广东广州市实验外语学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

**基本信息** 融合数学文化与生活实践，通过不倒翁模型、汽车测铁塔高度等情境考查空间观念与运算能力，梯度设计适配高一期中能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量垂直判断、空间直线平面关系|基础概念辨析，如向量模相等与垂直关系| |多选题|3/18|解三角形面积、钝角判断|多维度考查推理能力，如锐角三角形边角关系| |填空题|3/15|斜二测直观图、正四棱柱外接球|空间几何计算，如原平面四边形边长还原| |解答题|5/77|复数运算、解三角形面积、立体几何证明|分层设计，如长方体体积最值探究考查数学思维与语言表达|

广州市实验外语学校 2025-2026学年第二学期期中测试 高一年级数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分） 1．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（    ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 2．下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．－16 B．16 C． D． 5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 6．的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 7．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如下左图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（    ） A．370g B．490g C．650g D．730g 8．如上右图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A．16 B． C．18 D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共计18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．若，则 10．在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（    ）. A．若，，，则的面积为. B．若，则为钝角. C．若为锐角三角形，则. D．若，，且有两解，则b的取值范围是. 11．如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．存在最小值 D．的最小值为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共计15分） 12．如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______． 13．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为______________cm2. 14．在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 四、解答题（共5小题，共计77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知复数，且满足，，复数在复平面上对应的点满足直线方程. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. 16．已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (2)若，且角的平分线长为，求的面积. 17．如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 18．如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 19．如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市实验外语学校 2025-2026学年第二学期期中测试 高一年级数学试题 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 一、单选题 1．已知非零向量不平行，并且其模相等，则与之间的关系是（    ） A．垂直 B．共线 C．不垂直 D．以上都可以 【答案】A 【分析】由与的数量积判断. 【详解】因为， 所以， 故选：A 2．下列结论正确的是（   ） A．三个点确定一个平面 B．若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行 C．若一条直线上有无数个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内 D．若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行 【答案】C 【分析】根据空间点、线、面基本定理进行判断. 【详解】三个不共线的点确定一个平面，A错误； 若空间中两条直线没有公共点，则它们互相平行或为异面直线，B错误； 若一条直线上有两个点在一个平面内，则这条直线在这个平面内，C正确； 若一条直线上有无数个点在一个平面外，则这条直线与这个平面平行或与平面相交与一点，D错误. 故选：C 3．如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 4．已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（    ） A．－16 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】先求出和，根据B，C，D三点共线得到，进而列出方程求解. 【详解】由题意得，， 因为B，C，D三点共线， 所以， 则，得. 故选：A. 5．一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，如图，到处时测得公路北侧一铁塔底部在西偏北的方向上，行驶200m后到达处，测得此铁塔底部在西偏北的方向上，塔顶的仰角为，则此铁塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设此铁塔高，在直角中，可得，再在中，利用正弦定理，列出方程，即可求解. 【详解】设此铁塔高，根据题意，可得， 在直角中，可得， 在中，由，可得， 根据正弦定理，可得，解得． 故选：A. 6．的内角的对边分别为，已知，，则外接圆的半径为（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据三角恒等变形得，再借助正弦定理角化边可得，最后由正弦定理求解. 【详解】根据题意，，， 即， 根据正弦定理，得，可得， 则，所以， 则外接圆的半径为. 故选：A 7．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm、下底面半径为3cm且母线为的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g，则该不倒翁的总质量为（    ）    A．370g B．490g C．650g D．730g 【答案】D 【分析】作出圆台的轴截面，根据圆台的性质结合条件求出圆台的体积和半球的体积，从而求出半球的重量，即可求解. 【详解】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，且过点作，垂足为，    则由题意得：，，， 所以，， 故圆台的体积， 又半球的体积， 因为半球的密度为圆台密度的3倍， 所以半球的重量为g 故该不倒翁的总重量为， 故选：D. 8．如图，在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过直线的平面平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A．16 B． C．18 D． 【答案】C 【分析】首先作出平面截正方体的截面，再根据截面的形状和性质，求截面的面积. 【详解】取的中点的中点，连接，，， ，所以四点共面， 如图所示. ，且平面，平面， 所以平面， 因为，且， 所以四边形是平行四边形，则， 且平面，平面， 所以平面， 且，平面， 所以平面平面，所以四边形即为平面截该正方体所得截面， 易得， 所以四边形的面积. 故选：C. 二、多选题 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．的相反向量是 B．若，则 C．在上的投影向量为 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据相反向量定义以及投影向量的公式计算可以判断AC，计算，由向量垂直以及向量共线的运算法则计算可求出的值，从而判断BD. 【详解】对于A，由相反向量的定义，即可得到的相反向量是，故A正确； 对于B，因为，所以， 又，且，所以，解得，故B错误； 对于C，因为，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，又，且， 所以，解得，故D错误． 故选：AC. 10．在中，角所对的边分别为，如下命题正确的是（    ）. A．若，，，则的面积为. B．若，则为钝角. C．若为锐角三角形，则. D．若，，且有两解，则b的取值范围是. 【答案】BCD 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A、B，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】A.在中，若，，， 则由正弦定理得，解得， 因为，所以或，故或， 所以的面积或，故A错误. B.在中，若，则， 因为，所以为钝角，故B正确. C.因为是锐角三角形，所以，故， 因为，所以， 又因为在上单调递增，所以，故C正确. D.如图所示， 若有两解，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11．如图，在边长为3的等边三角形中，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．存在最小值 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】建立坐标系，写出向量坐标，根据向量线性运算即可判断A，根据向量数量积的坐标运算即可判断BCD. 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立直角坐标系， 则,； , 所以，A正确. ，，B正确. 因为位于以为圆心，1为半径的半圆上，设，； , ， 因为，所以， 当时，即时，取到最小值，C正确. 因为，所以， 即，因为，所以，D不正确. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是圆弧上的点如何表示，以为原点建立坐标系，能简化点的坐标. 三、填空题 12．如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______．    【答案】. 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答. 【详解】在等腰梯形中，，， 则， 由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图， 显然四边形为直角梯形，于是得. 故答案为： 13．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上，如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为______________cm2. 【答案】 【分析】利用球的直径等于四棱柱的对角线，求出棱柱的高，从而可得结果. 【详解】设正四棱柱的高为， 因为球的直径等于四棱柱的对角线， 所以， 所以该棱柱的表面积为， 故答案为. 【点睛】本题主要考查棱柱与球的内接问题，考查了柱体的表面积以及空间想象能力，属于基础题. 14．在中，角的对边分别为，且.若，则对的最小值为__________. 【答案】 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得，令，结合向量数乘的几何意义及减法法则化简向量并求其模长. 【详解】由，得， 所以， 因为，则，所以， 设，则点在直线上，所以，    当时，最小，其最小值为. 故答案为： 四、解答题 15．（13分）已知复数，且满足，，复数在复平面上对应的点满足直线方程. (1)求复数； (2)若为纯虚数，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算，得到，又由题设知，联立方程从而求出得到结果； （2）利用（1）中的结果和复数的除法，再结合条件即可求出结果. 【详解】（1）由已知得：. 复数在复平面上对应的点满足直线方程. 即，   又因为，所以，，. （2）由， 若为纯虚数，则，且， 得. 16．（15分）已知的内角的对边分别为，且. (1)求. (3)若，且角的平分线长为，求的面积. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由正弦定理，得，，. 代入已知式，两边乘以得：，整理得：. 由余弦定理，代入：，解得：. 因为为三角形内角，所以. （2）设角的平分线交于点，则，且. 在中，由正弦定理：；在中，由正弦定理：.又，且，所以. 由,,在中，，，，由余弦定理：，则，解得：. 同理，在中，，，设，由余弦定理：，则. 由角平分线性质：，所以，两边平方得，代入表达式：，解得或. 若，则三角形为等腰三角形，，，此时，三角形为等边三角形，角平分线长应为，与不符，舍去； 若，成立. 所以，，面积. 17．（15分）如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. (1)设，，试用，表示； (2)求； (3)设，，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，得，所以. （2）在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. （3）由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 18．（17分）如图，正三棱柱中，分别是棱的中点. (1)判断直线与直线，直线与平面的位置关系；（判断即可，不必说明理由） (2)求证：平面； (3)在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线与直线是异面直线，直线与平面相交 (2)证明见解析 (3)存在，点为棱的中点，证明见解析 【分析】（1）由空间中的线面位置关系，即可判断； （2）取的中点为，连接，即可证明为平行四边形，再由线面平行的判定定理，即可证明； （3）根据题意，由线面平行的判定定理分别证明平面，平面，再由面面平行的判定定理，即可证明. 【详解】（1）直线与直线是异面直线；直线与平面相交. 理由如下：因平面,平面, 平面, 故直线与直线是异面直线； 又因平面，因点是的中点，, 故相交，设交点为,则点平面， 又点平面，故直线与平面相交. （2） 取的中点为，连接 ∵是棱的中点， ∴且 ∵点是棱的中点，                                                                                                                ∴且                                                                                                                  ∴且 ∴四边形是平行四边形 ∴. 且平面，平面， 所以平面. （3） 当点为棱的中点时，平面平面，                                                                证明：∵分别是棱的中点， ∴，∵ ，∴ ， ∵平面，平面，∴平面， ∵分别是棱的中点，∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，平面， ∴平面平面. 19．（17分）如图，长方体的长、宽、高分别为x，y，2，且，． (1)当底面为正方形时，求长方体的表面积和体积； (2)求三棱锥体积的最大值； (3)记三棱锥外接球的表面积为，底面ABCD的面积为，求的取值范围. 【答案】(1)表面积为10，体积为2 (2) (3) 【分析】（1）由已知，利用长方体的表面积和体积计算方法计算即可； （2）由图和已知可知三棱锥的体积为长方体的体积减去四个全等的三棱锥的体积，由表示出后，利用基本不等式即可求出最大值； （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球，则由表示出后代入并化简，利用基本不等式即可求得的取值范围. 【详解】（1）因为底面 为正方形，所以， 则长方体的表面积为， 体积为. （2）由图和已知， ， 当且仅当时，等号成立，故三棱锥体积的最大值为. （3）由题可知，三棱锥的外接球即长方体的外接球， 设该外接球的半径为则， 所以， 则， 令，则，， 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的取值范围为. 试卷第16页，共17页 试卷第15页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $