精品解析：甘肃武威市凉州区武威第二十七中学联考2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价

2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则代数式的值为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 4. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 5. 在中，，，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 6. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 8. 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 如图，五边形是正五边形，以为边向内作等边，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 二、填空题 11. 若式子有意义，则的取值范围是_____． 12. 计算：________，________，________． 13. 一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 14. 如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为__________． 15. 如图，在中，，为上一点．若，，，则的长为__________． 16. 如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 17. 已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 18. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1） （2） 20. 我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积．若，，，请根据以上信息，求的面积． 21. 如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． （1）求证：； （2）求的周长． 22. 如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． （1）求这个梯子顶端A距地面有多高； （2）如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 23. 出入相补原理是中国古代数学家刘徽提出的一个基本原理，指一个几何图形被分割成若干部分后其面积的总和保持不变，请利用出入相补原理完成下列问题 （1）如图1，已知边长为m的正方形与边长为的正方形剪拼后拼成大正方形，则图1中的阴影部分面积_____ （2）图2中有一个由8个边长为1的小正方形所组成的图形，请将该图形剪两刀后拼成一个大正方形，在图2中画出裁剪线和拼接后的大正方形． 24. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 25. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． （1）若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 26. 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． （2）化简：； （3）当时，直接写出代数式的最大值：________． 27. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： （1）如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； （2）该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （3）如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． （4）如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】∵ 式子有意义， ∴， 解得． 2. 若，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简，代入，，求出的值，再对比结果即可． 【详解】解：首先化简， 又，， ∴， ∴可以表示为． 3. 已知，则代数式的值为（　　） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先利用完全平方公式对所求代数式因式分解，再代入x的值计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 4. 如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式以及勾股定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：由勾股定理得， 根据题意得，， 即， ∴，，且， ∴，， ∵， ∴， 综上，正确选项为②③④． 5. 在中，，，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，求斜边长，直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴为斜边，由勾股定理得． 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（ ） A. 30 B. 32 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求得的长，再根据勾股定理的逆定理判定，从而四边形的面积即为两个直角三角形的面积的和求解． 【详解】 解：如图，连接， ，，， ， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积为 ． 7. 的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B，∵三角形内角和为，， ，代入内角和得，即，是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，设，，， ， ，解得， ，是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ， ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 8. 如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】由于底边AC是已知的，因此先求出底边AC上的高，根据三角形的面积公式，即可判断结论①；由条件可知A，B为定点，E为动点，首先确定点的运动轨迹为一条直线，进而把问题转化为“将军饮马”模型，由此可判断结论②；根据点的运动轨迹，利用垂线段最短求出的最小值，继而判断结论③． 【详解】解：对于结论①，如图1所示，过点E作于点J，则， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ , ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ (AAS)， ∴ ， ∴ ， ∴ 的面积不变，故结论①符合题意； 对于结论②，如图2，过点E作， 由上面已知， ∴ 点到直线的距离为， ∴ 点在直线上运动． 作点关于直线上的对称点，连接，，设交直线l于点T，交直线l于点F,则当点E和点F重合时取得最小值，最小值为的长，且易知点C在上． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在中，， ∴ 的最小值为，故结论②不符合题意； 对于结论③，∵ 点在直线上运动， ∴ ， ∴的最小值为，故结论③符合题意； 综上可知，结论①③符合题意． 9. 如图，五边形是正五边形，以为边向内作等边，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形的性质求出内角  的度数及边 ，由等边三角形的性质得出  及 ，从而证得  是等腰三角形并求出顶角  的度数，最后利用三角形内角和定理及等边对等角求解即可． 【详解】解： 五边形是正五边形， ，． 是等边三角形， ，． ，． ． 10. 如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质，可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 根据旋转的性质，， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积． 二、填空题 11. 若式子有意义，则的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数非负、分式分母不为0，列不等式组求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式，得 解不等式，得 因此的取值范围是且． 12. 计算：________，________，________． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用二次根式的性质，将被开方数分解为含完全平方因数的形式，再开方化简，最终化为最简二次根式即可． 【详解】解：①， ②， ③∵， ∴． 13. 一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积公式推导出底边上高的计算式，代入已知的面积和底边长，利用二次根式的除法运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：设该底边上的高为， 整理计算得： 14. 如图，等边中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点N作于点F，过点N作于点H，则，证明，得出，求出，得出点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是，作点C关于该直线的对称点E，连接，则，说明当点A，N，E三点共线时，最小，即最小，连接交该直线于G，则，，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点N作于点F，过点N作于点H，则， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点N的运动轨迹是直线，且该直线与直线平行，在的右侧，与的距离是， 作点C关于该直线的对称点E，连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当点A，N，E三点共线时，最小，即最小， 连接交该直线于G，则，， ∴， ∴的最小值为． 15. 如图，在中，，为上一点．若，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先过点作于点，再利用等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质，得出，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，过点作于点， 则． ， ， ． ， ， ， ， ． 16. 如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点，得出，则，根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离，从而利用“垂线段最短”求出最小值． 【详解】解：如图，过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点， 在中，， ， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离， ∵， ， 过点作于点， 则的长即为所求最小值 在中，，， ∴ ， ∴， 的最小值为． 17. 已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质可知，然后由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴． 18. 如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由四边形是平行四边形，则，，所以，由作图可知平分，，通过，可得，又平行四边形的周长为48，则，然后通过线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由作图可知：平分，， ∴， ∴， ∵平行四边形的周长为48， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（共66分） 19. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出的面积．若，，，请根据以上信息，求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出的长，再求出的长，即可计算出的面积． 【详解】解：如图，作于， ∴， 设的长为x，则的长为， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 解得， ∴，， ∴， 解得， ∴； 即的面积是84． 21. 如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． （1）求证：； （2）求的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴． 又， ∴． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、勾股定理等： （1）根据平行四边形对角线互相平分可知，根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得； （2）利用勾股定理分别求得，的长度即可． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在中， ． 在中， ． ∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴的周长． 22. 如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． （1）求这个梯子顶端A距地面有多高； （2）如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水平方向上滑动的距离吗？为什么？ 【答案】（1）梯子顶端距地面24米高 （2） 梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于，理由如下： ∵梯子的顶端A下滑到点C， ∴，， ∴， 根据勾股定理得到， ∴， ∴梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度． （2）先利用勾股定理求出的长度，进而利用线段和差关系计算即可． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： ∴梯子距离地面的高度为：； 【小问2详解】 解：略． 23. 出入相补原理是中国古代数学家刘徽提出的一个基本原理，指一个几何图形被分割成若干部分后其面积的总和保持不变，请利用出入相补原理完成下列问题 （1）如图1，已知边长为m的正方形与边长为的正方形剪拼后拼成大正方形，则图1中的阴影部分面积_____ （2）图2中有一个由8个边长为1的小正方形所组成的图形，请将该图形剪两刀后拼成一个大正方形，在图2中画出裁剪线和拼接后的大正方形． 【答案】（1） （2） 解：如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）设交于点M，交于点N，根据题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，大正方形的面积为，，，，，从而得到阴影部分面积，证明，可得，，即可解答； （2）根据出入相补原理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，设交于点M，交于点N， 根据题意得：正方形的面积为，正方形的面积为，大正方形的面积为，，，，， ∴阴影部分面积， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分面积； 【小问2详解】 略 24. 有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． （1）求长方形木板的面积； （2）木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】（1） （2） 木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 【解析】 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【小问1详解】 解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； 【小问2详解】 解：略． 25. 钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． （1）若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 【答案】（1） 乙船沿南偏东方向航行； 理由如下： 由题意可得： ，（海里），（海里）， 在中， ，， ， 是直角三角形，且， ， 乙船沿南偏东方向航行； （2） 他能在分钟内到海岸线．理由如下： 如图，过点作于， 由题意可得： ，（海里）， ， （海里）， （海里）， （海里）， ， 他能在分钟内到海岸线． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 26. 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： （1）请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． （2）化简：； （3）当时，直接写出代数式的最大值：________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义和平方差公式解答即可； （2）将每一项的分母有理化后即可计算； （3）先将原式化为，由，可知当时，有最小值，进而求得原式的最大值． 【小问1详解】 解：， 的有理化因式为； 分母有理化的结果为 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：， ， 当时，有最小值，最小值为， 此时的值最大，最大值为， 即代数式的最大值为． 27. 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： （1）如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：______；依据2：______； （2）该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 （3）如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． （4）如图3，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 【答案】（1）三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）④ （3）解：，证明如下： ∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （4）证明：如图所示，连接，设分别交于点H，点O， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴且， ∴由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的判定定理可得答案； （2）只需要四边形是否是正方形即可得到结论； （3）根据定义可得四边形是正方形，则，据此可得； （4）连接，设分别交于点H，点O，可证明，得到，，再证明，得到，由（3）可得四边形是“中方四边形”． 【小问1详解】 解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半； 依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图所示，连接， 同理可得， 当四边形是平行四边形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是矩形时，与不一定垂直， 故此时与不一定垂直， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是菱形时，与不一定相等， 故此时与不一定相等， ∴四边形不一定是正方形，即此时四边形不是“中方四边形”； 当四边形是正方形时，， 故此时， ∴四边形是正方形，即此时四边形是“中方四边形”； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $