多项式展开式中特定项（系数）问题课件-2027届高三数学一轮复习

多项式展开式中特定项（系数）问题 　　多项式展开式中特定项（系数）问题是高考常考题型之一，利用转化 思想把多项式转化为二项式来解决，本质上是利用加法原理和乘法原理， 这种方法可以直接求展开式中的某特定项（系数）. 高中总复习·数学 几个二项式和的展开式中特定项（系数）问题 （1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1＋x）8的展开式中，含x3的 项的系数为（　　） A. －9 B. 121 C. －74 D. －121 解析：（1－x）5＋（1－x）6＋（1－x）7＋（1＋x）8的展开式中，含x3的项的系数为－ － － ＋ ＝－10－20－35＋56＝－9，故 选A. √ 高中总复习·数学 规律方法 　　对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二 项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也 可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）. 高中总复习·数学 几个二项式积的展开式中特定项（系数）问题 已知（x3＋a）（2x－ ）6的展开式中各项系数的和为3，则该展开 式中含x3项的系数为（　　） A. －144 B. －120 C. 80 D. 120 √ 高中总复习·数学 解析：　令x＝1得1＋a＝3，则a＝2，（2x－ ）6展开式的通项Tk＋1 ＝ （2x）6－k（－ ）k＝ 26－k·（－1）kx6－3k，则（x3＋2）（2x － ）6＝x3（2x－ ）6＋2（2x－ ）6展开式中含x3的项为x3 24·（－1）2＋2 25（－1）1x3＝－144x3，所以（x3＋a）·（2x－ ） 6展开式中含x3项的系数为－144.故选A. 高中总复习·数学 规律方法 　　对于几个二项式积的展开式中的特定项（系数）问题，一般都可以 根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方 法，以免重复或遗漏. 高中总复习·数学 三项式展开式中特定项（系数）问题 〔一题多解〕（x2＋3x＋2）3的展开式中x4的系数为（　　） A. 6 B. 8 C. 27 D. 33 解析：法一　展开式中3个多项式2个取x2，1个取2，即 （x2）2·2＝6x4，展开式中3个多项式1个取x2，2个取3x，即 ·（3x）2·x2＝27x4，故展开式中x4的系数为6＋27＝33，故选D. 法二　因为（x2＋3x＋2）3＝（1＋x）3·（2＋x）3，（1＋x）3展开式 的通项为Tm＋1＝ ·13－m·xm＝ ·xm，m＝0，1，2，3，则展开式 中含x的项为T2＝ ·x＝3x，含x2的项为T3＝ ·x2＝3x2，含x3的项 √ 高中总复习·数学 为T4＝ ·x3＝x3；（2＋x）3展开式的通项为Tn＋1＝ ·23－n·xn＝23 －n ·xn，n＝0，1，2，3，则展开式中含x的项为T2＝22 ·x＝12x， 含x2的项为T3＝2 ·x2＝6x2，含x3的项为T4＝ ·x3＝x3.综上所述， （x2＋3x＋2）3的展开式中x4的项为3x·x3＋3x2·6x2＋x3·12x＝33x4， 系数为33.故选D. 法三　因为（x2＋3x＋2）3＝[（x2＋3x）＋2]3，展开式的通项为Tk＋1＝ ·（x2＋3x）3－k·2k，k＝0，1，2，3.要使展开式中含x4，则k可取0 或1.当k＝0时， ·（x2＋3x）3·20＝（x2＋3x）3，展开式的通项为Tl ＋1 · ·（3x）l＝3l ·x6－l，l＝0，1，2，3，显然l＝2 高中总复习·数学 时，展开式含x4，该项为T3＝32 ·x4＝27x4；当k＝1时， ·（x2＋ 3x）2·21＝6（x2＋3x）2，展开式的通项为Ts＋1＝6 ·（x2）2－ s·（3x）s＝6×3s ·x4－s，s＝0，1，2，显然s＝0时，展开式含x4， 该项为T1＝6x4.综上所述，（x2＋3x＋2）3的展开式中x4的项为27x4＋6x4 ＝33x4，系数为33.故选D. 高中总复习·数学 规律方法 （a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法 高中总复习·数学 1. 已知（1＋x）3＋（1＋x）4＋…＋（1＋x）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋ a10x10，则a2＝（　　） A. 160 B. 162 C. 164 D. 168 解析：根据题意，因为多项式（1＋x）3＋（1＋x）4＋…＋（1＋x）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，所以由二项式定理得：a2＝ ＋…＋ ＝ ＋ ＋…＋ －1＝ －1＝164. √ 高中总复习·数学 2. （2026·山东济宁模拟）（2＋ ）（2x－1）11的展开式中的常数项为 （　　） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 √ 高中总复习·数学 解析：　 （2＋ ）（2x－1）11＝2（2x－1）11＋ （2x－1）11，（2x －1）11的二项展开式的通项为Tk＋1＝ （2x）11－k·（－1）k＝（－ 1）k·211－k x11－k，∴令11－k＝0得k＝11，故2（2x－1）11的常数项 为（－1）1121 ＝－2；令11－k＝1得k＝10，则 （2x－1）11的常数项 为（－1）1021 ＝22，故（2＋ ）（2x－1）11的展开式中的常数项为－ 2＋22＝20，故选B. 高中总复习·数学 3. 若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1） 9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，则实数m的值可 以为（　　） A. 1或－3 B. －1 C. －1或3 D. －3 √ 高中总复习·数学 解析：　在（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）9中，令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即（a0＋a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）＝m9；令x＝0，可得（a0＋a2＋…＋a8）＋（a1＋a3＋…＋a9）＝（2＋m）9.∵（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，∴[（a0＋a2＋…＋a8）＋（a1＋a3＋…＋a9）]· [（a0＋a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）]＝39，∴（2＋m）9·m9＝（2m＋m2）9＝39，整理得2m＋m2＝3，解得m＝1或m＝－3，故选A. 高中总复习·数学 4. （2026·广东佛山模拟）（1＋ ）5＋（1－ ）5的展开式中x2的系 数是 ⁠. 解析：（1＋ ）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝ （ ）r，（1－ ）5的展开式的通项公式为Sr＋1＝（－1）r （ ）r，令r＝4，则（1＋ ）5的展开式中x2的系数为 ＝5，（1－ ）5的展开式中x2的系数为（－1）4 ＝5，故（1＋ ）5＋（1－ ）5的展开式中x2的系数为10. 10 高中总复习·数学 5. 〔一题多解〕若将函数f（x）＝x5表示为f（x）＝a0＋a1（1＋x）＋ a2（1＋x）2＋…＋a5（1＋x）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则a3 ＝ ⁠. 解析：法一　由等式两边对应项系数相等，得 ⇒a3 ＝10. 法二　将等式f（x）＝x5＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2＋…＋a5（1＋ x）5两边连续对x求导三次，得60x2＝6a3＋24a4（1＋x）＋60a5（1＋x） 2，再运用赋值法，令x＝－1，得60＝6a3，即a3＝10. 10 高中总复习·数学 6. （2026·贵州贵阳模拟）已知（x＋ay）（2x－y）5的展开式中x2y4项 的系数为30，则a＝ ⁠. 解析：原式＝x（2x－y）5＋ay（2x－y）5，（2x－y）5的二项式展开 式通项Tr＋1＝ （2x）5－r（－y）r＝25－r（－1）r x5－ryr，令r＝4， 得xy4的系数为2 ，令r＝3，得x2y3的系数为－4 ，所以x2y4项的系数 为2 －4a ＝10－40a＝30，解得a＝－ . － 高中总复习·数学 $