专题04 二元一次方程组63道计算题专项训练（9大题型）-2025-2026学年六年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦二元一次方程组9大题型63道计算题，以“基础解法-变式应用-综合拓展”为逻辑主线，系统整合消元技巧与数学思想，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代入/加减消元法|20+题|整体代入、系数配凑|从直接消元到技巧消元，夯实运算基础| |解的应用/同解问题|15题|解的定义逆向应用|连接方程解与参数关系，培养推理意识| |换元/含参/构造|18题|整体换元、参数分离|渗透转化思想，提升复杂问题解决能力| |三元/新定义|10题|三元消元、新运算建模|拓展知识边界，强化数学语言表达|

第04讲 二元一次方程组63道计算题专项训练（9大题型） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程的解 题型四 整体换元解二元一次方程组 题型五 方程组同解计算问题 题型六 解含参的二元一次方程组 题型七 构造二元一次方程组计算 题型八 三元一次方程组的解法 题型九 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 代入消元法】 1．（24-25七年级下·四川自贡·期中）解方程组：． 2．（24-25六年级下·上海奉贤·期末）解方程组： 3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）解方程组： (1)； (2)． 4．（24-25六年级下·上海崇明·期末）解方程组：，并用代入法验证解的正确性． 5．（24-25七年级下·天津·期中）用代入消元法解下列二元一次方程组 (1) (2) (3) (4) 6．（24-25六年级下·上海嘉定·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 7．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【经典计算题二 加减消元法】 8．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）解方程组： 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 10．（25-26六年级下·上海嘉定·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) 11．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 13．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）课堂上老师出了一道题：解方程组． (1)小组学习时，老师发现有同学这么做： 由②得，③， 将③代入①得：， 解得， 把代入③得， 方程组的解为， 该同学使用了______消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了______的数学思想； (2)请用另一种消元方法解这个方程组． 14．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【经典计算题三 二元一次方程的解】 15．（25-26六年级下·上海嘉定·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 16．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？ 17．（24-25七年级下·山西晋城·月考）（1）解方程：． （2）若是方程组的解，求的值． 18．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为．                                                                                                                 19．（24-25七年级下·河北邢台·期中）已知是二元一次方程的一个解． (1)求m的值； (2)用含x的代数式表示y． 20．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 21．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【经典计算题四 整体换元解二元一次方程组】 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 23．（25-26六年级下·上海静安·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 24．（2025七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 25．（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 26．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 27．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为 ． 28．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【经典计算题五 方程组同解计算问题】 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 30．（24-25七年级下·四川内江·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 31．（24-25六年级下·上海崇明·月考）已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值． 32．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知方程组与的解相同，求的值． 33．（25-26六年级下·上海奉贤·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 34．（24-25七年级下·重庆·月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求m，n的值． (2)求的值． 35．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 【经典计算题六 解含参的二元一次方程组】 36．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 37．（24-25六年级下·上海长宁·期末）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值． 38．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组的解是一对相反数，求的值． 39．（24-25六年级下·上海普陀·期末）若关于的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值． 40．（24-25七年级下·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 41．（24-25七年级上·河南安阳·月考）已知方程组，中，x，y的系数都已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数，是你这个方程组的解，你能求解原方程组吗？ 42．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【经典计算题七 构造二元一次方程组计算】 43．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）如果，且，求，的值． 44．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 46．（25-26六年级下·上海静安·期中）对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 47．（24-25七年级下·福建泉州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 48．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 49．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【经典计算题八 三元一次方程组的解法】 50．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）解方程组：． 51．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 52．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 53．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 54．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 55．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 56．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【经典计算题九 二元一次方程组的新定义计算】 57．（24-25七年级下·浙江湖州·月考）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 58．（24-25七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 59．（24-25六年级下·上海嘉定·月考）对于有理数，规定新运算：，其中，是常数，已知：，，求的值． 60．（24-25七年级下·河南南阳·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 61．（24-25六年级下·上海闵行·月考）计算： (1)； (2)． (3)定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”． ①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值； 62．（24-25七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 63．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 二元一次方程组63道计算题专项训练（9大题型） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程的解 题型四 整体换元解二元一次方程组 题型五 方程组同解计算问题 题型六 解含参的二元一次方程组 题型七 构造二元一次方程组计算 题型八 三元一次方程组的解法 题型九 二元一次方程组的新定义计算 【经典计算题一 代入消元法】 1．（24-25七年级下·四川自贡·期中）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键．由②可知，，代入①解出，然后将代入算出． 【详解】 解：由②整理得，③ 把③代入①得， 解得 把代入③得， 原方程组的解为：． 2．（24-25六年级下·上海奉贤·期末）解方程组： 【答案】 【分析】利用代入法解二元一次方程组，解决问题的关键是消元．首先由①得到③，把③代入②得到关于的一元一次方程求出，再把代入③求出即可． 【详解】解： ， 由①得③， 把③代入②，得， 解得， 把代入③得，， ∴方程组的解为： ． 3．（24-25七年级下·山东青岛·月考）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，用代入消元法是最基本的方法，熟练掌握基本方法是解题的关键． （1）用代入消元法求解； （2）用代入消元法求解． 【详解】（1）解： 由①得：，代入②得：， 解得：， 将代入，解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 由②得：，代入①得：， 解得：， 将代入得：， ∴原方程组的解为． 4．（24-25六年级下·上海崇明·期末）解方程组：，并用代入法验证解的正确性． 【答案】，验证见解析 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． 方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】解： 得： 解得 将代入②得： 解得， 验证：将代入①得，； 将代入②得， ∴方程组的解为． 5．（24-25七年级下·天津·期中）用代入消元法解下列二元一次方程组 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤是解题的关键． （1）编号，将①代入②先求解，再解； （2）编号，将①式变形代入②先求解，再解； （3）编号，将②式变形代入①先求解，再解； （4）先将原方程组化简，编号，将②式变形代入①先求解，再解． 【详解】（1）解：， 将①代入②得，， 解得：， 将代入①得，， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 将代入②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （3）解：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为：； （4）解：原方程组化为：， 由②得：， 将③代入①得：， 解得：， 将代入③得：， ∴原方程组的解为：． 6．（24-25六年级下·上海嘉定·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 7．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）用代入消元法解二元一次方程组： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）（2）将代入②先求出，然后将求出的代入①即可解答； （3）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （4）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （5）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （6）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （7）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （8）将②变形为，将③代入①先求出，然后将求出的代入③即可解答； （9）将②变形为，将③代入①先求出，然后将求出的代入③即可解答； （10）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （11）将①变形为，将③代入②先求出，然后将求出的代入③即可解答； （12）将两式化简后，利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为： （2）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得：， ∴原方程组的解为： （3）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （4）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （5）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （6）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （7）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （8）解： 由②得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （9）解： 由②得：， 把③代入①得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （10）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：，即， ∴原方程组的解为： （11）解： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： （12）解： 将两式化为 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为： 【经典计算题二 加减消元法】 8．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：②得：③ ①+③得： 把代入①中得： 9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）用加减法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法消去一个未知数是解题的关键． （1）直接利用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， ①＋②得：，解得， 把代入方程①，得：， 所以这个方程组的解是：． （2）解：由整理得 ③＋④得，解得：， 把代入方程③，得：， 所以这个方程组的解是：． 10．（25-26六年级下·上海嘉定·课后作业）用加减法解下列方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用求解即可； （2）求解即可； （3）求解即可； 【详解】（1）解：，得， 解得． 把代入①，得 解得． 所以这个方程组的解为； （2）解：，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以这个方程组的解为； （3）解：，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解为； 11．（25-26七年级下·吉林长春·期中）解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二元一次方程组，掌握代入消元法、加减消元法是解题的关键． （1）用代入消元法，将代入，转化为关于的一元一次方程，求出，再代入求出； （2）两式相加，转化为关于的一元一次方程，求出，再代入求出； （3）整理原方程组后，将的系数化相同，再相减消元求出，代入后求出； （4）整理原方程组后，相加消元求出，代入后求出． 【详解】（1）， 将①代入②得：， ， 代入①得：， 原方程组的解为； （2）， ①②得：， ， 代入①得：， ， 原方程组的解为； （3）原方程组可整理为， 得：， 得：， 代入①得：， ， 原方程组的解为； （4）原方程组可整理为， ①②得：， ， 代入①得：， ， 原方程组的解为． 12．（24-25七年级下·山东泰安·阶段练习）解下列方程组． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据方程组的结构特点，选择代入消元法或加减消元法消去一个未知数，先求出一个未知数的值，再代入求出另一个未知数的值即可． 【详解】（1）解：由①得③， 把③代入②得， 整理得， 解得， 把代入③得 ∴原方程组的解是. （2）解：把①代入②得， 整理得， 解得， 把代入①得， ∴原方程组的解是. （3）解：①②得， 整理得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解是. （4）解：②①得， 整理得， 解得， 把代入①得， 整理得， 解得， ∴原方程组的解是. 13．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）课堂上老师出了一道题：解方程组． (1)小组学习时，老师发现有同学这么做： 由②得，③， 将③代入①得：， 解得， 把代入③得， 方程组的解为， 该同学使用了______消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了______的数学思想； (2)请用另一种消元方法解这个方程组． 【答案】(1)代入；转化 (2)见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组解法有加减消元法和代入消元法．难度不大，掌握两种基本的二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）根据题意可知该同学使用代入消元法解方程组，从而得解； （2）运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： 该同学使用了代入消元法解这个方程组，目的是把方程组从“二元”变为“一元”，体现了转化的数学思想； 故答案为：代入；转化； （2）， 得：， 解得：； 将代入得：， 解得：， ∴方程组的解为 14．（25-26七年级下·河南南阳·月考）【阅读感悟】 对于方程组的问题，有时候要求的结果不是每个未知数的值，而是求关于未知数的代数式的值． 如：已知实数满足，求和的值． 方法一：解方程组，分别求出的值，再代入代数式求值； 方法二：仔细观察两个方程中未知数系数之间的关系，通过适当变形后，整体求代数式的值． 解法如下： ，得：， ，得：． 比较： 方法一运算量较大，是常规思路； 方法二运算较简单，它用到了通常所说的“整体思想”． 【解决问题】 (1)已知二元一次方程组，则________，________； (2)对于实数，定义新运算：，其中是常数，等式右边是通常的加减法和乘法运算．如：．已知，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据材料提示方法，，即可求解； （2）根据新定义的计算方法得到，为，结合材料提示方法，由此即可求解． 【详解】（1）解：， 得， 得，， ∴， 故答案为：；． （2）解：∵，其中是常数，，， ∴， ∵为， ∴得，， 整理得，， ∴的值为． 【经典计算题三 二元一次方程的解】 15．（25-26六年级下·上海嘉定·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入， 得， 解得． 16．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知方程与方程有一个相同的解，你能求出的值吗？ 【答案】1 【分析】本题考查同解方程、二元一次方程组的解．把相同的解分别代入两个方程，求出m、n的值，再将m、n的值代入即可． 【详解】解：把代入，得； 把代入，得． ∴． 故答案为：1． 17．（24-25七年级下·山西晋城·月考）（1）解方程：． （2）若是方程组的解，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次方程，二元一次方程的解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤解方程即可； （2）根据题意得到，求出，计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：是方程组的解， ， ， ． 18．（24-25七年级下·河南南阳·月考）已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的定义，将把代入，得， 进而可得方程组的解为，即可求解． 【详解】解：把代入，得，         解得                                                   ∴方程组的解为                                       ∵是方程的解                                 ∴这个二元一次方程可以是 19．（24-25七年级下·河北邢台·期中）已知是二元一次方程的一个解． (1)求m的值； (2)用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的解以及解方程 （1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案； （2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y． 【详解】（1）由题意得，， 解得，． （2）由得，． 20．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的二元一次方程（为常数），且，． (1)当时，求的值； (2)若a为正整数，且该方程有正整数解时，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程的解，消元法是求解本题的关键． （1）将，，代入方程，得到关于的方程，求出，再代入求解即可； （2）由题意得，得到，求出． 【详解】（1）解：将代入得， ，， ， ， ， ； （2）解：关于x，y的二元一次方程，，， ， ， 均为正整数， 是正整数， 是正整数， 是正整数， ， 将代入得， ， ， 方程的正整数解是， 当时，方程有正整数解． 21．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知是二元一次方程的解． (1)求的值． (2)解是的二元一次方程唯一吗？如果唯一，请直接回答；如果不唯一，请再写出另一个满足条件的二元一次方程． 【答案】(1) (2)不唯一， 【分析】本题考查二元一次方程的解得定义，读懂题意，掌握二元一次方程解的定义是解决问题的关键． （1）根据二元一次方程解的定义代入求解即可得到答案； （2）根据二元一次方程的解的定义求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是二元一次方程的解， 将代入，得； （2）解：以为解的二元一次方程不唯一； 比如的解也是． 【经典计算题四 整体换元解二元一次方程组】 22．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）教材中有这样一道题目：解方程组圆圆认为，只要把两个方程分别去分母，化简，再用加减消元法或代入消元法，可以求解方方认为，圆圆的方法计算量大，容易出错，可以把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元解决问题请参考以上两位同学的思路，任选一种方法，解这个方程组． 【答案】 【分析】利用换元法解方程组即可． 【详解】解：令，， 原方程组可化为：， 得，，即， 得，，即， ∴ 原方程组的解为． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，整体代换是解题的关键． 23．（25-26六年级下·上海静安·期末）阅读与思考下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． 请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】 【分析】本题考查用二元一次方程组的特殊解法，先从一个方程中整理出可整体代入的代数式，再将其代入另一个方程，实现消元求解． 【详解】解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 24．（2025七年级下·浙江·专题练习）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，请你解答这个题目． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是利用换元法解二元一次方程组．可以根据丙的方法求解，把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决． 【详解】解：所求方程组可变形为：，两方程相加得： ，① 根据第一组方程的解可得：，两方程相加得：，② 由①②得：，解得：． 原方程组的解为：． 25．（24-25七年级下·河南南阳·月考）阅读材料：善于思考的贝贝同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把看成一个整体，设,原方程组可变为，解得，即，解得 (1)模仿贝贝同学的“整体换元”的方法，解方程组： (2)已知关于x,y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是整体法即换元法解二元一次方程组，熟练的确定整体未知数是解本题的关键. （1）设，原方程组化为：，求解，再求解原方程组的解即可； （2）设，，原方程组化为：，可得，再解方程组即可. 【详解】（1）解：设， 原方程组化为：， 得：，即③ 把③代入①得：，即， 把代入③得：， ∴ ， 解得：； （2）设，， 原方程组化为：， ∴， 解得：. 26．（24-25七年级下·江西上饶·期末）【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 27．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）阅读下列一段材料，运用相关知识解决问题． 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代的它，从而使得复杂问题简单化，换元的实质是转化，关键是构造元和设元．例如解方程组，设，，则原方程组可化为，解化简之后的方程组得，即，所以原方程组的解为．运用以上知识解决下列问题： (1)解方程组； (2)关于x，y的二元一次方程组解为，则方程组的解为 ． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设，，将原方程组可化为，解二元一次方程求得，从而可求得原方程组的解； （2）由已知得，求解即可得答案. 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 解得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）解：∵关于x，y二元一次方程组的解为， ，解得：. 【点睛】本题考查给新信息的阅读材料题目，关键在于运用题目所给定义解决问题，本题所给信息是换元法，适当换元可使得运算简便，快捷. 28．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）换元法是数学中的一种解题方法．若我们把其中某些部分看成一个整体，用一个新字母代替（即换元）．则能使复杂的问题简单化．如：解二元一次方程组，按常规思路解方程组计算量较大．可设，，那么方程组可化为，从而将方程组简单化，解出和的值后，再利用，解出和的值即可． (1)请用换元法解方程组． (2)某食堂红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份．位同学一起去食堂吃饭，若位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；若位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元．如果小肖同学和小洁同学两人共打了两份红烧肉，一份辣椒炒肉，两份土豆丝，那么两人共需要付多少元？ 【答案】(1) (2)两人共需要付元 【分析】（1）根据材料提示，设，，解关于的二元一次方程组，求出的值，再代入，，即可求解； （2）根据题意中的数量关系列方程组，再运用换元法求解即可． 【详解】（1）解：， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴，解得， ∴原方程组的解为． （2）解：红烧肉元/份，辣椒炒肉元/份，土豆丝元/份，位同学都打了红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元；位同学打红烧肉、辣椒炒肉和土豆丝，另外位同学打红烧肉和土豆丝，位同学共花费元， ∴， 设，， ∴原方程组可化为，解得， ∴， ∴（元）， ∴两人共需要付元． 【点睛】本题主要考查换元法解复杂的二元一次方程组，理解题目中换元法，掌握解方程的计算方法是解题的关键． 【经典计算题五 方程组同解计算问题】 29．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．先求出方程的解，再把这个解代入到方程中得到关于k的方程，据此求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 把代入方程中得：，即， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 30．（24-25七年级下·四川内江·期中）关于，的方程组和的解相同，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解方程，本题通过联立公共解的方程，求出，的具体值，再代入含参数的方程组，最终转化为关于，的方程组求解，体现了消元思想的应用． 【详解】解：联立不含，的方程， 将第一个方程组的第一个方程与第二个方程组的第一个方程联立，得到新的方程组： ， 解得：， 将代入第一个方程组的第二个方程和第二个方程组的第二个方程，得到： ， 解得：． 31．（24-25六年级下·上海崇明·月考）已知方程组与方程组的解相同，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可求解，熟练掌握同解方程组的解的意义是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． 32．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）已知方程组与的解相同，求的值． 【答案】9 【分析】本题考查二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可 【详解】解：∵方程组与的解相同 ∴ 解得： 将代入得 解得： ∴. 33．（25-26六年级下·上海奉贤·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数．联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解；将公共解代入含的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵两个方程组解相同， ∴先解不含的方程组：， ①②得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含的方程：， ③④得：， 解得， 将代入④得：，求得， ． 34．（24-25七年级下·重庆·月考）已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求m，n的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组一般方法，准确计算． （1）把方程组中的两个已知方程组合可得，解方程组可得：，再代入另外两个方程，求解，从而可得答案. （2）把的值代入求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ①②：， 把代入①：， 把代入得 解得：； （2）解：把代入得： 原式． 35．（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）已知，关于的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解： (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查同解方程组． （1）将两个方程组中不含参数的两个一次方程组成新的方程组，求出方程组的解即可； （2）把两个含参方程组成方程组，将方程组的解代入，再解方程组求出参数的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 得：，解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：， ∴这两个方程组的解为：； （2）把代入中可得：， 化简得：， 得：③， 得：，解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴． 【经典计算题六 解含参的二元一次方程组】 36．（24-25七年级下·福建福州·期中）关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点是解本题的关键． 由可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∵， ∴， 解得：． 37．（24-25六年级下·上海长宁·期末）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把k看作已知数表示出方程组的解得到x与y，代入已知方程计算求出k的值，即可求出原式的值． 【详解】解：①②得：， ①②得：， 代入中，得：， 解得：． 则． 38．（24-25七年级下·福建厦门·期末）已知关于的二元一次方程组的解是一对相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据题意，得到，用含的式子表示出的值，代入计算即可． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵关于的二元一次方程组的解是一对相反数， ∴， 解得，． 39．（24-25六年级下·上海普陀·期末）若关于的二元一次方程组的解中和的和为1，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组的解求参数，解二元一次方程组；由题可得：，解得代入，即可求解． 【详解】解：由题可得：，解得 将代入得： 解得： 的值为． 40．（24-25七年级下·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1）；（2）或7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）得，从而得出k的方程求解； （2）由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值． 【详解】解：（1） 得： （2） ，取正整数 ，或， 或7 41．（24-25七年级上·河南安阳·月考）已知方程组，中，x，y的系数都已经模糊不清，但知道其中□表示同一个数，△也表示同一个数，是你这个方程组的解，你能求解原方程组吗？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解求参数，设为a，为b，根据题意将代入原方程组可以求得a、b的值，然后再将a、b代入原方程即可求得原方程组. 【详解】解：设为a，为b， 则方程组，可化为， ∵是你这个方程组的解， ∴ 解得， ∴原方程组为： 42．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 【经典计算题七 构造二元一次方程组计算】 43．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）如果，且，求，的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程是解答本题的关键．化简得，再联立，解方程组即可求出、的值． 【详解】解：化简得， ， 解得： ，． 44．（24-25七年级下·贵州铜仁·月考）在等式中，当时，；当时，．求k，b的值． 【答案】k，b的值分别为和10 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据当时，；当时，，建立方程组，解之即可得到答案． 【详解】解：∵在，当时，；当时，， ∴， ∴，即k，b的值分别为和10． 45．（25-26七年级上·全国·课后作业）对于有理数定义新运算：，其中为常数．已知，求的值． 【答案】 【分析】根据求出的值，再代入计算即可. 【详解】解：根据题意，得 ，， 整理，得 ①+②，得， 解得． 把代入②， 得， ． 【点睛】本题考查了新定义，构造关于二元一次方程组是解题的关键. 46．（25-26六年级下·上海静安·期中）对于有理数，规定新运算：，其中、是常数，已知，，求的比值． 【答案】 【分析】根据新运算定义列二元一次方程组，解方程组求出、的值，进而求出的比值即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴． 47．（24-25七年级下·福建泉州·期中）甲、乙两人解关于x，y的方程组．甲因看错第一个方程中的a，解得，乙又看错了第二个方程的b，解得，求a、b的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，能求出a、b的值是解此题的关键．根据已知条件，把方程的解代入相应的方程，即可求出a、b的值． 【详解】解：， 将代入②得：③， 将代入①得：④， 联立③④解得： 综上所述： 48．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）对于实数，规定新运算：，其中a、b是常数．已知，． (1)求a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了求代数式的值-直接代入求值；二元一次方程（组）的新定义问题，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）根据题意列出方程组即可求出a与b的值； （2）根据新运算的定义即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴． 49．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）定义一种新运算“”：规定，其中a，b为常数，且，，求的值． 【答案】 【分析】根据新运算的法则，以及，，列出方程组求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得：， 原方程组可化为， 解得：， ∴． 即：． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．解题的关键是理解并掌握新运算的法则，列出二元一次方程组． 【经典计算题八 三元一次方程组的解法】 50．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，利用消元的思想是解题的关键，消元包括：代入消元法和加减消元法．得出，得出，由④和⑤组成方程组，求出方程组的解，把，代入③求出y即可． 【详解】解：， 得：， 得：， 由④和⑤组成方程组：， 两式相加得：，解得：， 将代入④解得， 把，代入③得：， 解得：， 即方程组的解是． 51．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解三元一次方程组； （1）采用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）把三元转换成二元，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得，解得． 把代入①， 得， 解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得④ ，得⑤ 联立④⑤，得 解得 把代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 52．（24-25六年级下·上海嘉定·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类题的关键． 把、、用含有的式子表示出来，然后再代入即可解出的值． 【详解】，得④ ，得， 把分别代入②和③，得，． ∴． 把，，代入得． 解得． 53．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）在等式中，当时，；当时，；当与时，的值相等，求，，的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得． 【详解】解：依题意，得． ①-②得： 解得： 把代入③得， 解得： 把，代入①得 解得： 解得：． 54．（2026六年级下·上海嘉定·专题练习）解下列三元一次方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握消元思想是解题的关键． （1）观察方程结构，通过消去，得到含的二元方程，与①联立消元求解，再回代求； （2）由①得，代入消去，转化为关于的二元方程组，求解后回代求； （3）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求； （4）通过、消去，得到关于的二元方程组，求解后回代求． 【详解】（1）解： ： ： 代入①： 代入③： 故原方程组的解为 （2）解： 由①得，代入②： 代入③： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （3）解： ： ： ： 代入④： 代入①： 故原方程组的解为 （4）解： 由得， 由得 得 代入④： 再将代入① 解得 故原方程组的解为 55．（2025六年级下·上海嘉定·专题练习）感悟思想：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数，满足①，②，求和的值． 思考：本题常规思路是将①②联立成方程组，解得，的值再代入要求值的代数式得到答案，有的问题用常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，整体求得代数式的值．如①②可得；①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 体会思想： (1)已知二元一次方程组，则___________； (2)三元一次方程组的解是 ___________． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键． （1）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答； （2）利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 故答案为：5； （2）解：， 得：， 解得：④， 得：， 得：， 得：， 原方程组的解为： 故答案为：． 56．（24-25七年级下·陕西宝鸡·月考）阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法． 解：将方程②变形：即③，把方程①代入③得：，解得，把代入①得：，解得，所以，方程组的解为 请你模仿小军的“整体代换”法解决以下问题： (1)解方程组 (2)已知满足试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握运算法则，采用整体代换的思想是解此题的关键． （1）仿照阅读材料中的方法求出方程组的解即可； （2）仿照阅读材料中的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 将方程②变形为：， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由①得：， 把②代入③得：， 解得：． 【经典计算题九 二元一次方程组的新定义计算】 57．（24-25七年级下·浙江湖州·月考）我们定义一个新运算，规定：，例如：．若，，分别求出x和y的值． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的解法，根据新定义建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：， ，， ，， ， 解得：． 58．（24-25七年级下·吉林·期末）我们定义一个关于非零常数m，n的新运算，规定：，例如：．若，，求x，y的值． 【答案】x，y的值分别为2， 【分析】本题考查定义新运算，解二元一次方程组，根据新运算的法则，列出方程组，进行求解即可． 【详解】∵，，， ∴ 解得 ∴x，y的值分别为2，． 59．（24-25六年级下·上海嘉定·月考）对于有理数，规定新运算：，其中，是常数，已知：，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组的拓展，先根据“，”和定义运算列出方程组，然后求解出a、b，继而运用新运算法则计算即可． 【详解】，， 解得 ， ． 60．（24-25七年级下·河南南阳·月考）定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”，如二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一次方程”． (1)直接写出二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：____________； (2)二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解，求出m，n的值． 【答案】(1) (2)m的值为1，n的值为5 【分析】本题考查的是新定义的含义，二元一次方程的解的含义，二元一次方程组的解法； （1）根据定义直接可得答案； （2）由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是，再利用方程的解的含义建立方程组解题即可． 【详解】（1）解：二元一次方程的“反对称二元一次方程”为：； （2）解：由题意得，二元一次方程的“反对称二元一次方程”是， 二元一次方程的解，又是它的“反对称二元一次方程”的解， ∴把代入、 得， 解得， ∴m的值为1，n的值为5． 61．（24-25六年级下·上海闵行·月考）计算： (1)； (2)． (3)定义：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”．如：二元一次方程与二元一次方程互为“反对称二元一方程”． ①直接写出二元一次方程的“反对称二元一方程”______；②二元一次方程的解又是它的“反对称二元一方程”的解，求出的值； 【答案】(1)； (2)． (3)①② 【分析】（1）利用代入消元法求解即可． （2）利用加减消元法求解即可． （3）①根据定义解答即可． ②根据定义计算，解方程即可． 【详解】（1）， 把①代入②，得， 解得， 把代入①得 ， 故方程组的解为． （2）， ，得， 解得， 把代入①得 ， 故方程组的解为． （3）①∵中， ∴其反对称二元一次方程， 故答案为：． ②是的解， ， 的“反对称二元一方程”为 且是的解， ． 【点睛】本题考查了代入消元法，加减消元法解方程，新定义方程解法，熟练掌握解方程组，准确求解新定义方程问题时解题的关键． 62．（24-25七年级下·北京顺义·期末）对于关于x，y的二元一次方程组（其中，，，，，是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“美好”方程组． (1)下列方程组是“美好”方程组的是______（只填写序号）； ①；②；③；④． (2)若关于x，y的方程组是“美好”方程组，求a的值； (3)若对于任意的有理数m，关于x，y的方程组都是“美好”方程组，求的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）根据“美好”方程组的定义，逐项判断即可求解； （2）先求出原方程组的解，再代入，即可求解； （3）先联立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解． 【详解】（1）解：①，解得：，此时； ②，解得：，此时； ③，解得：，此时； ④，解得：，此时； 故答案为：②③； （2）解：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∵关于x，y的方程组是“美好”方程组， ∴， ∴， 解得：； （3）解：∵关于x，y的方程组都是“美好”方程组， ∴， 联立得：， 解得：或， 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 把代入得： ， ∴， ∵m为任意有理数， ∴，解得：， ∴； 综上所述，得值为或． 63．（24-25七年级下·广东广州·期中）对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．例如，， 已知，，则根据定义可以得到： (1)_______，_______； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值； (4)若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为_______． 【答案】(1)1， (2)5 (3) (4) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可； （4）把所求方程组写成，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可． 【详解】（1）解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， 解得：； 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， 解得； （3）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：； （4）解：由方程组得：， ∵的解为， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $