甘肃武威市凉州区武威第二十七中学联考2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价

**基本信息** 本试卷以八年级数学核心知识为载体，通过赵爽弦图、秦九韶面积法等数学文化素材，结合钓鱼岛巡航等现实情境，构建基础巩固、能力提升、创新应用的三阶命题体系，凸显数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式有意义条件、勾股定理应用|第4题以赵爽弦图融合代数几何，考查方程思想| |填空题|8/24|二次根式运算、几何最值|第14题旋转构造等边三角形，培养空间观念| |解答题|7/66|秦九韶算法、出入相补原理、新定义探究|第20题用秦九韶方法求三角形面积，渗透数学文化；第27题“中方四边形”新定义，发展推理意识与创新思维|

2025-2026学年第二学期八年级数学期中素养评价　　　　 学校： 　　 　 班级： 　 姓名： 　 …………………………………………密……………………………………………封………………………………………………………线……………………………………………… ……… …… ……… ………… ……… …… …… ………… …… ……… … … … … … …… … … … … … … 　　　　　　　　　　 （满分：120分） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则代数式的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 4．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，若用表示直角三角形的两条直角边长，下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（    ） 第4题图 第6题图 第8题图 第9题图 第10题图 A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 5．在中，，，，则的长为（    ） A．8 B．9 C．10 D． 6．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．32 C．36 D．40 7．∆ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断∆ABC是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 8．如图，在中，，，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，五边形是正五边形，以为边向内作等边，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为2，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 11．若式子有意义，则的取值范围是_____． 12．计算：________，________，________． 13．一个面积为的三角形，若其底边长为，则该底边上的高为_________． 14．如图，等边∆ABC中，是上一点，且，点为AB边上一动点，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转至，连接、，则的最小值为__________． 第14题图 第15题图 第16题图 第17题图 第18题图 15．如图，在∆ABC中，，为上一点．若，，，则的长为__________． 16．如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 17．已知正方形，连接、，平分交于点E，则______． 18．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，再分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交边于点．已知，的周长为48，则的长是___________． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）计算 (1) (2) 20．（本题6分）我国南宋时期数学家秦九韶提出“利用三角形的三边可以求这个三角形的面积”．他的方法大致如下：如图，∆ABC，作于，此时为，的公共边，则运用勾股定理，先求，再求，从而求出∆ABC的面积．若，，，请根据以上信息，求∆ABC的面积． 21．（本题6分）如图，在中，对角线AC、BD交于点O，，，． (1)求证：；(2)求的周长． 22．（本题6分）如图，已知一架梯子斜靠在墙角处，竹梯，梯子底端离墙角的距离． (1)求这个梯子顶端A距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A下滑到点C，那么梯子的底部B在水 平方向上滑动的距离吗？为什么？ 23．（本题6分）出入相补原理是中国古代数学家刘徽提出的一个基本原理，指一个几何图形被分割成若干部分后其面积的总和保持不变，请利用出入相补原理完成下列问题 (1)如图1，已知边长为m的正方形与边长为的正方形剪拼后拼成大正方形，则图1中的阴影部分面积_____ (2)图2中有一个由8个边长为1的小正方形所组成的图形，请将该图形剪两刀后拼成一个大正方形，在图2中画出裁剪线和拼接后的大正方形． 24．（本题8分）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 25．（本题8分）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 26．（本题8分）材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式，像、．两个有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如： ， 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)请写出的有理化因式：________；请将此式分母有理化________． (2)化简：； (3)当时，直接写出代数式的最大值：________． 27．（本题10分）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．某兴趣小组围绕该定义进行探究活动，请解决下列问题： (1)如图1，点分别为任意四边形的边的中点．该小组发现任意四边形的中点四边形都是平行四边形，证明思路如下： 请指出上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？ 依据1：________________________；依据2：____________________________； (2)该小组从特殊四边形出发，判断以下图形中，一定属于“中方四边形”的是______（填序号）． ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (3)如图2，该小组深入探究发现，要使得四边形为“中方四边形”，则其对角线与应满足特殊的数量关系和位置关系．请写出与应满足的条件，并证明你的结论． (4)如图3，以锐角∆ABC的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连接，求证：四边形是“中方四边形”． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 答案 D D C D D B D 11.x≤5且x≠-2 12.解：①√28=√4x7=√4×√7=2√7， 510√10√10 ②餐-664 ③x≥0， i=x=xa=x 13.42 14.45 15.3 16.23 17.22.59 18.4 19.(1)解：8+V2-3+(π-1) =22+3-2+1 =√2+4； (2)解：(7+45)(7-43-(5-1 =49-48-(3-23+1 =1-4+25 =25-3. 20.解：如图，作AD1BC于D, .∠ADB=∠ADC=90°， 答案第1页，共2页 10 B D 设BD的长为x,则CD的长为14-x, :AD'=AB:-BD:,AD2 AC2-CD2, :AB2-BD2 =AC2-CD2, :AB=13,AC=15, .132-x2=152-(14-x)2, 解得x=5, BD=5,CD=14-x=9, .AD2=132-52, 解得AD=12, S.ABC BCAD_14×12=84: 2 2 即△ABC的面积是84. 21.(1):四边形ABCD为平行四边形， AD∥BC,AC=2A0=8. .∠AD0=∠CBD=30° 又AC⊥AD, .0D=2A0=8. .AC=OD (2)在Rt△AOD中， AD=√0D2-A02=4V5. 在Rt△ACD中， CD=√AC2+AD2=4V7. ·:四边形ABCD为平行四边形， :AD=BC=43,AB=CD=47. .口ABCD的周长=2AD+2CD=85+8√万 答案第1页 ,共2页 22.(1)解：根据勾股定理： :.梯子距离地面的高度为：A0=√AB2-0B2=24m; (2)解：梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于9m,理由如下： :梯子的顶端A下滑9m到点C, .AC=9m AB CD 25m, .0C=A0-AC=15m, 根据勾股定理得到OD=√CD2-C02=20m, BD=0D-0B=13m, .梯子的底部B在水平方向上滑动的距离不等于9m. 23.(1)解：如图，设AB,EG交于点M,BC,IH交于点N, M H 根据题意得：正方形HIJD的面积为m2,正方形EBFG的面积为n2,大正方形ABCD的面 积为m2+n2,AB=AD,∠BAD=∠AFB=∠AHD=90°，BF=FG, S.AMG =S.CN,S.ADH S.CDJ, :.阴影部分面积=S。ABF+S。ADH, :∠BAF+∠DAF=90°=∠ADH+∠DAF, .∠BAF=∠ADH, .△ABF≌△DAH(AAS), :BF =AH =n,S.ABF S.DAH 阴影部分面积S:+S.M=2Sw=2X)AH×DH年 (2)解：如图，即为所求. 答案第1页，共2页 24.(1)解：：长AD增加2√3cm(即DE=2V3cm),宽AB增加7√3cm(即BG=7√3cm), 得到一个面积为192cm的正方形， :.正方形的边长为V192=8√3(cm), .AD=8√3-2V5=65(cm,AB=8V5-7√5=√5(cm, :长方形ABCD木板的面积为65×V3=18(cm2); (2)解：木工乙的想法可行，理由如下： :要从长方形木板48CD中裁出一个面积为12cm,宽为cm的长方形木科， :栽出的长方形的长为12÷6=12x2=4N6(cm, 2 2 6 由(1)得长方形ABCD的长为6V3cm,宽为V3cm, 46=96,65=08,5=回 2 :46<65,6<5, .可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行. 25.(1)解：乙船沿南偏东20°方向航行；理由如下： 由题意可得：∠AP9=70°，P9=12×1.5=18(海里)，PR=16×1.5=24(海里)， 在△PQR中，PQ2+PR2=182+242=900,QR2=302=900, :PO2+PR2=OR2, ∴△PQR是直角三角形，且∠QPR=90°， .∠BPR=180°-∠APQ-∠QRP=180°-70°-90°=20°， :乙船沿南偏东20°方向航行； (2)解：他能在14分钟内到海岸线.理由如下： 答案第1页，共2页 如图，过点C作CD⊥AB于D, 由题意可得：∠CPD=60°，PC=2×12=24(海里)， .∠C=30°， D-C=卫海里. :CD=VPC2-PD2=V242-122=12V5≈20.4（海里）， :90×14=21(海里)，21>20.4， 60 ：他能在14分钟内到海岸线， 26.(1)解：：(25-35)2V3+35=12-45=-33, :2√5-3√5的有理化因式为25+3√5： 1 V5+√2 “5-2(3-23+2 =V5+√2 5-5分母有理化的结果为5+万 (2)解：原式=(2-1+5-2)+(4-3)+…+(2021-2020) =√2021-1； (3)解：√a+2-√a+1= 1 Va+2+Va+1' 2≤a≤4， :当a=2时，√a+2+√a+1有最小值，最小值为√2+2+√2+1=2+5， 北时a-7+的佰及大，最大值为24店2-5， 即代数式√a+2-√a+1的最大值为2-√5 27.(1)解：由题意得，依据1是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边长的一半： 依据2是一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； (2)解：如图所示，连接AC, 答案第1页，共2页 F 同理可得EF= 2AC.EF//AC, 当四边形ABCD是平行四边形时，AC与BD不一定垂直， 故此时EH与EF不一定垂直， 四边形HEFG不一定是正方形，即此时四边形ABCD不是“中方四边形”； 当四边形ABCD是矩形时，AC与BD不一定垂直， 故此时EH与EF不一定垂直， 四边形HEFG不一定是正方形，即此时四边形ABCD不是“中方四边形”； 当四边形ABCD是菱形时，AC与BD不一定相等， 故此时EH与EF不一定相等， :四边形HEFG不一定是正方形，即此时四边形ABCD不是“中方四边形”； 当四边形ABCD是正方形时，AC=BD,AC⊥BD, 故此时EH=EF,EH⊥EF, .四边形HEFG是正方形，即此时四边形ABCD是“中方四边形”； (3)解：AC⊥BD,AC=BD,证明如下： :四边形ABCD是“中方四边形”， :.四边形EFGH是正方形， .EH=EF,EH⊥EF, :EH∥BD,EH=BD,EF∥AC,EF=AC, 2 AC⊥BD,AC=BD; (4)证明：如图所示，连接CE,BG,设CE分别交AB,BG于点H,点O, H 答案第1页，共2页 :四边形ACFG和四边形ABDE都是正方形， .AE=AB,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°， :ZBAE ZBAC ZCAG +ZBAC, .∠BAG=∠EAC, .△BAG≌△EAC(SAS), .ZAEC ZABG,CE BG 又：∠AHE=∠OHB, .180°-∠AHE-∠AEH=180°-∠OHB-∠0BH, .∠B0H=∠EAH=90°， .BG⊥CE, ∴.CE=BG且BG⊥CE, .由(3)可得四边形BCEG是“中方四边形”. 答案第1页，共2页