第10讲 一次函数的图像与性质（复习讲义，15题型2重难）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦一次函数的图像与性质，覆盖概念、图像性质、与方程不等式关系及几何变化等核心考点，通过考情剖析、知识网络构建、考点解析、题型预测、重难突破和分层练习的系统设计，帮助学生梳理知识联系，突破参数范围、增减性等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“数形转化”教学策略，如通过k、b符号与象限关系表格培养几何直观，结合真题讲解待定系数法提升推理能力，设计规律探究题型发展创新意识。分层练习配合即时反馈，确保高效复习，助力学生提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

第三章 函数 第02讲 一次函数的图像与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 10 命题点一 一次函数的图像与性质 题型01一次函数的定义 题型02一次函数图像的识别 题型03已知函数所过象限求参数范围 题型04一次函数与坐标轴交点 题型05一次函数的增减性 题型06一次函数值的大小比较 题型07一次函数的规律探究 题型08求一次函数的解析式 命题点二 一次函数与方程不等式的关系 题型01一次函数与一元一次方程的联系 题型02一次函数与二元一次方程的联系 题型03一次函数与不等式的联系 命题点三 一次函数图像的几何变化 题型01一次函数图像的平移 题型02一次函数图像的旋转 题型03一次函数图像的对称 题型04一次函数与几何问题综合 05·重难突破·思维进阶 22 突破一 一次函数与反比例函数综合 突破二 一次函数图像的动点问题 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的概念 / / 湖州卷T22 宁波卷T21 衢州卷T20 理解一次函数（含正比例函数）的意义，能根据实际问题列出一次函数表达式 一次函数的图像与性质 / / 杭州卷T15 湖州卷T10 宁波卷T21 衢州卷T20 绍兴卷T9 能画出一次函数的图像；掌握k、b 的几何意义；理解一次函数的增减性、与坐标轴的交点；能利用图像分析函数性质 一次函数方程、不等式的关系 / 浙江卷T22 / 能用函数图像求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集；理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的内在联系 命题预测 在近三年的·浙江省中考真题中·，一次函数的图像与性质是中考数学的“中坚力量”，常以“图象识别+性质分析”组合出现。基础题多考察 符号与图象象限、增减性的对应关系；中档题则侧重于待定系数法求解析式，并结合点的坐标处理交点问题；压轴题则通常将一次函数作为“背景板”，与几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的存在性问题、面积最值或平移旋转变换深度融合。在趋势预测上，2026年浙江中考将更加强调“函数建模”与“动态变化”：单纯的套公式求解析式会减少，取而代之的是从实际生产、生活情境（如分段计费、行程问题）中提取变量关系；同时，函数与不等式、方程的“三位一体”考查将更紧密，利用图象直观解不等式或确定参数范围将成为高频考点。备考策略方面，考生应建立“数形转化”的直觉，熟练掌握 的几何意义及其对图象倾斜程度和增减性的控制；加强分段函数的建模训练，提升处理信息量较大的文字应用题的能力；针对高分诉求，考生需专项突破一次函数与几何图形、二次函数的综合题，学会利用函数思想解决几何中的定值或最值问题。 考点一 一次函数的基本概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1.（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 2.（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3.（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 4.（2024·湖北·中考真题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时， g． 考点二 一次函数的图像与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1.（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2.（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3.（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 4.（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 5.（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 6.（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 考点三 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 5.（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    命题点一 一次函数的图像与性质 ►题型01 一次函数的定义 【典例1】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，则直线l必经过（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． ►题型02 一次函数图像的识别 【典例2】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． ►题型03 已知函数所过象限求参数范围 【典例3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） ►题型04 一次函数与坐标轴交点 【典例4】（25-26八年级上·山东济南·期末）一次函数 的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（山东东营市2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标． 【变式4-2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． ►题型05 一次函数的增减性 【典例5】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．－2 D．2 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）当时，函数，为常数有最大值，则的值为 ． 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． ►题型06 一次函数值的大小比较 【典例6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式6-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知点，都在直线上，则 ．（填“>”或“＜”或“＝”） 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为一次函数（为常数）图象上的两个点，则 （填“”“”或“”）． ►题型07 一次函数的规律探究 【典例7】（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（山东东营市2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是 ． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川广安·月考）正方形，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． ►题型08 求一次函数图像的解析式 【典例8】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知一次函数的图象经过点，，则它的图象不经过(  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，求k、b的值． 【变式8-2】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 命题点二 一次函数与方程不等式的关系 ►题型01 一次函数与一元一次方程的联系 【典例1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象如图，则下列说法不正确的是（　　） A．该函数图象与直线平行 B．点在该函数图象上 C．若点，在该函数图象上，则 D．关于x的方程的解是 【变式1-1】（25-26八年级·上海·假期作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 ． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）直线如图所示，则关于的方程的解是 ． ►题型02 一次函数与二元一次方程关系 【典例2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【变式2-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． ►题型03 一次函数与不等式关系 【典例3】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为 ． 命题点三 一次函数图像的几何变化 ►题型01 一次函数图像的平移 【典例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一次函数． (1)若函数的图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象与一次函数图像平行，求的值； (3)若函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． ►题型02 一次函数图像的旋转 【典例2】（天津市河东区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)若将直线绕点逆时针旋转，求旋转后的直线的函数表达式； (3)若点为轴上一点，以点为直角顶点，为腰作等腰直角，连接，点坐标为，连接．是否存在点，使最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ►题型03 一次函数图像的对称 【典例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求两点的坐标； (2)若轴正半轴上有一点，当时，求点的坐标； (3)若轴上有一点，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上时，请求出点的坐标． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南·期末）已知，如图1，点在一次函数：的图象上，该一次函数图象与x轴相交于点A． (1)请求出一次函数表达式； (2)过点P作直线轴，将点P左侧的函数图象沿着直线向上翻折，与x轴相交于点B，右侧图象不变，得到如图2的“”型函数图象，请求出的面积； (3)将（2）中得到的函数图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． ►题型04 一次函数与几何图形综合 【典例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为 ； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为 ． 【变式4-1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)G是线段上的一个动点，若直线把的面积分成的两部分，求点G的坐标． 【变式4-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的平衡点．例如，点是函数的图象的平衡点． (1)函数是否存在平衡点，若存在，求出平衡点坐标，若不存在，说明理由； (2)将一次函数的图象关于轴对称，若对称后的图象存在平衡点，求的取值范围； (3)设函数与的图象的平衡点分别为点、，过点作轴，垂足为．当为以为底边的等腰三角形时，求的值． 突破一 一次函数与反比例函数综合 【典例1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； (3)求的面积． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若过点且平行于轴的直线与直线交于点为该直线上一动点，当的面积为21时，求点的坐标． 突破二 一次函数图像的动点问题 【典例2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，，直线经过点A，交x轴于点C． (1)求直线的解析式． (2)如图2，点D是y轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，若，求的最小值． (3)如图3，点P是直线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，平面内有一个动点M，若以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 1.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·浙江·模拟预测）已知是一次函数图象上一点，下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3.（20-21八年级上·江苏南京·期末）如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 4.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 5.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 6.（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7.（2025·浙江台州·三模）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的最小值为 ． 8.（24-25九年级下·浙江杭州·月考）如图， 直线经过、两点， 则不等式的解集为 9.（18-19八年级上·江西抚州·期末）如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则 ． 10.（2025九年级上·浙江·专题练习）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 1.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点，且直线与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 2.（2025·浙江温州·模拟预测）已知，，，均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的周长最小时，点的坐标为 ． 4.（2012·江苏泰州·中考模拟）如图，已知直线经过，两点，则不等式的解集是 ． 5.（2015·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图像交y轴于点，与x轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数的解析式； (2)是的角平分线，反比例函数的图像经过点C，求m的值． 6.（2022·浙江舟山·二模）若关于的函数，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数的“联合函数”． (1)若函数，当时，求函数y的“联合函数”h的值； (2)若函数，求函数y的“联合函数”h的解析式及h的最大值； (3)若函数，是否存在实数c，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值．若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 7.（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． (1)如图1，求直线BC的解析式； (2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 8.（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 1.（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2.（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 3.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5.（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 6.（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 7.（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 8.（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 9.（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第02讲 一次函数的图像与性质 目 录 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞察·题型预测 15 命题点一 一次函数的图像与性质 题型01一次函数的定义 题型02一次函数图像的识别 题型03已知函数所过象限求参数范围 题型04一次函数与坐标轴交点 题型05一次函数的增减性 题型06一次函数值的大小比较 题型07一次函数的规律探究 题型08求一次函数的解析式 命题点二 一次函数与方程不等式的关系 题型01一次函数与一元一次方程的联系 题型02一次函数与二元一次方程的联系 题型03一次函数与不等式的联系 命题点三 一次函数图像的几何变化 题型01一次函数图像的平移 题型02一次函数图像的旋转 题型03一次函数图像的对称 题型04一次函数与几何问题综合 05·重难突破·思维进阶 56 突破一 一次函数与反比例函数综合 突破二 一次函数图像的动点问题 06·优题精选·练能提分 72 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的概念 / / 湖州卷T22 宁波卷T21 衢州卷T20 理解一次函数（含正比例函数）的意义，能根据实际问题列出一次函数表达式 一次函数的图像与性质 / / 杭州卷T15 湖州卷T10 宁波卷T21 衢州卷T20 绍兴卷T9 能画出一次函数的图像；掌握k、b 的几何意义；理解一次函数的增减性、与坐标轴的交点；能利用图像分析函数性质 一次函数方程、不等式的关系 / 浙江卷T22 / 能用函数图像求一元一次方程的解、一元一次不等式的解集；理解一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的内在联系 命题预测 在近三年的·浙江省中考真题中·，一次函数的图像与性质是中考数学的“中坚力量”，常以“图象识别+性质分析”组合出现。基础题多考察 符号与图象象限、增减性的对应关系；中档题则侧重于待定系数法求解析式，并结合点的坐标处理交点问题；压轴题则通常将一次函数作为“背景板”，与几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的存在性问题、面积最值或平移旋转变换深度融合。在趋势预测上，2026年浙江中考将更加强调“函数建模”与“动态变化”：单纯的套公式求解析式会减少，取而代之的是从实际生产、生活情境（如分段计费、行程问题）中提取变量关系；同时，函数与不等式、方程的“三位一体”考查将更紧密，利用图象直观解不等式或确定参数范围将成为高频考点。备考策略方面，考生应建立“数形转化”的直觉，熟练掌握 的几何意义及其对图象倾斜程度和增减性的控制；加强分段函数的建模训练，提升处理信息量较大的文字应用题的能力；针对高分诉求，考生需专项突破一次函数与几何图形、二次函数的综合题，学会利用函数思想解决几何中的定值或最值问题。 考点一 一次函数的基本概念 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数. 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数. 当一次函数y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）. 1.（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 2.（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 3.（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 4.（2024·湖北·中考真题）铁的密度为，铁块的质量m（单位：g）与它的体积V（单位：）之间的函数关系式为．当时， g． 【答案】79 【分析】本题考查一次函数的应用，将自变量的值代入函数关系式求出对应函数值是解题的关键． 将代入求出对应m的值即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：79． 考点二 一次函数的图像与性质 一、一次函数的图象特征及性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 二、一次函数图象 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 三、k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x= ，即直线y=kx+b与x轴交于(,0) 令x=0，则y=b，即直线y=kx+b与y轴交于(0，b) 1）当> 0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． 2）当= 0，即b=0时，直线经过原点． 3）当< 0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． 四、两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 五、用待定系数法确定一次函数解析式 确定一次函数解析式的方法：1）依据题意中等量关系直接列出解析式；2）待定系数法. 用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤： 1）设出函数的一般形式y=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)； 2）根据已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式得到关于待定系数的方程或方程组； 3）解方程或方程组求出k，b的值； 4）将所求得的k，b的值代入到函数的一般形式中，从而得到一次函数解析式. 六、正比例函数与一次函数的联系与区别 正比例函数 一次函数 区别 一般形式 y=kx+b（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k，b符号 的作用 k的符号决定其增减性， 同时决定直线所经过的象限 k的符号决定其增减性； b的符号决定直线与y轴的交点位置； k，b的符号共同决定直线在直角坐标系的位置 求解析式 的条件 只需要一对x，y的对应值 或一个点的坐标 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 联系 1）正比例函数是特殊的一次函数． 2）正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 3）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上（b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直线y=kx（k≠0）平行． 4）一次函数与正比例函数有着共同的性质： ①当k>0时，y的值随x值的增大而增大； ②当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 1.（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 2.（2025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 3.（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 4.（2024·江苏无锡·中考真题）已知是的函数，若存在实数，当时，的取值范围是．我们将称为这个函数的“级关联范围”．例如：函数，存在，，当时，，即，所以是函数的“2级关联范围”．下列结论： ①是函数的“1级关联范围”； ②不是函数的“2级关联范围”； ③函数总存在“3级关联范围”； ④函数不存在“4级关联范围”． 其中正确的为（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质． 推出在时，，即，即可判断①；推出在时，，即，即可判断②；③设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时，整理得，即可判断③；设，则，当函数存在“4级关联范围”时，，求出m和n的值，即可判断④． 【详解】解：①当时，，当时，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴在时，，即， ∴是函数的“1级关联范围”；故①正确，符合题意； ②当时，，当时，， ∵对称轴为y轴，， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴在时，，即， ∴是函数的“2级关联范围”，故②不正确，不符合题意； ③∵， ∴该反比例函数图象位于第一象限，且在第一象限内，y随x的增大而减小． 设当，则， 当函数存在“3级关联范围”时， 整理得：， ∵，， ∴总存在， ∴函数总存在“3级关联范围”；故③正确，符合题意； ④函数的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， 设，则， 当函数存在“4级关联范围”时，， 解得：， ∴是函数的“4级关联范围”， ∴函数存在“4级关联范围”，故④不正确，不符合题意； 综上：正确的有①③， 故选：A． 5.（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 6.（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 考点三 一次函数与方程、不等式 一、一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为ax+b=0(a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：方程ax+b = 0（a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）中，y=0时对应的x的值 从“形”上看：方程ax+b = 0 (a≠0）的解⇔函数y=ax+b（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标. 二、一次函数与二元一次方程组 思路：一般地，二元一次方程mx+ny=p（m、n、p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a、b为常数，且a≠0）的形式.因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是何值； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 二、一次函数与一元一次不等式 思路：关于x的一元一次不等式kx+b＞0(或＜0)的解集是以直线y=kx+b和x轴的交点为分界点，x轴上(下)方的图象所对应的x的取值范围. 从函数的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自变量的取值范围； 从函数图像的角度看：就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的横坐标满足的条件. 1.（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 2.（2022·贵州贵阳·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论： ①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而增大； ②方程组的解为； ③方程的解为； ④当时，． 其中结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数的交点坐标可判断②，由一次函数与坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案． 【详解】解：由一次函数的图象过一，二，四象限，的值随着值的增大而减小； 故①不符合题意； 由图象可得方程组的解为，即方程组的解为； 故②符合题意； 由一次函数的图象过 则方程的解为；故③符合题意； 由一次函数的图象过 则当时，．故④不符合题意； 综上：符合题意的有②③， 故选B 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，一次函数的图象的交点坐标与二元一次方程组的解，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 3.（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 4.（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 5.（2018·湖北孝感·中考真题）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为 ，，则关于 x 的方程的解为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了通过函数图象的交点确定方程的解，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线和直线的交点坐标及解析式，得出方程的解即可． 【详解】解：根据抛物线和直线的交点坐标及解析式得， 方程的解为， 故答案为：． 命题点一 一次函数的图像与性质 ►题型01 一次函数的定义 【典例1】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， 由，解得， ∵当时，，满足条件， ∴， 故选：D． 【变式1-1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，已知点与在直线上，则直线l必经过（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，先求出直线l的解析式，再将各选项点代入验证即可． 【详解】解：设直线l的解析式为（）， ∵点与在直线l上， ∴， 解得， ∴直线l的解析式为， 将各选项代入解析式验证： A. 当时，，故该点不在直线l上． B. 当时，，故该点不在直线l上． C. 当时，，故该点不在直线l上． D. 当时，，与点的纵坐标相等，故该点在直线l上． 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·安徽安庆·期末）在物理学中，物体由于运动而具有的能量，称为物体的动能，其满足关系，则下列说法正确的是（    ） A．当一定时，与满足一次函数关系 B．当一定时，与满足二次函数关系 C．当一定时，与不满足函数关系 D．当一定时，与满足二次函数关系 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数的定义，熟练掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键． 根据一次函数，二次函数的定义，即可判断． 【详解】解：∵一次函数的形式为（，、为常数），二次函数的形式为（，、、为常数） ①当一定时，令（为常数且），则，符合二次函数的形式，∴与满足二次函数关系，故A不符合题意，B符合题意； ②当一定时，令（为常数且），则，符合一次函数的形式，∴与满足一次函数关系，故C、D不符合题意．. 故选：B． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．先由得到当时有最大值，再将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴当时，一次函数在有最大值， 即， 故选：C． ►题型02 一次函数图像的识别 【典例2】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）如图，是函数的图象，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】解：由函数图象可知， ∵随的增大而减小， ∴， ∴ ∵直线与轴交于负半轴， ∴， 则函数的图象，随的增大而减小，直线与轴交于正半轴， 故选：A． 【变式2-1】（25-26八年级上·四川达州·期末）一次函数中，若，且y随着x的增大而减小，则其图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质．由一次函数中y随着x的增大而减小，可得，由，可得，此一次函数的图象过二、三、四象限，即可解答． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴一次函数的图象过二、三、四象限，A选项符合题意． 故选：A． 【变式2-2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）一次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据给出函数图象确定参数的取值，然后根据参数取值范围确定所求函数图象即可． 【详解】解：根据函数图象得， ∵随的增大而减小， ∴； ∴在一次函数的图象中， 由，得随的增大而减小； 由，得直线与轴交于正半轴； 故选：A． ►题型03 已知函数所过象限求参数范围 【典例3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）若关于x的一次函数的图象经过点，且不经过第三象限，记，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，不等式的性质，本题先利用函数过已知点得到与的关系式，再根据一次函数不经过第三象限的性质确定的取值范围，最后将用表示后求出的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点 ∴将代入函数得： ∴ ∵一次函数图象不经过第三象限 ∴ 将代入得： 解得： ∴的取值范围为 ∵，将代入得： ∴ ∴ 即的取值范围为 故选：B． 【变式3-1】（25-26八年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当，，的图象在一、二、三象限；当，，的图象在一、三、四象限；当，，的图象在一、二、四象限；当，，的图象在二、三、四象限． 根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、二、四象限， ∴． 故选：C． 【变式3-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，点、在该函数图象上，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数增减性比较大小，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 根据一次函数图象经过第一、二、四象限，确定，且，从而确定一次函数的函数值随的增大而减小，再比较和的纵坐标大小，即可得到横坐标的大小． 【详解】解：一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限， ，且， 则一次函数的函数值随的增大而减小， 由点和在函数图象上，且，可得， 故答案为：． ►题型04 一次函数与坐标轴交点 【典例4】（25-26八年级上·山东济南·期末）一次函数 的图象与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数与坐标轴的交点，求一次函数图象与y轴的交点，令代入求解即可 【详解】解：函数图像与y轴的交点横坐标为0， 令，代入， 得， 交点坐标为， 故选：A 【变式4-1】（山东东营市2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）如图，一次函数与x轴，y轴分别相交于点A和点B． (1)求点A和点B的坐标； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与几何的综合应用． （1）分别令，，求出点A和点B的坐标； （2）设，由（1）得点A，B的坐标，则，，，然后由即可求出b的值，从而求解． 【详解】（1）解：由得， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为． （2）解：设， 由（1）得点A的坐标为，点B的坐标为， ，， ， 的面积为3， ， 即， ， 解得：或， ∴点P的坐标为或． 【变式4-2】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标； (2)求直线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象及性质，一次函数与坐标轴的交点问题； （1）根据函数的图象与、轴交点的坐标特点，分别令求出的值；令求出的值即可求出、两点的坐标； （2）根据、两点的坐标，求得和的长，即可得到直线与两坐标轴围成三角形的面积． 【详解】（1）解：在一次函数中，令，则；令，则， ∴，； （2）解：由，，可得，， ∴的面积， ∴直线与两坐标轴围成的三角形的面积为4． ►题型05 一次函数的增减性 【典例5】（25-26八年级上·福建漳州·期末）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（    ） A．－1 B．0 C．－2 D．2 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，对于，当时，y随x的增大而减小． 根据一次函数的性质，当小于0时，函数值y随x的增大而减小，列不等式计算即可． 【详解】解：∵函数的函数值y随x的增大而减小， ，即， 观察选项，，符合条件， 故选：C． 【变式5-1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）当时，函数，为常数有最大值，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）的增减性（时随增大而增大，时随增大而减小）是解题的关键．先将函数整理为，再根据一次项系数的正负，判断函数在上的增减性，分别求出最大值对应的值，代入函数列方程求解 【详解】解：， 当时，函数随的增大而增大， 时，最大， ， 解得， 当时，函数随的增大而减小， 时，最大， ， 解得， 故答案为： 【变式5-2】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）一次函数中，y随x的增大而减小，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数中，当时，随的增大而减小． 先根据一次函数的增减性判断出的符号，再求出的取值范围即可． 【详解】解：一次函数中，的值随值的增大而减小， ， ． 故答案为：． ►题型06 一次函数值的大小比较 【典例6】（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，（），其中的图像经过点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由的图像经过点可求出 ，从而得到和的表达式，的符号由的符号决定，因，需分析的正负验证各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的图像经过点， ∴ ， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的符号由的符号决定， 令，得或， 当时，；当时，；当时，， 、若，则，故该选项说法正确，符合题意； 、当 时，，不满足，不符合题意； 、若，则或，故该选项说法错误，不符合题意； 、若，则，故该选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【变式6-1】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数的图象经过点，点均在一次函数的图象上，若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． 先将已知点代入一次函数解析式求出k的值，判断函数的增减性，再根据函数值的大小关系得出自变量的大小关系． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴将代入解析式得：， 解得， ∴该一次函数为， ∵， ∴一次函数中，y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故选：C． 【变式6-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知点，都在直线上，则 ．（填“>”或“＜”或“＝”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征求出，的值是解题的关键．将点的横坐标代入直线解析式，分别求出纵坐标的值，再比较大小即可解答． 【详解】解：点，都在直线上， ，， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知为一次函数（为常数）图象上的两个点，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合，可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵是一次函数（为常数）图象上的两点，且， ∴． 故答案为：． ►题型07 一次函数的规律探究 【典例7】（25-26九年级上·山西运城·期末）若正方形，，，按如图所示的方式放置．点，，，…在直线上，且直线与轴的夹角为，点，，，…在轴上，已知点，则的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律问题，正方形的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键． 求出直线解析式为，然后求出，，的坐标，探究规律后即可解决问题． 【详解】解：∵直线与轴的夹角为，， ∴直线与轴交点坐标为， 设直线解析式为， 代入点，， 得， 解得， ∴直线解析式为， 四边形是正方形， ∴，把代入，得， ∴的坐标为， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理可得的坐标为， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故选：A． 【变式7-1】（山东东营市2025-2026学年上学期八年级期末数学试卷）如图放置的，，…都是边长为4的等边三角形，边在y轴上，点，，…都在直线上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，等边三角形的性质，点的坐标规律．由已知结合等边三角形的性质和一次函数的性质可分别求出，，，…，，由此即可求解． 【详解】解：如图， ，…都是边长为4的等边三角形， ∴， …，， ∵在y轴上， 轴，轴，… 延长交x轴于点C， ∵点在直线上， ∴设， 是等边三角形，且边长为4， ． ∴的坐标为， 同理、， ， ∴的坐标为， 故答案为：． 【变式7-2】（25-26九年级上·四川广安·月考）正方形，，，…按如图的方式放置．点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【答案】（n为正整数） 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，通过求出第一个正方形，第二个正方形和第三个正方形的边长得出规律是解题的关键，根据直线解析式先求出，再求出第一个正方形的边长为2，第二个正方形的边长为，得出规律，即可求出第个正方形的边长，从而求得点的坐标． 【详解】解：∵直线， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， 故答案为：． ►题型08 求一次函数图像的解析式 【典例8】（25-26八年级上·河北保定·期末）已知一次函数的图象经过点，，则它的图象不经过(  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的解析式求解及一次函数的图象性质．关键是利用待定系数法求出一次函数的解析式，再根据、的符号判断函数图象经过的象限． 【详解】解：将点，代入， 可得方程组：，解得， 所以该一次函数的解析式为． ，， 该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限． 故选：A． 【变式8-1】（2026八年级下·全国·专题练习）已知函数的图象与一次函数的图象关于y轴对称，求k、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了待定系数法和函数图象的对称性，首先根据两个函数图象关于y轴对称，可知它们与y轴的交点相同，从而求出b的值；然后利用对称性，找出图象上一个特殊点（如与轴的交点）关于y轴的对称点，该对称点必在的图象上，将其坐标代入即可求出k的值． 【详解】解：∵当时，， ∴的图象与y轴交于点， ∵点关于y轴的对称点是本身， ∴点在函数的图象上， ∴， ∴， 它与x轴的交点坐标为， 关于轴对称点的坐标为， ∵的图象与的图象关于y轴对称， ∴的图象经过点， ∴， ∴． 【变式8-2】（25-26八年级上·陕西汉中·期末）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点，在该函数图象上，且，比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求函数的解析式，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据一次函数的图象和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得 ∴该一次函数的解析式为； （2）解：∵，且， ∴随的增大而减小， ∵， ∴． 命题点二 一次函数与方程不等式的关系 ►题型01 一次函数与一元一次方程的联系 【典例1】（25-26七年级上·山东济宁·期末）已知一次函数的图象如图，则下列说法不正确的是（　　） A．该函数图象与直线平行 B．点在该函数图象上 C．若点，在该函数图象上，则 D．关于x的方程的解是 【答案】B 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，首先求出，得到一次函数，然后根据一次函数的图象和性质逐项判断即可． 【详解】解：∵一次函数的图象如图， ∴， ∴ ∴一次函数 ∴该函数图象与直线平行，故A正确； 当时， ∴点不在该函数图象上，故B错误； ∴点在该函数图象上， ∴关于x的方程的解是，故D正确． 若点，在该函数图象上，且 ∴，故C正确． 故选：B． 【变式1-1】（25-26八年级·上海·假期作业）已知一次函数的图象经过点和点，那么关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数和一元一次方程的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据一次函数与一元一次方程的关系，方程的解即为函数图象与轴交点的横坐标． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，该点是函数图象与轴的交点， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）直线如图所示，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】方程的解，就是直线上函数值时对应的自变量的值．我们可以从图像中直接读取当 时的坐标． 【详解】解：从图中可以看到，直线经过点． ∴当时， 因此，方程的解是 故答案为：． 【点睛】本题考查了知识点一次函数与一元一次方程的关系，解题关键是理解“方程的解”与“函数图像上点的坐标”之间的对应关系． ►题型02 一次函数与二元一次方程关系 【典例2】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知一次函数与的图象如图所示，其交点B的坐标为，直线与x轴的交点坐标为，请你观察图象并结合一元一次方程、一元一次不等式和一次函数的相关知识判断，则下列说法正确的是（   ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x的不等式的解集是 D．的解集为 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，一次函数与二元一次方程组，熟知以上知识是解题的关键．根据两函数图象的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出结论． 【详解】解：A、直线与轴的交点坐标为， 当时，， 方程的解是，原说法错误，不符合题意； B、一次函数与的图象交于点， 方程组的解是，原说法错误，不符合题意； C、观察图象得：当时，一次函数的图象在的图象的上方， 关于的不等式的解集是，正确，符合题意； D、观察图象得：当时，函数的图象在轴的上方， 的解集为，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 【变式2-1】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与二元一次方程组的关系．关键是：一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②正确； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，4个结论均正确， 故选：D． 【变式2-2】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质、二元一次方程与一次函数的关系，准确计算是解题的关键．先把点代入直线求出，再根据二元一次方程组与一次函数的关系求解即可． 【详解】解：直线与直线交于点， ，即， ， 关于，的方程组的解为， 故答案为：． ►题型03 一次函数与不等式关系 【典例3】（25-26八年级下·全国·期中）如图，在同一平面直角坐标系中，函数和的图象交于点．若不等式恰好有3个非负整数解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与不等式解答即可． 【详解】解：函数和的图象交于点， 且不等式恰好有3个非负整数解， 可得：,且， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与不等式，关键是根据一次函数与不等式的关系解答． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，一次函数的图像经过点和点，正比例函数的图像经过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据函数图象求不等式组的解集． 直接根据函数图象作答即可． 【详解】解：由函数图象可知，不等式的解集为． 故选：B． 【变式3-2】（25-26九年级上·四川南充·期末）在直角坐标系中，直线与直线的图象如图所示，两条直线的交点坐标为，那么不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，由直线与直线的图象可知，直线与直线的交点为，，根据图形即可求得不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 观察图象可知直线与直线的交点为，， ∴由图象可知不等式的解集为或， 故答案为：或 【变式3-3】（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式．求出两函数的交点坐标是解题的关键． 先求得点的坐标值，观察函数图象可知，当时，函数的图象在函数的图象的下方，即当时，． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点， ， ， ， ∴的解集为． 故答案为：． 命题点三 一次函数图像的几何变化 ►题型01 一次函数图像的平移 【典例1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，正比例函数与反比例函数（）的图象在第二象限内交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移3个单位长度，交反比例函数的图象于点C，交y轴于点B，连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数综合，一次函数的平移问题． （1）将点代入正比例函数中求出坐标，再将其代入反比例函数求解，即可解题； （2）由题意得到直线的表达式，再联立直线的表达式和反比例函数的表达式，求出点C的横坐标，最后根据三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：将点代入正比例函数中， 得，解得． ． 将点代入反比例函数中， ． 反比例函数的表达式为． （2）解：由题意知，直线的表达式为，． 联立直线的表达式和反比例函数的表达式， 得， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 点C的横坐标为． ． 【变式1-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线经过点和，线段两个端点的坐标分别为，． (1)求直线的表达式； (2)若将直线向上平移个单位长度，且平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、中点坐标公式、一次函数图象的平移规律以及一元一次方程的解法，熟练掌握待定系数法和一次函数图象平移规律是解题的关键． （1）已知直线上两点坐标，利用待定系数法列方程组，求解直线的斜率和截距，从而得到直线表达式． （2）先根据中点坐标公式求出线段的中点坐标，再根据上加下减的平移规律写出平移后的直线解析式，最后将中点坐标代入解析式，解方程求出的值． 【详解】（1）解：∵直线经过点和， ∴将两点坐标代入解析式，得 ， ∴解得， ∴直线AB的表达式为； （2）解：∵线段CD的端点为，， ∴线段CD的中点坐标为， ∵直线AB向上平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线经过点， ∴将点代入解析式，得， ∴解得． 【变式1-2】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知关于的一次函数． (1)若函数的图象经过原点，求的值； (2)若函数的图象与一次函数图像平行，求的值； (3)若函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解一元一次不等式，解一元一次方程，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据一次函数的性质列出一元一次方程，然后进行求解即可； （2）根据两直线平行，列出一元一次方程，然后进行求解即可； （3）根据图象经过的象限，列出不等式，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意知函数为一次函数，可知，即 ∵函数图象经过原点， ∴， 解得； （2）解：根据题意得，， 解得； （3）解：∵函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得， ∵函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得， 综上，． ►题型02 一次函数图像的旋转 【典例2】（天津市河东区2025-2026学年上学期九年级1月期末数学试卷）如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【变式2-1】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图，一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)点的坐标是______，点的坐标是______； (2)若将直线绕点逆时针旋转，求旋转后的直线的函数表达式； (3)若点为轴上一点，以点为直角顶点，为腰作等腰直角，连接，点坐标为，连接．是否存在点，使最大．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在，点坐标为 【分析】（1）令，得：；令，得：，可得答案； （2）设将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点C，过点C作轴，垂足为，过点、作直线，证明得，，得到，再用待定系数法确定直线的函数表达式即可； （3）分两种情况：①当点在的右侧时，②当点在的左侧时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与轴交于点，与轴交于点， 当时，，解得：；当时， ∴点的坐标是，点的坐标是， 故答案为：；； （2）解：设将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点C，过点C作轴，垂足为，过点、作直线， ∴，，， ∴，， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∴将直线绕点逆时针旋转，旋转后的直线的函数表达式为； （3）解：①如图，当点在的右侧时，连接， 此时，不存在的最大值； ②如图，当点在的左侧时，当点在的延长线上时，有最大值， 设点的坐标为，过点作轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵点为在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∴存在点，当点的坐标为时，的值最大． 【点睛】本题是一次函数与几何图形的综合题，考查了旋转的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，全等三角形的判定与性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． ►题型03 一次函数图像的对称 【典例3】（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集， (3)若直线与直线关于直线对称，求直线的表达式． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的表达式求解、不等式的解集与函数图象的关系、点关于直线的对称以及直线表达式的求解，熟练掌握一次函数的性质、对称点的求法以及利用待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）先将点代入求出的值，再将点和点代入，解方程组求出、，从而得到一次函数表达式． （2）根据函数图象，不等式的解集是直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围． （3）先求出点的坐标，再利用几何性质求出点关于直线（即）的对称点，最后利用点和求出直线的表达式． 【详解】（1）解：∵点在上， ∴， ∴． ∵过和， ∴，解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：函数的图象与一次函数的图象交于点， 由图象可知，当时，直线在直线上方（含交点）， ∴不等式的解集为． （3）解：设点关于直线的对称点为点，直线交轴于点， ∵与轴交于， ∴． 当时，，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∵，，两点在轴上，且， ∴点关于直线的对称点满足：， ∴． ∵直线过和， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． 【变式3-1】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求两点的坐标； (2)若轴正半轴上有一点，当时，求点的坐标； (3)若轴上有一点，将沿直线折叠，当点恰好落在直线上时，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】（1）当时，，当时，，即可求得两点的坐标； （2）设，则，根据题意，得，解答即可； （3）分点D在x轴的正半轴和负半轴两种情况，根据勾股定理，折叠的性质求解即可． 本题考查了直线与坐标轴的交点计算，坐标轴上的两点之间的距离，三角形的面积，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】（1）解：在中， 当时，， 当时，， ； （2）解：设， 则， ， ， 解得或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：当点D在x轴的正半轴上时，如图①，将沿直线折叠， 点恰好落在直线上的点处， ， ， ， 由翻折得， ， ， 在中， 即， 解得， ； 当点在轴的负半轴上时，如图②，将沿直线折叠， 当点恰好落在直线上的点处， 由翻折得， ， ， ， 在中， 即， 解得， ； 综上所述，点的坐标为或. 【变式3-2】（25-26八年级上·河南·期末）已知，如图1，点在一次函数：的图象上，该一次函数图象与x轴相交于点A． (1)请求出一次函数表达式； (2)过点P作直线轴，将点P左侧的函数图象沿着直线向上翻折，与x轴相交于点B，右侧图象不变，得到如图2的“”型函数图象，请求出的面积； (3)将（2）中得到的函数图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作，交轴于点，证明为等腰三角形，即可求得点，点的坐标，即可求得的面积； （3）写出平移后图象的解析式，分两种情况，即图象对应的函数在“”型函数图象左边部分取到最大值或在“”型函数图象右边部分取到最大值，分别列方程即可解答． 【详解】（1）解：点在一次函数：的图象上， ， 解得， 则一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，交轴于点，则， 根据折叠可得， ， 直线轴， ， ， ， ， ， 令，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：由（2）得， 设“”型函数图象的左边部分为， 把，代入可得 ， 解得， 所以“”型函数图象的左边部分为， 即“”型函数图象的表达式为， 函数图像向右平移n个单位长度后表达式为， 当图象对应的函数最大值与最小值都在“”型函数图象的右边时， 可得，不可能等于，不符合题意， 同理图象对应的函数最大值与最小值都在“”型函数图象的左边时，不符合题意， ∴图象对应的函数最小值为， ①当图象对应的函数在“”型函数图象左边部分取到最大值，即时， 可得， 解得； ②当图象对应的函数在“”型函数图象右边部分取到最大值时，即时， 可得， 解得； 综上，或． ►题型04 一次函数与几何图形综合 【典例4】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、． （1）若，则点的坐标为 ； （2）一次函数的图象与正比例函数的图象交于点．点在轴上运动，当为直角三角形时，点的坐标为 ． 【答案】 或 【分析】此题考查了一次函数与正比例函数的综合应用，待定系数法求解析式； （1）利用解析式求出点A的坐标，再根据面积即可得到点B的坐标； （2）利用点C的坐标求出一次函数的解析式，再根据等腰直角三角形的性质分两种情况：当时，当时，分别求解． 【详解】解：（1）令中，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）将代入，得， ∴， ∴， 当时，点P的横坐标为，即； 当时， 将点代入， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 过点C作于点E，    ∴， ∴点P的横坐标为， ∴， 故答案为：或． 【变式4-1】（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、C，经过点C的直线与x轴交于点． (1)求直线的函数关系式； (2)G是线段上的一个动点，若直线把的面积分成的两部分，求点G的坐标． 【答案】(1) (2)点G的坐标为或 【分析】（1）根据题意，求得点C的坐标，结合点B的坐标，利用待定系数法求解析式即可； （2）求出，设，分两种情况讨论：①；②时，分别求得m的值，进而求得G点坐标． 【详解】（1）解：对， 令，则， 令，则， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的函数关系式为． （2）∵直线与x轴、y轴分别交于点A、C，，， ∴， ∴． 设． ①当时， ， ∴， ∴， ∴； ②当时， ， ∴， ∴， ∴． 综上所述，点G的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求直线的解析式，求点的坐标，三角形面积公式，分类讨论，熟练掌握是解题的关键． 【变式4-2】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，且两直线交于点，点的坐标为． (1)求的值． (2)连接，求的面积． (3)平面内是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)96 (3)平面内存在一点，使得与面积相等，的值为或4 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出的值即可； （2）求出A，B的坐标，利用分割法求出的面积即可； （3）利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， 且点在直线上， ，即点． ∵点在直线上， ， 解得． （2）解：如图1，设直线交轴于点． ， ， ∴当时，；当时，， ∴点． 在直线中，当时，， ∴点， ， ； （3）解：如图2，设点为与轴的交点， 可求得点的坐标为， ， ∴在点左侧轴上取点， 使， ∴点． 过点分别作 ， ∴点到的距离与点到的距离相等， 与的面积相等． ，直线的函数表达式为， ∴设直线的函数表达式为． 把点代入，得， ． 把点代入，得， 解得． 同理，可得直线的函数解析式为． 把点代入，得， ． 把点代入，得， 解得． 综上所述，平面内存在一点，使得与面积相等，的值为或4． 【变式4-3】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）定义：若一个一次函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的平衡点．例如，点是函数的图象的平衡点． (1)函数是否存在平衡点，若存在，求出平衡点坐标，若不存在，说明理由； (2)将一次函数的图象关于轴对称，若对称后的图象存在平衡点，求的取值范围； (3)设函数与的图象的平衡点分别为点、，过点作轴，垂足为．当为以为底边的等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)函数不存在平衡点，理由见解析；函数存在平衡点，平衡点坐标为． (2)． (3)或． 【分析】（1）根据平衡点定义，设点为平衡点，则，即．将分别代入两个一次函数解析式，解方程判断是否存在平衡点，并求出坐标． （2）先求出（）关于轴对称后的函数解析式，再将代入，得到关于的方程，根据方程有解及的条件，求的取值范围． （3）先分别求出两个函数的平衡点、的坐标，再求出点的坐标；根据以为底边的等腰三角形，即，列方程求解的值． 【详解】（1）解：函数不存在平衡点，理由如下： ∵设平衡点为，代入得， ∴，方程无解， ∴函数不存在平衡点． 函数存在平衡点， ∵设平衡点为，代入得， ∴， ∴，则， ∴函数存在平衡点，平衡点坐标为． （2）解：∵（）关于轴对称后的函数为（）， 将代入得：， 整理得：， 当时，， ∵对称后的图象存在平衡点，且平衡点横坐标， ∴， ∴， ∴． （3）解：对于： ∵设平衡点，代入得， ∴， ∴，， ∴． ∵轴， ∴． 对于： ∵设平衡点，代入得， ∴， ∴，， ∴． ∵以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴或， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的新定义问题、轴对称的性质、等腰三角形的性质、解一元一次方程与不等式等知识点，熟练掌握根据新定义列方程求解以及等腰三角形的性质是解题的关键． 突破一 一次函数与反比例函数综合 【典例1】（25-26九年级上·湖南永州·期末）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入，求出，进而求出点的坐标．将点和点代入，求出和的值； （2）结合图象和点、的坐标进行判断即可； （3）设与轴相交于点，求出点的坐标，利用割补法求出的面积． 【详解】（1）解：将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可知，点右侧到轴左侧以及点右侧部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，即， ∴自变量的取值范围为或； （3）解：如图，设与轴相交于点， 当时，， ∴，即， ∴． ， ， ， ． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，图象法解不等式，直线围成的三角形面积问题，熟练掌握相关知识是关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·湖南娄底·期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于、两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)当时，请根据函数图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的结合，根据函数图象求不等式的解集，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据函数图象的交点坐标，求不等式的解集即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 故反比例函数的表达式为； 把点代入反比例函数得，， 解得， ∴点A的坐标为， ∵一次函数的图象经过、两点， ∴ 解得 故一次函数的表达式为； （2）解：由函数图象可得，关于x的不等式的解集为． 【变式1-2】（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若过点且平行于轴的直线与直线交于点为该直线上一动点，当的面积为21时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方时，的取值范围即为答案； （3）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）解：∵当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； （3）如图， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 突破二 一次函数图像的动点问题 【典例2】（24-25八年级下·重庆·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线交y轴于点A，交x轴于点B，，直线经过点A，交x轴于点C． (1)求直线的解析式． (2)如图2，点D是y轴负半轴上一动点，点E是x轴上一动点，若，求的最小值． (3)如图3，点P是直线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，平面内有一个动点M，若以C，P，Q，M为顶点的四边形是菱形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查一次函数和几何的综合应用，涉及到求一次函数的解析式以及线段长度的最值问题以及菱形的存在性问题，熟练掌握求一次函数的解析式的方法以及轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键． （1）先得出，再利用三角函数得出即可用待定系数法求出直线的解析式； （2）先利用，得出，然后过点作于点，交轴于点，利用含的直角三角形性质得出，进一步利用点到直线垂线段最短得出的最小值； （3）分别以为对角线，利用邻边相等列方程进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，，   ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把分别代入解析式得： ，解得， ∴直线的解析式为：； （2）解：当时，，解得， ， ， ， 在y轴负半轴上 过点作于点，交轴于点， ， ， ， ； （3）解： 由题意设，， ①当为对角线时，,则， ， 化简得：， 解得：或； 当，即，，如图： 由菱形性质可知, ，， ； 当，即，，如图： 由菱形性质可知, ，， ； ②当为对角线时，,则，如图： ， 化简得：，解得：或（舍去）， ，， 由菱形性质可知的横坐标， ； ③当为对角线时，,则，如图： ， 化简得：，解得：（舍去）或， 由菱形性质可知, ，， ． 综上． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1)求直线的解析式及点C的坐标； (2)若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将向右平移两个单位至，则，过轴作点的对称点，连接交轴于点，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定点坐标，进而确定点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：， ， 即， 则， 解得：， ， ∵与轴交于点， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． （3）解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 【变式2-2】（24-25九年级上·重庆·开学考试）如图1，在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴的正半轴上，且． (1)求直线的表达式； (2)点P是线段上一动点，点E是直线上一动点，点F为x轴上一动点，过P作于Q，连接，当时，求的最小值； (3)如图2，在（2）问条件下，点M为直线上一动点，当时，直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）求出的坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）连接，过点作，等积法求出的长，进而求出点坐标，进而求出的长，勾股定理求出的长，进而求出的长，过点作轴，根据等腰直角三角形的性质，求出点坐标，作点关于的对称点，根据对称的性质，推出点为的中点，进而求出的坐标，根据，得到当三点共线时，的值最小，为的长，再根据垂线段最短，得到轴时，最短，进而得到的最小值即为的纵坐标，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴，， 连接，过点作， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∵点在线段上， ∴当时，，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作点关于的对称点，则：， ∵， ∴三点共线，且为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 又∵为轴上的动点， ∴当轴时，最短，此时， ∴的最小值的最小值为； （3）当点在点的右侧时：将线段绕点逆时针旋转90度，得到，连接并延长，交轴于点，则：，，， 由（2）知：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴ 过点作轴，交于点，则：，点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴，即：， 设直线的解析式为， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点左侧时，如图，将线段绕点顺时针旋转90度，得到，连接， 则：，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 过点作，交于点，则：点的横坐标为， 同理可知：， ∴， ∴点的纵坐标为：， ∴， 同法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小问题，解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1.（25-26九年级上·浙江绍兴·期末）已知点，，在下列某一函数图象上，且满足，那么这个函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：，，随的增大而增大， ∵， ∴，故该选项不合题意； B：，，随的增大而减小， ∵， ∴，故该选项不合题意； C：，，函数图象在第一、三象限，在每个象限内随的增大而减小，且第一象限点的纵坐标为正，第三象限点的纵坐标为负， ∵， ∴，故该选项不合题意； D：，，对称轴为轴，当时，随的增大而增大，和关于轴对称， ∵， ∴，故该选项符合题意． 故选：D． 2.（2026·浙江·模拟预测）已知是一次函数图象上一点，下列选项正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质；根据点在函数图象上，可得，再通过a的正负代入计算判断b的正负，从而验证选项. 【详解】解：将点代入，得：， A、若，则，故A符合题意； B、若，则，故B不符合题意； C、若，取，则，故C不符合题意； D、若，取，则，故D不符合题意. 故选：A. 3.（20-21八年级上·江苏南京·期末）如图，若函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 直接根据函数图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可得：当时函数的函数值小于2，故不等式的解集为． 故选：A． 4.（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）关于一次函数，下列结论中正确的是（　　） A．图象必经过 B．图象经过第一、二、三象限 C．若，在图象上，则 D．图象向上平移1个单位长度得解析式为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，包括点是否在图象上、图象所经过的象限、函数的单调性以及图象的平移，根据一次函数的定义和性质逐一判断各选项． 【详解】A．当时，， ∴点不在图象上，A错误； B．∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误； C．∵， ∴随的增大而增大， ∵， ∴，故不成立，C错误； D．图象向上平移1个单位，解析式为，即，D正确． 故选：D． 5.（25-26九年级上·浙江杭州·月考）将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式． 【详解】解：由平移得直线的解析式为， ． 故选：C． 6.（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表： x y b 则这个函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增加值和y的减小值的特点，即可判断选项． 【详解】解：根据表格可知，x的值每增加1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小， 故选：． 7.（2025·浙江台州·三模）定义：为平面直角坐标系内的点，若满足，则把点叫做“平衡点”．例如：都是“平衡点”．当时，直线上有“平衡点”，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据题意得出关于m的不等式组是解答此题的关键． 根据、可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． ∴的最小值为， 故答案为：． 8.（24-25九年级下·浙江杭州·月考）如图， 直线经过、两点， 则不等式的解集为 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的交点问题、一次函数与一元一次不等式的关系，先求得一次函数的图象经过和原点，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，然后找出一次函数图象在一次函数图象上方，且图象上点的纵坐标不大于3的点的横坐标取值范围即可求解． 【详解】解：对于一次函数，当时，， ∴一次函数的图象经过和原点， 在同一平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，如图： 由图可知，当时，一次函数图象在一次函数图象上方，且图象上点的纵坐标不大于3， 不等式的解集为， 故答案为：． 9.（18-19八年级上·江西抚州·期末）如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组的解之间的联系． 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】∵直线和直线交点P的坐标为， ∴二元一次方程组 解得， ∴． 故答案为：3． 10.（2025九年级上·浙江·专题练习）某抛物线过点并且与直线的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：；顶点式，其中顶点坐标为；交点式． 设抛物线的解析式为，求出抛物线与直线的交点为，将代入抛物线解析式可得a的值． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线与直线的交点的纵坐标为5， ∴， 解得， ∴抛物线与直线的交点坐标为， 将代入抛物线解析式可得， ∴， ∴抛物线的解析式为，即． 1.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点，且直线与x轴交于点C，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数的交点坐标，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据题意得，解得，即，再求出，结合直线与x轴交于点C，得出，运用勾股定理算出，，运用数形结合思想进行分析当时，，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点， ∴， 解得， 故A选项不符合题意； 把代入，得， 则把代入，得， ∴， 故B选项不符合题意； ∵直线与x轴交于点C， ∴令则， 解得， ∴， ∵， 则， ， 则， ∴， 故C选项不符合题意； 依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的两点， ∴当时， 故D选项符合题意； 故选：D． 2.（2025·浙江温州·模拟预测）已知，，，均在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象与点的关系，根据对称性和增减性，逐一判断即可．从图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴关于轴对称， ∵，，，， ∴在轴右侧，随着的增大而增大，故A，C选项不符合题意， ∵当从3增加到4时，增加1，从3增加到6时，增加3，， 即：变化率相同， 故，，应该在直线上，故B选项符合题意，D选项不符合题意； 故选B． 3.（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的周长最小时，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】要使的周长最小，因为的长度是固定的，所以只需要最小。根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点． 【详解】解：对于，令， ，解得， ； 令，则， ． 为中点， M坐标为，即． 作点M关于轴的对称点， 关于y轴对称的点． 设直线解析式： 代入得， 解得， 直线解析式为． 点在轴上，令，则 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、中点坐标公式、轴对称——最短路径问题以及用待定系数法求一次函数解析式．通过作对称点将的最小值问题转化为两点之间线段最短的问题是解题的关键． 4.（2012·江苏泰州·中考模拟）如图，已知直线经过，两点，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一次函数的图象求不等式的解集，把，代入中， 解得，再把代入中，得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把，代入，得： ，解得：， 把代入中，得：， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为：． 5.（2015·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图像交y轴于点，与x轴正半轴交于点A，． (1)求一次函数的解析式； (2)是的角平分线，反比例函数的图像经过点C，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了锐角三角函数定义，等腰直角三角形的性质及待定系数法求函数解析式． （1）先根据三角函数求出点A坐标，再代入一次函数求解析式； （2）根据角平分线性质求出点C坐标，进而求出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵，， ∴设，， ∴，即， ∴， ∴，点， 把点和代入，得解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：过点作，设， ∵是的平分线，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴设， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴，       把代入，得． 6.（2022·浙江舟山·二模）若关于的函数，当时，函数y的最大值为M，最小值为N，令函数，我们不妨把函数h称之为函数的“联合函数”． (1)若函数，当时，求函数y的“联合函数”h的值； (2)若函数，求函数y的“联合函数”h的解析式及h的最大值； (3)若函数，是否存在实数c，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值．若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)； (3)存在， 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键． （1）当时，，当时，，即可求解； （2）由得到，求出，即可求解； （3）当时，即，则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即，则，即可求得；②当时，即可求得；③当时，即可求得，可得h的最小值，进而可得结论． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 同理可得，， 则； （2）解：因为，，所以y的值随的增大而增大， 即，， ，则， 则， 由即，则， 当时，h的最大值为； （3）解：∵，则函数y的最大值为； ①当时，即， 则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即， 则， 当时，h的最小值为； ②当时，即， 则时，函数取得最大值，即，时，函数取得最小值，即， 则， 当时，h的最小值为； ∴； ③当时，若，则，, ∴； 若，则， ∴； 综上， h的取值为， 故有最小值，为， ∴, ∴． 所以，存在实数，使得函数y的最大值等于函数y的“联合函数”h的最小值． 7.（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30． (1)如图1，求直线BC的解析式； (2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值； (3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题属于一次函数与几何综合问题，主要考查了一次函数的性质、旋转模型、特殊角的三角函数值等知识，构造合适的辅助线成为解答本题的关键． （1）先根据题意表示出点C和点B的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）过D作交AB于M，可得出，建立等式，即可求出的值； （3）过E作于点I，可得可求出，即可得到．设交于点R，过R作于N，根据三角函数可得，过H作轴于点K．再利用相似求出点H的坐标． 【详解】（1）解：令，则． ． 当时，． ． ， ． ． 设直线BC的解析式为． 由题意，得 ∴直线BC的解析式为． （2）过D作交AB于M． ， ． ． ． 即 ， ． ． ． ．即． ， ．即． （3） ． ． ． ． ． ． 过E作于点I．则． ． ．即． ． ． ． ． ， ． ， ． ． ． ． ， ． ． ， ． 设交于点R，过R作于N，则 ． ． 设． ． ． ． ． ．在中， ． ． 过H作轴于点K． ． ． ． ． ． 8.（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为． 【分析】（1）先求得，，再根据题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过作于点，延长交于，联立求得，证明得到，，，，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，设与的交点为．证明，推出，，，过作于点，过作于点，和，得到，，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作于点，延长交于， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，点的横坐标为1， 由题意，得， ∴， ∴， ∵，点、在上， ∴点的纵坐标与点纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，设与的交点为． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 过作于点，过作于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 1.（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2.（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 3.（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出，，再分析得沿轴翻折得，求出的解析式，然后判断沿轴翻折不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻折过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答． 【详解】解：令则， ∴， 即， 令，则， 即， ∵沿轴翻折， ∴沿轴翻折得 设的解析式为， 把，代入 得， ∴， 则， ∴沿轴翻折不过点， ∴①不符合题意； ②令则， 解得， 即经过点， 令，则 即经过点， 连接，如图所示： ∵，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴与关于直线对称， 故沿函数的图像翻折过点， ∴②符合题意； ③ 依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点， 当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点； 当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点； 过程如下： ∴， 此时点， 把代入， 得 ∴不在， 即绕原点按顺时针方向旋转不经过点， 故③不符合题意； ∵绕点按顺时针方向旋转，且， ∴记为T点，连接， ∴， ∴， 则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合， 故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点， ∴④符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4.（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 5.（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 6.（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． 7.（2025·青海西宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点，点P在过原点的直线上，且，则直线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查求一次函数的解析式，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，根据，结合，得到为等边三角形，分点在点上方和点在点下方两种情况，求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 过点作轴，则：，， ∴或， 设直线的解析式为， ∴当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 综上：或； 故答案为：或． 8.（2025·山东济南·中考真题）A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地 ． 【答案】/ 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键； 设甲的函数图象为，乙的函数图象为，结合图形进而确定两函数解析式； 利用两函数解析式联立方程组，进而求得方程组的解即可． 【详解】解：由图可得，甲的函数图象为正比例函数，乙的函数图象为一次函数，与纵坐标轴的交点为， 设甲的函数图象为，乙的函数图象为， 则，， 解得，， 甲的函数图象为，乙的函数图象为， 联立， 解得 即他们相遇时距离A地． 故答案为：． 9.（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 1 / 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