命题大赛 湖北孝感市孝南区2025-2026学年高二下学期期中测试数学试题

**基本信息** 高二下学期期中数学卷，以原创题（如直线与曲线交点问题）、文化情境（赵爽勾股定理涂色）及航天废料裁剪应用为特色，考查函数、数列等核心知识，体现数学眼光观察现实与数学思维解决问题。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数求导、数列前n项和|改数据题巩固基础，梯度合理| |多选|3/18|递增数列判断、二项式定理|多选项分层考查推理能力| |填空|3/15|等比数列公比、函数图像解集、赵爽弦图涂色|文化传承与抽象能力结合| |解答|5/77|函数单调区间、数列证明、棱台体积推导、钢板裁剪最值|原创应用情境，综合考查数学语言表达与创新意识|

应用场景：周测/单元测/月考/期中/期末/（如以上均不符合则自行添加） 高二下学期期中考试数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.（改数据题） 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列的前项和为，前项积为，满足，则（ ） A. 45 B. 50 C. 60 D. 30 A.5291 B.5292 C.5200 D.4800 4. 等差数列，的前n项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 5. （原创题） 不能手拉手，则不同的方法数为（ ） A．24 B.36 C.48 D.72 6. 若直线是曲线与曲线的公切线，则（ ）． A 26 B. 23 C. 15 D. 11 7. 已知函数，若存在唯一的零点，则k的取值范围是A. B. C. D. 8. （原创题）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列数列中，为递增数列的是（    ） A． B． C． D． 10. 设，则下列说法正确的有（    ） A．的展开式中所有项的系数的和为1 B． C． D． 11．已知则下列结论正确的是（    ） A．若点P的坐标为，则过点P与相切的直线只有一条 B．若存在两个极值点，且则与有3个交点 C．若，则 D．若的图象与x轴交于A，B，C三点，且在三点处的切线的斜率分别为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正项等比数列的前项和为，则该数列的公比__________ 13. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为________. 14. 如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现用4种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有_____种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数为． (1)求； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值． 16. 数列满足．（15分） （1）证明数列是等比数列，并求通项公式； （2）若，求数列的前项和． 17. （原创题）在锐角中，角的对边分别为，且．则的取值范围为 18．（原创题）如图，，由于棱台是用平行底面的平面截棱锥形成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式。已知。 将上、下底面面积分别记作、，棱台高为据图推导棱台体积公式 （17分） 19. 某钢厂有一块航天钢板废料，将其放置在平面直角坐标系中，曲线正好符合函数的图像.如图1，其中，，米，，记此钢板的面积为. 现有师傅想对其进行合适裁剪，以废物利用. (1)若按图2裁剪，裁剪出矩形，求矩形面积的最大值. (2)若按图3裁剪，裁剪出一个直角，求直角面积的最大值； 学科网（北京）股份有限公司 $ 1 2 3 4 5 6 7 8 C D B B A D A B 9 10 11 12 13 14 AD ABC ACD 0.5 72 1. C 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 则 故选：C 2.D 【分析】根据可得，结合等比数列的定义可知是首项为1，公比为2的等比数列，结合等比数列的通项公式求出，进而求出即可求解. 【详解】根据题意：， 两式作差可得，当时，， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 所以， 故选D 3.解析 4．B 【解析】根据等差数列的前项和公式和等差中项的性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在等差数列中，. 5．B 【分析】排列组合，捆绑，插空，环形排列。 【详解】固定B，先排列C和D与E，，在形成的3个空里选两个位置排列A和F，根据分部乘法计数原理知共24种不同方法。 6.D 【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解. 【详解】解：因为， 所以，由，解得或（舍去）， 所以切点为， 因为切点在切线上，解得， 所以切线方程为， ，设切点为， 由题意得，解得， 所以， 故选：D 7.A 【分析】利用导数确定函数的单调性，分类讨论求解参数范围即可. 【详解】因为所以， 令，解得 所以当时，当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 又，， 当函数在上没有零点时，要使存在唯一的零点， 则必有，解得，此时， 易知函数有2个零点，分别为和，不满足题意； 所以函数在必有一个零点，要使存在唯一的零点， 则必有，解得. 综上k的取值范围为.故选A 8.B 【分析】如图，是过定点的直线,曲线C是以为圆心为半径的圆在直线的上方部分图形。 【详解】联立方程：得左右交点A、B，斜率存在的切线为，为切点，，， 综上实数的取值范围为 9．AD 【详解】对于A，，则有， 因此该数列是递增数列，故A正确； 对于B，，则有， 因此该数列是递减数列，故B错误； 对于C，，，， 因此该数列不是递增数列，故C错误； 对于D，，函数在上为增函数， 因此该数列是递增数列，故D正确； 10. ABC 【详解】对于A，取，得的展开式中所有项的系数的和为，A正确； 对于B，取，得，B正确； 对于C，取，得，而， 因此，C正确； 对于D，依题意，，当为偶数时，，当为奇数时，， 因此，D错误. 故选：ABC． 11. ACD 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程求解判断A；利用极值点的意义分析判断B；利用方程根的意义求解判断C；设出点的横坐标，利用导数的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，由点为的对称中心，得， ，设过点P的直线与相切的切点为， 切线方程为，则， 即， 整理得，解得，因此过点P与相切的直线只有一条，A正确； 对于B，依题意，为的两个不等实根，则， 设，即，由， 得 ，而， 因此方程有两个解，即与有两个交点，B错误； 对于C，依题意，1和2是的两根，设， 则，C正确； 对于D，设三点的横坐标分别为，则， ， 则， 因此，D正确. 12. ①. ## 【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的前项和公式、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】由题意得，则，得. 因为，所以. 13. 【分析】根据图象得到函数的单调性，根据单调性与导数的关系得导数的符号，进而求得不等式的解集． 【详解】由图象可知，在，上单调递增，在上单调递减， 故当，时，，当时，. 原不等式等价于或，则或. 所以不等式的解集为. 14. 72 【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案． 【详解】分4步进行分析： ①，对于区域，有4种颜色可选； ②，对于区域，与区域相邻，有3种颜色可选； ③，对于区域，与、区域相邻，有2种颜色可选； ④，对于区域、，若与颜色相同，区域有2种颜色可选， 若与颜色不相同，区域有1种颜色可选，区域有1种颜色可选， 则区域、有种选择， 则不同的涂色方案有种． 15. (1) (2)单调递增区间为、，单调递减区间为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得； （2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性； （3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得. 【详解】（1）；……………………………………(3分) （2）由， 则当时，，当时，，……………(5分) 故的单调递增区间为、，单调递减区间为；…………….(7分) （3）由的单调递增区间为、，单调递减区间为， 则当时，在上单调递增，在上单调递减，……………(9分) 又，……………………………………………(10分) ，……………………………………….…(11分) ，……………………………………….……………(12分) 故在区间上的最大值为，最小值为.………………………………(13分) 16. （1） （2） 【分析】（1）利用等比数列的定义证明，并先写出数列的通项公式，从而得的通项公式； （2）先利用对数运算写出数列的通项公式，再利用分组求和、错位相减法求前项和. 【小问1详解】 由，得， ，，………………………………………………………………..(2分) ，则是首项为2，公比为4的等比数列，………………..（4分） 则， 则；……………………………………………………………………….(5分) 【小问2详解】 由，…………………………………………（6分） 所以，…………………….（7分） 设数列和的前项和分别为， 则，①…………………………..（9分） ， ②………………（11分） ： ， 则，……………………………………………………….（13分） 而，…………………………………………………………（14分） 所以…………………………………………………（15分） 17．由于锐角三角形，故BC边上的高落在线段BC上，， 因为角A是锐角，所以余弦值大于零 ………………………………….….……….(6分) ……………………………………………..…………（8分） 因此，随着的增大， 不断增大，不断减小，因会连续不断的增大。……………………………………………………………....（9分） 如图在边上运动,在点时，…………………………（10分） 时，此时…………..（11分） 时, 此时……….( 12分) 在点时，（13分） （14分） 根据对勾函数在单调递减，在单调递增故值域为 …………………………………………………………………..……………（15分） 18．(1) 19【分析】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）写出矩形面积的表达式利用导数求出最值即可； （2）①和（1）类似；②的证明则要利用分割的思想，并利用图像中存在的几何不等式，通过求和进行证明. 【详解】（1）设，矩形的面积，……..（1分） 令，………………………………………..…..（3分） 在上，， 单调递增；4分） 在上，， 单调递减，……………………………..……….（5分） 所以，即最大值为………………………………………...（7分） （2）①设切点，直线的斜率，直线的方程为，……………………………………………………………………（9分） 令得，则，，………………………（11分）且即， 直角的面积，…………………………….（13分）令， ， 则，…………………（15分） 在上，，单调递增；在上，，单调递减， 所以，即最大值为…………………………………….（17分） 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 导数定义、极限性质 0.7 2 单选题 5 等比数列、对数运算性质 0.7 3 单选题 5 二项式、根据展开式还原二项式 0.75 4 单选题 5 等差数列、等差中项性质 0.8 5 单选题 5 排列组合、环形排列，捆绑插孔 0.45 6 单选题 5 一元导数、求公切线 0.65 7 单选题 5 一元导数、导函数判断单调性、求参数 0.7 8 单选题 5 圆锥曲线、直线与圆的位置关系 0.82 9 多选题 6 数列、做差做比法判断数列单调性 0.88 10 多选题 6 二项式、赋值法求奇偶项系数和 0.65 11 多选题 6 一元导数、利用一元三次函数中心对称性 0.45 12 填空题 5 等比数列、拆项配凑求新数列公比 0.9 13 填空题 5 一元导数、利用函数图像求解不等式 0.8 14 填空题 5 排列组合、涂色问题 0.7 15 解答题 13 一元函数导数、求闭区间最值 0.85 16 解答题 15 等比数列、求通项，错位相减求前n项和 0.75 17 解答题 15 解三角形、定高锐角三角形边长范围问题 0.6 18 解答题 17 棱台、推导棱台体积公式，并求体积 0.7 19 解答题 17 一元导数、建立函数模型求解实际问题 0.75 $