第10讲 一次函数的图象与性质（复习讲义，2考点7题型2重难）（山东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦一次函数的图象与性质，覆盖定义、图像、性质、平移及与方程不等式的综合应用，构建“考情剖析-知识导航-考点解析-命题洞悉-重难突破-优题精选”的系统架构，通过考点梳理、方法指导和真题训练，帮助学生突破几何综合等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于分层练习设计和核心素养培养，如通过“直线围成图形面积”等重难突破题，发展学生几何直观和推理意识，结合2025年山东中考真题典例精析，配合基础、能力、新趋势三级训练，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生应考能力。

第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 17 命题点一 一次函数性质 题型01 判断一次函数的增减性 题型02 根据一次函数增减性求参数 题型03 一次函数规律性问题 题型04 一次函数与几何综合 命题点二 一次函数与方程、不等式 题型01 一次函数与一元一次方程 题型02 一次函数与一元一次不等式 题型03 一次函数与二元一次方程组 05·重难突破·思维进阶难 45 突破一 求直线围成的图形面积 突破二 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 64 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图象与性质 山东潍坊 T8 山东东营T4、T16 山东卷T14 山东滨州T5 山东德州T9 山东东营T18 山东潍坊T11 山东卷 T11、T20 山东泰安T8 山东临沂T11 山东枣庄T21 山东淄博T6 理解正比例函数；能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况。会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 一次函数与方程（组）、不等式 山东淄博T20 山东日照T15 山东潍坊T22 山东聊城T10 体会一次函数与二元一次方程的关系。 命题预测 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。 考点一 一次函数 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 1．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 2．（2025·山东临沂·二模）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的棋盒中装有x枚黑色棋子和y枚白色棋子，每枚棋子除颜色外都相同．若从盒中随机摸出一个棋子是黑色的概率是，那么y与x的函数关系最合适的是（   ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 【答案】A 【分析】本题主要考查概率的基本计算及函数关系的识别．根据概率公式建立方程，推导出y与x的关系式，再判断其对应的函数类型． 【详解】解：根据题意，黑色棋子的概率为，即∶ 去分母得： 移项整理得 关系式符合正比例函数的标准形式 (其中为常数)． 故选：A． 3．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 考点二 一次函数的图像 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标与图形，先分别求出点B和点C的坐标，过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，证明，由全等三角形的性质得出，，进而求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数即可求出k的值． 【详解】解：一次函数中， 令，得， 令，则， 解得， ∴B点坐标为，C点坐标为， 过点A作轴于点D，并延长交直线于点E，如图所示∶ ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴A点坐标为， 将代入反比例函数 解得， 故答案为：． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 【答案】BD 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的性质，根据一次函数和正比例函数的性质逐一排除即可，掌握一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知，，， ∴，原选项不符合题意； 、∵一次函数经过点，点， ∴，解得：， ∴一次函数解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴为的中点，原选项符合题意； 、方程的解是，原选项不符合题意； 、当时，，原选项符合题意； 故选：． 3．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 考点三 一次函数的平移 两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 1．（2023·山东·中考真题）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．    (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）如图，过点C作轴于点D，证明，利用相似三角形的性质得到，求出点C的坐标，代入可得反比例函数解析式，设的表达式为，将点代入即可得到直线的表达式； （2）先求得直线l的解析式，联立反比例函数的解析式即可求得交点坐标． 【详解】（1）如图，过点C作轴于点D，    则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 将点C代入中， 可得， ∴， 设的表达式为， 将点代入可得， 解得：， ∴的表达式为； （2）直线l的解析式为， 当两函数相交时，可得， 解得,, 代入反比例函数解析式， 得， ∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为或 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数的平移问题，解一元二次方程等知识． 2．（2025·山东聊城·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点B的坐标为，直线向右平移 个单位长度可将平行四边形的面积分为相等的两部分． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数图象的平移问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 设平移后的直线为，则可知直线经过平行四边形的对称中心时，平分平行四边形的面积，求出对称中心的坐标代入即可求解平移后的函数解析式，即可求解平移的距离． 【详解】解：设平移后的直线为， 连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴点是对称中心，是中点，是中心对称图形， ∴直线经过点时，将面积平分， ∵， ∴， 将点代入， 则， 解得：， ∴平移后的直线为， ∵， ∴直线向右平移3个单位即可得到， 故答案为：3． 3．（2025·山东威海·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点．将直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数图象的交点问题、解直角三角形、一次函数图形的平移等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．如图：过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，先根据点A坐标计算出、k值，再根据平移、平行线的性质证明，进而根据求出，最后代入反比例函数解析式取得点C的坐标，进而确定,，再运用勾股定理求得，进而求得即可解答． 【详解】解：如图，过点A作x轴的垂线交x轴于点E，过点C作y轴的垂线交y轴于点D，则轴， ∵， ∴，，则， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． ∴将直线向上平移若干个单位长度后得到直线， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：，即点C的横坐标为2， 将代入，得， ∴C点的坐标为， ∴,， ∴， ∴, ∴， 故答案为：． 考点四 一次函数的性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的增减性，掌握一次函数，反比例函数以及二次函数的增减性是解题关键．根据函数的相关性质逐一判断即可． 【详解】解：A、在中，，则y随x的增大而减小，不符合题意； B、在中，，则当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； C、在中，，则y随x的增大而增大，符合题意； D、在中，，则二次函数开口向下，对称轴为直线，当自变量时，y随x的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 2．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ）． A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C 命题点一 一次函数性质 ►题型01 判断一次函数的增减性 / 一次函数 的增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 【典例】（2025·山东临沂·二模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．当时， C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意； B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小， ∴当时，，原说法错误，符合题意； C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意； D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意． 故选B． 【变式】1．（2025·山东潍坊·一模）中国茶文化博大精深，茶水口感往往与水的温度有关．一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，若，，（）三个时刻茶水的温度分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的凹凸性、单调性及根图象判断函数的值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 对于B，由结合函数的单调性可得可判断A；结合B，以及ACD的条件逐项判断即可． 【详解】解：∵2， ∴， 因为图象是上凹函数， 所以，即，故A错误、B正确； 由A知存在，使，则，即， 由，则， 故无法判断，的大小关系，故B错误； 由B知存在，使，则，即， 结合， 可得， 由函数的单调递减可得， 故，故C错误； 由B知，存在，使， 可得， 故存在，使， 由函数的单调性可知时，， 当时，， 当时，， 当时，，故D错误． 故选：B． 2．（2025·山东济南·一模）在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题关键． 根据随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得：， ∵k为正整数，则的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． ►题型02 根据一次函数增减性求参数 / 1.利用定义法求解 根据题目中给出的函数增减性的条件，列出关于 k的不等式，然后解这个不等式，从而得到参数的取值范围。 2.结合图像法求解 先画出一次函数的大致图像，根据图像的上升或下降趋势确定 k的正负，再结合其他已知条件，如函数经过的点等，建立方程或不等式来求解参数。 3.根据实际问题中的增减性求解 在实际问题中，需要先根据题意建立一次函数模型，然后根据所描述的变量之间的增减关系，确定\(k\)的正负，进而求出参数。 【典例】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数．熟练掌握一次函数的增减性，是解决问题的关键．根据一次函数的增减性质，逐一判断可得答案． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随着x的增大而增大， ∴，解得． 所以k的值可以是． 【变式】1．（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数中的随着的增大而增大可得，再根据函数图象与轴负半轴相交可得，据此即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵随着的增大而增大， ∴一次函数的比例系数， 又∵函数图象与轴负半轴相交， ∴， ∴同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点找出坐标之间的规律是解题的关键．过作轴于，根据等腰直角三角形的性质，可知是的中点，且，求出的坐标，进一步得出，同理，求出、、…的坐标，找到规律即可得到的坐标即可， 【详解】解：过作轴于，如图， 是等腰直角三角形， 是的中点，且， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得， ， ， 同理，过作轴于，则是的中点，， 设，则，代入反比例函数解析式， 得， 解得，（负值已经舍去） ， 同理可得，……，， ， 故答案为：． ►题型03一次函数规律性问题 / 一、观察法 1. 直接观察：对于简单的一次函数规律问题，可直接观察数字或图形的变化趋势，找出其中的规律。 2. 对比观察：当遇到较为复杂的规律时，可将已知的数据或图形进行对比分析。 二、列表法：将题目中给出的数据按照一定的顺序列成表格，通过观察表格中的数据变化，更容易发现一次函数的规律。 三、图像法：根据题目所给的一次函数信息，画出相应的函数图像，利用图像的直观性来寻找规律。 四、代入法 1. 代入求值：如果已知一次函数的表达式和一个点的坐标，可将点的坐标代入函数表达式，求出未知参数的值。 2. 代入验证：对于一些规律性的猜想，可以将具体的数值代入进行验证。 五、待定系数法：先设出一次函数的一般形式y = kx + b（k、b为常数，k≠0），再根据题目中的条件确定k和b的值。 六、实际应用问题中的方法 1. 建立数学模型：在解决实际生活中的问题时，需要将实际问题转化为数学问题，建立一次函数模型。 2. 分类讨论：有些实际问题可能存在多种情况，需要根据不同的条件进行分类讨论。 【典例】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，若和分别是直线和轴上的点．并且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，求出各点的坐标的规律是解答此题的关键． 先先求出直线的解析式，求出直线与轴、轴的交点坐标，求出直线与轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到的坐标，进而得出各点的坐标的规律． 【详解】解：，在直线上， ， 解得， 直线解析式为：， 设直线与轴、轴的交点坐标分别为、， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为，， ， 作轴于点，轴于点，轴于点， ∵，， …都是等腰直角三角形， ∴，， ，， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ， 同理可求，第四个等腰直角三角形， 依此类推，点的纵坐标是， ∴， 故答案为：． 【变式】1．（2025·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，点坐标规律探索，根据题意推导一般性规律是解题关键． 先找到直线与轴的交点，根据正方形的性质确定的坐标，以此类推，得出、的坐标，根据点的坐标变化总结出的坐标规律，即可求解． 【详解】解：令，解得：， ， 四边形是正方形， ； 当时，， ； 当时，， ， …… 观察规律发现，，，，……，， 的横坐标是． 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数、反比例函数交点问题，待定系数法求解析式， （1）把代入得出，进而求出点坐标，代入一次函数解析式可求解； （2）设直线与轴的交点为，先求出点坐标，由面积的和差关系可求，即可求解． （3）根据图象确定一次函数在反比例函数上方对应的自变量范围即可． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴ 把代入得， ∴， 将，代入得 解得： ∴ （2）如图，设直线与轴的交点为， 设点， 直线与轴的交点为， 点， ，， ， ， 或． （3）∵，， 根据函数图象可得时x的取值范围为或． ►题型04 一次函数与几何综合 / 一、利用一次函数的性质解决几何问题 1. 求线段长度 - 对于平面直角坐标系中的两点A和B，可根据一次函数的解析式求出这两点的坐标，再利用两点间距离公式\来计算线段AB的长度。 - 当涉及到动点问题时，设出动点的坐标，结合一次函数的表达式，用含参数的式子表示出相关线段的长度，再根据题目条件进行求解。 2. 求图形面积 - 常见的有三角形面积和四边形面积。对于三角形，如果知道三个顶点的坐标，可以通过割补法将其转化为规则图形的面积来计算。 - 对于四边形，可以将其分割成两个三角形或其他熟悉的图形来求面积。 二、借助几何图形的性质研究一次函数 1. 求一次函数的解析式 - 如果已知一次函数的图像经过某些特定的点，而这些点的位置又与几何图形有关，就可以利用这些几何条件来确定函数的系数。 2. 判断直线与几何图形的位置关系 - 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判断方法是计算圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系。 三、动态问题的处理方法 1. 分析动点的运动过程 - 明确动点的起点、终点以及运动的路径。通常，动点会沿着一次函数的图像或者其他给定的几何图形的边缘运动。找出动点在不同阶段的速度、时间等因素之间的关系。如果是匀速运动，速度不变，时间和路程成正比。可以根据这些关系列出关于动点坐标的表达式。 2. 分类讨论动态变化的情况 - 根据动点的不同位置或不同的时间段进行分类讨论。例如，当动点在线段上运动时，可能会产生几种不同的情况，每种情况下相关的几何量（如线段长度、角度大小等）都会发生变化。需要分别对每种情况进行分析和计算，确保不遗漏任何一种可能性。 【典例】（2025·山东德州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，设点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的平行线，与该反比例函数的图象交于点，连接，，．当四边形的面积等于时，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，一次函数的应用，将代入一次函数解析式中可求得，可得反比例函数解析式为，设，则，得，设点的横坐标分别为，可得，即得，解方程求出的值即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设，则， ∴， 设点的横坐标分别为， 则 ， ∵四边形的面积等于， ∴， 整理得，， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， 故选：． 【变式】1．（2025·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据（1）可得抛物线的表达式为，得出，求出，过点M作 轴交的延长线于点D，证明，联立抛物线和直线的表达式求出（舍去）或，即可得点，求出直线的表达式，根据轴，得出，求出点，根据，列出方程，求解即可； （3）根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下，根据点是抛物线上的两点，得出，分三种情况：①当时，即，②当时（即），③当时（即），分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点和点代入， 则，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：根据（1）可得抛物线的表达式为， ∴， 令，解得：或， ∴， 过点M作轴交的延长线于点D， 则， ∵恰好平分，即， ， ， 联立抛物线和直线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 当时，， 即点， 设直线的表达式为， 代入点的坐标得， 解得：， ∴直线的表达式为：， ∵轴，则， 当，则， 即点， ∵，由的坐标得：， 则， 解得：； （3）解：根据（2）可知抛物线顶点为，开口向下， ∵点是抛物线上的两点， ∴， 分情况讨论：①当时，即， 此时，最高点为顶点， 最低点由和的较小值决定： 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（不在范围内，舍去）． 若，最低点为， 差值为，即， 解得：（均不符合区间条件）． ②当时（即）， 此时y随x的增大而增大，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（正值舍）． ③当时（即）， 此时y随x的增大而减小，最高点为，最低点为， 差值为，即， 解得：（负值舍）． 综上，或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理，一次函数解析式求解，二次函数最值，熟练掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．（2025·山东聊城·二模）数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论： 信息一：他们分别指出了函数的一个性质： 甲：函数的图象不经过原点； 乙：函数的图象经过一、三象限； 丙：在每个象限内，y随x的增大而减小； 丁：函数图象经过点． 信息二：已知函数的图象是一条直线，部分取值如下表所示 x 0 1 2 y 1 3 5 (1)根据题中的信息，写出两个函数的表达式； (2)求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标； (3)点O为坐标原点，求出的面积． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）联立一次函数与反比例函数关系式求解即可； （3）先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可． 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积公式，掌握待定系数法是解答本题的关键． 【详解】（1）由题意知，函数为反比例函数，设为， 将代入得，   ； 由题意可知是x的一次函数，设为 将，代入有，   ，   ； （2） 解得， 当时，． 当时，， 交点，； （3）如图 当时，， ， ∴． 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 / 1.利用一次函数的图像求解一元一次方程 将一元一次方程转化为一次函数的形式，然后画出该一次函数的图像，通过观察图像与x轴的交点坐标，即可得到方程的解。因为一次函数y = kx + b（k、b为常数，k≠0）与x轴的交点的横坐标就是对应的一元一次方程kx + b = 0的解。 2. 根据一次函数的性质判断一元一次方程解的情况 对于一元一次方程ax + b = 0（a、b为常数，a≠0），可看作一次函数y = ax + b。当a > 0时，函数y随x的增大而增大，若b < 0，则方程有一个正解；若b = 0，则方程的解为x = 0；若b > 0，则方程有一个负解。当a < 0时，函数y随x的增大而减小，同理可根据b的正负判断方程解的情况。 3.结合一次函数与一元一次方程解决实际问题 先根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，再将其与一次函数相结合，通过分析函数的变化趋势和方程的解来解决问题。通常会涉及到两个变量之间的关系，用一次函数表示其中一个变量随另一个变量的变化情况，再根据给定的条件建立一元一次方程求解。 【典例】（2024·山东聊城·一模）将直线沿轴向下平移3个单位长度得到直线，此时原点到直线的距离为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为，求出，，可知是等腰直角三角形，故，即可解得答案． 【详解】解：设直线l交x轴于A，交y轴于B，过O作于H，如图： 将直线沿y轴向下平移3个单位长度得到直线l的解析式为， 在中，令得，令得， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴或； 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是由原点O到直线l的距离为3得到． 【变式】1．（2024·山东济宁·一模）在函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … －1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 －2 b －2 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，________ （2）根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．    【探索】 （3）若点，在函数图象上，且，则与的大小关系为________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________． （5）若关于x的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的m的取值范围． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查一次函数的交点、绝对值方程与一次函数的关系，一次函数与不等式的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答； （1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由图像可知，当时，y随x的增大而减小，进而求解即可； （4）由一次函数与不等式的关系，结合图像即可求解； （5）利用数形结合求解即可； 【详解】（1）解：把代入得，， ， 故答案为：； （2）当时，，当时，， 描点，连线，画出该函数的图像如图所示：    （3）由图像可知，当时，y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：； （4）由函数图像可得，不等式的解集为：， （5）由图像可知，当时，与有两个交点，且两个交点分别在x轴的左右两侧， 则关于x的方程有且只有一个正根和一个负根， m的取值范围为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为 (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据函数与不等式的关系，由图像求解即可； （3）设点，由题意求得，，根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）由点在反比例函数的图像上， ， 反比例函数解析式为， ， 将，代入一次函数， ，解得， 所以一次函数． （2），即， 则一次函数图像在反比例函数图像下方， 所以解集为或． （3）在一次函数中， 当时，；当时，， ， ， ， 设点， ，解得， 所以点的坐标为． ►题型02 一次函数与一元一次不等式 / 1.利用一次函数图像求解一元一次不等式 先将一元一次不等式转化为一次函数的形式。例如对于不等式ax + b>0(a≠0)，可看作一次函数y = ax + b。然后画出该一次函数的图像，通过观察图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的取值范围，来确定不等式的解集。 2.根据一次函数的性质判断一元一次不等式的解集 对于形如ax + b>0(a≠0)的不等式，若a>0，则一次函数y = ax + b单调递增，当y>0时，x大于方程ax + b = 0的解；若a<0，则一次函数y = ax + b单调递减，当y>0时，x小于方程ax + b = 0的解。同理可分析ax + b<0的情况。 3.结合一次函数与一元一次不等式解决实际问题 在实际问题中，先根据题意建立一次函数模型和一元一次不等式关系。通常涉及到两个变量之间的关系，用一次函数表示其中一个变量随另一个变量的变化情况，再根据给定的条件列出一元一次不等式求解。 【典例】（2025·山东·一模）如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，利用图象法求出不等式的解集即可，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 由图象可知：的解集为：； 故选B． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用两直线交点求不等式解集，在数轴上表示解集，利用数形结合的思想是解题关键．根据两直线的交点，结合图象，得到不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， 不等式的解集为， 在数轴上表示如下： 故选：C． 2．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．结合图象，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知，随的增大而减小，故①符合题意； 由图象可知，一次函数与y轴的交点在的上方，即，故②符合题意； 把代入， 得， 解得， 故与的交点为， 令，则 解得， 即与轴的交点为， 由图象可知：当时，则， 故③不符合题意； 由图象可知，两条直线的交点为， ∴关于，的方程组的解为，故④符合题意． 故答案为：①②④ ►题型03 一次函数与二元一次方程组 / 1.利用一次函数图像求解二元一次方程组 将二元一次方程组中的每个方程转化为一次函数的形式。然后在同一坐标系中画出这两个一次函数的图像，它们的交点坐标就是原方程组的解。 2.根据一次函数的性质判断二元一次方程组解的情况 通过观察两个一次函数的斜率和截距等性质来判断方程组解的情况。如果两个一次函数的斜率不相等，则它们一定相交，即方程组有唯一解；如果斜率相等且截距也相等，则两直线重合，方程组有无数组解；如果斜率相等但截距不相等，则两直线平行，方程组无解。 3. 结合一次函数与二元一次方程组解决实际问题 在实际问题中，先根据题意建立二元一次方程组和一次函数模型。通常涉及到两个变量之间的关系，用一次函数表示其中一个变量随另一个变量的变化情况，再根据给定的条件列出二元一次方程组求解。 【典例】（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据直线的交点求出二元一次方程组的解， 将点代入求出a，进而得出点P的坐标，结合图象可得二元一次方程组的解. 【详解】解：将点代入， 得， 解得， ∴一次函数关系式为. 当时，. ∴方程组的解是. 故答案为：. 【变式】1．（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若四边形四个顶点的坐标分别为，，，，则四边形对角线的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，两直线的交点与二元一次方程组的解，分别求出直线的解析式为，直线的解析式为．再列出方程组，求出，即可作答． 【详解】解：依题意四边形的对角线分别是和， 设直线的解析式为， 把和分别代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵ ∴设直线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 依题意，， ∴， ∴四边形对角线的交点坐标为， 故答案为：． 2．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】本题考查的是一次函数新定义，熟练掌握新定义，一次函数的图象和性质，三角形面积计算公式，是解题的关键． （1）由新定义求出函数表达式，代入即可求解； （2）①一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点，联立的，解析式即可求解；②求出A，C的坐标，可得线段的长，由，即可． 【详解】（1）解： 由新定义知，的解析式 ， 把点C的坐标代入上式， 得， 解得， 故答案为：，； （2）解：①∵一次函数图像上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ∴点D是两个函数的交点， 联立解析式， 得， 解得， 即点； ②由， 得； 由， 得； ∴、， ∴， ∴． 突破一 求直线围成的图形面积 【典例】（2025·宁夏·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与x轴、y轴相交于点C、点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为直线上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，连接，若，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把代入得，知反比例函数的解析式为；把代入得一次函数的解析式为； （2）求出，，可知，，，，故，解出，的值，可得，，的坐标，从而求出，得到答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得， ； 把，代入得：， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把代入得：， 把代入得：，解得：， ∴，， ， ， 为直线上的动点，过点P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F， ， 连接， ． ， ，． ，点在线段外，如图， ． 【变式】1．（2025·甘肃·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是反比例函数图象上的一点，且横坐标，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数解析式为；反比例函数解析式为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，三角形面积，求出函数的表达式是关键． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据题意可得求出值即可得到点的坐标． 【详解】（1）解： 一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ，． 反比例函数解析式为， 由条件可得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：如图所示： ∵，是两三角形的公共边， ∴以为底的两边的高相等， 又∵，，点E横坐标为n，且 ， ∴， 解得， 把代入，得， ． 2．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 突破二 一次函数与几何综合 【典例】（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且． (1)求的表达式； (2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标； (3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先确定、，则、，再证明，利用相似三角形的性质可得，即；然后用待定系数法求函数解析式即可； （2）如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D．此时；再求得直线为、为，然后分别联立和、和求点D的坐标即可； （3）如图：过点C作于点G，取点G使得，易得，再证明可得，即当B、F、G三点共线时，有最小值．如图：过点G作轴于点H，轴于点K，易证可得，，进而得到，然后运用待定系数法求得直线的解析式为，易得、，最后代入求比例即可． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ， ，， ， ， ， ， ， 设的表达式为过点B、C ，解得： 的表达式为． （2）解：如图，在x轴上取点、，使，，过点、作，交直线于点D． 设直线为，直线为， 代入，代入， 得：， 为，为 联立和可得：，解得：， 坐标为， 联立和可得：，解得：， 坐标为 D的坐标为或． （3）解：如图：过点C作于点G，取点G使得， 此时，， ， 由勾股定理得：，， ， ， ，即， 当B、F、G三点共线时，有最小值． 如图：过点G作轴于点H，轴于点K， ， ，，即 ， ∴， ，， ， 由待定系数法可得：直线的解析式为：， ， ， ． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 【答案】(1) (2)、、 、； (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何的综合、相似三角形的性质、平行线等分线段定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先求得，然后代入求得a的值即可解答； （2）先求得，，设点P的坐标为，则，然后分和两种情况，分别利用相似三角形的性质以及坐标与图形解答即可； （3）先求得、，再分两种情况分别用平行线等分线段定理求解即可． 【详解】（1）解：直线交x轴于点A ，解得：，即， 将代入中可得： ，解得：， 直线的表达式：． （2）解：∵直线分别交x轴、y轴于点A，B ∴令，则，即， 直线过点A交y轴于点C 令，则，即 ∴， 设点P的坐标为，则 ①当， ，即 ，即， ∴，； ②当； ，即， ，即， ∴，． 综上，P的坐标为、、、． （3）解：直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E， ，解得： ， ∴ 同理 ，解得：，即； ①如图1，过D作轴，交x轴于点F，过E作轴，交x轴于点G， ， ∴，即，解得：； ②如图2，过D作轴，交x轴于点P，过E作轴，交x轴于点Q ， ，解得：． 综上所述：或． 2．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)， (2)①，；② 【分析】（1）过点C作，根据平行四边形的性质，得出结合勾股定理，即可作答． （2）①过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上，根据题意及等腰三角形的判定和性质得出是等腰三角形，然后确定相应图形，找出临界点即可；②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出，再分别以时，时，时，分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过点C作， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①∵过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在y轴的正半轴上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， 过点D作， ∴， ∴， 当与点重合时， 此时与的交点与A重合，， 如图：当与点B重合时， 此时与的交点与B重合，， ∴的取值范围为； ②当时， 如图，重叠部分的面积为， 由（1）得出， ∴， ∴， ， ∵，开口向上，对称轴直线， ∴在时，随着的增大而增大， ∴； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ， ∵，随着的增大而增大 ∴在时； ∴当时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， 由①得出是等腰三角形，，，， ∴， ∵ ∴开口向下，在时，有最大值， ∴在时； ∴在时，； 当时，如图，重叠部分的面积为， ， ∵，随着的增大而减小， ∴在时，把代入得，把代入得， ∴在时，， 综上：的取值范围为． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， ∴只有B选项中的函数图象符合题意， 故选：B． 2．（2025·山东潍坊·二模）已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的性质，根据一次函数的性质得出，进而根据反比例函数的性质得出，在第四象限，随的增大而增大，即可求解． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上，， ∴ 又∵点，在反比例函数的图象上， 又，则，在第四象限，随的增大而增大， ∴ 故选：D． 3．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为； ③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点： ④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了新定义下的阅读理解能力。函数与方程的综合运用。对于新定义，要理解它所规定的运算规则，再根据这个规则结合函数与方程的有关知识解题． 根据新定义的运算规则，结合函数与方程的有关知识，逐项判断即可． 【详解】解：①设点， ， 故①正确； ②设， ， ， ， ， 故②正确； ③设， ， ， 点的等和点在直线上， 当时，直线解析式为， 而直线与直线平行， 点的等和点一定不在直线上， 故③错误； ④设， ， ， 代入得， 即， 对于任意实数，二次函数的图象上总存在点的等和点； 故④正确； 故选：B ． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次、二次函数图像问题，熟悉图像与各系数间的关系是解题的关键． 先由二次函数图像可得，，，再根据点，坐标得到，最后确定点的位置即可． 【详解】由图可知，，对称轴，即， 又抛物线与轴无交点，所以， 时，，综上，，，； 又，，， ， 即点在轴的负半轴， ， 在第一象限， 则直线大致图像如下： 所以直线一定不过第二象限， 故选：B． 5．（2025·山东济宁·三模）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合勾股定理，求出点的坐标并找到规律是解题的关键． 根据的坐标和函数解析式，求得的长度，再由此可求得的坐标，依次类推，即可求出点、，探究规律利用规律即可解决问题． 【详解】解：∵直线，点的坐标为，过点作轴的垂线交直线于点， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， ， 在中，， ， ∴点的坐标为， 同理，可得出：点的坐标为， 由此可知的坐标为， 故点的坐标为， 故答案为：． 6．（2025·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作轴于点C，轴于点D，点B的纵坐标为，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接、，已知，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式，一次函数表达式为； (2) 【分析】（1）利用，求出点的坐标，再用待定系数法求出两个函数表达式即可； （2）首先求出，然后利用的面积，即可求解； 【详解】（1）解：对于，令，则， 故点，则， 而，故点， 的纵坐标为3，点在反比例函数上，故点， ， 解得，故点， 反比例函数表达式为， 将点的纵坐标代入上式得，， 解得，故， 将点的坐标代入得，，解得， 故一次函数表达式为； （2）对于，令，则， 解得，故点， 的面积． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 7．（2025·山东潍坊·一模）已知反比例函数，正比例函数，请根据表中提供的数据，回答下列问题． 1 (1)试求表格中a，b的值，并画出正比例函数的大致图象； (2)当时，求x的值； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)，，函数图象见解析 (2)的值为或 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、正比例函数的图象与性质、解分式方程，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可，再根据表格画出函数图象； （2）由题意可得，再解分式方程即可得解； （3）根据函数图象结合（2）即可得解． 【详解】（1）解：∵时，；时，， ∴， ∴，， ∵时，， ∴， ∴， ∴， 函数图象如图： ； （2）解：当时，则， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴的值为或； （3）解：由图象可得，当时，的取值范围是或． 8．（2025·山东枣庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边交于点E，连接，已知． (1)点D的坐标是_____； (2)求的值； (3)观察图象，请直接写出满足的x的取值范围； (4)连接，在线段上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长． 【答案】(1) (2) (3) (4)的长为 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题． （1）根据题意写出点D坐标即可； （2）先求出点E坐标即可得到的值； （3）根据图象直接写出不等式解集即可； （4）先求出解析式，过点P作，交于点F，则，进而求出直线的解析式，得到点P坐标，最后得到长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 在函数中，当时，， ∴点D的坐标为， 故答案为：； （2）解：∵点D的坐标为且在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∵正方形的边长为3， ∴， 把代入函数中，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵在函数中，当时，， ∴由图象可知的x的取值范围为； （4）解：设直线的解析式为，代入点和得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点P作，交于点F， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， 在反比例函数中，当时，， ∴， ∴． 9．（2025·山东·模拟预测）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“和谐点”． 【尝试初探】 （1）点__________“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“和谐点”，则__________；若“和谐点”在双曲线（，且k为常数）上，则__________； 【深入探究】 （2）我们可以从函数的角度研究“和谐点”，已知点是第一象限内的“和谐点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数__________的图象平移得到； （3）结合图象研究性质，下列结论正确的选项是__________．（多选） A．图象与直线和直线都没有交点    B．该函数的图象是轴对称图形 C．y随着x的增大而增大        D．图象经过点 【答案】（1）不是，6，16；（2）①；②画图见解析，；③AB． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质、矩形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质是解题的关键． （1）直接根据“和谐点”的定义判断点C是不是“和谐点”即可；根据“和谐点”的定义得到，进行计算即可求得d的值；根据“和谐点”的定义求出m的值，得到E的坐标，将点E代入反比例函数解析式，进行计算即可解答； （2）①根据“和谐点”的定义可得，化简整理即可解答；②描点连线即可得到图象，由图象观察可知，该图象可由平移得到；③先画出草图，再根据图象逐一判断即可解答． 【详解】解：（1）， ∴点不是“和谐点”， ∵点是第一象限内的一个“和谐点”， ∴，解得：， ∵是“和谐点”， ∴，解得：， ∴， 将代入双曲线得：， 故答案为：不是，6，16； （2）①∵点是第一象限内的“和谐点”， ∴，化简得， 由题意可得：，解得：， ∴； ②根据描点、连线，画出函数图象如下： 该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：． ③由图象可得： A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，图象与直线和直线都没有交点，故A正确，符合题意； B．该函数的图象是轴对称图形，故B正确，符合题意； C．由图象可知y随着x的增大而减小，该选项说法错误，不符合题意； D．图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意． 故选：AB． 10．（2025·山东青岛·二模）已知：把和矩形ACBN按如图（1）摆放(点A与点Q重合)，点G、A(Q)、C在同一条直线上．．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿匀速移动，在移动的同时，点P从矩形的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动．当的顶点Q移动到边上时，停止移动，点P也随之停止移动．设移动时间为t()． 解答下列问题： (1)为何值时，？ (2)为何值时，在的中垂线上？ (3)连接与，是否存在某一时刻，使得在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）作于，作于，当时，，此时，根据∽得出，从而表示出，进而列出方程，进一步得出结果； （2）以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，作于，作，可得出，直线的解析式为：，，将点坐标代入直线的解析式，进一步得出结果； （3）以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，则，，，求出直线的解析式，再把点P的坐标代入，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于，作于， 当时，， 此时， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ∽， ， ， ， ，， ， ； （2）解：如图，以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，作于，作，则， 在的中垂线上， ， ， ， ， 直线的解析式为：， 由（1）知，， ， ， ； （3） 解：如图，以和所在的直线为轴和轴建立坐标系，则， 由（2）得：， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 在上， ∴把点代入得： ， 舍去， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，一次函数的运用等知识，解决问题的关键是建立坐标系，运用函数的有关知识． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则过点，的直线一定不经过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象，要运用数形结合思想.由图象知，对称轴，得，进而.由对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为，得出另一个交点是，从而可以得出b、c的关系，最后根据M、N的坐标判断所在的象限，即可得出结果. 【详解】解：∵由图象知抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴即， ∵对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点为， ∴根据对称性质，另一个交点为， ∴将这两个点坐标代入解析式得， 又∵， ∴， ∴， ∴综上可得M点坐标为，N点坐标为， ∵， ∴直线在坐标系中如图所示， ∴直线一定不经过第四象限. 故选：D. 2．（2025·山东济南·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，构造相似三角形是解题的关键；过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F，分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q，则可得，得；求出“永恒点”B及点P的坐标，从而可求得点E、F的坐标，则可求得，即可求得结果． 【详解】解：如图，过点P作轴交直线于点E，过点B作轴交直线于点F， 则； 分别过点B、P作直线的垂线，垂足分别为C、Q， 则，， ∴， ∴， 即； 令，解得：， ∴； 当时，，即； ∴； 而抛物线的对称轴为直线， 当时，，即；当时，，即； ∴； ∴； 故选：D． 3．（2025·山东德州·二模）如图，，，，，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与一次函数有关的规律探索，反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，过作轴于，则有，即可得到的横纵坐标相同，据此根据反比例函数解析式可得，进而可得，求出直线的解析式为：，证明，可求出直线的表达式是，则可求出，进而可得；同理可得，以此类推可知，，据此可得答案． 【详解】解：过作轴于， ∵是等腰直角三角形，且斜边为， ∴， ∴的横纵坐标相同， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴直线的解析式为：， ∵，都是等腰直角三角形， ∴ ∴， 的表达式的次项系数与的表达式的一次项系数相同， 设的表达式的表达式为， 将代入， ， 直线的表达式是， 联立，解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ……， 以此类推可知，， ∴，即， 故答案为：． 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）连接，过点B作BF垂直于直线l于点F，由题意可知，，，, ，，根据线段垂直平分线的性质得到，利用勾股定理即可得到，解得,，进而即可求得、的值； （2）求得C、D的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，代入即可求得的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）解：连接，过点B作垂直于直线l于点F， 由题意可知，，， ∴， ， ∵， ∴， ∵作线段的垂直平分线交直线l于点C， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 当时，则，不合题意，舍去； 当时，则，， 把，代入得， 解得， ∴，，； （2）解：∵，， ∴，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴此时直线为， 把代入得，解得， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到待定系数法求函数的解析式，线段的垂直平分线的性质，一次函数图象上点的坐标特征，面积的计算等，有一定的综合性． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1)，， (2)最大值为，此时点的坐标为 (3)或或，见解析 【分析】（1）先将代入求出a的值，然后求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，证明，得出，得出，从而说明当取得最大值时，也取得最大值．设，则，得出，根据二次函数最大值，求出结果即可； （3）先求出平移后的表达式为，设．分三种情况：当为对角线时，当为边长且和是对角线时，当为边长且和是对角线时，求出结果即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ， 解得， 抛物线的表达式为， 抛物线交轴于点， ， 抛物线交轴于两点， ， ， 设直线的表达式为， 将代入得， 解得：， 直线的表达式为． （2）解：， ， ， 如图，过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点， 则， ， ， ， 当取得最大值时，也取得最大值． 设，则， ， 当时，最大，此时， 当时，面积最大，最大值为： ， 此时点的坐标为． （3）解：将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 平移后的表达式为： ， 此抛物线的对称轴为直线． 设． ， ， ． 当为对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ，解得． 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得 此时； 当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 与互相平分，且， ， 解得：， 的中点坐标为的中点坐标为， ， 解得：， 此时或． 同理，当为边长且和是对角线时，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形， 和互相平分，且， 即，此方程无解． 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，菱形的性质，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，坐标系中三角形的面积，函数与不等式，掌握数形结合思想是解题的关键． 先根据待定系数法求出两个函数的解析式，即可判断A选项，对于一次函数，分别令，，求出点A，B的坐标，根据三角形的面积公式求出各个三角形的面积，即可判断B、C选项，根据图象即可判断D选项． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴反比例函数为， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴， ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得， 故A选项正确； ∴一次函数的解析式为． ∵对于一次函数，令，则； 令，则， 解得， ∴，， ∴，， ∴， ， ， ∴，故B选项正确； ，故C选项错误； ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得当时，，故D选项正确． 故选：C． 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．联立求得点的坐标为，由点E为中点，求得点E的坐标为，由平移的性质求得点C的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：联立得，解得（舍去负值）， ∴，则， ∴点的坐标为， ∵点E为中点， ∴点E的坐标为， 由题意得，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， 解得， 故选：C． 5．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 【答案】 【分析】方法一：本题考查了坐标与图形，角平分线的作法，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点作轴于点G，根据题意可得平分，易证是等腰直角三角形，得到，再证明，易证，推出，即，求出，即可得到点F的坐标． 方法二：本题考查了一次函数解析式的求解、角平分线的性质以及两直线交点的求法．用到了函数与方程的思想，解题关键是确定所在直线的解析式为，易错点是联立方程求解时计算出错． 首先，利用直线上两点和，用待定系数法求出直线的解析式．然后，根据作图步骤可知是的角平分线，因为，所以所在直线的解析式为．最后，求直线与的交点，联立它们的解析式，解方程组得到交点坐标，也就是点F的坐标． 【详解】解法一：解：如图，过点作轴于点G， 根据题意得平分，， ∴， ∵，即， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 故答案为：． 解法二：解：∵，，设直线的解析式为：, ∴， 解得：， 直线的解析式为：, 是的角平分线，， 所在直线的解析式为． 联立方程组： 将代入中，得到： ， 解得． ， ． 所以，直线与的交点F的坐标为． 故答案为：． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)或 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的综合，勾股定理的逆定理； （1）先求出点A和C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）设点D的坐标为，根据作图得到，据此列方程求出d的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状解答即可； （3）先求出点B的横坐标，然后借助图象得到反比例函数在一次函数图象上方的自变量的取值范围即可解答． 【详解】（1）解：把代入得， ∴点A的坐标为， 把代入得， ∴点C的坐标为， 把点和代入得： ，解得， ∴直线对应的函数表达式； （2）解：由作图可得，即， 设点D的坐标为， 则， 解得， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）解：令， 解得，， 由图像可得关于的不等式的解集为或． 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)3 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像的平移，二次函数的图像和性质，正确的求出二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像和性质，是解题的关键． （1）求出时，函数的函数值，得到点坐标，即可得出结果； （2）根据点落在x轴正半轴上，得到点向下平移了个单位，进而得到点向下平移个单位后，与的纵坐标相同，进而求出的纵坐标，代入函数解析式，求出点坐标即可； （3）待定系数法求出二次函数的解析式，设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线，得到新的抛物线的解析式为：，把点坐标代入，求出解析式，进而根据二次函数的图像和性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）解：∵，点的对应点落在x轴正半轴上， ∴点向下平移个单位， ∴点向下平移个单位后，与的纵坐标相同， ∵点的纵坐标为， ∴点的纵坐标为； ∵点在线段上，即点在直线上， ∴当时，， ∴； （3）解：∵，，二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C． ∴，把代入，得：， ∴， ∴， ∵平移后点的对应点落在x轴正半轴上， ∴设抛物线向右平移个单位，再向下平移3个单位得到新的抛物线， ∴新的抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，点关于对称轴的对称点为， ∵对于满足的任意实数，总成立， ∴或， ∴或． 10．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，直线l的解析式为 (2)①点的横坐标为5；②；③点B的坐标为 【分析】（1）将代入求出值，再根据和求出直线的解析式； （2）①根据题意可得，再将代入求解即可； ②参考①思路联立解析式即可； ③设抛物线的解析式为，则可得点的坐标为，点B的坐标为，先求出的表达式，作交直线于点C，求出直线和直线的解析式并联立，进而求出，结合题意求出t的值即可． 【详解】（1）解：抛物线：过原点， 将代入抛物线解析式可得 ， 解得， 抛物线的解析式为 ， ∵抛物线的解析式为， ∴顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得：， 解得， 直线的解析式为； （2）解：①：抛物线的顶点沿射线平移得到抛物线的顶点， 抛物线的解析式为， 当时，抛物线的解析式为， 联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的坐标为； ②联立抛物线与的解析式得， ， 解得， 点的横坐标为， ∴， ∴； ③设抛物线的解析式为， 由②知点A的横坐标是点B的两倍， ∴点的坐标为，点B的横坐标为， 将代入得， ， ∴点B的坐标为， ∴ ， 作交直线于点C，过点B作轴于点D， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为，， 联立直线和直线的解析式为， 解得， ∴点C的坐标为， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）， ∴点B的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数交点问题、二次函数平移、二次函数点的坐标特征、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第10讲 一次函数的图象与性质 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 一次函数性质 题型01 判断一次函数的增减性 题型02 根据一次函数增减性求参数 题型03 一次函数规律性问题 题型04 一次函数与几何综合 命题点二 一次函数与方程、不等式 题型01 一次函数与一元一次方程 题型02 一次函数与一元一次不等式 题型03 一次函数与二元一次方程组 05·重难突破·思维进阶难 20 突破一 求直线围成的图形面积 突破二 一次函数与几何综合 06·优题精选·练能提分 22 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 一次函数的图象与性质 山东潍坊 T8 山东东营T4、T16 山东卷T14 山东滨州T5 山东德州T9 山东东营T18 山东潍坊T11 山东卷 T11、T20 山东泰安T8 山东临沂T11 山东枣庄T21 山东淄博T6 理解正比例函数；能画一次函数的图象，根据图象和表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变化情况。会运用待定系数法确定一次函数的表达式。 一次函数与方程（组）、不等式 山东淄博T20 山东日照T15 山东潍坊T22 山东聊城T10 体会一次函数与二元一次方程的关系。 命题预测 一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，也因为一次函数是一个结合型比较强的知识点，所以其图象和性质也是后续函数问题学习的一个基础.故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。 考点一 一次函数 正比例函数定义：一般地，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。 一次函数定义：一般地，形如y=kx+b（k为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数。 1．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 2．（2025·山东临沂·二模）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的棋盒中装有x枚黑色棋子和y枚白色棋子，每枚棋子除颜色外都相同．若从盒中随机摸出一个棋子是黑色的概率是，那么y与x的函数关系最合适的是（   ） A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数 3．（2024·山东日照·中考真题）已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 考点二 一次函数的图像 图象关系 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到： 当b>0时，向上平移b个单位长度； 当b<0时，向下平移|b|个单位长度 平移口诀：左加有减，上加下减 图象确定 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象时，只要取两点即可， 1）画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可，一般取(0，b)，(，0)两点； 2）画正比例函数的图象，只要取一个不同于原点的点即可. 1．（2025·山东东营·中考真题）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于点B、C，反比例函数的图象经过点A，是等腰直角三角形，，，则k的值为 ． 2．（2025·山东潍坊·中考真题）如图，一次函数经过点，与轴交于点，与正比例函数交于点，则下列结论正确的是（    ） A． B．为的中点 C．方程的解是 D．当时， 3．（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 考点三 一次函数的平移 两个一次函数表达式（直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2）的位置关系： 1）当k1=k2，b1=b2时，两直线重合； 2) 当k1=k2，b1≠b2时，两直线平行； 3）当k1≠k2，b1=b2时，两直线交于y轴上的同一点（0，b）； 4）当k1k2=-1时，两直线垂直； 5）当k1≠k2时，两直线相交. 1．（2023·山东·中考真题）如图，已知坐标轴上两点，连接，过点B作，交反比例函数在第一象限的图象于点．    (1)求反比例函数和直线的表达式； (2)将直线向上平移个单位，得到直线l，求直线l与反比例函数图象的交点坐标． 2．（2025·山东聊城·三模）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点B的坐标为，直线向右平移 个单位长度可将平行四边形的面积分为相等的两部分． 3．（2025·山东威海·一模）如图，直线与反比例函数的图象交于点．将直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．若，则点B的坐标为 ． 考点四 一次函数的性质 图象特征 正比例函数y=kx（k为常数，k≠0）必过点（0,0）、（1，k）. 一次函数y=kx+b（k，b是常数，k≠0）必过点（0，b）、（- ，0） 增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 图象 b>0 b=0 b<0 b>0 b=0 b<0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴 交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0，交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 1．（2025·山东滨州·中考真题）当自变量时，下列函数y随x的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值y随x的增大而减小，当时，y的值可以是（    ）． A．3 B．2 C．1 D． 3．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 命题点一 一次函数性质 ►题型01 判断一次函数的增减性 / 一次函数 的增减性 k>0 k<0 从左向右看图像呈上升趋势， y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势， y随x的增大而减少 【典例】（2025·山东临沂·二模）下列有关一次函数的说法中，错误的是（    ） A．y的值随着x增大而减小 B．当时， C．函数图象与y轴的交点坐标为 D．函数图象经过第一、二、四象限 【变式】1．（2025·山东潍坊·一模）中国茶文化博大精深，茶水口感往往与水的温度有关．一杯的热红茶置于的房间里，茶水的温度（单位：）与时间（单位：）的函数关系如图所示，若，，（）三个时刻茶水的温度分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（2025·山东济南·一模）在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是 ． ►题型02 根据一次函数增减性求参数 / 1.利用定义法求解 根据题目中给出的函数增减性的条件，列出关于 k的不等式，然后解这个不等式，从而得到参数的取值范围。 2.结合图像法求解 先画出一次函数的大致图像，根据图像的上升或下降趋势确定 k的正负，再结合其他已知条件，如函数经过的点等，建立方程或不等式来求解参数。 3.根据实际问题中的增减性求解 在实际问题中，需要先根据题意建立一次函数模型，然后根据所描述的变量之间的增减关系，确定\(k\)的正负，进而求出参数。 【典例】（2024·山东临沂·模拟预测）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k值可能是（　　） A．1 B． C． D． 【变式】1．（2025·山东滨州·二模）请写出同时满足以下两个条件的一个函数 ．①y随x的增大而增大，②函数与y轴的负半轴相交． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，，，，…，，（为正整数）都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． ►题型03一次函数规律性问题 / 一、观察法 1. 直接观察：对于简单的一次函数规律问题，可直接观察数字或图形的变化趋势，找出其中的规律。 2. 对比观察：当遇到较为复杂的规律时，可将已知的数据或图形进行对比分析。 二、列表法：将题目中给出的数据按照一定的顺序列成表格，通过观察表格中的数据变化，更容易发现一次函数的规律。 三、图像法：根据题目所给的一次函数信息，画出相应的函数图像，利用图像的直观性来寻找规律。 四、代入法 1. 代入求值：如果已知一次函数的表达式和一个点的坐标，可将点的坐标代入函数表达式，求出未知参数的值。 2. 代入验证：对于一些规律性的猜想，可以将具体的数值代入进行验证。 五、待定系数法：先设出一次函数的一般形式y = kx + b（k、b为常数，k≠0），再根据题目中的条件确定k和b的值。 六、实际应用问题中的方法 1. 建立数学模型：在解决实际生活中的问题时，需要将实际问题转化为数学问题，建立一次函数模型。 2. 分类讨论：有些实际问题可能存在多种情况，需要根据不同的条件进行分类讨论。 【典例】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，若和分别是直线和轴上的点．并且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是 ． 【变式】1．（2025·山东东营·一模）在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形、正方形、正方形、…、正方形，使得点在直线l上，点在y轴正半轴上，则点的横坐标是 ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点、， (1)求直线与反比例函数的关系式； (2)若点是轴上一点，且的面积为3，求点的坐标． (3)直接写出时x的取值范围． ►题型04 一次函数与几何综合 / 一、利用一次函数的性质解决几何问题 1. 求线段长度 - 对于平面直角坐标系中的两点A和B，可根据一次函数的解析式求出这两点的坐标，再利用两点间距离公式\来计算线段AB的长度。 - 当涉及到动点问题时，设出动点的坐标，结合一次函数的表达式，用含参数的式子表示出相关线段的长度，再根据题目条件进行求解。 2. 求图形面积 - 常见的有三角形面积和四边形面积。对于三角形，如果知道三个顶点的坐标，可以通过割补法将其转化为规则图形的面积来计算。 - 对于四边形，可以将其分割成两个三角形或其他熟悉的图形来求面积。 二、借助几何图形的性质研究一次函数 1. 求一次函数的解析式 - 如果已知一次函数的图像经过某些特定的点，而这些点的位置又与几何图形有关，就可以利用这些几何条件来确定函数的系数。 2. 判断直线与几何图形的位置关系 - 直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交。判断方法是计算圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系。 三、动态问题的处理方法 1. 分析动点的运动过程 - 明确动点的起点、终点以及运动的路径。通常，动点会沿着一次函数的图像或者其他给定的几何图形的边缘运动。找出动点在不同阶段的速度、时间等因素之间的关系。如果是匀速运动，速度不变，时间和路程成正比。可以根据这些关系列出关于动点坐标的表达式。 2. 分类讨论动态变化的情况 - 根据动点的不同位置或不同的时间段进行分类讨论。例如，当动点在线段上运动时，可能会产生几种不同的情况，每种情况下相关的几何量（如线段长度、角度大小等）都会发生变化。需要分别对每种情况进行分析和计算，确保不遗漏任何一种可能性。 【典例】（2025·山东德州·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，设点是线段上的一个动点（不与重合），过点作轴的平行线，与该反比例函数的图象交于点，连接，，．当四边形的面积等于时，求点的坐标（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东济南·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与x轴交于A，B两点． (1)求抛物线的表达式． (2)如图，已知直线与抛物线C1交于顶点M和另一点C，连接 ．若恰好平分，求k的值． (3)点是抛物线上的两点，若P，Q之间的图象（包括点P，Q）的最高点与最低点纵坐标的差为，请直接写出t的值． 2．（2025·山东聊城·二模）数学活动课上，甲、乙、丙、丁四名同学针对函数展开了讨论： 信息一：他们分别指出了函数的一个性质： 甲：函数的图象不经过原点； 乙：函数的图象经过一、三象限； 丙：在每个象限内，y随x的增大而减小； 丁：函数图象经过点． 信息二：已知函数的图象是一条直线，部分取值如下表所示 x 0 1 2 y 1 3 5 (1)根据题中的信息，写出两个函数的表达式； (2)求出两个函数的交点A，B（点A在点B的左边）的坐标； (3)点O为坐标原点，求出的面积． 命题点二 一次函数与方程、不等式 ►题型01 一次函数与一元一次方程 / 1.利用一次函数的图像求解一元一次方程 将一元一次方程转化为一次函数的形式，然后画出该一次函数的图像，通过观察图像与x轴的交点坐标，即可得到方程的解。因为一次函数y = kx + b（k、b为常数，k≠0）与x轴的交点的横坐标就是对应的一元一次方程kx + b = 0的解。 2. 根据一次函数的性质判断一元一次方程解的情况 对于一元一次方程ax + b = 0（a、b为常数，a≠0），可看作一次函数y = ax + b。当a > 0时，函数y随x的增大而增大，若b < 0，则方程有一个正解；若b = 0，则方程的解为x = 0；若b > 0，则方程有一个负解。当a < 0时，函数y随x的增大而减小，同理可根据b的正负判断方程解的情况。 3.结合一次函数与一元一次方程解决实际问题 先根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，再将其与一次函数相结合，通过分析函数的变化趋势和方程的解来解决问题。通常会涉及到两个变量之间的关系，用一次函数表示其中一个变量随另一个变量的变化情况，再根据给定的条件建立一元一次方程求解。 【典例】（2024·山东聊城·一模）将直线沿轴向下平移3个单位长度得到直线，此时原点到直线的距离为3，则的值为 ． 【变式】1．（2024·山东济宁·一模）在函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． （1）列表： x … －1 0 1 2 3 4 … y … 2 0 －2 b －2 0 … 请根据表格中的信息，确定b的值，________ （2）根据（1）中的列表，请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象．    【探索】 （3）若点，在函数图象上，且，则与的大小关系为________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： （4）关于x的不等式的解集为________． （5）若关于x的方程有且只有一个正根和一个负根，请直接写出满足条件的m的取值范围． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，且一次函数分别与轴，轴交于，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． ►题型02 一次函数与一元一次不等式 / 1.利用一次函数图像求解一元一次不等式 先将一元一次不等式转化为一次函数的形式。例如对于不等式ax + b>0(a≠0)，可看作一次函数y = ax + b。然后画出该一次函数的图像，通过观察图像在x轴上方或下方的部分所对应的x的取值范围，来确定不等式的解集。 2.根据一次函数的性质判断一元一次不等式的解集 对于形如ax + b>0(a≠0)的不等式，若a>0，则一次函数y = ax + b单调递增，当y>0时，x大于方程ax + b = 0的解；若a<0，则一次函数y = ax + b单调递减，当y>0时，x小于方程ax + b = 0的解。同理可分析ax + b<0的情况。 3.结合一次函数与一元一次不等式解决实际问题 在实际问题中，先根据题意建立一次函数模型和一元一次不等式关系。通常涉及到两个变量之间的关系，用一次函数表示其中一个变量随另一个变量的变化情况，再根据给定的条件列出一元一次不等式求解。 【典例】（2025·山东·一模）如图，直线与相交于点，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·山东淄博·一模）如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东临沂·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图象如图所示，则以下结论：①随x的增大而减小；②；③当时，；④方程组的解为．其中正确的为 ．（写出所有正确结论的序号） ►题型03 一次函数与二元一次方程组 / 1.利用一次函数图像求解二元一次方程组 将二元一次方程组中的每个方程转化为一次函数的形式。然后在同一坐标系中画出这两个一次函数的图像，它们的交点坐标就是原方程组的解。 2.根据一次函数的性质判断二元一次方程组解的情况 通过观察两个一次函数的斜率和截距等性质来判断方程组解的情况。如果两个一次函数的斜率不相等，则它们一定相交，即方程组有唯一解；如果斜率相等且截距也相等，则两直线重合，方程组有无数组解；如果斜率相等但截距不相等，则两直线平行，方程组无解。 3. 结合一次函数与二元一次方程组解决实际问题 在实际问题中，先根据题意建立二元一次方程组和一次函数模型。通常涉及到两个变量之间的关系，用一次函数表示其中一个变量随另一个变量的变化情况，再根据给定的条件列出二元一次方程组求解。 【典例】（2025·山东聊城·一模）如图，直线与相交于点P，则关于x，y的方程组的解为 ． 【变式】1．（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，若四边形四个顶点的坐标分别为，，，，则四边形对角线的交点坐标为 ． 2．（2025·山东泰安·一模）定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图，一次函数的图象分别交轴、轴于点A、． (1)请写出一次函数的“逆反函数”的解析式______；点在的函数图象上，则的值是______． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出点坐标； ②求出的面积． 突破一 求直线围成的图形面积 【典例】（2025·宁夏·模拟预测）已知一次函数的图象直线与反比例函数的图象双曲线相交于点和点，且直线与x轴、y轴相交于点C、点D． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)点P为直线上的动点，过P作x轴垂线，交双曲线于点E，交x轴于点F，连接，若，求的值． 【变式】1．（2025·甘肃·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)是反比例函数图象上的一点，且横坐标，过点作轴交于点，连接，当时，求点的坐标． 2．（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 突破二 一次函数与几何综合 【典例】（2025·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线经过点B交x轴于点C，且． (1)求的表达式； (2)点D是直线上的一个动点，连接，当时，求点D的坐标； (3)点E是线段上的一个动点，点F为x轴上一点，且，当最小时，求的值． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线过点A交y轴于点C． (1)求直线的表达式； (2)点P是y轴上一动点，且与相似，求点P的坐标； (3)直线与x轴交于点M，分别与直线，交于点D，E，当时，求k的值． 2．（2025·天津·一模）将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点在第一象限，且． (1)填空：如图1，点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上，点的对应点为．设． ①如图2，若直线与边相交于点，当折叠后四边形与重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围； ②设折叠后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，则一次函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（2025·山东潍坊·二模）已知点，在一次函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·一模）在平面直角坐标系中，对于点．和点，若满足，我们称点和点互为等和点．下列结论： ①若点坐标为，则点的等和点在直线上； ②若点分别在函数的图象上，点和互为等和点，则点的坐标为； ③若点坐标为，则无论取何值，直线上有且只有一个点是点的等和点： ④若点坐标为，则二次函数的图象上总存在点的等和点．其中，正确结论的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，抛物线与某一直线交于，两点，其中抛物线的对称轴为直线，设点坐标为，点坐标为，则对于过平面直角坐标系上的两点、的直线一定不过（   ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2025·山东济宁·三模）如图，直线，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点；再过点作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，长为半径画弧交x轴于点，…，按此作法进行下去，点的坐标为 ． 6．（2025·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A、B，点A在第一象限，过点A作轴于点C，轴于点D，点B的纵坐标为，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点E、F，连接、，已知，． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求的面积． 7．（2025·山东潍坊·一模）已知反比例函数，正比例函数，请根据表中提供的数据，回答下列问题． 1 (1)试求表格中a，b的值，并画出正比例函数的大致图象； (2)当时，求x的值； (3)当时，直接写出x的取值范围． 8．（2025·山东枣庄·一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边交于点E，连接，已知． (1)点D的坐标是_____； (2)求的值； (3)观察图象，请直接写出满足的x的取值范围； (4)连接，在线段上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长． 9．（2025·山东·模拟预测）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A，B为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“和谐点”． 【尝试初探】 （1）点__________“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“和谐点”，则__________；若“和谐点”在双曲线（，且k为常数）上，则__________； 【深入探究】 （2）我们可以从函数的角度研究“和谐点”，已知点是第一象限内的“和谐点”． ①求y关于x的函数表达式； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象的草图，观察图象可知该图象可由函数__________的图象平移得到； （3）结合图象研究性质，下列结论正确的选项是__________．（多选） A．图象与直线和直线都没有交点    B．该函数的图象是轴对称图形 C．y随着x的增大而增大        D．图象经过点 10．（2025·山东青岛·二模）已知：把和矩形ACBN按如图（1）摆放(点A与点Q重合)，点G、A(Q)、C在同一条直线上．．如图（2），从图（1）的位置出发，以的速度沿匀速移动，在移动的同时，点P从矩形的顶点B出发，以的速度沿向点A匀速移动．当的顶点Q移动到边上时，停止移动，点P也随之停止移动．设移动时间为t()． 解答下列问题： (1)为何值时，？ (2)为何值时，在的中垂线上？ (3)连接与，是否存在某一时刻，使得在上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 1．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，已知开口向下的抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线，则过点，的直线一定不经过（    ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·山东济南·二模）新定义：若函数图象恒过点，我们称为该函数的“永恒点”． 如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图象恒过点，则点称为这个函数的 “永恒点”．点P和点B分别为抛物线的顶点和x轴正半轴上的“永恒点”，设点B到直线 的距离为d1，设点P到直线 的距离为d2，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·二模）如图，，，，，都是斜边在x轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，，都在反比例函数的图象上，则的坐标是 ． 4．（2025·山东济南·模拟预测）如图，反比例函数（，）与一次函数交于点A，B，过点A的直线轴，作线段的垂直平分线交直线l于点C，．已知点A的纵坐标为2，点B的横坐标为1． (1)求k，m，b的值． (2)过点B作平行于x轴的直线，交直线于点E，连接，求的面积． 5．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交轴于两点，交轴于点． (1)求直线的表达式和a，m的值． (2)是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值及面积最大时点的坐标． (3)在（2）中面积最大的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 1．（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 3．（2025·青海西宁·中考真题）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．下列结论错误的是（   ） A． B．与的面积相等 C．的面积是 D．当时， 4．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数与正比例函数的图象交于点A．将正比例函数的图象向上平移个单位后得到的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C．过点C作x轴的垂线，与x轴交于点D．线段与交于点E，点E为中点，则k的值为（   ） A． B．1 C． D．2 5．（2025·西藏·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，以原点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点C，交y轴于点D，分别以点C，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限内交于点E，作射线交于点F，则点F的坐标是 ． 6．（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 7．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 8．（2025·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数和的图象分别与直线依次相交于，，三点． (1)求出直线对应的函数表达式； (2)分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接，．试判断的形状，并说明理由； (3)请直接写出关于的不等式的解集． 9．（2025·江苏常州·中考真题）如图：在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与x轴，y轴交于点A、B，点C是线段上一点，C与B不重合．二次函数（a，b，c是常数，且）的图像经过点B，顶点是C．将该二次函数的图像平移后得到新抛物线，、分别是B、C的对应点，且点落在x轴正半轴上，点的纵坐标为． (1)______； (2)求点C的坐标； (3)已知新抛物线与y轴交于点，点、在新抛物线上，若对于满足的任意实数，总成立，求实数m的取值范围． 10．（2025·四川·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线过原点，顶点为P，直线l过原点和点P． (1)求抛物线和直线l的解析式； (2)如图2，将抛物线的顶点沿射线平移，抛物线也随之移动得到抛物线，设顶点为A，其横坐标为，抛物线与抛物线交于点B． ①当时，求点B的横坐标； ②若点B的横坐标为n，请猜想并写出n与t的关系（不写推理过程）； ③如图3，若点B在第一象限内，设与y轴正半轴的夹角为，当时，求点B的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $