精品解析：贵州省贵阳修文北实新世纪学校2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

贵阳市修文北实新世纪实验学校2024-2025学年高一期中质量监测卷 数学试题 2025年4月 注意事项： 1．本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面内三点，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 甲港和乙港之间新辟了一航线，每天正午分别从甲、乙两港相对开出船.若所有船的航速相同，且从甲港到乙港需航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第1天），从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有（ ） A. 4只 B. 7只 C. 10只 D. 11只 7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 74 C. 76 D. 78 8. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（     ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知，则下列代数式中值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 最大值是 D. 的最大值为 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知则__________. 13. 设实数，函数为奇函数，则______________. 14. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，， （1）若与平行，求实数的值； （2）若与垂直，求的值. 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 17. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 18. 已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值. 19. 设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． （1）判断是否为“好集”，并说明理由； （2）证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； （3）求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市修文北实新世纪实验学校2024-2025学年高一期中质量监测卷 数学试题 2025年4月 注意事项： 1．本场考试时间为120分钟，试题卷共5页，满分150分，答题卡共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数，则（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的加法法则计算可得结果. 【详解】由可得. 故选：D 2. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交并补的运算求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故选：B 3. 已知平面内三点，，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量、模长及数量积的公式计算即可. 【详解】， ，， 所以向量在上的投影向量为. 故选:C. 4. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】若“”，则有，可推出“”成立， 若“”，则有或，解得或，推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择. 【详解】首先：， 所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故排除CD. 又，故排除B. 故选：A 6. 甲港和乙港之间新辟了一航线，每天正午分别从甲、乙两港相对开出船.若所有船的航速相同，且从甲港到乙港需航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第1天），从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有（ ） A. 4只 B. 7只 C. 10只 D. 11只 【答案】C 【解析】 【分析】由题意作出图形，要使甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇），可得交点个数，就是相遇的船只. 【详解】由题意作出图形： 从甲港到乙港需航行7昼夜， 顺次连接乙港1、甲港8两点，乙港2、甲港9两点、的线段分别表示从乙港开出的船在相应时间内的航行路线， 又甲港第四条开出的船也要经过7天到达乙港， 连接甲港4、乙港11两点的线段表示甲港船的航行路线， 由图形可得该线与乙港开出船的航行路线有11个交点， 这些点分表表示从甲港开出的船遇到乙港开出船的次数， 又不包括在港口相遇， 除去在乙港口相遇的点一共有10个， 故从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有10只， 故选：. 7. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：） A. 72 B. 74 C. 76 D. 78 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件列方程，可得，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可． 【详解】由于，所以， 依题意，则， 则， 由， 所以，即， 所以所需的训练迭代轮数至少为74次． 故选：B 8. 定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的可能取值是（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合辅助角公式可得，根据图像变换结合诱导公式可得，运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 将函数的图像向左平移个单位，所得， 因为为偶函数， 则，解得， 可得，结合选项可知：B正确，ACD错误. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，有选错得0分，部分选对得部分分） 9. 下列函数是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，是奇函数，故A正确； 对于B，的定义域为，且，可得是奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，的定义域为，且，所以是偶函数，不是奇函数． 故选：AB． 10. （多选）已知，则下列代数式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据指数运算对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】原式，A错误； 原式，B正确； 原式，C错误； 原式，D正确． 故选：BD 11. 正方形的边长为2，在上，且，如图，点是以为直径的半圆上任意一点，，则（ ） A. 最大值为 B. 最大值为1 C. 最大值是 D. 的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题设条件，建立平面直角坐标系，把数量积问题转化为坐标运算来解决，结合三角函数的性质即可对选项进行判定. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ，，，，，设，， 则，，，由， 得，则，解得， 对于A，，其中锐角由确定， ，则当时，，A错误； 对于B，，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，其中锐角由确定， ，则当时，取得最大值，C正确； 对于D，，则 ，而，当时，取得最大值为，D错误. 故选：BC 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及换底公式计算可得结果. 【详解】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 13. 设实数，函数为奇函数，则______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的定义可求出的值，然后代值计算可得的值. 【详解】实数，且函数为奇函数， 则， 由奇函数的定义可得，即， 整理可得，则，因为，解得， 所以，，故. 故答案为：. 14. 若向量，满足，且向量与向量的夹角为，则的最小值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，，利用向量的加法的三角形法则得到，从而将的最小值问题转化为中的最小值问题，再借助三角函数求解即可. 【详解】如图： 设，，则，依题意. 过作，垂足为，则， 即的最小值是2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，， （1）若与平行，求实数的值； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量平行的坐标表示求参数. （2）先根据向量垂直的坐标表示求参数，再求向量的模. 【小问1详解】 因为，. 由. 【小问2详解】 由， 解得：或. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以为或. 16. 已知复数满足. （1）求复数和； （2）若复数是关于的方程的一个根，求实数a，b的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算可得结果； （2）将代入方程化简，再利用复数相等的条件列方程组可求得实数a，b的值. 【小问1详解】 因为复数满足， 所以， 所以. 所以. 【小问2详解】 因为复数是关于的方程的一个根， 由（1）知，所以 ， 所以， 解得，. 17. 设集合，集合． （1）若，求和； （2），求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集并集概念计算；在求取值范围时， （2）根据集合间的包含关系构造不等式组，来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 若，则， 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 当时，满足，此时； 当时，要使，则，解得 综上，实数的取值范围为 18. 已知向量，，，，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间； （3）若函数在有三个不同的零点从小到大依次为，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式得，由周期得的解析式； （2）由正弦函数的单调递减区间，得到的单调递减区间； （3）由，解得或，依题得，由正弦函数的图象得和关于直线对称，从而得到，即可求解.. 【小问1详解】 ， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 所以该函数的最小正周期，则， 所以. 【小问2详解】 由得， 所以的单调递减区间是. 【小问3详解】 由得或， 即或， 由，可得， 由得，解得； 所以在上有两个不同的解，由图知，， 且，即， 所以， 所以. 19. 设是由有限个正整数组成的集合，定义．如果，称是“好集”．例如，时，，所以不是“好集”． （1）判断是否为“好集”，并说明理由； （2）证明：如果且是“好集”，那么是“好集”； （3）求所有的集合，使得 ①； ②是“好集”； ③不存在“好集”，使得是的真子集． 【答案】（1） 由于，，二者交集为空，故是“好集”. （2） 显然此时，，而，故，所以是“好集”. （3），，，，. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义即可判断； （2）利用“好集”的定义，证明该结论； （3）利用（2）的结果，列举不同情况即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于，，，，都不是“好集”，所以“好集”不能包含这些集合中的任何一个. 那么，包含于的“好集”就只可能是空集，单元素集，除和以外的双元素集，以及，，经过验证，这些集合都是“好集”. 再加上不能被更大的“好集”包含的要求，满足条件的就只能是，，，，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对“好集”的定义的理解，只有理解了定义，方可解决相应问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $