湖北三所名校2025-2026学年高二下学期4月练习数学试卷

**基本信息** 高二4月数学练习卷聚焦概率、立体几何、数列、函数及解析几何，通过社团活动、电影法宝等情境，分层考查空间观念、推理能力及模型观念，适配期中综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|直线倾斜角、导数运算、排列组合、立体几何异面角等|第10题结合电影法宝使用考查排列组合，体现文化传承情境| |填空题|3题15分|等比数列单调性、函数不等式恒成立|第13题通过区间内不等式恒成立考查运算能力| |解答题|6题77分|概率（社团活动）、立体几何证明与线面角、数列不等式、函数对称中心、椭圆综合|第15题以社团活动构建概率模型，第19题椭圆综合题分层设计定点证明与最值求解，体现能力梯度|

2025-2026学年高二4月练习卷 数 学 本试卷共4 页，19题。全卷满分150分。考试用时120 分钟。 ★祝考试顺利★ 一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 . 1. 直线 的倾斜角为 A. B. C. D. 2．下列导数运算中正确的是 A． B． C． D． 3. 由数字2，3，5组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为 A．15 B．12 C．10 D．5 4. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 5. 已知圆，直线，则直线被圆截得的最短弦长为 A． B． C． D． 6. 已知数列的前项和为，，，则 A． B． C． D． 7．已知函数，则的图象在处的切线方程为 A． B． C． D． 8. 已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. 二、选择题: 本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9．已知 且，则下列结论正确的是 A． B． C． D． 10. 某电影中太乙真人作为哪吒的授业恩师，送给了哪吒七件法宝，每件法宝只有一种使用方法，乾坤圈、混天绫、火尖枪、金砖、阴阳剑、九龙神火罩和风火轮．哪吒使用这七件法宝对阵敌人，则下列说法正确的是 A. 若哪吒每次使用两种法宝，对阵次，可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种； B. 若哪吒与敌人对阵次，每次至少使用两件法宝，法宝不可以重复使用，则不同的使用法宝的方法有种； C. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈和风火轮不能相邻使用，阴阳剑和九龙神火罩必须相邻使用，则不同的使用法宝的方法有种； D. 若哪吒每次使用一件法宝，对阵次，法宝不可以重复使用，且乾坤圈比风火轮更早使用，风火轮比火尖枪更早使用，火尖枪比阴阳剑更早使用，则不同的使用法宝的方法有种. 11. 已知函数，则 A. B.是函数的一个单调区间 C. D.存在，满足 三、填空题: 本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知等比数列为递减数列，其前项和为，且， 则______． 13．已知函数，在区间内任取两个实数，当时，不等式恒成立，则实数的最大值为______． 14. 已知对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题: 本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 某中学的社团活动室有书法社、围棋社和绘画社三个社团，学生小李每天都会去活动室参与社团活动。若当天选择书法社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率均为；若当天选择围棋社，则后一天选择书法社、围棋社、绘画社的概率分别为,,；若当天选择绘画社，则后一天等可能地选择书法社、围棋社或绘画社。已知小李第一天等可能地选择一个社团参与活动。请完成下列计算： （1）求小李第2天选择书法社的概率. （2）求在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率. 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点. （1）证明：平面. （2）求直线与平面所成角的正切值. 17. （15分） 已知数列满足，，其中 （1）求数列的通项公式. （2）记，求证：. （3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 18．（17分） 已知函数， （1）已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”，求函数的对称中心. （2）讨论方程根的个数. （3）当（2）中的方程有2个不同实根时，求证. 19.（17分） 已知椭圆过点，原点为，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，设线段的中点为，且直线的斜率与直线的斜率的乘积为． （1） 已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离. （2）过右焦点的直线与椭圆交于两点，以为直径的圆恒过右焦点，且的中点为． ①证明：直线过定点. ②若椭圆的左焦点为，的延长线交椭圆于点，若，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二4月练习卷 数学 参考解析及评分标准 一. 选择题： 题号 10 11 答案 D D AC ABD ABD 三. 填空题： 1 12.8 9-2 13. 14.（1,e-1] 参考解析： 1.【答案】D 2. 【答案】B t2s1 选项B: 2 2√，B正确： 3【答案】D 【详解】分三类，第一类组成一位整数，偶数有2，共1个；第二类组成两位整数，其 中偶数有12和32，共2个：第三类组成三位整数，其中偶数有132和312，共2个.由分 类加法计数原理知共有偶数5个.故选：D 4.【答案】B D D-xyz 【详解】以点为原点，建立空间直角坐标系 D(0,0,0),D(0,0,2),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),C1(0,2,2) 则各点坐标： E(2,1,0) F(0,2,1) E AB F CC 因为为中点，所以 因为为中点，所以 DE=(21,-2),BF=(-2,0,1) DE BF 于是有： 设异面直线与所成角为，则 cos0 DE.BF66=2=25 DEB际3x53W555 5.【答案】B C:(x-1)}+(y-3)2=25 C(1,3) r=5 【详解】圆 的圆心为 ，半径 m 将直线的方程整理为关于的式子： (m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0→m(x+2y-7)+(2x+y-8)=0 x+2y-7=0 2x+y-8=0 x=3,y=2 P(3,2) 令 ,解得 ，即直线恒过定点 P CP⊥I 由于恒过定点，故当 时，直线被圆截得的弦最短. CP=V(3-1)}+(2-3)2=V4+1=V5 计算 Lm=2Vr2-(CP}=2V25-5=2V20=4V5 最短弦长 6.【答案】A 【详解】因为0，=2,0+0，=2n-1,所以8+a,=1,即a,=-1 又0+a,=2n-l0, 则0，+a1=2(n+1-12, 由②-①，得02-0。=2 所以{a,}是以2为首项，2为公差的等差数列，a,}是以1为首项，2为公差的等差数 列S2026=(a1+a3+…+a2025)+(a2+a4+..+a2026=1013x2025 7.【答案】B 【详解】因为f)=(G-2023Xx-2024r-2025r-2026),则 f'(x)=(x-2023)(x-2024)(x-2025)+(x-2026)[(x-2023)(x-2024)(x-2025)] 所以/(2026)=6，又f(2026)=0,所以/（四的图象在x=2026处的切线方程为 y=6(x-2026) 详解kot konkr- &.【答案】B:.e=+a2 .b万 9.【答案】AC 【详解】由已知令=0有=州=-27 ,得=3，放A正确 m=3,(3x-1)°(2x+3)3a,x2=Cg(3x)(-10°.Cg(2x)23 中 Cg(3x)(-1).Cg(2x)'3°5508x∴a,=5508 ,故B错误； 又令*1，得8+g+4+4+a+4,+a,+4+a=25-400 ,故C正确： 再令=，得4-4+a4+0,-4,+a,-4,+a,=(45-P=-1024 ,得 a,+a,+a,+a,+4,=4000,1024-1488 2 a=-27 从而得 ,又 ,从而 a2+a4+a6+ag=1515 ,故D错误，答案选AC 10.【答案】ABD 【详解】已知太乙真人送给了哪吒七件法宝，对于A,每次使用法宝 C=21种，因 可以重复使用，则对阵2次、不同的使用法宝的方法有21=441种，故A正确： 对于B,若恰好选用其中6件法宝，再将选出的6件法宝分成3组，每组2件，共有 CCCC3 A；种，则对阵3次、不同的使用法宝的方法有 CCCCA=CC,CC=630种，若7件法家全部用完，则将7件法宝分成3组 A CCC 每组至少2件，共有A? 种，则对阵3次、不同的使用法宝的方法有 CCCA-3CCC=630种，故不同的位用法宝的方法共有1260种，B正确： A 对于C,先将除乾坤圈、风火轮以外的5种法宝排列，由于阴阳剑和九龙神火罩必须相邻 用捆绑法，共 A,'A种，再利用插空法将乾坤圈、风火轮插入5个空位中，则不同的使 用法宝的方法有 A,2AA?=960 种，故C不正确： 对于D,先将7件法宝排列共有A种，再利用倍缩法解决定序问题即可得，不同的使用 法宝的方法有A =A=2I0种，故DE确故选：ABD 11.【答案】ABD f(2π-x)=ln(cos(-x)+2-cos2(-x)）=f(x) 【详解】 则A正确： 令1=cs(-l,小.f0=ln+2-Ff0=,+v2-2 2-212 ≥0 2-2+N2-2V2-2(N2-2+02 f(t) (-π，0)t=cosx 则是单调递增函数，因为 是函数 的一个单调递增区间， -π，0)f(x) 由复合函数的单调性可知， 是函数的一个单调递增区间，B正确； f(t)sf(1)=In2,.:f(t)e(,In2) ,C错误； 1=Invee (-c0,In2) cos(f(xo))+2-cos2(f(xp))=ve 因为 ，即只要判断 i0=+2-Ai=1720e-1.he02.30 否成立，令 D正确. 1 12.8 a+a9=4 【详解】 G=S,-3=了3=，攻数列 公比为，则 ta g-【，解得 +2-=0,09=2度9=号 1 3(舍去) S.-8-q-3 S6=1+k)S,S, 静关司 ,3 13.2 【详解】f(=6r-(10+3a)r2+(4+5a)x-2a 因为>5，)f)>a(）,亦即6)a>f)广a匹 令8(x)=f(x)-a,x∈(2,3) 则问题等价转化为8()=()ax,x∈(2,3)是增函数 所以86)-=()-a=18x-210+3a)r+4+4a≥0在x∈(2,3)上恒成立， 即9x-(0+3a)x+2+2a≥0在x∈(2,3)上恒成立，所以(2-3x)a+9r+2-10x≥0在 e亿)Ea,两s922老e23到上担立 ◆4)-9r0-2xe(23) 2-3x )-18x+102-3)-(9x+10-2-3).272-36r+14 则 (2-3x)月 (2-3x)}, 因为二次函数y=27x2-36x+4在x∈(2,3)上单调递增， 所以当e2）时，y=27x-36x+14>27×1P-36x1+14>0 ()=27x-36x+140 即 (2-3x)2 0,所以h()=9r+10x-2 2-3x 二，x∈(2,3)是增函数。 所以0≤9×2+10x2-2 ,即as9 9 2-3×2 2,所以实数a的最大值为2， 14【答案)1e- 【解】由已知得，a+1>0且a+)r+ln[(a+订≤e+r,考虑到y=e+4单 调递增，故等价于 (at)se ,从而可得l<a≤e-l,即a的取值范围是 (-h,ve-] 15.【答案】 A,A,A 解：(1)解：设事件 分别表示第1天选择书法社、围棋社、绘画社，事件B 表示第2天选择书法社。 A,A,4 P4)=P4,)=P(4)=} 由题意， 两两互斥且构成完备事件组，且 由全概率公式： P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(BA)+P(A)P(B A) 111311 + 333433 1 36 17 36…6分 答：小李第2天选择书法社的概率为 。 11 P41B)=P4)PBA_3X3=4 P(B) 1717 36 (2) 4 17 答：在第2天选择书法社的条件下，小李第1天选择绘画社的概率为 …13分 16.【答案】 (1)证明：因为底面ABCD是正方形，所以CD⊥AD, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADO底面ABCD=AD, CDC底面ABCD,所以CD⊥平面PAD, 因为AEC平面PAD,所以CD⊥AE. 又因为△PAD是正三角形，E是PD的中点， B 所以AE⊥PD. 因为CD∩PD=D,且CD,PDc平面PCD, 所以AE⊥平面PCD, 又因为1EC平面1CE,所以平面4CE上平面PCD.…7分 解法1：作DF⊥CE,垂足为F,连接AF. 因为平面ACE⊥ CD平面ACEO平面PCD=CE 平面 DFC平面PCD DF⊥CE 所以 DFL平面ACE.所以AF为AD在平面ACE上的射影，∠AD 为直线 AD ACE 与平面所成的角 因为CD⊥平面PAD,PDC平面PAD,所以CD⊥PD 圆购DE=号PD=2,CD=4.所CE=DE+CD=2y5. 2 因为a-EDr-DDe=x4x2=4,ur= 5· AF=AD-DP55 所以an∠AD=DF=1 AF-2」 1 所以直线AD与平面ACE所成角的正切值为2.…15分 解法2：以D为坐标原点，分别以DA,DC所在直线为x,y轴，过D作平面ABCD的垂线为 z轴，建立空间直角坐标系， 已知底面ABCD边长为4，△PAD是正三角形， 所以D(0,00)A(40,0),.C(04,0,P20,25), 因为E是PD的中点，故E0,3), 所以C=(44,0),4E=（30,V3). 设平面4CE的法向量为”=(：) 元·AC=0 -4x+4y=0 所以元·AE=0,即-3x+V3z=0, 令x=1,则y=1,z=3,=(1,15) D=(-40,0),设直线AD与平面ACE所成的角为日，则 sinO=乙乙 cs0=1-0=1-5=2g5 所yan0=sin0、1 c0s02 所以直线AD与平面ACE所成角的正切值为2.…15分 17【答案】 01=2an+2m1,.an1-2a,=20,.02.=1 22” 41=2 解：（1) ,又 2” 是以为首项。以为公差的等差数列÷2 1 =na.=m2" 则数列 -2分 b1-bn=2”.b2-b=2,b-b2=22,…b,-bn1=2-(n≥2，neN) bn-b=2+22+…+2"-(n≥2) 以上各式相加可得 .b,=1+2+22+…+2-=2”-1(n≥2)n=1，b=1 ,当时， 满足题意， .bn=2”-1.…4分 a8n1 2” (2)由(1)可得 ,----6分 111,11 ++1 1 G+6++e,=22+12+1+2+12+1+2+12+ 1 11 2写22+}=102…+28分 1 0,.G+63++0<109分 1 2*3+2 n+101og,6,+1）-2a.-3<0 n ∈W (3)由题意有： 对 恒成立， 2-2”>n2+n-3neN* 2”>0 可得：不等式 对 恒成立，又 >n+n-3 2 n∈N …11分 可得： 对 恒成立， D=n2+n-3 记 D-D.=a+1+n+0-3_+n-3_2+3n-1_+n-3-2+n+5 21 2" 2" 则 n≤2，n∈N'.D1-Dn>0Dn1>D·.D<D2<D 当 时， ,即 n23,n∈NDn1-Dn<0D41<Dn∴.D3>D4>D3>…>Dn>… 时， ,即 …14分 所以，当”=3时. Dn 9 8 8 时，取得最大值为， 9 …15分 综上，实数的取值范围是 18.【答案】 6R四=2=2-异 2 解：(1)由题意有 ,可得 2 2-f)=e+1=f() f(x)+f(-x)=2x∈R f(x) (0,1) 对 恒成立，函数 的图象关于点 对称， f(x) (0,1)）3分 函数 的对称中心为 f(ae)=2-f(3-x2)=f(x2-3)f(aer)=f(x2-3) (2)由(1)可得 ,即 2e" f'(四)=e+)>0f().r ae*=x2-3 ,可得在上单调递增，. ,即 a=22-3 …4分 f(ae)+f(3-x2)=2 故要讨论方程 根的个数， a x2-3 即讨论方程 根的个数， y=23 y=a e …5分 即讨论直线 与函数 图像交点的个数， g)=23g0回)=-红+红-3》 e 9'(x)=0 x=-13 ，令 ，解得或， x∈(-∞，-1)g'(x)<0g(c) 时， ，有 单调递减， x∈(-1,3)g'(x)>0g(x) 当 时， ,有单调递增， x∈(3，+o)g'(x)<0g(x) x→-∞g(x)→+∞ 当 时， ,有单调递减，并且 时， 9(-1)=-2e93)=6 y-a 3 y=g(x x→+00 9(x)-→09（±V3)=0 时， g(x) 可作出 的图像如图所示， 由图像可知： y=2-3 a∈（-∞，-2e) y=a 当 时，直线 与函数 图像无交点，即方程无实根， e(-2 y=x2-3 y=a 当 时，直线与函数 图像有1个交点，即方程 有1个实根， U(-2e,0] y=22-3 y=a 当 时，直线 与函数 图像有2个交点，即方程有 2个实根， ae,) =2-3 y=a 时，直线 与函数 图像有3个交点，即方程有3个实根. …9分 U(-2e,0] (3)由(2)可得当 时，方程有2个实根， a6 2=3,x1>-2 9(-2)=e2> e3得到 当时，可得 (可根据 ), x1+x2+2>3-2+2=3>0 此时 （此类情况可以不讨论) a∈(-2e,0]x1+x2+2>0x1>-2-x2 当 时，要证 ,即证 …10分 1<-1<2-2-2<-1 不妨设 ,有 g(x)(-∞，-1) 1>-2-x2g(x)<g(-2-x2) ,在 上单调递减，故要证 ,即证 g()=g(2)g(x2)<g(-2-x2) 又 ,即证 9(2）-g(-2-x2)<0…12分 即证 h(x)=g(x)-g(-2-x),x∈(-1，+∞) 令 回=90因)+g-2-到=t2+3+-(2-+22-到+3 e-2-i =t2+3+e(2-6加-)=--3+e+e+5别 e .‘x>-1,∴.x+1>0,x-3>-4,x+5>4 .x-3+e2x+2(x+5)>-4+4e0=0∴.h'(x)<0 .h(x)=g(x)-g(-2-x)(-1,+∞) …15分 在 上单调递减， ∴.h(x2)<h(-1)=g(-1)-g(-2-(-1)=0 9(2)-9(-2-2)<0g()<g(-2-x2) 即 ,即 1>-2-x2x1十x2+2>0 即 ,即 ae{8}u(2,01 综上，当 五十2+2>0…17分 时，有 19.【答案】 解：0)设点1(），8(），A,B在椭圆上 . a2 y2=1 因为ww-}-出.名+y.3 4,x2-X1x+x2 4 .....③ 足+兰=0 =y.+业=-6 由①-②得a2a2b2b2 ，即a2 龙+二空0，所以5一xx+x3 b2 b23 由③得云=4，则3a2=4b2…2分 (若直接用结论得到3a2=4b扣1分) 又因为椭圆r:。+ x2.y2 =l(a>b>0)过点 2 23 a+26-1 .a2=4,b2=3 x2,y2 =1 ·椭圆C方程为：43 …3分 设Px川：且等+背=l,即=4-智 3 PO=+0-mP=4-y+yr-2+m2= 3-2m+m2+4 其对称轴 y=-3m<0-V3≤y≤V3 ,而 当3m55,即m 3时， PO在y=5时取得最大值，PO=m+V5 ……4分 当0>-3m>-3, 0<m<5 3时， Pg在y=-3m时取得最大值，P=2√m2+1…5分 综上， 0sm<3 3时，最大距离为2m2+1当3时，最大距离为 (2)①当直线AB的斜率存在且不等于零时，设斜率为kk≠O),因AB⊥CD,所以直线CD 的斜率为k: ,直线1B的方程为 F(1,0) y=k(x-1)A(x,),Bx2,2) 因为右焦点 ,设 y=k(x-1) x2,y2 由4+3=1，消去y得，6+4x2-82x+4k-12=0 .8k2 4E（8k2y-43+4k242-12=44+20+3+425三3+4 所以线段AB的中点M的坐标M=。飞三、4M2 2=312Vw=k(Xw一1)=一2,12 42 3k 即3+4k23+4k) M( …7分 同理将查线CD的方程y--少。代入杆时方程号+号1，同理可得（只需将（换成 1 所以线段cD的申点N的坐标年4，w= 4 3k xw-0=3k2+4, k 43k 即N(32+4'3k+4. …8分 3k 3k 所以 的斜率w=32+43+4 44k2 7k,其中 MN 3k2+43+4k=41-k5 (k2≠1) …9分 3k 4k2 直线W的方程为：”-（3+) 7k =40-码3+4状)】 7k 7k 4k2 3k 化简'4-码40-码3+43+报， 7h 即y=40-k) …10分 当直线AB的斜率不存在时，AB与与x轴垂直且过焦点F(1,O),根据椭圆的对称性可 知M(L,0), 此时CD为椭圆的长辅，所以MQ0,所以直线MN为x镇，过定点停0， 当直线AB的斜率为0时，CD与与x轴垂直且过焦点F(L,O),根据椭圆的对称性可知 N1,0), 此时B为椭圆的长轴，所以M00,所以直线N为x轴，过定点停0， A 综上可知，直线0N过定点号，0).…11份 (2)②设 .C(xo:yo)S(x3,Y3)D(xa,y4) x=+y-1 设直线CF的方程为% x=+ y-1 联立方程组 ￡+广=1，得6x+5y_6,+Dy-9=0 、43 2x+5y.26+Dy-3=0 即 Yo 12分 -32 -3y, 所以%2元+5，即2x5, -3y0 同理可得： %写-2元0，…13分 若C下=CF,uCD=CE, 则 CF CF. C CD …14分 CF CF Au= 哈 c CD 3y0y+5-2x0 0。-y0%-yw）0,+5+2x 3y0)） …15分 39 化简得： 25-46-1- M 64-4x 164-4x,…16分 25 当x。=0时，取得最大值64.…17分