9.2.4总体离散程度的估计教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

青年教师赛课教学设计 科目 数学 章节 第九章《统计》第二节 课题 9.2.4《总体离散程度的估计》 授课教师 授课时间 2025年5月23日 教学方法 讲授法，启发式教学法，小组合作学习法 教材分析 本节内容是在抽样的基础上，根据样本数据对总体进行估计，本节主要估计总体的离散程度，同时对比得出更好的估计离散程度的方法，研究总体离散程度的估计，为我们的有效决策提供更有利的数据. 为了让学生更好地理解方差和标准差的统计含义，积累数据分析的经验。教材详细呈现了方差概念的形成过程。首先通过比较两名射击运动员成绩的稳定性，让学生体会定义数字特征刻画数据离散程度的必要性。通过分析，把刻画一组数据的离散程度问题逐步转化为刻画与平均数的“平均距离”大小的数学问题。在数学中，距离可以有多种定义，教材先呈现学生最容易想到的“绝对值距离”，由于绝对值的数学性质不够好，为了避免含有绝对值，又引入“平方和距离”，以此作为刻画数据离散程度的数字特征，即方差。这个从统计直观到数学表达逐步优化的数据分析过程，在数字特征的定义中具有一般意义，积累的经验有助于理解选择性必修中样本相关系数的定义。 学情分析 1.统计的研究对象是数据，完成一个统计问题需要经历收集数据、描述数据以及分析数据，从而给出推断、做出决策的过程，核心任务是分析数据。统计最重要的思想是用样本估计、推断总体，通过前面内容的学习，学生已经经历了收集数据和描述数据的过程，在分析数据、用样本推断总体方面也已经学习了总体取值规律、百分位数及集中程度的估计，有一定的经验。 2.学生在初中已经知道方差可以刻画一组数据的离散程度，并会计算简单数据的方差（基本遗忘）。但高中需要理解方差的统计含义，体会方差定义的合理性，会结合实例计算分层随机抽样的方差以及会选择恰当的特征数（方差、标准差以及极差）刻画数据的离散程度。 课标要求 1. 学生要学会用样本的极差、方差、标准差来估计总体的离散程度，明白这些统计量是如何来刻画数据的离散特征的； 2. 能够在具体的实际问题中计算和应用； 3. 通过对数据的处理与分析，提升数学运算和数据分析的能力； 教学目标 1.培养学生的逻辑推理核心素养 在构建一组数据的方差的过程中，体会从直观想象出发，逐步修正优化是构造统计量的思想方法； 2. 培养学生的数学运算核心素养 能够正确计算样本的标准差或方差，并且能根据题目信息选择恰当的方差公式进行运算，能对方差的两种运算公式进行互化； 3.培养学生的数学抽象核心素养 结合实例，能用样本的离散程度估计总体的离散程度（标准差、方差、极差）； 4.培养学生的直观想象核心素养 通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度； 教学重难点 教学重点：方差与标准差，并利用方差与标准差估计总体的离散程度； 教学难点：方差公式的获取过程 评价任务 1. 对学生课前预习成果评价检验 2. 对学生自主思考后的作答结果进行评价 3. 对小组讨论成果进行评价 4. 对学生课堂小结的内容进行评价 教学过程 教学环节 教学内容 学生活动 设计意图 情境导入 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 问题1:如果你是教练你会如何评价这两位运动员的射击情况? 问题2:如果这是一次选拔性考核，你应当如何进行选择? 学生自主思考，代表分享思考结果。 根据上节课的知识，依据集中趋势（平均数、中位数、众数）进行评价；进行考核还需要考虑哪位运动员的成绩稳定； 设置问题情境，回顾上节课知识点，同时激发学生学习兴趣，培养学生严谨的逻辑思维能力，并引出本节新课。 目标呈现 1.掌握方差和标准差，利用方差和标准差估计总体的离散程度。 2.通过样本标准差等数据直观估计总体的离散程度，能够正确计算样本的标准差或方差。 了解本节课的学习目标 旨在为教学活动提供清晰指引、为学生学习明确方向，同时也为教学效果评估提供依据 预习反馈 导入部分对两位运动员的射击情况进行评价，同学们自主思考给出答案。 学生可能存在认识不清晰的问题 对预习成果进行检验 新课讲授 探究刻画一组数据离散程度的方法： 问题3：同学们你们能想到什么办法来描述这两组数据，进而分析他们的离散程度呢? 预设；画条形图进行统计分析。（直观感知两位运动员射击水平的离散程度） 学生自主思考如何形象直观度量数据离散程度； 学生能将前面所学将可视化描述数据的方法学以致用，并会根据条形图进行统计分析，并做出决策。 问题4：如果样本数据较多，画条形图相对繁琐，那么如何从代数的角度度量甲、乙这两位运动员的离散程度呢？ 预设：可以利用极差进行度量，甲的极差=10-4=6，乙的极差=9-5=4，则发现甲的成绩波动范围比乙的大。 运用之前学过的知识，学生自主思考从代数角度出发度量数据离散程度的方法。 从代数角度开始步步引导，并让同学们意识到用极差描述数据离散程度的局限性。 问题5：极差在度量时出现的误差较大，你还能想到其他刻画数据离散程度的办法吗？ 教师引导：我们知道，如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远；相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。因此，我们可以通过这两组射击成绩与它们的平均成绩的“平均距离”来度量成绩的波动幅度。 学生进行小组讨论，探究用方差来度量成绩的波动幅度。 通过经历探究度量数据离散程度的方法的过程，培养学生逻辑推理的数学核心素养,让学生在自主探究的过程中提升学生学习数学的兴趣。 问题6：假设一组数据是，用来表示这组数据的平均数，通过什么运算可以刻画一个数据到这组平均数的距离?怎样来体现所有数据到均值的总体距离?如何来刻画“平均距离”？ 预设： 问题7：在计算时，对绝对值求和这种运算性质很局限，我们能否用另一种运算来代替这种算法?并且它依然能比较两组数据的平均距离的大小。 预设：把绝对值替换成平方，因为实数的绝对值越大，平方就越大。因此用来代替。 学生独立思考解决相关问题，通过问题引导得到方差的概念。 问题串的设计让同学们意识到刻画数据离散程度的最佳办法—利用方差、标准差进行度量，在探索组内数据到平均数的“平均距离”的过程中，提升学生的逻辑思维核心素养。 概念生成 1.方差：假设一组数据是，用来表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的方差，我们还可以把方差写成的形式。方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据单位不一致。 2.标准差：对方差开方，取它的算术平方根，即。标准差的单位与原始数据单位一致。 3.总体方差与总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为,则称为总体方差，为总体标准差。 4.样本方差与样本标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为,则称为总体方差，为总体标准差。 通常用样本标准差去估计总体标准差。 学生体会方差和标准差概念的生成过程，并有效记忆方差和标准差的概念及公式。 旨在帮助学生从实际问题出发，逐步构建对统计量的理解，将抽象概念与具体情境结合，培养数学思维和数据分析意识。 5.标准差与方差的统计意义： （1）标准差与方差刻画了数据的离散程度与波动程度，标准差越大，数据的离散程度越大：标准差越小，数据的离散程度越小。 （2）若样本数据都相等，表明数据没有波动程度，数据没有离散性，则标准差为0. 理解标准差与方差的统计意义—来刻画数据的离散程度 回归本节课的主题，让学生理解方差与标准差的统计意义 课堂检测 1.不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗？ (1)5，5，5，5，5，5，5，5，5 (2)4，4，4，5，5，5，6，6，6 (3)3，3，4，4，5，6，6，7，7 (4)2，2，2，2，5，8，8，8，8 2. 甲乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为： 甲： 0 1 0 2 2 0 3 1 2 4 乙： 2 3 1 1 0 2 1 1 0 1 分别计算两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好？ 3. 在去年的足球联赛中，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1； 二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差为0.4，你认为下列说法哪一种是正确的，为什么？ （1）平均说来一队比二队防守技术好 （2）二队比一队技术水平更稳定 （3）一队在防守时有时表现较差，有时表现又非常好 （4）二队很少不失球 请学生板演，检验学习成果。 设置课本习题，有助于学生对本节知识的深刻理解。 课堂小结 请学生对本节课所学到的知识进行总结 对本节课的知识有更深刻的整体认知 有助于学生形成完整的知识体系 布置作业 完成课本练习2.3.4题 完成课本习题，检验自己对本节课的掌握程度 有助于加深学生对本节课知识的理解 学科网（北京）股份有限公司 $