，甲、乙得分一样，或者甲比乙得分少，则第2m＋1个球无论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则第2m＋1个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则第2m＋1个球甲必须胜才能满足甲比乙至少多得2分． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【要证p2m－q2m<p2m＋2－q2m＋2，即证q2m＋2－q2m<p2m＋2－p2m，所以考虑寻求p2m＋2与p2m的递推关系，同理也可得到q2m＋2与q2m的递推关系】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 对于p2m＋2，考虑前2m个球的情况．若打完2m个球后，甲比乙得分少，则剩下两个球(第2m＋1和2m＋2个球)无论甲胜负，甲都不可能比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲、乙得分一样，则剩下两个球甲必须全胜才能满足甲比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙恰好多得2分，则剩下两个球甲全胜，或者一胜一负都能满足甲比乙至少多得2分．若打完2m个球后，甲比乙至少多得4分，则剩下两个球甲无论胜负都能满足甲比乙至少多得2分． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 得分保障：压轴解答题确保拿下前两小问、第三小问的一些步骤分，达到保9分争17分的目的． 二项分布保障2分：第(3)问要计算p2m，q2m，p2m＋1，等若干式子，发现甲得分服从二项分布后，可先写出打完2m个球后甲比乙至少多得2分的所有情况，得到p2m的表达式可得2分． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 时间分配建议：先保证第(1)(2)两问的完整计算，读题带计算约5 min，之后留足10 min思考并计算第(3)问，在第(3)问尝试5 min左右后，若仍找不到合适的解法，可将想到的一些式子列出，争取一些步骤分． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 提能训练　练案[69] 返回导航 1．(2026·浙江新阵地教育联盟联考)某市A，B两个博物馆为应对暑期参观高峰，招聘博物馆讲解员志愿者，参与者通过笔试、面试、模拟技能这3项考核后可以被聘为志愿者．所有参与者均需参加3项考核，且3项考核的结果互不影响，3项考核均通过后聘为讲解员志愿者．去年有100名高中生参加A博物馆志愿者招聘，具体招聘结果如下表所示： 性别 参加考核但未聘用 的人数 参加考核并成功 聘用的人数 男生 45 10 女生 30 15 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断去年100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别是否有关联； (2)若小乐通过A，B两个博物馆考核的项数分别记为X，Y，分别求出X与Y的数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 参考数据： α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)H0：去年100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别无关 性别 参加考核但未 聘用的人数 参加考核并成功 聘用的人数 合计 男生 45 10 55 女生 30 15 45 合计 75 25 100 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·湖北荆州起点考试)在电竞比赛中一般采用“双败淘汰制”，这是一种兼顾效率与公平的比赛赛制，基本原则是“失败2次才被淘汰”“越先淘汰所获名次越低”，且每场比赛只有胜负之分．现组织A，B，C，D共4个电竞队参加比赛，采用“双败淘汰制”，其流程如下： 第一轮：抽签随机分成2组比赛，每组比赛的胜者进入胜者组，败者进入败者组．第二轮：胜者组、败者组分别比赛，胜者组的胜者(记为W)进入决赛，败者组的败者因失败2次被淘汰并获得第4名．第三轮：第二轮胜者组的败者与败者组的胜者比赛，胜者(记为L)进入决赛，败者被淘汰并获得第3名．第四轮：决赛，若W获胜则比赛结束，W获得冠军，L获得第2名；若L获胜，则需加赛一轮，加赛胜者获得冠军，败者获得第2名． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求A队全胜夺冠的概率； (2)设A队在整个赛事中参赛场次为随机变量X，求X的分布列及数学期望E(X)． [解析]　(1)A全胜夺冠的条件是：A赢得第一轮比赛，赢得第二轮胜者组比赛，赢得决赛． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 X＝5：注意到A若前两场均胜，则其不可能参加第五场比赛，故其前4场比赛的胜负情况仅有两种：“胜负胜胜”“负胜胜胜”，第五场为加赛． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次，设X表示甲获得免费票景点个数，求X的分布列和数学期望； (2)乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，已知乙抽中(至少抽中一个)，求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)设“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，并抽中”为事件A；“乙游客从这三个抽奖机中随机选取两个抽奖，在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中”为事件B， AB表示：①三个抽奖机中选取自然风光类、历史文化类，其中自然风光类中奖； ②三个抽奖机中选取自然风光类、特色体验类中奖； ③三个抽奖机中选取历史文化类、特色体验类，其中特色体验类中奖． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 4．(2025·广东八校检测)马尔科夫链因俄国数学家安德烈·马尔科夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态无关．马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．现有A，B两个盒子，各装有2个黑球和1个红球，现从A，B两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子，重复进行n(n∈N*)次这样的操作后，记A盒子中红球的个数为Xn，恰有1个红球的概率为pn. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求p1，p2的值； (2)求pn的值(用n表示)； (3)求证：Xn的数学期望E(Xn)为定值． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 谢谢观看 附：χ2＝， [解析]　(1)由题表可知，检查结果不正常者有200人，检查结果不正常者中患有该疾病的有180人， (3分) 所以由样本估计总体得p＝＝0.9. (6分) (2)零假设H0：超声波检查结果与是否患该疾病无关． (8分) χ2＝＝765.625>10.828， (11分) 所以依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． (13分) 2．(15分)(2026·广东部分学校联考)甲、乙两位同学参加答题活动，已知两人各答3道试题，答对每道试题的概率均为.假定两位同学的答题情况互不影响，且每位同学每道试题答对与否相互独立． [解析]　本题考查概率与二项分布，考查逻辑推理的核心素养． (1)由题可知，X的可能取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝3＝， P(X＝1)＝C××2＝， P(X＝2)＝C×2×＝， P(X＝3)＝3＝.(4分) X的分布列为 X 0 1 2 3 P (5分) E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1. (7分) (2)记事件A为“甲同学答对的试题数比乙同学答对的试题数多”， 甲同学答对的试题数为m，乙同学答对的试题数为n， 则P(A)＝P(m＝1，n＝0)＋P(m＝2，n＝0)＋P(m＝2，n＝1)＋P(m＝3，n＝0)＋P(m＝3，n＝1)＋P(m＝3，n＝2)＝×＋×＋×＋×＋×＋×＝. (15分) 评分细则：【1】第(1)问各种情况的概率每算对一个，得1分． 【2】第(1)问求X的期望也可以如下作答： 由题可知，X～B，可得E(X)＝3×＝1，得7分． 【3】第(2)问各种情况的概率每算对一个，得1分，结果算对累计得8分． 3．(17分)(2025·新课标Ⅱ卷)甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分．设每个球甲胜的概率为p，乙胜的概率为q，p＋q＝1，且各球的胜负相互独立，对正整数k≥2，记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率． (1)求p3，p4(用p表示)． (2)若＝4，求p. (3)证明：对任意正整数m，p2m＋1－q2m＋1<p2m－q2m<p2m＋2－q2m＋2. 所以p4＝p4＋C·p3(1－p)＝p3(4－3p)． (3分) 同理q4－q3＝3q3(1－q)＝3p(1－p)3， 由＝4，可得＝4， 即3p2－8p＋4＝0，解得p＝或p＝2(舍)， 所以p＝. (7分) (3)证明：由<p<1，p＋q＝1，可知0<q<<p<1. 设随机变量X为“打完k个球后甲的得分”，则X～B(k，p)， p2m＝p2m＋C·p2m－1·q1＋C·p2m－2q2＋…＋C·pm＋1·qm－1， (9分) 所以p2m＋1＝(p2m－C·pm＋1qm－1)＋p·C·pm＋1qm－1＝p2m－q·C·pm＋1qm－1， 故p2m－p2m＋1＝q·C·pm＋1qm－1>0， 同理q2m－q2m＋1＝p·C·qm＋1pm－1>0， (11分) 所以＝＝>1， 即p2m－p2m＋1>q2m－q2m＋1， 所以p2m＋1－q2m＋1<p2m－q2m. (13分) 所以p2m＋2＝p2·C·pmqm＋(1－q2)·C·pm＋1qm－1＋(p2m－C·pm＋1qm－1) ＝p2m＋p2·C·pmqm－q2·C·pm＋1qm－1 ＝p2m＋pmqm·(C·p2－C·pq)， 故p2m＋2－p2m＝pmqm·(C·p2－C·pq)， 同理q2m＋2－q2m＝qmpm·(C·q2－C·qp)， (15分) 所以(p2m＋2－p2m)－(q2m＋2－q2m)＝pmqm·C·(p2－q2)>0， 即p2m＋2－p2m>q2m＋2－q2m， 所以p2m－q2m<p2m＋2－q2m＋2， (16分) 综上，p2m＋1－q2m＋1<p2m－q2m<p2m＋2－q2m＋2. (17分) 基础计算稳定7分：第(1)(2)问比较简单，且计算量小．但第(2)问解方程计算出p的两个根后，要注意p的取值范围，否则容易丢分． 今年，某高中生小乐准备参加志愿者招聘，假定他参加各项考核的结果相互不影响，且专业人士对他作出较客观的估计：小乐通过A博物馆的每项考核的概率均为，通过B博物馆的各项考核的概率分别为：，，. 附：参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 由列联表数据，计算可得 χ2＝＝≈3.03<3.841 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，可以认为去年100名高中生参加A博物馆的志愿者招聘能否聘用与性别无关． (2)X～B，E(X)＝. 由题意可知，Y的可能取值为：0,1,2,3. P(Y＝0)＝××＝； P(Y＝1)＝××＋××＋××＝； P(Y＝2)＝××＋××＋××＝； P(Y＝3)＝××＝； E(Y)＝＋2×＋3×＝. 已知A队战胜其他3支队伍的概率均为. 由于A是实力最强的战队，对任何对手的单场获胜概率均为，且比赛结果相互独立． A全胜夺冠需要赢得三场比赛(第一轮、第二轮胜者组、决赛)， 因此概率为3＝. (2)随机变量X表示A参加的场次数，根据双败淘汰制规则，A可能参加的场次数为2、3、4或5.以下是X的取值及对应概率： X＝2：“负负”，被淘汰． P(X＝2)＝×＝. X＝3：有三种情况：“胜胜胜”(夺冠)；“胜负负”(淘汰)；“负胜负”(淘汰)． 所以P(X＝3)＝3＋2··2＝. X＝4：有三种情况：“胜胜负”，然后参加加赛；“胜负胜负”；“负胜胜负”． 所以P(X＝4)＝··＋2·2·2＝. P(X＝5)＝2··3＝. 故所求分布列为 X 2 3 4 5 P 所以E(X)＝. 3．(2025·广西南宁摸底)我省某市为吸引游客，推出免费门票项目．该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机，自然风光类抽中的概率为，历史文化类、特色体验类抽中的概率均为，这三类抽奖之间互不影响．规定凡在该市的景区游玩的游客，每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点． [解析]　(1)由题意，X的值可能为0,1,2,3. 且P(X＝0)＝××＝， P(X＝1)＝××＋·C××＝， P(X＝2)＝×C××＋·C××＝， P(X＝3)＝××＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望为 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 则P(A)＝××2＋×＝. 所以P(AB)＝×＋×＋×＝， 所以P(B|A)＝＝＝. 故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为. [解析]　(1)设第n(n∈N*)次操作后A盒子中恰有2个红球的概率为qn，则没有红球的概率为1－pn－qn. 由题意知p1＝＝， q1＝＝， 所以p2＝p1·＋q1·＋(1－p1－q1)·＝. (2)因为pn＝pn－1·＋qn－1·＋(1－pn－1－qn－1)·＝－pn－1＋. 所以pn－＝－. 又因为p1－＝－≠0，所以是以－为首项，－为公比的等比数列． 所以pn－＝－×n－1， pn＝－×n－1＋. (3)证明：因为qn＝pn－1＋qn－1＝pn－1＋qn－1，① 1－qn－pn＝pn－1＋(1－qn－1－pn－1)＝pn－1＋(1－qn－1－pn－1)，② 由①－②，得2qn＋pn－1＝(2qn－1＋pn－1－1)． 又因为2q1＋p1－1＝0，所以2qn＋pn－1＝0， 所以qn＝. 因为Xn的可能取值是0,1,2， 则P(Xn＝0)＝1－pn－qn＝， P(Xn＝1)＝pn， P(Xn＝2)＝qn＝. 所以Xn的概率分布列为 Xn 0 1 2 p pn 所以E(Xn)＝0×＋1×pn＋2×＝1. 所以Xn的数学期望E(Xn)为定值1. $