专题10 变量和函数及其图象性质 讲义-2026年九年级中考数学一轮复习

专题10 变量和函数及其图象性质

 

一、常量和变量

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．

1.变量和常量是相对而言的，变化过程不同，它们可能发生改变，判断的前提条件是“在同一个变化过程中”，当变化过程改变时，同一个量的身份也可能随之改变，例如，在s=vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，而t为常量．

2.“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量，不能认为式中出现的字母就是变量，如在一个匀速运动中的速度v就是一个常量．

3.变量、常量与字母的指数没有关系，如S=πr2中，变量是“S”和“r”，常量是“π”．

4.判断一个量是不是变量，关键是看其数值是否发生变化．

二、函数的定义

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．

对函数定义的理解，主要抓住以下三点：

1.有两个变量．

2.函数不是数，函数的本质是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，且是一种特殊的对应关系，一个变量的数值随着另一个变量数值的变化而变化．

3.函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量的每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，对自变量x的不同取值，y的值可以相同．

在某个变化过程中处于主导地位的变量即为自变量，随之变化且对应值有唯一确定性的另一个变量即为该自变量的函数．

三、自变量取值范围的确定

使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围．

当用函数关系式表示实际问题时，自变量的取值不但要使函数关系式有意义，而且还必须使实际问题有意义．

四、函数解析式及函数值

函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．

1.函数解析式是等式．

2.函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数．

3.用数学式子表示函数的方法叫做解析式法．

函数值：对于自变量x在取值范围内的某个确定的值a，函数y所对应的值为b，即当x=a，y=b时，b叫做自变量x的值为a时的函数值．

五、函数的图象及其画法

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．

 

考点1

常量与变量

典例1

如图，把两根木条和的一端用螺栓固定在一起，木条自由转动至位置．在转动过程中，下面的量是常量的为　　

A．的度数 B．的长度 C．的长度 D．的面积

跟踪训练

1.水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆周长与的关系式为．下列判断正确的是　　

A．2是变量 B．是变量 C．是变量 D．是常量

2.骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间的变化而变化的，在这一问题中，因变量是　　

A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼

3.在中，它的底边是，底边上的高是，则三角形面积，当为定长时，在此式中　　

A．，是变量，，是常量 B．，，是变量，是常量 

C．，，是变量，是常量 D．是变量，，，是常量

4.球的体积是，球的半径为，则，其中变量和常量分别是　　

A．变量是，；常量是， B．变量是，；常量是 

C．变量是，，；常量是 D．变量是，；常量是

考点2

函数的概念

典例2

下列曲线所表示的与之间关系不是函数关系的是　　

A． B． C． D．

跟踪训练

1.下列关系中，不是的函数关系的是　　

A．长方形的长一定时，其面积与宽 

B．高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程与行驶的时间 

C． 

D．

2.下列图象中，不是的函数的是　　

A． B． C． D．

3.下列各曲线表示的与之间的关系中，不是的函数的是　　

A． B． C． D．

4.下列关系式中，不是自变量的函数的是　　

A． B． C． D．