微专题 二元一次方程组的概念与解法（专项训练）数学新教材沪教版五四制六年级下册

微专题 二元一次方程组的概念与解法 目录 题型一、二元一次方程的定义 1 题型二、二元一次方程的特殊解（分离常数法） 2 题型三、判断是否是二元一次方程组 5 题型四、判断是否是二元一次方程组的解 6 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 8 题型六、方程组相同解问题 11 题型七、代入消元法 14 题型八、加减消元法 16 题型九、二元一次方程组的特殊解法 18 题型十、新定义 22 题型十一、已知二元一次方程组的解的情况求参数 26 题型十二、二元一次方程组与二元一次方程 29 题型一、二元一次方程的定义 例1．若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 【变式1-1】已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据二元一次方程的定义，方程需满足两个未知数的次数均为1，且系数不为零； 【详解】1. 系数条件：方程中的系数为，需满足，即， 2. 次数条件：的指数为，需满足，解得，即或， 3. 排除矛盾：当时，的系数为0，方程退化为关于的一元一次方程，不符合“二元”条件，故舍去， 4. 验证唯一解：当时，的系数为，y的指数为，方程化为，符合二元一次方程的定义， 综上，， 故选：B； 【变式1-2】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程，逐项分析即可得解，熟练掌握二元一次方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、：含两个未知数，但的次数为2，不符合“一次”条件，故不符合题意； B、：含两个未知数和，次数均为1，且为整式方程，符合条件，故符合题意； C、：含分式，不是整式方程，不符合条件，故不符合题意； D、：仅含一个未知数，属于一元一次方程，不符合“二元”条件，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】已知是关于，的二元一次方程，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：方程中只含有个未知数；含未知数项的最高次数为一次；方程是整式方程．根据二元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：由题可得， 解得， 故答案为：． 题型二、二元一次方程的特殊解（分离常数法） 例2．在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】设可以分成个人组，个人组，根据总人数为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出分组方案有种． 【详解】解：设可以分成个人组，个人组，根据题意得： ， ， 又，均为非负整数， 或或或， 分组方案有种． 【变式2-1】王阿姨准备用元购进，两种品牌的衣服，其中品牌衣服每件元，品牌衣服每件元，在两种衣服都购买且将元刚好用完的前提下，购买方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】设甲种运动服买了件，乙种运动服买了件，根据题意确定出二元一次方程，求出方程的正整数解即可． 【详解】解：设种运动服买了件，种运动服买了件， ∵品牌衣服每件元，品牌衣服每件元，在两种衣服都购买且将元刚好用完， ∴， 化简得：， ∵、是正整数， ∴，，， ∴购买方案有种． 【变式2-2】方程的正整数解为_________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的求解，明确取值范围是解题的关键．根据二元一次方程取正整数解，用y表示出x，求出正整数解即可． 【详解】解： ， 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 则方程的正整数解为：或， 故答案为：或． 【变式2-3】二元一次方程的非负整数解是______． 【答案】或 【分析】本题考查了求二元一次方程的非负整数解，由方程可得，根据为非负整数可得或，据此解答即可求解，掌握解二元一次方程的解的方法是解题的关键． 【详解】解：由方程得， ∴， ∵为非负整数， ∴或， ∴或， 当时，；当时，， ∴二元一次方程的非负整数解是为或， 故答案为：或． 题型三、判断是否是二元一次方程组 例3．下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组，逐项进行分析即可判断求解，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 【详解】解：方程组中是二元二次方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组是二元一次方程组，故符合题意； 方程组中不是整式方程，故不是二元一次方程组，不合题意； 方程组中含有个未知数，故不是二元一次方程组，不合题意； ∴是二元一次方程组的有个， 故选：A． 【变式3-1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的基本形式及特点进行判断，即①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次． 【详解】解：A、该方程组中的第二个方程的最高次数为2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、该方程组的第一个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、该方程组符合二元一次方程组的定义，故本选项符合题意； D、该方程组中含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的判定，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【变式3-2】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【详解】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 题型四、判断是否是二元一次方程组的解 例4．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题关键． 先将方程组的解代入第一个方程可求出的值，从而可得这个方程组的解，再在四个选项中，找出满足这个解的方程即可得． 【详解】解：由题意，将代入方程得：，解得，所以这个方程组的解为， A、将代入得：，则此项不符合题意； B、将代入得：，则此项不符合题意； C、将代入得：，则此项不符合题意； D、将代入得：，则此项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】写出一个解为的二元一次方程组为________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义，掌握含有两个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程成为解题的关键． 直接根据二元一次方程组的定义写成方程组即可． 【详解】解：依题意，以为解的一个的二元一次方程组为． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式4-2】小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【详解】解：均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 例5．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 【变式5-1】在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将解代入没有抄错的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程， 将代入方程，   可得， 解得． 【变式5-2】甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d的值． 【答案】4，5，， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解问题． 把代入，求出，再根据乙把c看错，误认为，得到，求出，联立方程组，求解即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∵乙把c看错，误认为，解得 ， ， 联立方程组 解方程组得 、、、的值是：4，5，，． 【变式5-3】甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的错解复原问题，掌握方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解题的关键． 利用看错某方程系数时，所得解仍满足未看错的方程，分别将甲、乙的解代入对应未看错的方程，即可求解、． 【详解】解：∵甲看错了方程①中的， ∴甲所得的解符合方程②，把代入方程②，得 ，解得； ∵乙看错了方程②中的， ∴乙所得的解符合方程①，把代入方程①，得 ，解得； ∴，． 题型六、方程组相同解问题 例6．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【答案】 【分析】本题考查方程组解的意义以及解二元一次方程组，利用两个方程组的解相同联立方程组，进一步利用方程组解决问题是关键． 先联立两个不含参数的方程求得方程的相同解，再代入含参数m、n的方程解出m和 n的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意，解方程组 ， 解得， 代入 和 得 ， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式6-1】已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立两方程组中不含a与b的方程组成新的方程组，求出新方程组的解得到x与y的值，代入剩下的方程构成方程组求出a与b的值，即可求出原式的值． 【详解】解：联立得：， 得：， 解得，， 把代入①得：， ∴， 把代入，得， ， 解得：， ∴． 即的值为1． 【变式6-2】已知关于，的方程组和的解相同，求的值 【答案】1 【分析】将两个不含参的方程组成新的方程组，求解后代入由两个含参方程组成的方程组，再进行求解即可. 【详解】解：由题意方程组和与方程组和的解也相同， 解得， 把代入，得， ，得， 整理，得. 【变式6-3】若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了同解方程组，解答此题的关键是要弄清题意，准确求解方程组的解．先根据关于m，n的方程组与有相同的解，得出关于m，n的方程组与有相同的解，然后解关于m、n的方程组，得出关于a、b的方程组，然后解关于a、b的方程组即可． 【详解】解：∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴关于m，n的方程组与有相同的解， 解关于m，n的方程组得：， 解关于m，n的方程组得：， ∵关于m，n的方程组与有相同的解， ∴， 由②得：， 把代入①得：， 解得：， ∴，． 题型七、代入消元法 例7．解二元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，利用代入消元法求解即可． 【详解】解：把①代入②得：， 解得， 把代入①得：， ∴方程组的解为． 【变式7-1】解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）用代入消元法解方程组即可； （2）用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把代入得， 解得， 将代入得， 原方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 将代入得， 解得， 原方程组的解为． 【变式7-2】解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了解方程组，利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由①得， 把代入②，得， 解得， 把代入，得， ∴方程组的解为． 【变式7-3】解方程组：． 【答案】 【分析】利用代入消元法求解． 【详解】解： 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入，得， 因此该方程组的解为． 题型八、加减消元法 例8．解下列方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法求解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：， 由，可得，解得， 将代入，可得，解得， 所以，该方程组的解为． 【变式8-1】解方程组： 【答案】 【分析】利用加减法解答即可求解． 【详解】解：②①，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴方程组的解为． 【变式8-2】解二元一次方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，解题的关键是掌握加减消元法． （1）利用加减消元法，两式相加，求得，再求，即可； （2）将二元一次方程组进行化简，得到，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 可得，解得， 将代入可得，解得， ∴； （2）解：由可得， 可得，解得， 将代入可得，解得， ． 题型九、二元一次方程组的特殊解法 例9．对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为______． 【答案】或 【分析】此题考查了解二元一次方程组，实数的新定义运算，分类讨论与分别为非负数和负数四种情况考虑，方程组利用题中的新定义化简求出与的值，即可作出判断． 【详解】解：当，，即，时， 解得： 当，，即，时， 解得：， 当，，即，时， 解得： （舍去） 当，，即，时， 解得：（舍去） 综上所述，或. 故答案为：或． 【变式9-1】[整体思想]我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是______． 【答案】 【分析】令，，根据题意可知方程组的解为，即得出，解出x、y即可． 【详解】解：令，， 则方程组可变为：， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， ∴， 解得：， 故方程组的解为：． 【变式9-2】阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 题型十、新定义 例10．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题考查新定义，构造二元一次方程组求解，解答本题的关键是明确题意，求出、的值． 根据，其中，是不等于0的常数，且．，可以得到，，然后两个式子相减或相加，可以求得，，从而可以求得、的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ， ，， ，， ∵，是不等于0的常数，且． ∴化简得：，， 即， 解得， ， 故选：C． 【变式10-1】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 【变式10-2】对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了新定义问题，二元一次方程组的应用，解题的关键掌握新定义运算法则． ①将代入判断即可；②根据题意列出二元一次方程组求出x，y的值，然后代入判断即可；③根据定义得到，然后结合自然数，且，逐个代入求解判断即可． 【详解】①当且时， 代入定义得，即，正确； ②当且时， 解得， ∴，错误； ③当，时，，即， ∵自然数，且， ∴ ∴ ∴当时， ∴（舍去）或0或1， ∴或2； ∴当时， ∴或1或2， ∴或6或7； ∴当时， ∴或2或3， ∴或10或12； ∴当时， ∴或3或4， ∴或15或17； ∴当时， ∴或4或5， ∴或20或22； ∴当时， ∴或5或6， ∴或25或27； 综上所述，满足条件的的值有17个，故③错误． 综上，其中正确的个数是1． 故选：B． 【变式10-3】对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据新定义运算得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，然后再根据新定义运算的规则计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 解方程组， 得到：， 故正确； 由可知， ， ， 又、取整数， 有或或或， 故正确； 对任意有理数都成立， ， ， ， ， 故正确． 正确的有三个． 故选：D ． 题型十一、已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．满足，且，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据方程组的解的情况求参数，先解方程求出方程的解，再根据建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把滴入①得：，解得， ∴原方程组的解为， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式11-1】关于的方程组有无数组解，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，得，然后根据题意得到，，求出，，然后代入求解即可．掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解：， 得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，， ∴． 故答案为：． 【变式11-2】若关于x，y方程组无解，则m＝__________． 【答案】 【分析】根据第二个方程得到，代入中，得到，当时即可得解； 【详解】由得， 代入得， 整理得：， 当时，即时，无解， ∴当时，原方程组无解． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解，准确理解无解的情况是解题的关键． 【变式11-3】如果方程组的解中，x与y互为相反数，求x，y，m的值． 【答案】，， 【分析】利用x与y互为相反数的关系，把二元一次方程组中的两个方程化为含有x和m两个未知数的方程，联立解新的二元一次方程组即可得到答案． 【详解】解：因为x与y互为相反数，可得y=-x， 所以方程组上式可化为， ①， 方程组下式可化为， ②， 联立①②解得：，． 所以． 【点睛】本题考查解二元一次方程组，其中利用x与y互为相反数，把方程化为含x和m的方程组是解题的关键． 题型十二、二元一次方程组与二元一次方程 例12．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组得到，根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ∴， 解得， 故选：A． 【变式12-1】若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的整体代入求法，掌握求法是解题的关键． 将①②，整体代入求解即可． 【详解】解： ， ①②得：， ∴， ， ， 解得：． 故选：A． 【变式12-2】解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了三元一次方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解： 得，， 故 得，， 解得， 把代入，得， 解得， 把，都代入，得， 解得， 故方程组的解为． 【变式12-3】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值，先求出方程组的解，将解代入，进一步求解即可． 【详解】解：，得：， 把代入，得：， 解得：； 故选D． 【变式12-4】如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组以及二元一次方程的解，正确把握解的定义是解题的关键，首先根据加减消元法解二元一次方程组，得到方程组的解（用含的代数式表示），然后根据二元一次方程的解定义，将的值代入方程中，得到关于的方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：， 得：，即， 得：，即， 把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 二元一次方程组的概念与解法 目录 题型一、二元一次方程的定义 1 题型二、二元一次方程的特殊解（分离常数法） 2 题型三、判断是否是二元一次方程组 5 题型四、判断是否是二元一次方程组的解 6 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 8 题型六、方程组相同解问题 11 题型七、代入消元法 14 题型八、加减消元法 16 题型九、二元一次方程组的特殊解法 18 题型十、新定义 22 题型十一、已知二元一次方程组的解的情况求参数 26 题型十二、二元一次方程组与二元一次方程 29 题型一、二元一次方程的定义 例1．若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】已知是关于x，y的二元一次方程，则的值是（   ） A．2 B． C．2或 D．1 【变式1-2】下列方程中，属于二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知是关于，的二元一次方程，则________． 题型二、二元一次方程的特殊解（分离常数法） 例2．在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2-1】王阿姨准备用元购进，两种品牌的衣服，其中品牌衣服每件元，品牌衣服每件元，在两种衣服都购买且将元刚好用完的前提下，购买方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2-2】方程的正整数解为_________． 【变式2-3】二元一次方程的非负整数解是______． 题型三、判断是否是二元一次方程组 例3．下列方程中是二元一次方程组的有（   ） ①，②，③，④， A．个 B．个 C．个 D．个 【变式3-1】下列方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型四、判断是否是二元一次方程组的解 例4．已知二元一次方程组的解是，则表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】写出一个解为的二元一次方程组为________． 【变式4-2】小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 题型五、二元一次方程组的错解复原问题 例5．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【变式5-1】在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求a，b的值． 【变式5-2】甲、乙两人解方程组，甲正确地解得，乙因为把c看错，误认为d，解得，求a、b、c、d的值． 【变式5-3】甲、乙两名同学在解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，请你根据以上结果，求出和的值． 题型六、方程组相同解问题 例6．关于x，y的二元一次方程组与有相同的解，则mn＝_________ ． 【变式6-1】已知方程组的解和方程组的解相同，求的值． 【变式6-2】已知关于，的方程组和的解相同，求的值 【变式6-3】若关于m，n的方程组与有相同的解，求a、b的值． 题型七、代入消元法 例7．解二元一次方程组： 【变式7-1】解下列方程组： (1)； (2) 【变式7-2】解方程组： 【变式7-3】解方程组：． 题型八、加减消元法 例8．解下列方程组：． 【变式8-1】解方程组： 【变式8-2】解二元一次方程组 (1) (2) 题型九、二元一次方程组的特殊解法 例9．对于实数，我们定义如下运算：若为非负数，则；若为负数，则．例如：，．则方程组的解为______． 【变式9-1】[整体思想]我们知道方程组的解是．现给出另一个方程组，它的解是______． 【变式9-2】阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 题型十、新定义 例10．规定新运算：，其中是不等于0的常数，且．已知，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式10-1】对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式10-2】对有理数、、定义一种新运算，规定．下列说法： ①当时，若，则； ②当且时，则； ③当时，若，，自然数、满足，且，则满足条件的的值有15个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式10-3】对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，若，则结论正确的个数为（    ） ；若，、取整数，则或或或； 若对任意有理数都成立（这里和均有意义），则． A．个 B．个 C．个 D．个 题型十一、已知二元一次方程组的解的情况求参数 例11．满足，且，则___________． 【变式11-1】关于的方程组有无数组解，则________． 【变式11-2】若关于x，y方程组无解，则m＝__________． 【变式11-3】如果方程组的解中，x与y互为相反数，求x，y，m的值． 题型十二、二元一次方程组与二元一次方程 例12．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式12-2】解方程组：． 【变式12-3】若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．1 【变式12-4】如果二元一次方程组的解是二元一次方程的一个解，那么a的值是（   ） A． B． C． D． 2 / 36 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $