精品解析：2026年四川成都市初中学业水平模拟测试（模拟一）

2026年成都市初中学业水平模拟测试（模拟一） 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 甲醇和甲醚都是有机物，在一个标准大气压下，甲醇和甲醚的凝固点分别约为和，则比（ ） A. 低 B. 高 C. 低 D. 高 2. 我们日常生活中常用的A4纸的厚度约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中有一点，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接，设射线与x轴正半轴的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在2026年成都某初中九年级（1）班10名同学的中考数学成绩（单位：分）如下： 108，112，115，115，118，120，122，125，125，125 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 118，125 B. 120，115 C. 119，125 D. 121，115 6. 某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则四边形是矩形 B. 若且，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是平行四边形 D. 若且，则四边形是正方形 8. 已知函数，记其图象为C，则下列说法正确的是（ ） A. C是一个中心对称图形 B. 的最小值为 C. 方程有四个不等实根 D. 直线l与C最多有4个交点 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：_______． 10. 一个不透明的文创盲盒中，装有印有成都大运会蓉宝形象的白色徽章a枚，印有金沙遗址太阳神鸟图案的金色徽章b枚，这些徽章除图案外无差别．若从中随机摸出一枚徽章，摸到白色徽章的概率为，则的值为_______． 11. 分式方程的解为_______． 12. 成都科幻馆的一处扇形主题展示区，圆心角为，半径为10米，则该展示区的弧长为_______．（结果保留） 13. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点O与坐标原点重合，边在x轴正半轴上，顶点B、C均在第一象限内．已知菱形的边长为5，点C的纵坐标为4，若反比例函数的图象经过边的中点D，则k的值为_______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求解答： （1）计算：． （2）解不等式组：． 15. 随机抽取成都某中学部分学生的周末家务劳动时长，整理成如下不完整的频数分布表： 时长（h） 频数 3 7 15 m 5 频率 0.06 0.14 0.30 0.40 n 解答下列问题： （1）计算： ， ； （2）若该校共有1200名学生，估计周末劳动时长不低于的学生人数； （3）从的5名学生中随机抽取2人参加校园劳动分享会，用列表或画树状图的方法，求恰好抽到指定2人的概率． 16. 成都龙泉山丹景台景区的核心观景塔是城市地标建筑，某数学实践小组开展测量观景塔高度的实践活动．如图，在水平地面的A处测得观景塔顶端P的仰角为，沿坡度的斜坡向上行走65米到达B处，在B处测得观景塔顶端P的仰角为．已知水平地面，垂足为O，过点B作于点C，于点D，所有点均在同一平面，求观景塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 17. 如图，H是以为直径的上一点，其不与B、D重合，E为的中点，过点E作，交的延长线于点A，交的延长线于点C，连接、，记的角平分线交于点F，交于点G． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，试求的面积． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，平面内一动点到定点的距离与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）如图，过点的直线与曲线在第一象限的分支分别交于、，其中点始终在直线的上方，以为圆心，的长为半径的圆（图上仅画出一部分）与线段交于点，连接、． ①当取得最小值时，试求此时直线的方程； ②若，求的最大值． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 20. 如图，等腰内接于，，，在内任意取一个点，则该点落在等腰内（包括边界）的概率为_______． 21. 数学兴趣小组对斐波那契数列的整除规律进行了探究，已知斐波那契数列满足：，，且对任意正整数n，都有，该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，…通过计算斐波那契数列各项除以3的余数，发现余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，按此规律，该余数数列中能被3整除的项，每_______项出现一次；若斐波那契数列的前2026项中，能被7整除的项共有m个，则m的值为_______． 22. 如图，已知在中，，，点Q在上，满足，点P在上．若，且，将点P沿对称至M，连接，则的面积为_______． 23. 对于二次函数，当自变量x的取值范围为时，对应的函数值y的取值范围也恰好是，我们称为该二次函数的“保值范围”．已知二次函数，当时，若该函数的“保值范围”为，则t的值为_______；若该函数存在“保值范围”，且，则实数m的取值范围是_______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为助力成都“公园城市”示范区建设，某社区开展“绿色家园·绿植认养”公益活动，计划购进A、B两种绿植共500盆用于居民认养． （1）已知购进2盆A种绿植和3盆B种绿植共需90元，购进3盆A种绿植和1盆B种绿植共需65元．求A、B两种绿植的进货单价分别是多少元； （2）该社区计划A种绿植的认养单价为25元/盆，B种绿植的认养单价为35元/盆．根据前期居民调研，A种绿植的认养数量不低于B种绿植认养数量的．绿植供应商给出如下优惠：若购进A种绿植超过200盆，则超出部分每盆进货单价降价3元，B种绿植的进货单价保持不变．设购进A种绿植x盆，本次活动的总利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②如何安排进货方案，才能使本次活动的总利润最大？最大利润是多少元？ 25. 在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点． （1）求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）； （2）如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标； （3）设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，已知和共顶点A，现固定，让绕点A在平面内旋转．已知，，． （1）如图1，连接、，试探究的值； （2）如图2，连接、，点E始终在直线右侧，设与交于点G，当时，试求此时的值； （3）在的旋转过程中，取的中点F，试探究以点A、D、F构成的三角形是否可以为直角三角形？若可以，请直接写出此时的值；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年成都市初中学业水平模拟测试（模拟一） 数学 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求．） 1. 甲醇和甲醚都是有机物，在一个标准大气压下，甲醇和甲醚的凝固点分别约为和，则比（ ） A. 低 B. 高 C. 低 D. 高 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数减法的实际应用，求一个温度比另一个温度高多少，用减法计算，利用有理数减法法则和负数比较大小的规则即可得到结果． 【详解】计算与的温差，列式得：， ∵ 减去一个数等于加上这个数的相反数， ∴ . 又∵ 负数比较大小时，绝对值更大的负数更小， 可得 ， ∴ 比 高 ． 2. 我们日常生活中常用的A4纸的厚度约为米，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的正数的科学记数法表示，科学记数法的标准形式为，要求，为整数，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解： 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需根据合并同类项、积的乘方、完全平方公式、同底数幂除法的运算法则逐一判断选项． 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：，计算结果与等式右边一致，B正确； 对选项C： ，C错误； 对选项D： ，D错误． 4. 在平面直角坐标系中有一点，过点B作x轴的垂线，垂足为C，连接，设射线与x轴正半轴的夹角为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据点得到直角三角形两条直角边的长度，利用勾股定理求出斜边的长，再根据锐角三角函数的定义计算各三角函数值，判断选项即可． 【详解】解：∵ 点，轴，垂足为， ∴ ，， 由勾股定理得 ，故选项A错误； 根据锐角三角函数定义： ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D正确． 5. 在2026年成都某初中九年级（1）班10名同学的中考数学成绩（单位：分）如下： 108，112，115，115，118，120，122，125，125，125 则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 118，125 B. 120，115 C. 119，125 D. 121，115 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中位数和众数的定义，根据定义分别求出这组数据的中位数与众数即可得到答案，注意数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数． 【详解】解：∵这组数据共10个，已经按从小到大的顺序排列， 统计各数据出现次数得：125出现3次，次数最多， ∴这组数据的众数为． ∵数据个数为偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，即第5个和第6个数据的平均数， 第5个数据为，第6个数据为， ∴中位数为． 因此这组数据的中位数和众数分别是和，故选C． 6. 某工厂承接甲、乙两种零件加工任务，已知加工1个甲种零件需耗材5元，加工1个乙种零件需耗材3元．若该工厂共加工甲、乙两种零件40个，且购买耗材总费用为170元，设加工甲种零件x个，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据“总耗材费用=甲零件总耗材费用+乙零件总耗材费用”的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵设加工甲种零件个，甲乙两种零件共加工个， ∴加工乙种零件的个数为个． ∵加工个甲种零件需耗材元，加工个乙种零件需耗材元，总耗材费用为元， ∴甲零件总耗材为，乙零件总耗材为 ， 可得方程：． 7. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则四边形是矩形 B. 若且，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是平行四边形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定逐项进行判断即可． 【详解】解：A、且，不能得到四边形是矩形，故A错误； B、且，仅能说明邻边相等，对边关系不确定， 则四边形不一定是菱形，故B错误； C、且，则对角线互相平分，四边形是平行四边形，故C正确； D、且，未强调对角线互相平分， 则不能判定四边形是正方形，故D错误． 8. 已知函数，记其图象为C，则下列说法正确的是（ ） A. C是一个中心对称图形 B. 的最小值为 C. 方程有四个不等实根 D. 直线l与C最多有4个交点 【答案】D 【解析】 【分析】先对带绝对值的函数进行化简，再结合图像及二次函数性质逐一判断选项正误． 【详解】解：，则其函数图像如下： A选项，由图可知图象关于轴对称，不是中心对称图形，A错误； B选项，当或时取得最小值，不是，B错误； C选项，方程即，由图可知仅有2个不等的实根，C错误； D选项，直线l是一次函数，与每一段二次函数最多产生个交点，两段最多共个交点， 且存在直线（如）与有个交点，D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： ． 10. 一个不透明的文创盲盒中，装有印有成都大运会蓉宝形象的白色徽章a枚，印有金沙遗址太阳神鸟图案的金色徽章b枚，这些徽章除图案外无差别．若从中随机摸出一枚徽章，摸到白色徽章的概率为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的定义，摸到白色徽章的概率等于白色徽章的数量除以所有徽章的总数量，据此列出等式，再通过等式变形即可求出的值． 【详解】解：由题意可知，所有徽章的总数量为枚． 根据概率公式可得 交叉相乘得 去括号得 移项得 合并同类项得 因为为徽章数量，，两边同除以得 ． 11. 分式方程的解为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是方程的解． 12. 成都科幻馆的一处扇形主题展示区，圆心角为，半径为10米，则该展示区的弧长为_______．（结果保留） 【答案】米## 【解析】 【分析】根据弧长公式为，其中是圆心角度数，是扇形半径，直接代入计算即可． 【详解】解：由题意得， ，米， 所以（米）． 13. 在平面直角坐标系中，菱形的顶点O与坐标原点重合，边在x轴正半轴上，顶点B、C均在第一象限内．已知菱形的边长为5，点C的纵坐标为4，若反比例函数的图象经过边的中点D，则k的值为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出点C的横坐标，再根据菱形的性质得到点B的坐标，接着求出中点D的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征求出的值． 【详解】解：过点作于点， 由题意得 ，， 在中，根据勾股定理得， 则点的坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点的纵坐标为，横坐标为，即点， ∴是的中点， ∴的坐标为，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 按要求解答： （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角锐角三角函数，再进行加减计算； （2）先分别解一元一次不等式，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则确定解集即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 由得， 由得， 不等式组的解集为． 15. 随机抽取成都某中学部分学生的周末家务劳动时长，整理成如下不完整的频数分布表： 时长（h） 频数 3 7 15 m 5 频率 0.06 0.14 0.30 0.40 n 解答下列问题： （1）计算： ， ； （2）若该校共有1200名学生，估计周末劳动时长不低于的学生人数； （3）从的5名学生中随机抽取2人参加校园劳动分享会，用列表或画树状图的方法，求恰好抽到指定2人的概率． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算出抽取的总人数，再计算频数及频率； （2）根据样本估计总体人数即可； （3）画出树状图，根据树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：由题可知，总人数为（人）， ，； 【小问2详解】 解：周末劳动时长不低于2h的频率为， （人）， 答：若该校共有1200名学生，估计周末劳动时长不低于的学生人数为人； 【小问3详解】 解：设这5名学生为，其中为指定2人， 则画树状图如下： 总共有种情况，其中选中指定2人的有种， 故恰好抽到指定2人的概率为． 16. 成都龙泉山丹景台景区的核心观景塔是城市地标建筑，某数学实践小组开展测量观景塔高度的实践活动．如图，在水平地面的A处测得观景塔顶端P的仰角为，沿坡度的斜坡向上行走65米到达B处，在B处测得观景塔顶端P的仰角为．已知水平地面，垂足为O，过点B作于点C，于点D，所有点均在同一平面，求观景塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理可得米，米，米，设，则米，米，在中，利用锐角三角函数，可求出x的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：米，，， 在中，米，，， ∴， 解得：米， ∴米，米， ∵在中，， ∴， ∴可设， ∴米，米， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴米， 即观景塔的高度为米． 17. 如图，H是以为直径的上一点，其不与B、D重合，E为的中点，过点E作，交的延长线于点A，交的延长线于点C，连接、，记的角平分线交于点F，交于点G． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，试求的面积． 【答案】（1）直线是的切线，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据E为的中点，可得，再由，可得，从而得到，进而得到，即可解答； （2）过点E作于点M，证明，可得， ，，，根据，可得 ，，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 解：直线是的切线，理由如下： 如图，连接， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点E作于点M， ∵为的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为． 18. 在平面直角坐标系中，已知，，平面内一动点到定点的距离与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）如图，过点的直线与曲线在第一象限的分支分别交于、，其中点始终在直线的上方，以为圆心，的长为半径的圆（图上仅画出一部分）与线段交于点，连接、． ①当取得最小值时，试求此时直线的方程； ②若，求的最大值． 【答案】（1）曲线的方程为 （2）①的解析式为；② 【解析】 【分析】（1）过作垂直于直线，垂足为，过作轴的垂线交直线于点，作于点，设的坐标为，通过构造的直角三角形可以把到定点的距离与到直线的距离用，的代数式表示出来，再根据它们的比值，列出关于，的方程即可； （2）①分别过，作直线的垂线，垂足分别为，，根据双曲线的对称性，不妨设，根据，，只要最小时，最小，当时，可以求出的值，当时，过作于点，交于点，可以构成出一个矩形和一对相似三角形，从而推导出关于，的等量关系，通过该等量关系可以求出，乘积的最小值，从而确定，的位置，进一步可以求出直线的函数解析式；②先证明 ，然后通过① 问中得到 可推导出 ，再结合 ，可以用 的代数式表示出 和 ，然后将转化为，而 又可以转化为，这样可以用的代数式表示，从而将 转化为 的函数，通过对该函数讨论即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图： 如图，过作垂直于直线，垂足为， 过作轴的垂线交直线于点，作于点， 与轴成角， 设的坐标为，则的坐标为 ，，， ，， ， ， ， ， ， 曲线的方程为， 【小问2详解】 解：①如图，分别过，作直线的垂线，垂足分别为，， ，， 在直线上， 设与直线交于点，则， ， 由（1）知，曲线方程为， 即，它是一个反比例函数， 它的图象关于对称，即关于对称， 不妨设， 当时，四边形与四边形均为矩形， ， ，， ， 当时，过作于点，交于点，则，， ， ， ， ， 得 ， ， ， ， ， ， 即 ， ， 当时，等号成立，此时最小， 综上所述：当时，等号成立，此时最小， 此时，， 设直线的解析式为, 把代入得, ， 的解析式为； ②如图： 设 ， ， 由①问可知 ， ，， ，， ，，， ， ，                   当 即 时， 取最大值，最大值为 . B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 若a，b是一元二次方程的两个实数根，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由，是一元二次方程的两个实数根，则、，再化简得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：a，b是一元二次方程的两个实数根， ，， ，，则， ∴ ． 20. 如图，等腰内接于，，，在内任意取一个点，则该点落在等腰内（包括边界）的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，根据点落在阴影区域的概率就是等腰三角形的面积与圆的面积之比，即可求解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ∵等腰内接于，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴面积为， ∴该点落在等腰内（包括边界）的概率为． 21. 数学兴趣小组对斐波那契数列的整除规律进行了探究，已知斐波那契数列满足：，，且对任意正整数n，都有，该数列为1，1，2，3，5，8，13，21，…通过计算斐波那契数列各项除以3的余数，发现余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，按此规律，该余数数列中能被3整除的项，每_______项出现一次；若斐波那契数列的前2026项中，能被7整除的项共有m个，则m的值为_______． 【答案】 ①. 4 ②. 253 【解析】 【分析】先根据给出的除以3的余数，找出能被3整除的项的出现规律得到第一个空，再根据斐波那契数列的递推关系计算除以的余数，得到余数的周期规律，再通过周期计算前2026项中能被7整除的项数． 【详解】解：已知斐波那契数列各项除以3的余数依次为 ， 能被3整除的项余数为，观察得依次出现在第项，第项，第项， 因此每项出现一次，第一个空结果为． 根据递推公式，计算各项除以7的余数： 可得余数从开始重复，因此余数周期为，每个周期内有个能被整除的项， ，即包含个完整周期，剩余项对应周期的前项， 前项中有个能被整除的项， 因此． 22. 如图，已知在中，，，点Q在上，满足，点P在上．若，且，将点P沿对称至M，连接，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用勾股定理和，把统一用表示；然后根据已知条件构造圆，利用相似求出，最后求面积即可． 【详解】在 中，，由勾股定理得， ， ， ， ． 如图1，过 、、 作 ，分别交、于、，连接、， ， ． ， 为直径，． 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ． 同理，可证 ， ． 设 ，，由前面的结论可得 消去y，得 ， ， ， ， ， ， ，（不合题意，舍去），（不合题意，舍去）． ． 如图2，连接，由三角形的面积公式，得． 与 同高，， ． 点 是点 关于直线的对称点，且 ， ， 点 、 到直线的距离相等， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆、相似等知识．把要求的结论和已知条件建立联系，构造隐形圆是解题的关键． 23. 对于二次函数，当自变量x的取值范围为时，对应的函数值y的取值范围也恰好是，我们称为该二次函数的“保值范围”．已知二次函数，当时，若该函数的“保值范围”为，则t的值为_______；若该函数存在“保值范围”，且，则实数m的取值范围是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据二次函数的“保值范围”的定义即可求出t的值；先根据二次函数的“保值范围”的定义结合二次函数的性质得到，再分两种情况结合二次函数的性质讨论求解即可. 【详解】解：当时，二次函数为，顶点坐标为； 当时，解得：， 故当，即时，； 二次函数为，顶点坐标为； ∴当且时，二次函数的最小值为， ∵函数存在“保值范围”， ∴， ∴； 则或， 对于，则， 整理得： ， ∵， ∴，， ∴ ， 由及，得， ∴ ， 即 ， 由于，则， ∴， ∵， ∴； ∴， ∴； 对于，则 ， ∵， ∴， 由及，得， ∴， 即 ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 则； 综上，当时满足题意． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 为助力成都“公园城市”示范区建设，某社区开展“绿色家园·绿植认养”公益活动，计划购进A、B两种绿植共500盆用于居民认养． （1）已知购进2盆A种绿植和3盆B种绿植共需90元，购进3盆A种绿植和1盆B种绿植共需65元．求A、B两种绿植的进货单价分别是多少元； （2）该社区计划A种绿植的认养单价为25元/盆，B种绿植的认养单价为35元/盆．根据前期居民调研，A种绿植的认养数量不低于B种绿植认养数量的．绿植供应商给出如下优惠：若购进A种绿植超过200盆，则超出部分每盆进货单价降价3元，B种绿植的进货单价保持不变．设购进A种绿植x盆，本次活动的总利润为w元． ①求w与x之间的函数关系式； ②如何安排进货方案，才能使本次活动的总利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）A、B两种绿植的进货单价分别是15元，20元 （2）①；②购进A种绿植167盆，B种绿植333盆，才能使本次活动的总利润最大？最大利润是6665元 【解析】 【分析】（1）设A、B两种绿植的进货单价分别是a元，b元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）①先求出x的取值范围，然后分两种情况，列出函数关系式，即可求解；②利用一次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设A、B两种绿植的进货单价分别是a元，b元，根据题意得： ， 解得：， 答：A、B两种绿植的进货单价分别是15元，20元； 【小问2详解】 解：①∵A种绿植的认养数量不低于B种绿植认养数量的， ∴，且， 解得：， 当时，； 当时，， 综上所述，w与x之间的函数关系式为； ②当时，此时x的最小值为167， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为6665； 当时， ∵， ∴w随x的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，最大值为6498； ∵， ∴w的最大值为6665，此时， 即购进A种绿植167盆，B种绿植333盆，才能使本次活动的总利润最大，最大利润是6665元． 25. 在平面直角坐标系中，已知图象P对应的解析式（其中m为常数），且P经过点． （1）求P的解析式（整理为y关于x的函数形式，并写出自变量x的取值范围）； （2）如图，记点，，动点Q在P上，若以A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形，且，求所有满足题意的Q点坐标； （3）设S是直线上一点，过S分别作直线、交P于点、与点、（四个点互不重合），试探究：在点S和两条直线变化的过程中，是否存在？若存在，求出直线与直线的斜率和；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）代入点到P的解析式，求出的值，再将解析式整理为y关于x的函数形式，结合算术平方根的非负性即可写出自变量x的取值范围； （2）设点Q的坐标为，其中，分两种情况讨论：①当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到一个Q点坐标；②当时，过点作轴的垂线交于点，通过证明，得到，进而列出关于的方程，求出的值即可得到另一个Q点坐标； （3）设点S的坐标为，利用待定系数法可得直线的解析式为，联立直线与图象P的解析式，整理可得，设点，，利用韦达定理以及一次函数的性质可得，，，，进而得出；设直线的解析式为，同理可得，再根据列出方程，解得或或，再分情况讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：代入点到，得， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴P的解析式为； 【小问2详解】 解：设点Q的坐标为，其中， ①当时，如图1，过点作轴的垂线交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； ②当时，如图2，过点作轴的垂线交于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或； 【小问3详解】 解：不存在，理由如下： 设点S的坐标为，直线的解析式为， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 消去整理得：， 设点，， 则，，，， ∴， ， ∴ ， 设直线的解析式为， 同理可得：， ∵， ∴， 即， 解得或或， 当时，点恰好在图象P上，此时点、、、至少有两个点重合，不符合题意； 当时，直线与重合，此时点、与点、重合，不符合题意； 当时，不妨假设，， ∴直线中随着的增大而减小， ∵图象P：， ∴图象P中随着的增大而增大， ∴直线与图象P最多有1个交点，不符合题意； 综上，在点S和两条直线变化的过程中，不存在． 26. 如图1，已知和共顶点A，现固定，让绕点A在平面内旋转．已知，，． （1）如图1，连接、，试探究的值； （2）如图2，连接、，点E始终在直线右侧，设与交于点G，当时，试求此时的值； （3）在的旋转过程中，取的中点F，试探究以点A、D、F构成的三角形是否可以为直角三角形？若可以，请直接写出此时的值；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）的值为或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用正切的定义可证得，得到，再证得，利用勾股定理求出的长，从而利用相似三角形对应边成比例得出最终结果； （2）过点D作交于点H，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质得到相关线段的长度，通过勾股定理求出的长度，从而证得点E，D，H三点共线，再证明，利用相似三角形对应边成比例得出相关线段的长度，最终利用正切的定义得出结果； （3）要使是直角三角形，分情况讨论：①当点A为直角顶点时，；②当点A为直角顶点时，；③当点D为直角顶点时，，此时点D，E，F，C四点共线；④当点D为直角顶点时，，此时点E，D，F，C四点共线，利用勾股定理，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线定理即可求得不同情况的结果． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，， 即，解得， ∴， ∴即，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【小问2详解】 解：如图，过点D作交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴点E，D，H三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 【小问3详解】 解：由题意知，要使是直角三角形， 此时分情况讨论： ①当点A为直角顶点时，， 如图，过点C作交延长线于点K，过点E作交于点L，与交于点K， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴点K为的中点， 同理可得，点A为的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴； ②当点A为直角顶点时，， 如图，延长，交点P， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ③当点D为直角顶点时，，此时点D，E，F，C四点共线， 在中，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在中，； ④当点D为直角顶点时，，此时点E，D，F，C四点共线， 在中，， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在中，， 综上所述，的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $