精品解析：贵州贵阳市修文中学2025-2026学年高一第二学期期中质量监测数学试题

修文中学2025－2026学年第二学期半期质量监测试卷 高一数学 命题人：邓云东 审题人：黄琳静 温馨提示： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回．本卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底的定义对四个选项一一验证. 【详解】由于是平面内所有向量的一组基底， 对于A，和不共线，可以作为平面的一组基底，故A不合题意； 对于B，和不共线，可以作为平面的一组基底，故B不合题意； 对于C，和不共线，可以作为平面的一组基底，故C不合题意； 对于D，因为，所以和共线，则和不能作为平面的一组基底，故D适合题意. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算计算得解. 【详解】. 故选：B 3. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C. 棱台的侧面都是等腰梯形 D. 以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆柱、圆台、棱台的定义可判断B，C，D错误，A正确 【详解】对于A选项，圆柱的侧面展开图是一个矩形，正确； 对于B选项，用一个平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台，错误； 对于C选项,只有正棱台的侧面才是等腰梯形，错误； 对于D选项, 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，错误. 4. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由正弦定理得，则. 5. 已知平面向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】已知平面向量，，则 若与垂直，则，即，解得，故C正确. 6. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 7. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算，结合图形即可得解. 【详解】依题意，，， 所以， ， 所以. 故选：C. 8. 我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且．已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，得面，通过两角差的正切公式即可求解；或先在中，利用余弦定理求出的值，再通过求出的值. 【详解】提示：法一：由题意，得面．设记， ，解得或，又在中有选． 法二：由题，面．设，则．由，在中，由余弦定理得，解得，进而选B. 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 非零向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D. 与非零向量平行的单位向量有1个 【答案】BC 【解析】 【分析】根据相等向量、相反向量的定义，非零平行向量关系，逐项判定，即可得出结论. 【详解】对于A选项， ,向量与方向未必同向或反向，故错误 对于B选项，非零向量与平行，则与的方向相同或相反，符合向量平行的定义，正确； 对于C选项，方向相同且模相等的向量就是相等向量，与起点无关，正确； 对于D选项，与非零向量平行的单位向量有2个，， 10. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别求出和，即可判断A，求出，即可判断B；求出，并求出它的模，即可判断C；分别求出和，即可判断D. 【详解】因为，，所以， ，所以，故A正确； 因为，故B错误； 因为， 所以，故C正确； 因为，， 所以， ， 所以，故D错误. 故选：AC 11. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，，，则（ ） A. B. C. R＝1 D. △ABC面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【详解】在锐角三角形中，由正弦定理可得，又，所以，又，所以，故C正确. 因为，所以，因为是锐角三角形，所以，故A正确，B错误. 由余弦定理得，所以， 又，所以，解得，当且仅当时，等号成立， 所以，则面积的最大值为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的两个平面向量，已知，若P，Q，R三点共线，则实数k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量共线的判定定理，列出关系式，求出结果. 【详解】因为与共线，所以存在实数，使得：， 代入已知，得：， 整理得：， 因为不共线，因此系数均为0：， 解得，代入得. 13. 已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是实系数方程的一个复数根， 则是实系数方程的一个复数根， 所以，解得，所以. 14. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用投影向量公式进行计算. 【详解】由，，， 代入投影向量公式：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义求解a的值； （2）利用复数的几何意义表示z＋2i对应的点，再求出a的取值范围. 【小问1详解】 由已知得：，解得：； 【小问2详解】 复数在复平面内对应的点的坐标为 ， 则，解得：． 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将五边形ABCDE绕直线AB旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4，高为4的圆柱挖去一个底面半径为2，高为2的圆锥，求出体积可得答案； （2）由可得答案. 【小问1详解】 将五边形绕直线旋转一周得到的几何体是一个底面半径为4高为4的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥， 所以所得几何体的体积； 【小问2详解】 易知圆锥的母线为，所以， ， 所得几何体的表面积. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知条件结合余弦定理求解即可； （2）由（1）结合三角形面积公式求得，再利用已知条件求得，得解. 【小问1详解】 因为，又，所以，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，得， 又，解得， 所以，故， 所以的周长为. 18. 在平面直角坐标系中，已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得； （2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得； 【小问1详解】 解：因为，且， 所以，即，所以； 【小问2详解】 解：因为，， 所以，， 因为与的夹角为，所以，即， 所以，因为，所以，所以，所以； 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 【答案】（1）4 （2）7 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知得出，结合数量积公式得出的值，进而求出的值，根据定义代入数值计算即可得出答案； （2）根据已知得出的坐标，进而根据向量模及其数量积的坐标表示得出的值，进而求出，然后代入公式求解即可得出答案； （3）由已知可得，进而根据向量模的坐标表示得出向量的模，根据定义公式并化简得出.换元令，根据基本不等式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，. 又，， 则. 又，所以， 所以，. 【小问2详解】 由已知可得，，， 所以有，，， 则. 又， 所以， 所以，. 【小问3详解】 由已知可得， 所以，，则，. 又， 所以，. 因为，所以. 令，则， 当且仅当，，即时等号成立， 所以，的最小值为， 所以的最小值为. 【点睛】思路点睛：根据题意可知与向量的数量积相似，可结合课本已学的知识点，结合新定义公式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 修文中学2025－2026学年第二学期半期质量监测试卷 高一数学 命题人：邓云东 审题人：黄琳静 温馨提示： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回．本卷满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 2. （ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中为真命题的是（ ） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分是圆台 C. 棱台的侧面都是等腰梯形 D. 以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 4. 在中，若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知平面向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且．已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则或 B. 非零向量与平行，则与的方向相同或相反 C. 起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量 D. 与非零向量平行的单位向量有1个 10. 设，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，，，则（ ） A. B. C. R＝1 D. △ABC面积的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是不共线的两个平面向量，已知，若P，Q，R三点共线，则实数k的值为______． 13. 已知1－i是实系数方程的一个复数根，则p＋q＝______． 14. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围． 16. 一个边长为4的正方形剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，得到如图所示的五边形，将五边形绕直线旋转一周. （1）求所得几何体的体积； （2）求所得几何体的表面积. 17. 在中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）若的面积为，且，求的周长. 18. 在平面直角坐标系中，已知向量，，. （1）若，求的值； （2）若与的夹角为，求的值. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：．试求解下列问题： （1）已知向量，满足，，，求的值； （2）在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值； （3）已知向量，，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $