23.4 实际问题与一次函数（讲义）数学新教材人教版八年级下册
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内容正文：
第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数
知识点一 一次函数应用问题的求解思路
1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；
2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
即学即练
1．（2026·安徽六安·一模）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图形分别表示出，的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可．
【详解】快速公交从A地出发，全程，用时，
因此快速公交速度为 ，
∴解析式为： ；
普通公交从B地出发，速度向A地行驶，
因此离A地的距离解析式为： ，
联立方程： ，解得 ，
代入，得，
因此P点坐标为．
2．（2026·山西太原·一模）如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ）
A．该长方体金属块的重力是
B．该长方体金属块的高度是
C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小
D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为
【答案】D
【分析】当时，F的值即为金属块的重力的值，据此可判断A；F的值开始不随深度的变化而变化时的值即为金属块的高度的值，据此可判断B；根据函数图象可判断C；利用待定系数法求出当时，F关于h的关系式，再求出时，F的值即可判断D．
【详解】解：A、由函数图象可知，当时，，则金属块浸入水中的深度为时，，故该长方体金属块的重力是，原说法错误，不符合题意；
B、由函数图象可知，从开始，F不再随浸入深度的增大而变化，则从开始金属块完全浸没，故该长方体金属块的高度是，原说法错误，不符合题意；
C、由函数图象可知，当时，传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小，当，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化，原说法错误，不符合题意；
D、当时，设，
把代入得，
解得，
∴，
在中，当时，，
∴当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为，原说法正确，符合题意．
3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）空调运行时排出的冷凝水是可利用水资源，若随意排放会造成浪费．为了调查教室空调排水量与时间的关系，同时培养节约用水的意识，小云同学在空调排水口放置带刻度的容器，定期记录排水量，部分数据如下表：
时间t/
0
40
80
120
160
200
240
…
排水量W/
0
350
700
1050
1400
a
2100
…
小云发现排水量W是时间t的一次函数．根据以上信息，判断下列结论不正确的是：（ ）
A．表格中a的数值为1750
B．W与t的函数关系式为
C．当空调运行60分钟时，排水量为520毫升
D．若学校有50间教室，每间教室的空调每天连续开启10小时，已知1升水可浇灌1平方米绿化，则这些冷凝水一天能浇灌的绿化面积为262.5平方米
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的实际应用，先通过给定数据求出函数关系式，再逐一验证各选项即可．
【详解】解：∵W是t的一次函数，且当时，，
∴设函数关系式为（）
∵当时，，
∴，
解得，
∴W与t的函数关系式为，
A：当时，，即，A正确，不符合题意；
B：由上述推导，函数关系式为，B正确，不符合题意；
C：当时，，C错误，符合题意；
D：10小时分钟，一间教室10小时排水量，
50间教室总排水量，
∵1升水可浇灌1平方米绿化，
∴浇灌面积为262.5平方米，D正确，不符合题意；
故选：C．
4．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（ ）
①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键．
对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断；
对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度；
对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可；
对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可．
【详解】解：对于①，
由图可知，
当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢，
所以①错误；
对于②，
甲减速后的速度为（千米小时），
所以②正确；
对于③，
乙的速度为（千米小时），
根据题意，得
解得
所以当时，甲、乙两队相遇，
所以③正确；
对于④，
设减速前甲队的函数关系式为，
把代入，得，
，
减速前甲队的函数关系式为，
设减速后甲队的函数关系式为，
把，代入，得，
解得，
所以减速后甲队的函数关系式为，
设乙队的函数解析式为，
把代入，得，
，
所以乙队的函数解析式为，
当时，令
解得（舍去）；
当时，令，
，
或，
解得或，
所以④正确；
综上所述，说法正确的有②③④．
故选：D．
5．某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分段函数的图象，熟练掌握根据不同收费标准确定函数关系式进而分析图象是解题的关键．根据不同通话时长区间的收费标准，分情况分析费用与时间的函数关系，进而判断图象．
【详解】解：∵ 有月租费10元，
∴ 当时，．
∵ 每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元，
∴ 当时，，且当时，，
此时函数图象是从出发，到点的一条线段．
∵ 超过120分钟的每分钟收费0.1元，
∴ 当时，，此时函数图象是比时的倾斜度缓的线段．
观察各选项，只有B选项符合．
故选：B．
题型01 行程问题
典｜例｜精｜析
1．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______．
【答案】②④
【分析】本题考查了同学们从图像中获取信息解决问题的能力及数形结合的思想，关键是从图像中获取到正确的信息，并能应用信息解决问题．
①根据题意，两人距离y为时间x的函数，由图象可知两人起始距离为，甲走4小时时两车相遇，由此即可求得甲的速度为每小时；进一步求出甲到B地的时间为5小时，甲原路返回直到追上乙时，比乙多走，列方程解答即可；②当甲行驶1小时时，两人的距离等于减去甲1小时走的路程，即可得到P的纵坐标；③从两人相遇到甲到达B时用1小时，M的横坐标为5，此时两人距离等于两人一小时走的路程和，即可求出M的纵坐标，由的坐标即可求出线段所在直线的解析式；④分别计算当，，时，甲、乙两人之间距离即可．
【详解】解：①，
(小时)，
设甲最终追上乙时乙行驶了a小时，由题意得：，
解得：，故①错误；
②，
所以P的纵坐标为240，②正确；
③，
所以M坐标为，
又因为Q的坐标为，
设线段所在直线的解析式，
解得：，
所以③错误；
④时，；
时， ；
时，，④正确;
综上所述：②④正确．
故答案为：②④．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
(1)学校门口到学校操场的距离为______米；
(2)当乙追上甲时，求的值；
(3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式．
【答案】(1)500
(2)x的值为20；
(3)
【分析】（1）根据函数图象可直接得出结果；
（2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解；
（3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：∵甲从学校门口到图书馆的路程为1500米，乙从操场到图书馆的路程是2000米，
∴学校门口和操场的距离为：（米）；
（2）解：设甲的函数解析式为：，代入，
∴，
∴，
∴，
设乙的函数解析式为：
代入，
∴
解得：
∴，
由题意，，
解得：，
故当乙追上甲时，x的值为20；
（3）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟，
乙骑车的速度为米/分钟，
∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口，
∴乙返回时的行驶距离为（米），
∴乙到达学校门口时x的值为，的值为，
设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入，
，
解得：
∴．
2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟．
(2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米．
(3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议．
【答案】(1)1500；
(2)18；2700
(3)分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用（行程问题的函数图像解读），解题的关键是理解图像中横、纵坐标的含义，分析每一段图像对应的行程状态（行驶、停留、往返），结合速度公式进行计算与分析．
（1） 家到学校的距离为图像终点的纵坐标值；停留时间为图像中水平线段对应的时间差；
（2） 总用时为图像终点的横坐标值；总骑行路程为各段行驶路程之和（含往返）；
（3） 分段计算各时间段的速度，比较大小判断最快速度，再与安全限度250米/分比较，最后提出合理建议．
【详解】（1）解：由图像可知，
小华家到学校的距离为图像终点纵坐标：1500 米．中途停留时间为水平线段对应的时间差： 分钟．
故答案为：1500；．
（2）解：总用时为图像终点横坐标：18分钟．
总骑行路程为各段行驶路程之和：
米．
故答案为：18；2700
（3）解：分段计算各时间段速度:
0～6分钟:米/分．
分钟:米/分．
分钟:米/分．
，
分钟速度最快，为300米/分,
∵，
超过安全限度，不在安全限度内．
建议：骑电瓶车时要控制车速，不超速行驶，自觉遵守交通法规．
答：分钟她们骑行的速度最快，最快速度不在安全限度内；建议骑电瓶车时不超速行驶，自觉遵守交通法规．
3．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)___________．
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）；
(3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米．
【答案】(1)25
(2)
(3)43.25或44.25或48
【分析】（1）观察图象根据路程除以时间得出答案；
（2）将点代入关系式，求出解即可；
（3）先求出小兴对应的函数关系式，再分两种情况列出方程 ，求出解即可．
【详解】（1）解：∵桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，
∴（分钟）；
（2）解：桐桐开始骑车的时间为（分钟），
桐桐骑车到达C景点的时间为（分钟），
设桐桐骑车时距景点A的路程与时间的关系式为，且经过点根据题意，得
，
解得，
∴函数关系式为；
（3）解：设小兴距景点A的函数关系式为，且经过点，
∴，
解得，
∴．
桐桐到达A景点前，两人相距140米，
∴，
解得或；
桐桐到达景点A之后，两人相距140米，
则，
解得，
所以当t是43.25，或44.25或48分时，两人相距140米．
题型02 工程问题
典｜例｜精｜析
1．（23-24八年级上·山东德州·期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由．
(3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用．
【答案】(1)规定日期为20天
(2)在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款
(3)当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）设规定日期为x天，根据题意列出分式方程，求解即可；
（2）分别求出三个方案的费用，选出符合题意的方案即可；
（3）设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元，由题目所给条件得出，再根据n的取值范围和一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）设规定日期为x天，由题意得
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意；
所以，规定日期为20天；
（2）方案一：（万元），
方案二：需要40天，超过工期，不符合题意；
方案三：（万元），
∵，
∴在不耽误工期的前提下，方案三最节省工程款；
（3）由题意得，实际规定日期为（天），
设甲队施工m天，乙队施工n天，工程费为y元，
则，
∴，
工程款为：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴y随m的增大而增大，
∴当时，y最小，此时，
所以，当甲队施工5天，乙队施工30天时，工程费用最少为21万元．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示．
(1)求关于的函数解析式；
(2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费．
【答案】(1)y关于x的函数关系式为
(2)现计划平均每天的修建费为万元．
【分析】本题考查的是一次函数的应用，分式方程的应用；
（1）设y关于x的函数关系式为，再把，代入计算即可；
（2）设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．根据题意，得，再进一步解答即可.
【详解】（1）解：设y关于x的函数关系式为，
根据题意，得，
解得：，
∴y关于x的函数关系式为；
（2）解： 设现计划修建的时间为m天，则原计划修建的时间为天．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合实际意义，
∴，
∴，
答：现计划平均每天的修建费为万元．
2．（2024七年级下·浙江·专题练习）为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天
(2)甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元
【分析】本题考查分式方程在工程问题中的应用，二元一次方程的实际应用，一次函数的性质；
（1）如果设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天．再根据“甲、乙两队合作完成工程需要10天”，列出方程解决问题；
（2）设甲工程队做天，乙工程队做天，先得出，进而求出所需费用，因为需在20天内完成工程，从而确定出最佳方案．
【详解】（1）设甲工程队单独完成该工程需天，则乙工程队单独完成该工程需天，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天．
（2）设甲工程队做天，乙工程队做天，
根据题意得：，
整理得，即，
需在20天内完成工程，
，解得，
所需费用，
根据一次函数的性质可得， 越小，所需费用越小，
∴时，费用最少，此时，
即甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，
最小费用为（万元），
答：甲乙合作5天，乙工程队单独做15天费用最小，最小费用为62.5万元．
3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示．
(1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米；
(2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米；
(3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围．
【答案】(1)9；40
(2)第20天时整个工程已完成580米
(3)完成这次任务的工期范围是27天至35天
【分析】（1）根据图象信息得出甲、乙合作时，共施工的天数，再运用工作量除以时间，即可作答．
（2）先求出直线的解析式，再令，则即可作答．
（3）根据图象信息得甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），因为乙工程队的施工效率不超过甲工程队，得出解得，然后分类讨论，即当时或当时，再求出直线的解析式，当时，则，解得，即，进行作答即可．
本题考查了一次函数的行程问题，求一次函数的解析式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意，根据图象可得，甲、乙合作时，共施工的天数为：（天）
每天挖隧道：（米），
故答案为:9，40．
（2）解：由题意，当时
∴点的坐标A的坐标为，B的坐标为
∴（米/天），（米/天），
又设直线的解析式为
把点B坐标代入解析式得
解得
∴直线的解析式为
令，则
∴第20天时整个工程已完成580米；
（3）解：由题意得，甲施工队施工的效率为（米/天），乙队施工的效率为（米/天），
∵乙工程队的施工效率不超过甲工程队，
∴，
解得，
∵，
∴，
当时，
由（2）得直线的解析式为
∴当时，则，
解得；
当时，
依题意，则，
∴（米/天），（米/天），
设直线的解析式为
把代入得
解得，
∴直线的解析式为
∴当时，
由（2）得直线的解析式为
∴当时，则，
解得，
即
∴完成这次任务的工期范围是27天至35天．
题型03 调运问题
典｜例｜精｜析
1．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）某物资配送中心在北京和上海两个站点同时储备应急物资若干吨，北京站点可支援外地10吨，上海站点可支援外地4吨，现在决定给重庆调运8吨应急物资，武汉调运6吨应急物资。已知从北京、上海两个站点运往重庆和武汉的运费如下表：
出发地目的地
北京站点（元/吨）
上海站点（元/吨）
重庆
800
500
武汉
400
300
(1)若总运费为8400元，则上海站点运往武汉多少吨？
(2)若要求总运费不超过8200元，则共有几种调运方案？
(3)总运费最低的调运方案是哪种？总运费最低是多少元？
【答案】(1)上海站点运往武汉吨
(2)共有种调运方案
(3)总运费最低的调运方案为：上海站点运往武汉吨，上海运往重庆吨，北京运往武汉吨，北京运往重庆吨，总运费最低是元
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的性质，解一元一次不等式，解题的关键是准确把握题意，找准隐含的数量关系，列出函数或方程来分析、判断或解答．
（1）设上海站点运往武汉吨，上海站点运往重庆吨，北京站点运往武汉吨，北京站点运往重庆吨，根据总运费从上海运往武汉的运费从上海运往重庆的运费从北京运往武汉的运费从北京运往重庆的运费，列出一元一次方程即可得解；
（2）结合（1），求出总运费关于的函数关系式，列出不等式即可解决问题；
（3）根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】（1）解：设上海站点运往武汉吨，上海站点运往重庆吨，北京站点运往武汉吨，北京站点运往重庆吨，
根据题意得，
解得，
答：上海站点运往武汉吨；
（2）解：设上海站点运往武汉吨，
由（1）知，总费用：
，即时，
解得，而，
或或或，
即共有种调运方案；
（3）解：，，
随的增大而增大，
故当时，取最小值，即上海站点运往武汉吨，上海运往重庆吨，北京运往武汉吨，北京运往重庆吨，
此时，
即最低总运费是元．
变｜式｜巩｜固
1．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨．
接收地
出发地
地
地
甲厂
乙厂
(1)直接写出的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值．
【答案】(1)
(2)从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防 疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元
(3)百元
【分析】（）由题意可得从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，进而列出不等式组解答即可求解；
（）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，进而根据一次函数的性质解答即可求解；
（）设总费用为百元，根据题意求出与的一次函数关系式，再分、和三种情况，根据一次函数的性质解答即可求解；
本题考查了一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：∵从甲厂运往地防疫物资吨，
∴从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往 地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物 资吨，
则，
解得，
故答案为：；
（2）解：设总费用为百元，
根据题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的值最小，最小值为百元，
∴从甲厂运往地防疫物资吨，从甲厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，从乙厂运往地防疫物资吨，运输费用最低，最低费用为百元；
（3）解：设总费用为百元，
根据题意得，，
当，即时，随的增大而减小，
∵，
∴时，的值最小，最小值为百元；
当，即时，百元；
当，即时，随的增大而增 大，
∴当时，的值最小，最小值为，
当时，， 此时的最小值为百元；
综上所述，总运费可以达到的最小值是百元．
2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨．
(1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？
【答案】(1)，其中
(2)48，49，50
(3)当时，W最低，最低总运费为50600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键，掌握一次函数的性质是解题的关键；
（1）根据题意求出总费用即可求出关于的函数关系式，再根据粮食的质量是非负数列关于x的不等式组，即可求出自变量x的范围．
（2）根据题意列不等式组，再求出整数解即可．
（3）根据一次函数的性质可知，时，W取得最小值，求出W的最小值即可．
【详解】（1）解：已知A地运送到甲中心粮食为x吨，A地可运出粮食80吨，则A地运往乙中心的粮食为吨．
甲地需要粮食90吨，A地运往甲中心x吨，所以B地运往甲中心的粮食为吨．
乙地需要粮食50吨，A地运往乙中心吨， 所以B地运往乙中心的粮食为吨．
根据题意，得：，
根据题意，得：，
解得．
W关于x的函数关系式为；
（2）解：根据题意，得，
解得．
x为整数，
x的值为48，49，50．
符合条件的x值为48，49，50；
（3）解：由（1）可知，
，
W随x的增大而增大．
，
当时，W取得最小值．
此时(元) ，
当时，总运费W最低，最低总运费是50600元．
题型04 计时问题
典｜例｜精｜析
1．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见．
【实践操作I】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）．
表1
流水时间
1
2
3
4
5
6
7
水面高度
0.3
0.7
1.05
1.35
1.6
1.8
1.95
表2
流水时间
1
2
3
4
5
6
7
水的体积
6
10.8
15.6
20.4
25.2
30
34.8
【任务一】通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现______与流水时间t是一次函数关系；
【实践操作II】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）．
表3
流水时间
1
2
3
4
5
6
7
仪表盘刻度值y
0.5
0.9
1.3
1.7
2.1
2.5
2.9
【任务二】（1）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式；
（2）求时，仪表盘的刻度值；
（3）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是__________和__________．
【答案】任务一：水的体积V；任务二：（1），（2）仪表盘的刻度值为4.1；（3）1.7，9.7
【分析】本题考查一次函数的应用．
任务一：根据一次函数变量之间的变化特点判断即可；
任务二：（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）当时，求出对应y的值即可；
（3）设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为，根据题意得①，②，②①，得，进而可得，再结合两次仪表盘的刻度值之和为11.4，可得，的二元一次方程，解方程即可．
【详解】解：任务一：通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现水的体积V与流水时间t是一次函数关系，
故答案为：水的体积V；
任务二：（1）设仪表盘刻度y与流水时间t的函数解析式为，
将和代入，
得
解得，
；
（2）当时，，
即仪表盘的刻度值为4.1；
（3）设分钟时，仪表盘的刻度值为，分钟时，仪表盘的刻度值为．
则①，②，
②①，得，
，
，
，
，
解得，
故答案为：1.7；9.7．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·贵州贵阳·一模）综合与实践：制作简易计时器
【问题情境】
某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器，该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中．
【实验观察】表格记录的是圆柱容器液面高度y（）与时间x（）的数据：
记录次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
时间x（）
1
2
3
4
5
圆柱容器液面高度y（）
2
4
6
4
10
【探索发现】根据上述的实践活动，该小组同学发现y与x之间满足一次函数关系，请解决以下问题：
(1)根据表中的数据在图中描点：小组长发现其中有一次数据记录错误，请你指出记录错误的是第 次：
【结论应用】
(2)已知圆柱容器液面的最大高度能达到，则这个简易计时器最多可计时多少分钟？
【答案】(1)四
(2)15分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用、求一次函数的解析式，理解题意是解题的关键．
（1）根据表中的数据在图中描点，由题意可知y与x之间满足一次函数关系，所以函数图象是一条直线，根据描点可知第四次的数据不在其他数据连成的直线上，即可得出结论；
（2）利用待定系数法求出y与x之间满足的一次函数关系，再令，求出对应的值，即可解答．
【详解】（1）解：描点如下：
由题意得，y与x之间满足一次函数关系，所以函数图象是一条直线，
根据描点可知，第四次的数据不在其他数据连成的直线上，
记录错误的是第四次．
故答案为：四．
（2）解：设一次函数关系为，
代入和得，，
解得：，
一次函数关系为，
令，则，
解得：，
答：这个简易计时器最多可计时15分钟．
2．（24-25九年级上·陕西西安·月考）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表：
数据记录
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
…
t（）
0
2
6
8
…
h（）
2
2.8
3.6
4.0
5.2
…
(1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次数据是不准确的．
(2)求h（）与t（）的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？
【答案】(1)第（4）次数据是不准确的
(2)即当水位为时，对应时间是
【分析】本题考查一次函数的应用；
（1）由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，据此可知是错误的值；
（2）设水位与时间的一次函数关系式为，再用待定系数法求解析式，然后把代入解析式求解即可．
【详解】（1）解：由表格中数据知，时间每增加2分钟，h增加，
当时，对应
∴第（4）次数据是不准确的；
（2）设水位与时间的一次函数关系式为，
把，代入，得，
解得，
∴，
当时，，
解得．
即当水位为时，对应时间是．
题型05 分配问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级下·河南周口·期中）第六届亚洲沙滩运动会，是由亚奥理事会主办的沙滩类综合性体育运动会，于年月日至日在中国海南省三亚市举行．某工厂收到加工赛事挡板的订单，该工厂有两种设备加工挡板，已知用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板，用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板．
(1)求台型设备和台型设备每天分别可以加工多少块挡板；
(2)该工厂计划使用两种设备共台完成此订单，要求型设备的数量不低于型设备的，则该工厂应该怎样分配，才能使每天生产的挡板数量最多，是多少？
【答案】(1)
台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板
(2)
安排型设备台，型设备台时，每天生产的挡板数量最多，最多为块
【分析】（）设台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板，根据题意列二元一次方程组解答即可；
（）设安排型设备台，则型设备为台，根据题意列一元一次不等式组解答即可；设每天总生产挡板数为，再建立总产能关于的一次函数，由函数的增减性确定取最小值时总产能最大，进而算出型设备数量和最大总产能．
【详解】（1）解：设台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板，
根据题意列二元一次方程组：，
解得，
答：台型设备每天加工块挡板，台型设备每天加工块挡板；
（2）解：设安排型设备台，则型设备为台（为正整数），
根据条件列不等式：，
解得：，
设每天总生产挡板数为，
则：，
∵一次项系数，随增大而减小，
∴取最小值时，最大，
此时，
最大总产能．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示．
(1)求的值；
(2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？
【答案】(1)
(2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用．
(1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出；
(2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值．
【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，
根据题意得：，
解得：，
；
（2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，
当时，
；
则，
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，,
此时(千克)，
答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元.
2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售、两种商品．两种商品的月利润获取方式不同，种商品的月利润是该商品投资金额（万元）的；种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额（万元）满足函数关系式，已知商品投资金额为万元时，盈利万元．
(1)直接写出销售、两种商品的月利润，（万元）与对应商品的投资金额（万元）的函数关系式______；______．
(2)若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资产品的月利润更高？
(3)若该商户共投资万元同时销售，两种商品，其中投资商品的金额不少于投资商品金额的倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
【答案】(1)；
(2)投资金额为万元时，投资产品的月利润更高
(3)投资万元销售商品，投资万元销售商品，月利润最大，最大月总利润为万元
【分析】（1）直接表示出，再根据待定系数法表示出；
（2）令，解不等式求解即可；
（3）设投资万元销售商品，则投资万元销售商品，根据“投资商品的金额不少于投资商品金额的倍”可确定的取值范围，然后表示出总利润为， 根据一次函数的增减性即可得解．
【详解】（1）解：根据题意得：；
商品投资金额为万元时，盈利万元，，
，
，
；
（2）解：令，即，
解得，
投资金额，
，
即投资金额为万元时，投资产品的月利润更高；
（3）解：设投资万元销售商品，则投资万元销售商品，销售月总利润为，
则：，解得，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为（万元），
此时（万元），
即投资万元销售商品，投资万元销售商品，月利润最大，最大月总利润为万元．
3．（2024九年级下·云南·学业考试）云南的生活是美好中国带露珠的花朵，其中“云花”的年产量就高达180亿枝．已知某经销商购买甲种“云花”的费用（元）与重量（千克）之间的关系如图所示．购买乙种“云花”的价格为42元/千克．
(1)求与之间的函数解析式（解析式也称表达式）；
(2)该经销商计划一次性购进甲、乙两种“云花”共100千克，且要求甲种“云花”不少于60千克，但又不超过85千克．请你帮该经销商设计一种方案，应如何分配甲、乙两种“云花”的购买量，才能使经销商花费总金额和（元）最少？最少花费多少元？
【答案】(1)
(2)购买甲种“云花”60千克，乙种“云花”40千克时，才能使经销商花费总金额和w（元）最少，最少为4680元．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）分当，当，两种情况利用待定系数法求解即可；
（2）分当时，当时，两种情况列出w关于x的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：当，设，
把代入中得：，解得，
∴；
当，设，
把，代入中得：，解得，
∴；
综上所述，；
（2）解：当时，
由题意得，，
∵，
∴w随x增大而增大，
∴当时，w最小，最小值为；
当时，
由题意得，，
∵，
∴w随x增大而减小，
∴当时，w最小，最小值为；
∵，
∴当时，w最小，最小值为4680元；
∴，
∴购买甲种“云花”60千克，乙种“云花”40千克时，才能使经销商花费总金额和w（元）最少，最少为4680元．
题型06 体积问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象；
(1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？
【答案】(1)与之间的函数表达式为
(2)作图见解析，与之间的函数表达式为
(3)当为或时，号杯和号杯中水的体积相差
【分析】本题考查了一次函数的表达式求解、函数图像绘制以及一元一次方程的应用，掌握一次函数的性质与方程分类讨论思想是解题的关键．
（1）通过观察函数图像确定一次函数的两组对应值，利用待定系数法求出与的函数表达式；
（2）根据表格数据判断与的函数类型，代入数据求出表达式并绘制图像；
（3）分“”和“”两种情况，列方程求解满足体积差为时的值．
【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为（、为常数，且），
将和分别代入，
得，
得，
解得：，
把代入①得，
解得：，
二元一次方程组的解为，
与h之间的函数表达式为；
（2）解：描点并连线如图所示：
与之间的函数表达式为；
（3）解：根据题意：，
①当时，
，，
②当时，，，，
答：当为或时，号杯和号杯中水的体积相差．
变｜式｜巩｜固
1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以/的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水时间为（），水箱的水位高度为（），水箱中的水位高度为（）．（抽水水管的体积忽略不计）
(1)分别求出，与之间的函数表达式；
(2)当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
【答案】(1)（），（）
(2)此时两水箱中水位的高度差为
【分析】（1）根据“水箱的水位高度注入水的体积水箱的底面积”得出与之间的函数表达式；“水箱中的水位高度流出水的体积∶水箱的底面积”得出与之间的函数表达式；
（2）当水箱与水箱中的水的体积相等时，即水箱中的水还剩下一半，根据的结论可以分别求出两水箱中水位的高度即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：（）；
（）；
答：，与之间的函数表达式分别为（）；
（2）当水箱与水箱中的水的体积相等时，，
即，解得；
当时，．
∴（）．
答：当水箱与水箱中的水的体积相等时，两水箱中水位的高度差为．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，注水速度注水体积∶注水时间，圆柱体积圆柱的底面积圆柱的高，掌握这两个公式为解题关键．
2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作：
(1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式；
(2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出．
【答案】(1)
(2)10
【分析】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用．
（1）利用待定系数法即可得到y与x的一次函数关系式；
（2）根据（1）可以得出，再进行求解即可得出答案．
【详解】（1）设，
把，，代入得：，
解得，
即；
（2）由，
得，
即至少放入个小球时有水溢出．
3．（22-23八年级下·广西防城港·期末）如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm；
(2)求直线的函数关系式：
(3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比．
【答案】(1)3，18
(2)
(3)①②
【分析】（1）由图象得表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块，即可求解；
（2）设直线为，把，代入得，即可求解；
（3）①将代入得，即可求解；②可求容器不放铁块时注水的速度为（），从而可求容器不放铁块时注满所需时间，再注满与铁块的体积相同的容器所需时间，即可求解．
【详解】（1）解：由函数图象得
表示在第分钟恰好淹没小长方体铁块，
故答案：，；
（2）解：设直线为，
把，代入得，
，
解得，
所以直线的解析式为；
（3）解：①由（2）知直线的解析式为，
由图1知，当容器注满水时，水面的高度为，
∴把代入得，
，
解得，
答：该容器注满水需要分钟
②容器不放铁块时注水的速度为（），
容器不放铁块时，注满容器所需时间：，
注满与铁块的体积相同的容器所需时间：，
长方体铁块的体积与容器的容积之比为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，理解自变量、应变量的实际意义是解题的关键．
题型07 最大利润问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣（yǒu）”趣系列鸮（xiāo）卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套．
(1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元；
(2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少套？
(3)在（2）的条件下，该网店每个鸮卣毛毡背包的售价为90元，每个鸟尊毛绒玩具的售价为50元，则如何安排进货，才能让店铺获得最大利润？最大利润是多少元？
【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元
(2)购进鸮卣毛毡背包至少套
(3)当购进鸮卣毛毡背包套，鸟尊毛绒玩具套，店铺获得最大利润，最大利润是元
【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套”列出分式方程，解分式方程即可得出结果；
（2）设购进鸮卣毛毡背包套，则购进鸟尊毛绒玩具套，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果；
（3）设购进鸮卣毛毡背包套，总利润为元，则购进鸟尊毛绒玩具套，由题意可得关于的关系式，再结合一次函数的性质计算即可得出结果．
【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，
由题意可得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解且符合题意；
∴，
∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元；
（2）解：设购进鸮卣毛毡背包套，则购进鸟尊毛绒玩具套，
由题意可得：，
解得：，
∴购进鸮卣毛毡背包至少套；
（3）解：设购进鸮卣毛毡背包套，总利润为元，则购进鸟尊毛绒玩具套，
由题意可得：
，
∵，
∴随着的增大而减小，
由（2）可得，
∴当时，取得最大值，为（元），此时购进鸟尊毛绒玩具（套），
故当购进鸮卣毛毡背包套，鸟尊毛绒玩具套，店铺获得最大利润，最大利润是元．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级下·山西太原·期中）随着新能源汽车的普及，充电桩需求量持续上升．某充电站从厂家购进甲、乙两种型号的充电桩，相关销售信息如下表：
甲型销售数量（台）
乙型销售数量（台）
总利润（元）
5
1
800
1
5
1600
(1)一台甲型充电桩和一台乙型充电桩的销售利润分别是多少元？
(2)若要购进两种型号充电桩共20台，甲型充电桩进价为1800元/台，乙型充电桩进价为2300元/台，该充电站进货成本不超过40000元，求最少可购进多少台甲型充电桩？
(3)随着需求量的持续增长，该充电站计划一次购进两种型号充电桩共60台以满足市场需求，其中乙型充电桩的进货量不多于甲型的2倍，请设计进货方案，使销售完后的总利润最大．
【答案】(1)一台甲型充电桩的销售利润为100元，一台乙型充电桩的销售利润为300元
(2)最少可购进12台甲型充电桩
(3)为使销售后总利润最大，应购进甲型充电桩20台，购进乙型充电桩40台
【分析】（1）设每台甲型充电桩的销售利润为元，每台乙型充电桩的销售利润为元，根据表格中的利润列出方程组，求解即可；
（2）设可购进甲型充电桩台，则购进乙型充电桩台，根据“充电站进货成本不超过40000元”列出不等式，求解即可；
（3）设购进甲型充电桩台，则购进乙型充电桩台，根据“乙型充电桩的进货量不多于甲型充电桩的2倍”列出不等式，求出a的取值范围，再列出销售完这60台充电桩后的总利润关于a的函数解析式，根据函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设每台甲型充电桩的销售利润为元，每台乙型充电桩的销售利润为元．
根据题意得：，
解得：．
答：一台甲型充电桩的销售利润为100元，一台乙型充电桩的销售利润为300元．
（2）解：设可购进甲型充电桩台，则购进乙型充电桩台，
根据题意得：，
解得：
答：最少可购进12台甲型充电桩．
（3）解：设购进甲型充电桩台，则购进乙型充电桩台，
乙型充电桩的进货量不多于甲型充电桩的2倍，
，解得：，
设销售完这60台充电桩后的总利润为元，
根据题意得：
的值随着的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为，
此时（台），
答：为使销售后总利润最大，应购进甲型充电桩20台，购进乙型充电桩40台．
2．（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水．
(1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水；
(2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？
A
B
进价（元）
1200
2000
售价（元）
1400
2300
【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升
(2)该专卖店的最大利润为7800元
【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解；
（2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解．
【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水，
由题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升．
（2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台，
由题意得，，
解得，
设利润为，
由题意得，
∵，
∴随m增大而减小，
当时，取最大值为元，
答：该专卖店的最大利润为7800元．
题型08 阶梯计费问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？
(3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？
【答案】(1)
(2)9元
(3)最多骑行5小时
【分析】（1）根据收费标准求解即可；
（2）将代入求解；
（3）将代入求解．
【详解】（1）解：根据题意得，；
（2）解：骑行3.5小时按4小时算，
∴将代入得，（元）
∴应付9元；
（3）解：令，得
解得
答：最多骑行5小时．
变｜式｜巩｜固
1．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量
补贴（元／单）
每月不超过500单
3.5
超过500单但不超过900单的部分
5
超过900单的部分
8
(1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)他2月份外卖送餐950单
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论．
（1）分两种情况，列出函数关系式即可；
（2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解．
【详解】（1）解：当时，
；
当时，
；
综上，当时，；当时，．
（2）解：（元，（元；
元元
；
∴当时，得
，
解得，
他2月份外卖送餐950单．
2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：
计费档
户年用气量
单价/（元）
第一档
2.73
第二档
3.28
第三档
3.82
(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；
(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．
【答案】(1)
(2)该户这一年的燃气费为1147元
(3)该户去年一年的用气量为
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数的关系式，
（1）第一档用气总费用加上超过第一档用气量的费用可得关系式；
（2）直接将代入（1）关系式，可得答案；
（3）先求出第一档的最高费用，第二档的最高费用，可知该用气费用属于第二档，可得一元一次方程，求出解即可．
【详解】（1）解： 由表格可知，当时，．
（2）解：，
当时，，
所以，当用气量为时，该户这一年的燃气费为1147元．
（3）解：当时，（元），
当时，（元），
，
所以，该户用气量属于第二档，
当时，，
解得，，
所以当燃气费为1311元时，该户去年一年的用气量为．
3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．
已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．
(1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围；
(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．
【答案】(1)
(2)89.5元
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用——分段计费，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是熟练掌握每段水费与单价和吨数的关系列式与列方程．
（1）由题意列出不等式组即可求解；
（2）根据阶梯收费标准列出一次函数，求出7月份水费最大值即可；
（3）分和分别列出方程即可求解．
【详解】（1）解：∵该居民7月份用水量为，则6月份用水量为，
由题意得，，
解得，
答：x的取值范围为．
（2）解：∵，
∴7月份的水费，
∵，
∴随增大而增大，
∴当时，7月份的水费最多为（元）．
答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元．
（3）解：当时，该居民6月份用水量超过了，
∴
解得，不符合题意，舍去；
当时，该居民6月份用水量未超过，
∴，
解得，
答：该居民7月份的用水量为．
题型09 方案选择问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案；
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式；
(2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
【答案】(1)；（，为正整数）
(2)当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，当人数在 20人以上时，选择方案二优惠
【分析】本题考查了函数的表达式，方程或不等式的应用．
（1）方案一每人打九折，直接计算总费用；方案二前10人原价，超过部分打八折，分段计算后合并．
（2）分三种情况：当时， 当 时， 当 时，再建立方程或不等式求解可得出结论．
【详解】（1）解：由题意，；
；
；（，为正整数）；
（2）解：当时，则，
解得：，
当 时，则，
解得：，
当 时，则，
解得：，
所以，当人数在10到20人之间时，（不包含与）选择方案一优惠，
当人数等于20人时，选择方案一，方案二都可以，
当人数在 20人以上时，选择方案二优惠．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售．
设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)________；_______．
(2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义．
(3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
【答案】(1)21，3000
(2)，的实际意义是每棵树苗按九折出售的价格
(3)方案一购买所需费用更少．理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意和函数图象中的数据，可以得到和的值；
（2）根据（1）中的结果和题意，可以计算出每棵树苗的原价；
根据函数图象中的数据和题意，可以得到函数关系式,并说明的实际意义；
（3）将代入和，然后比较大小，即可解答本题．
【详解】（1）解：由图象可得，函数, 过点，
则，
解得：
故答案为：21，3000；
（2）解：由（1）可得，每棵树苗按七折优惠的价格是21元，
每棵树苗的原价是（元），
即每棵树苗的原价30元：
方案二中的树苗打九折优惠，
按照方案二购买的每棵树苗的价格为（元），
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折优惠，当时，，
，
的实际意义是：每棵树苗打九折后的价格；
（3）解：该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少，
理由：由（1）（2）可知，，
当时，
，
，
该市需要购买景观树600棵，采用方案一购买所需费用更少．
2．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息：
方案
一次性安装费用（元）
电费（元/度）
A家用充电
3500
0.5
B公用充电
0
1.2
(1)请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量（度）的函数关系式与（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）；
(2)请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？
(3)已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)当充电量达到5000度时，两种方案的充电费用相同．
(3)方案家用充电更合算，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式．
（1）根据题意列出函数解析式即可；
（2）根据题意列方程求解即可；
（3）先求出6年的充电量，再分别代入（1）中两个解析式求值，比较即可．
【详解】（1）解：由表格得出：，
；
（2）解：令，
即，
解得：．
所以当充电量达到5000度时，两种方案的充电费用相同．
（3）解：每年充电量：度，
6年总充电量：度，
将代入，
得元，
将代，
得元，
，则方案家用充电更合算．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）元旦假期，小弘同学去某草莓园摘草莓，已知该草莓园内的草莓单价是每千克40元．为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的草莓按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设小弘同学的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
(2)若小弘同学的采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
(3)若你去摘草莓，你会选择哪种方案？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)选择甲方案更划算，见解析
(3)选择方案取决于采摘量，见解析
【分析】本题考查了一次函数在实际问题中的应用，正确求出一次函数的解析式是解题关键．
（1）根据甲、乙收费方案即可求解；
（2）当时，分别求出，，即可进行判断．
（3）求出当时，，再结合图象即可求出优惠方案.
【详解】（1）解：由题意，当时，
甲方案：
乙方案：
∴ ，
（2）解：当时， ，
，
∵
∴ 选择甲方案更划算
（3）解：设，即，
解得，
时，乙方案：，
由图象可知：
当时，，选甲方案；
当时，，乙方案划算．
因此，选择方案取决于计划采摘量：若采摘量等于21.25千克时两种一样，采摘量少于21.25千克，选甲方案；若多于21.25千克，选乙方案．
题型10 新情境问题
典｜例｜精｜析
1．（2026·陕西西安·一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？
【答案】(1)
(2)当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件．
【分析】（1）根据题目给出销售量是销售单价的一次函数，且提供了两组对应数据，可设函数表达式为，代入数据解出和，从而得到函数关系式；
（2）在已知销售量的情况下，代入函数式解出对应的值，即销售单价．
【详解】（1）解：设销售量与销售单价之间的函数关系式为：，
根据题意，当时，；当时，．
代入得
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）解：已知，代入函数式得：，
解得，
答：当吉祥物的销售单价为38元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）【项目背景】随着新能源汽车的普及和发展，人们在购车时往往会面临购买新能源汽车还是燃油车的选择．
【项目主题】购买新能源汽车划算吗？
【项目数据】市面上两款配置接近的燃油车与新能源车的相关费用如下：
新车落地价/万元
耗能
耗能价格
燃油车A
12.5
8升/百千米
油价：8元/升
新能源车B
18
15度/百千米
电价：0.6元/度
(1)【项目任务】分别计算出燃油车A与新能源车B的用车费用（万元），（万元）与行驶里程（万千米）之间的函数关系式（用车费用=新车落地价+耗能费用）；
(2)请通过计算说明选择哪款车更划算（即用车费用更低）？
(3)【追加任务】王师傅计划购买一辆新能源车B做网约车工作，已知新车行驶里程达到60万千米将强制报废．若网约车平均每年的行驶里程约为10万千米，保险费用约为4500元/年，每行驶1万千米保养费用约为200元．求王师傅从购买到报废总共所花的费用（其他费用不考虑）．
【答案】(1)燃油车A：；新能源车B：
(2)当行驶里程不足10万千米时，选择燃油车A更划算；当行驶里程等于10万千米时，一样划算；当行驶里程超过10万千米时，选择新能源车B更划算，计算见解析
(3)万元
【分析】（1）根据表格求出两款车每万千米的耗能费用，进而列出函数关系式即可；
（2）分别求出，，时x的取值范围，即可解答；
（3）根据题意，得行驶里程为60万千米，然后代入函数解析式，再计算求解即可．
【详解】（1）解：根据表格可得，燃油车A每万千米的耗能费用为（元）（万元），
新能源车B每万千米的耗能费用为（元）（万元），
∴燃油车A的用车费用与行驶里程之间的函数关系式为；
新能源车B的用车费用与行驶里程之间的函数关系式为；
（2）解：若，则，
解得，
若，则，
解得，
若，则，
解得，
∴当行驶里程不足10万千米时，选择燃油车A更划算；
当行驶里程等于10万千米时，一样划算；
当行驶里程超过10万千米时，选择新能源车B更划算；
（3）根据题意，得行驶里程为60万千米，
将代入，
得用车费用(万元)，
又∵保险费用约为(万元)，
保养费用约为(万元)，
∴王师傅从购买到报废总共所花的费用约为（万元）．
2．（25-26八年级下·河南·月考）2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元．
(1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？
(2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元．
①求总费用W关于a的函数关系式；
②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用．
【答案】(1)购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元
(2)①；
②共有4种购买方案，购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元
【分析】（1）设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，根据“已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元”，列出方程组求解即可．
（2）①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，根据总费用购买A型公交车的费用购买B型公交车的费用，解答即可．
②由题意可得，结合，且a为整数，得出，且a为整数，，故共有4种购买方案， 在中，根据一次函数的增减性求解即可．
【详解】（1）解：设购买1辆A型纯电动公交车需要x万元，1辆B型氢能源公交车需要y万元，
根据题意，得，
解得：．
答：购买1辆A型纯电动公交车需要40万元，1辆B型氢能源公交车需要45万元．
（2）解：①由题意，购买A型公交车a辆，则购买B型公交车辆，
则：，即：；
②由题意可得，
解得：．
又∵，且a为整数，
∴，且a为整数，，故共有4种购买方案，
在中，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当a取最大值9时，W最小．
（万元），
答：购买A型纯电动公交车9辆，B型氢能源公交车1辆时最省钱，最低总费用为405万元．
3．（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米．
请解答以下问题：
(1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式；
(2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)；
②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？
(3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？
【答案】(1)
(2)①；；②
(3)制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元
【分析】（1）根据题意待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①根据题意得出单根膀条的长度为，进而求得的关系式，即可得出单根尾条的长度；
②由图2可得，则，根据要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过，建立不等式组，解不等式组，即可求解；
（3）根据（2）得出的最小值为，分别求得门条、膀条、尾条的长度进而乘以单价，即可求解．
【详解】（1）解：∵单根门条长y是胸腹高的一次函数，设函数表达式为
∵当时，；当时，．
∴
解得：
∴门条长度关于胸腹高的函数表达式为
（2）解：①∵单根门条比单根膀条短，
∴单根膀条的长度为
∵头部高、胸腹高与尾部高的比是．
∴
∵单根尾条的长度与总高满足
∴，
②由图2可得，，
∴
∵要求门条中的不小于的倍，
∴
∴
解得：
∵制作风筝的膀条单根长度不超过，
∴，
解得：
∴
（3）解：由（2）可得的最小值为
∴门条长度
单根膀条的长度为
单根尾条的长度为
∴制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为：（元）
答：制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用为元
4．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）综合与实践：探究杆秤中的函数关系．
背景介绍：《楚辞·惜誓》中的一句古语：“若称量而不审兮，是谓知轻重．”秤亦作“称”，衡器也．杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，如图1．
测量与整理：称重时（秤杆均平衡），若秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．实践小组利用一个杆秤A进行实验，将几次测试的结果描在图2中．
建模与应用：
(1)图2中有一个点的位置描错，观察判断横坐标_____的点描错了；
(2)求与x的函数关系式；
(3)若杆秤A中秤砣到秤纽的水平距离最大为38厘米，求杆秤A所能称量的最大物重；
(4)重新取另一个杆秤B，再次进行实验发现．当同一个物体分别用杆秤A，B称重时，发现杆秤A中秤砣到秤纽的距离比杆秤B中的大10厘米，求此时的物重．
【答案】(1)5；
(2)；
(3)20斤；
(4)15斤；
【分析】（1）观察图2中各点，假设y是的一次函数，检验各点是否符合线性关系，找出偏差最大的点．
（2）用待定系数法，选取两个正确的点求一次函数解析式．
（3）将代入函数关系式求最大物重．
（4）根据两杆秤称同一物体时，且，列方程求解．
【详解】（1） 解：观察图2中的点，假设是的一次函数，
观察、、、，发现它们都在一条直线上，
偏差最大，
横坐标的点描错了．
（2）解：设，将、代入，
得，
解得：，，
．
（3）解：当时，，
杆秤所能称量的最大物重为20斤．
（4）解：设杆秤B中秤砣到秤纽的距离为，则杆秤中为，
同一物体，
，
，
解得：，
，
此时的物重为15斤．
5．（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校．
(1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离；
(2)当乙追上甲时，求x的值；
(3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值．
【答案】(1)甲步行的速度为米每分钟，乙骑车的速度为米每分钟，学校门口和操场的距离为米
(2)
(3)，当乙到达学校门口时
【分析】（1）根据函数图象，用路程除以时间得出速度，两人的路程差即为学校门口和操场的距离；
（2）根据题意，先根据待定系数法分别求得甲、乙去图书馆时y与x的函数关系式，再根据当乙追上甲时，乙的路程甲的路程操场到学校门口的距离列出方程，即可求解；
（3）根据返回的速度相同，得出乙到达学校门口时x的值为，的值为，进而待定系数法求解析式，即可求解．
【详解】（1）解：根据函数图象可知，甲步行的速度为米/分钟，
乙骑车的速度为米/分钟，
∵甲从学校门口到图书馆的路程为1000米，乙从操场到图书馆的路程是2000米，
∴学校门口和操场的距离为：米；
（2）解：设甲的函数解析式为：，代入，
∴，
∴，
∴，
设乙的函数解析式为：
代入，
∴
解得：
∴，
由题意，，
解得：，
故当乙追上甲时，x的值为20；
（3）解：∵乙骑车到达图书馆后停留5分钟，按照原速返回学校门口，
∴乙返回时的行驶距离为（米），
∴乙到达学校门口时x的值为，的值为，
设乙返回时行驶路程y与x的函数关系式为，代入，
，解得：
∴，当乙到达学校门口时x的值为．
6．（25-26八年级下·河北衡水·月考）【综合与实践】开展电动新能源汽车的电量探究活动．
【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及电量充满状态下新能源汽车的最大行驶里程，综合实践小组设计了以下两组实验．
实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示增加的电量与时间t（分钟）的关系，相关数据如下表所示．
充电过程
时间t（分钟）
0
5
10
22
增加的电量
0
5
10
a
实验二：探究满电状态下汽车的行驶过程，设仪表盘显示电量为，行驶里程为s（千米）．发现：满电时，汽车每行驶1千米消耗的电量．
【建立模型】
(1)a的值为______，e可以看成______（选填“t”“y”或“s”）的函数；
(2)根据以上数据写函数关系式：______；______；（不写自变量的取值范围）
【解决问题】
(3)该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离600千米处的目的地．
①该电动汽车行驶280千米后到达某服务区，求此时仪表盘显示的电量；
②若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．在①的条件下，若电动汽车在服务区一次性充电n分钟后继续行驶前往目的地，若保证仪表盘不亮起黄灯，求n的最小值．
【答案】(1)22，s
(2)t，
(3)①，②40
【分析】（1）实验一数据显示时间与电量呈线性正比，每分钟充电，当分钟时，，故；实验二中，满电，每千米耗电，电量e随行驶里程s减少，因此e是s的函数；
（2）y与t成正比，比例系数为1，得；e初始值，行驶s千米消耗，故；
（3）①直接代入，，计算得到e的值；
②先计算剩余路程，设从服务区出发后行驶了x千米，此时电量为E，根据题意列出电量与时间和行驶路程的关系式，由保证仪表盘不亮起黄灯得出，从而列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：由实验一数据，时间t每增加5分钟电量y增加，
∴每分钟增加，
∴当时，，则，
e随行驶里程s变化，e是s的函数．
（2）解：由实验一数据可知，y与t成正比，
∴，
e初始值为，行驶s千米消耗，
∴．
（3）解：①当时，，
∴此时仪表盘显示的电量为；
②剩余路程为（千米），
设从服务区出发后行驶了x千米，此时电量为E，
根据题意得：，
若保证仪表盘不亮起黄灯，则，
即，
整理得：，
当x取最大值320时，n取最小值，
∴，
解得，
∴n的最小值为40．
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第二十三章 一次函数
23.4 实际问题与一次函数
知识点一 一次函数应用问题的求解思路
1）建立一次函数模型→求出一次函数解析式→结合函数解析式、函数性质求解；
2）在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图像求解.要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点；
3）分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图像，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.
【提示】一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图像为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数解析式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值．
即学即练
1．（2026·安徽六安·一模）为促进A县的经济发展，B市公交公司决定：在A，B两地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B两地同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A地的距离，（单位：km）与出发时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距，普通公交车的速度为．则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·山西太原·一模）如图1，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块浸入水中的深度（单位：）的变化关系如图2所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随浸入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ）
A．该长方体金属块的重力是
B．该长方体金属块的高度是
C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小
D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为
3．（25-26八年级上·广东深圳·期末）空调运行时排出的冷凝水是可利用水资源，若随意排放会造成浪费．为了调查教室空调排水量与时间的关系，同时培养节约用水的意识，小云同学在空调排水口放置带刻度的容器，定期记录排水量，部分数据如下表：
时间t/
0
40
80
120
160
200
240
…
排水量W/
0
350
700
1050
1400
a
2100
…
小云发现排水量W是时间t的一次函数．根据以上信息，判断下列结论不正确的是：（ ）
A．表格中a的数值为1750
B．W与t的函数关系式为
C．当空调运行60分钟时，排水量为520毫升
D．若学校有50间教室，每间教室的空调每天连续开启10小时，已知1升水可浇灌1平方米绿化，则这些冷凝水一天能浇灌的绿化面积为262.5平方米
4．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（ ）
①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米
A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④
5．某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
题型01 行程问题
典｜例｜精｜析
1．（2026八年级上·山东青岛·专题练习）已知两地相距300千米，甲骑摩托车从A地出发匀速驶向B地，当甲行驶后，乙骑自行车以的速度从B地出发匀速驶向A地，甲到达B地后马上以原速按原路返回，直至甲追上乙．在此过程中，甲、乙两人之间的距离与甲行驶时间之间的函数关系如图所示．下列说法：①甲最终追上乙时，乙骑行了7小时；②点P的纵坐标为240；③线段所在直线的解析式为；④当时，甲、乙两人之间相距60千米．其中说法正确的序号是______．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级下·上海·期中）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程（米）与甲出发的时间（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校门口．
(1)学校门口到学校操场的距离为______米；
(2)当乙追上甲时，求的值；
(3)直接写出乙返回时行驶路程与的函数关系式．
2．（25-26八年级下·江苏南通·期中）“一盔一带、注意安全！”某天小华乘坐妈妈骑的电瓶车上学，骑行一段时间后，小华发现自己没戴头盔，于是她们又原路返回到刚经过的头盔售卖点，买到头盔后继续赶往学校．以下是她们本次行程中离家距离（米）与所用时间（分钟）之间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)小华家到学校的距离是__________米，她们中途停留了_________分钟．
(2)本次上学途中，她们一共用了__________分钟，一共骑行了_________米．
(3)按照《道路交通安全法》的规定，骑电瓶车的速度超过250米/分就超越了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段她们骑行的速度最快，最快速度在安全限度内吗？从遵守交通法规的角度，请你写一条好的建议．
3．（2026·江苏连云港·一模）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1），小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为（分），两人各自距A景点的路程（米）与（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)___________．
(2)求桐桐骑车时距A景点的路程（米）与（分）之间的函数表达式（不必写出的取值范围）；
(3)桐桐到达A景点，休息10分钟再次出发后，当是多少时，两人相距140米．
题型02 工程问题
典｜例｜精｜析
1．（23-24八年级上·山东德州·期末）为创建“全国文明城市”，进一步优化环境，我区政府拟对部分公路两旁的人行道地砖，排水管道等公用设施，进行全面更新改造．现有甲、乙两个工程队有能力承包这项工程，并进行了投标．每施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，付乙工程队工程款0.5万元，工程领导小组根据投标书测算，给出了三种施工方案：
方案一：甲队刚好单独如期完成这项工程；
方案二：乙队单独完成这项工程要比规定日期多用20天；
方案三：若甲、乙两队合作10天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．
(1)完成这项工程的规定日期是多少天?
(2)在不耽误工期的前提下，你觉得以上哪一种方案最节省工程款?请说明理由．
(3)因区政府行动迅速，比原计划提前10天投入施工，因此实际规定的日期比计划多出10天，请你重新设计一种方案，既能在实际规定的日期内完工，又能使工程费用最少，并求出最少费用．
变｜式｜巩｜固
1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）某乡镇准备开展河道修建整治工程，预计修建的河道总长为9千米．根据工程预算，当修建天数满足时，平均每天的修建费（万元）与修建天数（天）之间的关系如图所示．
(1)求关于的函数解析式；
(2)由于相关部门加强了建设力量，预计现在每天修建量可以提升，那么可以提前15天完成任务，求现在平均每天的修建费．
2．（2024七年级下·浙江·专题练习）为顺利通过“全国文明城市”验收，我市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管等公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在20天内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需要10天完成．
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又使工程费用最少．
3．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）近日，如通苏湖城际铁路湖州段顺利掘进开工．现有一条长为720米的隧道，需甲、乙两个工程队合作完成．首先由甲工程队单独挖掘隧道米，再由甲乙两队共同施工，剩余任务由乙工程队单独完成．已挖掘的隧道长度米与施工天数天的关系如图所示．
(1)甲、乙合作时，共施工__________天，每天挖掘隧道__________米；
(2)当时，求第20天时整个工程已完成多少米；
(3)已知乙工程队的施工效率不超过甲工程队，求完成这次任务的工期（天）范围．
题型03 调运问题
典｜例｜精｜析
1．（24-25八年级下·重庆秀山·期末）某物资配送中心在北京和上海两个站点同时储备应急物资若干吨，北京站点可支援外地10吨，上海站点可支援外地4吨，现在决定给重庆调运8吨应急物资，武汉调运6吨应急物资。已知从北京、上海两个站点运往重庆和武汉的运费如下表：
出发地目的地
北京站点（元/吨）
上海站点（元/吨）
重庆
800
500
武汉
400
300
(1)若总运费为8400元，则上海站点运往武汉多少吨？
(2)若要求总运费不超过8200元，则共有几种调运方案？
(3)总运费最低的调运方案是哪种？总运费最低是多少元？
变｜式｜巩｜固
1．（21-22九年级下·湖北荆门·自主招生）为了抗击新冠疫情，防疫指挥部计划将甲、乙两厂“生产的防疫物资全部运往两地，甲厂有防疫物资吨，乙厂有防疫物资吨，地需防疫物资吨，地需防疫物资吨，每吨防疫物资的运输费用（百元）见表格，设从甲厂“运往地防疫物资吨．
接收地
出发地
地
地
甲厂
乙厂
(1)直接写出的取值范围： ．
(2)请你设计一种调运总费用最低的运输方案，最低费用为多少？
(3)因路况原因，从甲厂到地的运输费用每吨增加了百元，从乙厂“到地的运输费用每吨降低了百元，其它每吨运输费用不变，且，请你探究总运费可以达到的最小值．
2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）有、两家粮食种植基地往甲、乙两个粮食配送中心运送粮食，地可运出粮食80吨，地可运出粮食60吨甲地需要粮食90吨，乙地需要粮食50吨，每吨粮食运费如下：从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨500元和400元，从基地运往甲、乙两中心的运费分别为每吨200元和300元，设地运送到甲中心粮食为吨．
(1)设运送粮食的总费用为元，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)若运输公司要求总运费不超过51000元，且为了保障基地的运输效率，规定地运往甲中心的粮食吨数至少比地运往乙中心的粮食吨数多16吨，请求出所有符合条件的值．（为整数）
(3)按照题（2）的调运方案，当取何值时，总运费最低？最低总运费是多少元？
题型04 计时问题
典｜例｜精｜析
1．（24-25八年级下·河北保定·期末）综合与实践
【项目介绍】图1是我国古代的计时工具吕才漏刻，我们能不能也制作一个计时工具，让“1分钟”看得见．
【实践操作I】图2是数学实践小组甲利用日常生活中的物品制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3，最后流入纸杯4，小组记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的数据（如表1所示），同时又记录了流入纸杯4的水的体积与流水时间的数据（如表2所示）．
表1
流水时间
1
2
3
4
5
6
7
水面高度
0.3
0.7
1.05
1.35
1.6
1.8
1.95
表2
流水时间
1
2
3
4
5
6
7
水的体积
6
10.8
15.6
20.4
25.2
30
34.8
【任务一】通过对表1和表2中数据的分析，小组同学发现______与流水时间t是一次函数关系；
【实践操作II】通过对小组甲数据的分析，为让时间“看得见”，数学实践小组乙改进了实验装置，将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，如图所示，小组乙记录了仪表盘刻度值y与流水时间的数据（如表3所示）．
表3
流水时间
1
2
3
4
5
6
7
仪表盘刻度值y
0.5
0.9
1.3
1.7
2.1
2.5
2.9
【任务二】（1）根据表3数据求仪表盘刻度值y与流水时间的函数解析式；
（2）求时，仪表盘的刻度值；
（3）自实验开始，在液面不超过纸杯4的高度时，先后两次测量时差为，所得的两次仪表盘的刻度值之和为11.4，则这两次测量的仪表盘的刻度值分别是__________和__________．
变｜式｜巩｜固
1．（2025·贵州贵阳·一模）综合与实践：制作简易计时器
【问题情境】
某小组同学根据古代计时器“漏壶”的原理制作了如图所示的简易计时器，该计时器由一个圆锥和一个圆柱组成，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中．
【实验观察】表格记录的是圆柱容器液面高度y（）与时间x（）的数据：
记录次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
时间x（）
1
2
3
4
5
圆柱容器液面高度y（）
2
4
6
4
10
【探索发现】根据上述的实践活动，该小组同学发现y与x之间满足一次函数关系，请解决以下问题：
(1)根据表中的数据在图中描点：小组长发现其中有一次数据记录错误，请你指出记录错误的是第 次：
【结论应用】
(2)已知圆柱容器液面的最大高度能达到，则这个简易计时器最多可计时多少分钟？
2．（24-25九年级上·陕西西安·月考）漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期款已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．数学活动小组依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现漏刻水位h（）是时间t（）的一次函数，通过观察，每2分钟记录一次箭尺读数，小磊记录实验数据得到下表：
数据记录
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
…
t（）
0
2
6
8
…
h（）
2
2.8
3.6
4.0
5.2
…
(1)在小组探究中，小华采用不同的函数关系表达方式（表格、图象、关系式）验证，均发现小磊记录的上表h，t的数据中，有一对数据记录错误．请用学过的相关知识判断，第______次数据是不准确的．
(2)求h（）与t（）的函数关系式，并计算当水位为时，对应时间是多少？
题型05 分配问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级下·河南周口·期中）第六届亚洲沙滩运动会，是由亚奥理事会主办的沙滩类综合性体育运动会，于年月日至日在中国海南省三亚市举行．某工厂收到加工赛事挡板的订单，该工厂有两种设备加工挡板，已知用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板，用台型设备和台型设备，每天可加工块挡板．
(1)求台型设备和台型设备每天分别可以加工多少块挡板；
(2)该工厂计划使用两种设备共台完成此订单，要求型设备的数量不低于型设备的，则该工厂应该怎样分配，才能使每天生产的挡板数量最多，是多少？
变｜式｜巩｜固
1．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示．
(1)求的值；
(2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？
2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）随着线上经济的快速发展，某商户在线上投资销售、两种商品．两种商品的月利润获取方式不同，种商品的月利润是该商品投资金额（万元）的；种商品的月利润（万元）与该商品的投资金额（万元）满足函数关系式，已知商品投资金额为万元时，盈利万元．
(1)直接写出销售、两种商品的月利润，（万元）与对应商品的投资金额（万元）的函数关系式______；______．
(2)若只选择其中一种商品投资销售，投资金额为多少时，投资产品的月利润更高？
(3)若该商户共投资万元同时销售，两种商品，其中投资商品的金额不少于投资商品金额的倍，要获得月利润最大，应该怎样分配投资金额？并求出最大月总利润．
3．（2024九年级下·云南·学业考试）云南的生活是美好中国带露珠的花朵，其中“云花”的年产量就高达180亿枝．已知某经销商购买甲种“云花”的费用（元）与重量（千克）之间的关系如图所示．购买乙种“云花”的价格为42元/千克．
(1)求与之间的函数解析式（解析式也称表达式）；
(2)该经销商计划一次性购进甲、乙两种“云花”共100千克，且要求甲种“云花”不少于60千克，但又不超过85千克．请你帮该经销商设计一种方案，应如何分配甲、乙两种“云花”的购买量，才能使经销商花费总金额和（元）最少？最少花费多少元？
题型06 体积问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，号水杯为厚底圆柱形，号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图描述的是号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离的函数图象；
(1)求与之间的函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(2)号水杯中水的体积与水面到水平桌面的距离之间的关系如下表所示．在图中，画出与之间的函数图象，并直接写出函数表达式；（不需要写出自变量的取值范围）
(3)求出当为多少时，号杯和号杯中水的体积相差？
变｜式｜巩｜固
1．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，、两个长方体水箱放置在同一水平桌面上，开始时水箱中没有水，水箱盛满水，现以/的流量从水箱中抽水注入水箱中，直至水箱注满水为止．设注水时间为（），水箱的水位高度为（），水箱中的水位高度为（）．（抽水水管的体积忽略不计）
(1)分别求出，与之间的函数表达式；
(2)当水箱与水箱中的水的体积相等时，求出此时两水箱中水位的高度差．
2．（23-24八年级上·广东佛山·期中）受《乌鸦喝水》故事的启发，利用水桶和体积相同的小球进行了如图操作：
(1)已知放入小球后量筒中水面的高度是放入小球个数(个)的一次函数，从图中可以看出函数经过点与点，试确定该函数表达式；
(2)当水桶中至少放入_______个小球时，有水溢出．
3．（22-23八年级下·广西防城港·期末）如图1，在底面为正方形且高为的长方体的容器底部，放入一个小长方体铁块，现在以均匀的速度往容器中注水，图2是容器内水面高度随时间改变的函数关系图象，观察图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)从开始注水到水面恰好淹没小长方体铁块，共用了___________分钟，铁块的高为___________cm；
(2)求直线的函数关系式：
(3)①求该容器注满水需多少分钟？②直接写出长方体铁块的体积与容器的容积之比．
题型07 最大利润问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级下·山西临汾·期中）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣（yǒu）”趣系列鸮（xiāo）卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套．
(1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元；
(2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少套？
(3)在（2）的条件下，该网店每个鸮卣毛毡背包的售价为90元，每个鸟尊毛绒玩具的售价为50元，则如何安排进货，才能让店铺获得最大利润？最大利润是多少元？
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级下·山西太原·期中）随着新能源汽车的普及，充电桩需求量持续上升．某充电站从厂家购进甲、乙两种型号的充电桩，相关销售信息如下表：
甲型销售数量（台）
乙型销售数量（台）
总利润（元）
5
1
800
1
5
1600
(1)一台甲型充电桩和一台乙型充电桩的销售利润分别是多少元？
(2)若要购进两种型号充电桩共20台，甲型充电桩进价为1800元/台，乙型充电桩进价为2300元/台，该充电站进货成本不超过40000元，求最少可购进多少台甲型充电桩？
(3)随着需求量的持续增长，该充电站计划一次购进两种型号充电桩共60台以满足市场需求，其中乙型充电桩的进货量不多于甲型的2倍，请设计进货方案，使销售完后的总利润最大．
2．（25-26八年级下·四川·期中）2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水．
(1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水；
(2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？
A
B
进价（元）
1200
2000
售价（元）
1400
2300
题型08 阶梯计费问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级下·河南周口·期中）为响应绿色出行，某共享单车公司收费标准如下：骑行不超过1小时收费3元；超过1小时的部分，每小时收费2元(不足1小时按1小时算)．设骑行时间为x小时(，且x为正整数)，总费用为y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若小明骑行3.5小时，应付多少元？
(3)若小明付费11元．他最多骑行了几小时？
变｜式｜巩｜固
1．（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量
补贴（元／单）
每月不超过500单
3.5
超过500单但不超过900单的部分
5
超过900单的部分
8
(1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式．
(2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？
2．（25-26八年级上·辽宁本溪·期中）为鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准：
计费档
户年用气量
单价/（元）
第一档
2.73
第二档
3.28
第三档
3.82
(1)当时，求出燃气费（单位：元）与之间的关系式；
(2)某户一年用气量是，求该户这一年的燃气费；
(3)某户去年一年的燃气费是1311元，求该户去年一年的用气量．
3．（25-26八年级上·浙江台州·期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量以下（包括）；第二级为月用水量超过但不超过；第三级为月用水量超过（不包括）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）．
已知该居民6月份和7月份的用水量总和为，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍．
(1)设该居民7月份的用水量为，求x的取值范围；
(2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
(3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量．
题型09 方案选择问题
典｜例｜精｜析
1．（25-26八年级上·山东济南·期末）某旅游景区的票价为150元/张，一旅行社针对该景区推出两种优惠方案；
方案一：每人票价打九折；
方案二：10人以内（含10人）不优惠，超过10人的部分打八折．
设该旅行社组织人去该景区旅游，方案一中购票总金额为元，方案二中购票总金额为元．
(1)分别写出方案一、方案二中，与x之间的关系式；
(2)某单位组织10人以上去该景区旅游，选择该旅行社哪种方案更优惠？请说明理由．
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）某市政府为民生办实事，将污染多年的“贾鲁河”进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗．某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一：购买一张会员卡，所有购买的树苗按七折出售；
方案二：不购买会员卡，所有购买的树苗按九折出售．
设该市购买的景观树树苗为棵，方案一所需费用方案二所需费用，其函数图象如图所示，请根据图象回答下列问题．
(1)________；_______．
(2)求按照方案二购买所需费用的函数关系式，并说明的实际意义．
(3)若该市需要购买景观树树苗600棵，采用哪种方案购买所需费用更少？请说明理由．
2．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）小南爸爸新购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调研，他收集到以下信息：
方案
一次性安装费用（元）
电费（元/度）
A家用充电
3500
0.5
B公用充电
0
1.2
(1)请分别写出方案A和方案B的充电费用y（元）关于充电量（度）的函数关系式与（注：A方案充电费用包括一次性安装费用）；
(2)请问该车充电量达到多少度时，两种方案的充电费用相同？
(3)已知该款车百公里能耗为15度电，预计小南爸爸每年行驶15000公里，计划车辆使用时间为6年，比较哪种充电方案更合算，并说明理由．
3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）元旦假期，小弘同学去某草莓园摘草莓，已知该草莓园内的草莓单价是每千克40元．为满足客户需求，该草莓园现推出两种不同的销售方案：
甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的草莓按原价的七折收费；
乙方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓在10千克以内按原价收费，超过10千克后，10千克部分按原价收费，超过部分按原价的五折收费．
设小弘同学的采摘量为千克，按甲方案所需总费用为元，按乙方案所需总费用为元．
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出、关于x的函数表达式；
(2)若小弘同学的采摘量为15千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
(3)若你去摘草莓，你会选择哪种方案？请说明理由．
题型10 新情境问题
典｜例｜精｜析
1．（2026·陕西西安·一模）2026马年春晚四骏吉祥物惊艳亮相！骐骐、骥骥、驰驰、骋骋每匹都有文物基因，从西周驹尊到汉代铜奔马，千年文化密码藏于细节，让吉祥物既兼具历史美感，又充满时代气象．某商场销售该吉祥物玩具，经调查发现，销售量y（件）是销售单价x（元）的一次函数．当销售单价为50元时，平均每天可销售30件；当销售单价为45元时，平均每天可销售40件．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当吉祥物的销售单价为多少元时，商场平均每天销售这种吉祥物玩具数量可以达到54件？
变｜式｜巩｜固
1．（25-26八年级下·河北衡水·期中）【项目背景】随着新能源汽车的普及和发展，人们在购车时往往会面临购买新能源汽车还是燃油车的选择．
【项目主题】购买新能源汽车划算吗？
【项目数据】市面上两款配置接近的燃油车与新能源车的相关费用如下：
新车落地价/万元
耗能
耗能价格
燃油车A
12.5
8升/百千米
油价：8元/升
新能源车B
18
15度/百千米
电价：0.6元/度
(1)【项目任务】分别计算出燃油车A与新能源车B的用车费用（万元），（万元）与行驶里程（万千米）之间的函数关系式（用车费用=新车落地价+耗能费用）；
(2)请通过计算说明选择哪款车更划算（即用车费用更低）？
(3)【追加任务】王师傅计划购买一辆新能源车B做网约车工作，已知新车行驶里程达到60万千米将强制报废．若网约车平均每年的行驶里程约为10万千米，保险费用约为4500元/年，每行驶1万千米保养费用约为200元．求王师傅从购买到报废总共所花的费用（其他费用不考虑）．
2．（25-26八年级下·河南·月考）2026年，郑州市进一步推行绿色公共交通，计划新增一批纯电动公交车和氢能源公交客车来响应国家“双碳”战略和郑州市公交电动化升级要求．某公交公司计划购买A型纯电动公交车与B型氢能源公交车共10辆．已知购买1辆A型公交车和1辆B型公交车共需85万元；购买2辆A型公交车和3辆B型公交车共需215万元．
(1)求购买1辆A型纯电动公交车、1辆B型氢能源公交车各需要多少万元？
(2)若购买这批公交车的总费用不超过420万元，且两种车型都要购买，设购买A型公交车a辆，总费用为W万元．
①求总费用W关于a的函数关系式；
②该公司共有几种购买方案？请你求出最省钱的购买方案及最低总费用．
3．（25-26八年级下·福建福州·期中）北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，需要五根直竹条(如图1)：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架(如图2)，其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根门条长y是胸腹高的一次函数，且当时，；当时，．单根门条比单根膀条短，图1中、的长均等于胸腹高．单根尾条的长度与总高满足，所有竹条长度单位统一为厘米．
请解答以下问题：
(1)求门条长度关于胸腹高的函数表达式；
(2)①单根膀条的长度为______(用含的式子表示)；单根尾条的长度为______(用含的式子表示)；
②在实际制作过程中，要求门条中的不小于的倍，制作风筝的膀条单根长度不超过．求的取值范围？
(3)费师傅是北京有名的京燕风筝手艺人，其加工门条、膀条、尾条的单价分别元/、元/、元/．从函数的角度分析，求制作一只京燕风筝骨架的最低加工费用是多少元？
4．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）综合与实践：探究杆秤中的函数关系．
背景介绍：《楚辞·惜誓》中的一句古语：“若称量而不审兮，是谓知轻重．”秤亦作“称”，衡器也．杆秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，如图1．
测量与整理：称重时（秤杆均平衡），若秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤），则y是x的一次函数．实践小组利用一个杆秤A进行实验，将几次测试的结果描在图2中．
建模与应用：
(1)图2中有一个点的位置描错，观察判断横坐标_____的点描错了；
(2)求与x的函数关系式；
(3)若杆秤A中秤砣到秤纽的水平距离最大为38厘米，求杆秤A所能称量的最大物重；
(4)重新取另一个杆秤B，再次进行实验发现．当同一个物体分别用杆秤A，B称重时，发现杆秤A中秤砣到秤纽的距离比杆秤B中的大10厘米，求此时的物重．
5．（2026·河北石家庄·一模）为落实“双减”政策，某校开展课后兴趣小组活动，甲、乙两名同学分别从学校门口和学校操场出发，前往市中心的图书馆参加活动，甲步行，乙骑车，两人行驶路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，甲步行30分钟到达图书馆，乙骑车到达图书馆后停留5分钟，因有事需要立即按照原速返回学校．
(1)求甲步行的速度和乙骑车的速度以及学校门口和操场的距离；
(2)当乙追上甲时，求x的值；
(3)求乙返回时行驶路程y与x的函数关系式（不必写出自变量的取值范围），并直接写出当乙到达学校门口时x的值．
6．（25-26八年级下·河北衡水·月考）【综合与实践】开展电动新能源汽车的电量探究活动．
【实验操作】为了解某品牌新能源汽车电池需要多久能充满，以及电量充满状态下新能源汽车的最大行驶里程，综合实践小组设计了以下两组实验．
实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示增加的电量与时间t（分钟）的关系，相关数据如下表所示．
充电过程
时间t（分钟）
0
5
10
22
增加的电量
0
5
10
a
实验二：探究满电状态下汽车的行驶过程，设仪表盘显示电量为，行驶里程为s（千米）．发现：满电时，汽车每行驶1千米消耗的电量．
【建立模型】
(1)a的值为______，e可以看成______（选填“t”“y”或“s”）的函数；
(2)根据以上数据写函数关系式：______；______；（不写自变量的取值范围）
【解决问题】
(3)该电动汽车在满电的状态下出发，前往距离600千米处的目的地．
①该电动汽车行驶280千米后到达某服务区，求此时仪表盘显示的电量；
②若电量低于时，仪表盘亮起黄灯．在①的条件下，若电动汽车在服务区一次性充电n分钟后继续行驶前往目的地，若保证仪表盘不亮起黄灯，求n的最小值．
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