精品解析：广东省中山市第一中学2025-2026学年八年级下学期数学 期中试卷

广东省中山市第一中学2025-2026学年八年级下数学期中试卷 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列算式中，运算错误的是 A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，则点C到的距离为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4 4. 如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ） A. 1013 B. 2027 C. 2026 D. 2025 7. 如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 12. 如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______． 13. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 14. 如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． 15. 如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 18. 如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是等边三角形，且，求的长． 四、解答题二（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题. 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：. 例如：已知、，则这两点间的距离．特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知、，求、两点间的距离； （2）已知、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，求、两点间的距离； （3）已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗?请说明理由． 20. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 21. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 五、解答题三（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 下面是奋斗小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等邻边四边形”的研究报告 奋斗小组 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究． 定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1，四边形中，若，则四边形是“等邻边四边形” 如图2，四边形中，若，则四边形是“等邻边四边形” 性质探究： 性质：两组邻边相等． 如图3，四边形中，若，对角线恰好平分， 求证：四边形是“等邻边四边形” 证明： 任务： （1）根据“等邻边四边形”的定义，下列常见的四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______（多选） A.正方形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 （2）请你阅读上述报告，补全证明过程． （3）如图4，已知，请你在图4中作一个“等邻边四边形”，使得点在边右上方（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）． 23. 在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线． 特殊地，如图1，在中，，过点作，垂足为，直线是的关于点的二分割线． （1）如图2，，直线交于点．已知是的关于点的二分割线，点是的中点，那么是的关于点的二分割线吗？为什么？ （2）已知中最小的角，若存在关于点的二分割线，直接写出的度数． （3）如图3，中，，为钝角．作，垂足为．在上方取一点，使，．若为关于点的二分割线，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市第一中学2025-2026学年八年级下数学期中试卷 一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列算式中，运算错误的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】掌握二次根式相关运算法则：（1）二次根式的性质：即；（2）二次根式乘法：()；（3）二次根式除法：()；（4）二次根式加减：仅同类二次根式(被开方数相同)可合并． 【详解】解：，选项A运算正确； 根据二次根式乘法法则，，选项B运算正确； 根据二次根式除法法则，，选项C运算正确； 和的被开方数分别为7和3，二者不相同，不是同类二次根式，不能直接合并，选项D运算错误． 3. 如图，在中，，，，则点C到的距离为（ ） A. B. 5 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求出，然后利用算得答案即可． 【详解】解：在中，，，， 那么 ， ， ． 故选：A． 4. 如图，为测量位于珠海那洲村某生态农庄中水塘旁的两点，间的距离，在地面上确定点，分别取，的中点，，量得，则，之间的距离是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理即可求解，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键． 【详解】解：∵点，是中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∴，之间的距离是， 故选：． 5. 下列命题中正确的是（　　） A. 有一组邻边相等的四边形是菱形 B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的平行四边形是正方形 D. 一组对边平行的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项． 【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确； C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误； D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树……依此类推，如果第一个正方形面积为1，则第2026代勾股树中所有正方形的面积和为（ ） A. 1013 B. 2027 C. 2026 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了“勾股树”中的规律问题，找出第代勾股树中所有正方形的面积和为，即可求解． 【详解】解：第１代勾股树中所有正方形的面积和为， 第２代勾股树中所有正方形的面积和为， 第３代勾股树中所有正方形的面积和为， 第代勾股树中所有正方形的面积和为， 第2026代勾股树中所有正方形的面积和为， 故选：B． 7. 如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故选：A． 8. 如图，在等边三角形中，D，E，F分别为三边，，的中点，则图中共有菱形（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形性质，三角形中位线定理和菱形的判定．由题意知，，，是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有，根据四边相等的四边形是菱形判定作答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴, ∵D，E，F分别为三边，，的中点， ∴, , , ∵，，是的中位线， ∴,,, ∴， ∴四边形、四边形、四边形是菱形， 即图中有3个菱形． 故选B． 9. 如图，顺次连接任意四边形ABCD各边中点，所得的四边形EFGH是中点四边形．下列四个叙述：①中点四边形EFGH一定是平行四边形；②当四边形ABCD是矩形时，中点四边形EFGH也是矩形；③当四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形时，则四边形ABCD也是菱形；④当四边形ABCD是正方形时，中点四边形EFGH也是正方形．其中正确结论的个数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，BD，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：连接AC，BD， ∵E，F，G，H分别是四边形各边的中点， ∴EF//AC，HG//AC，EH//BD，GF//BD， ∴EF//GH，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形；（①正确） ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵EF＝AC，EH＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形；（②错误） ∵四边形EFGH是菱形， ∴EF＝EH， ∴AC＝BD， ∴四边形ABCD不一定是菱形；（③错误） ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC＝BD，AC⊥BD， ∵EF＝AC，EH＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH是菱形； ∵EF//AC， EH//BD，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH=90°， ∴四边形EFGH是正方形．（④正确） ∴正确的是①④． 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．解题时注意中点四边形的判定：一般中点四边形是平行四边形；如果对角线相等，则得到的中点四边形是菱形，如果对角线互相垂直，则得到的中点四边形是矩形，如果对角线相等且互相垂直，则得到的中点四边形是正方形． 10. 如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】用含t的式子表示出，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 二、填空题（共5个小题，每小题3分，满分15分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，正方体的棱长为，蚂蚁从顶点A沿表面爬到顶点B的最短路程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将点A和点B所在的各面展开为矩形，根据“两点之间线段最短”知为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离；然后利用勾股定理求得的长． 【详解】解：将点A和点B所在的各面展开为矩形，为矩形对角线的长， 如图所示： ∵正方体的棱长为， ∴矩形的长为、宽为， ∴． 13. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，已知，则的周长为______． 【答案】16 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明，，再求出，进而计算即可． 【详解】解：由知，，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长为． 14. 如图，四边形，，，和分别是和的角平分线，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，首先根据多边形内角和公式计算出的度数，再根据补角的定义计算出，再根据角平分线定义计算出，再根据三角形内角与外角的关系计算出的度数． 【详解】解：连接并延长，如下图， ∵在四边形中，， 又，， ∴， ∴， ∵和分别是和的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 如图，在长方形中, ，，，则CE+DF的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当D，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当D，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为 故答案为：． 三、解答题（一）（共3个小题，每小题7分，满分21分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式混合运算法则，结合平方差公式计算即可； （2）先计算算术平方根、立方根及化简二次根式，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． （1）与垂直吗？请说明理由； （2）据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】（1）垂直， 理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 18. 如图，在梯形中，，，若点为的中点，连接，交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若是等边三角形，且，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据线段的中点以及等量代换得出，然后根据平行四边形的判定定理进行证明即可； （2）根据等边三角形和平行四边形的性质得出相等的边，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，四边形是平行四边形， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 四、解答题二（共3个小题，每小题9分，满分27分） 19. 阅读下列一段文字，然后回答下列问题. 已知平面内两点，则这两点间的距离可用下列公式计算：. 例如：已知、，则这两点间的距离．特别地，如果两点所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴，那么这两点间的距离公式可简化为或． （1）已知、，求、两点间的距离； （2）已知、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2，求、两点间的距离； （3）已知的顶点坐标分别为、、，你能判定的形状吗?请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 是直角三角形． 理由：、、， ， ， ， ， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题为阅读理解题，仔细阅读题中内容，掌握题中给出解决问题的方法，熟练运用题目中所给的两点间距离公式是解决问题的关键 ． （1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）由A、B在平行于轴的同一条直线上，可得点A、B的横坐标相等，由于横坐标相同，所以A、B两点间的距离等于纵坐标差的绝对值； （3）利用两点间的距离公式求得、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断的形状即可． 【小问1详解】 解：、， ； 【小问2详解】 、在平行于轴的同一条直线上，点的纵坐标为8，点的纵坐标为2， ； 【小问3详解】 略 20. 已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 21. 问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． （1）利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： （2）利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 五、解答题三（共2个小题，第22题13分，第23题14分，满分27分） 22. 下面是奋斗小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等邻边四边形”的研究报告 奋斗小组 研究对象：等邻边四边形 研究思路：类比特殊四边形的性质进行研究． 定义：有两组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． 如图1，四边形中，若，则四边形是“等邻边四边形” 如图2，四边形中，若，则四边形是“等邻边四边形” 性质探究： 性质：两组邻边相等． 如图3，四边形中，若，对角线恰好平分， 求证：四边形是“等邻边四边形” 证明： 任务： （1）根据“等邻边四边形”的定义，下列常见的四边形中，一定是“等邻边四边形”的是______（多选） A.正方形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 （2）请你阅读上述报告，补全证明过程． （3）如图4，已知，请你在图4中作一个“等邻边四边形”，使得点在边右上方（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）． 【答案】（1）AC （2） 证明：，， ∵对角线恰好平分， ， ， ， 过点作交于点， ， ∴四边形是平行四边形，， ， ，， ，， ，， ∴四边形是“等邻边四边形”． （3） 四边形即为所求（三种情况均可）． 【解析】 【分析】（1）根据正方形、矩形、菱形、平行四边形的性质即可得； （2）先根据平行线的性质及角平分线定义，可得，过点作交与点，证得四边形是平行四边形，得，再结合等腰三角形的性质从而证得即可得； （3）根据等邻边四边形定义作图即可． 【小问1详解】 解：∵正方形和菱形的四条边都相等，矩形和平行四边形的四条边不一定相等 ∴正方形和菱形一定是等邻边四边形， 故选：AC． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、尺规作图等知识． 23. 在中，若过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线． 特殊地，如图1，在中，，过点作，垂足为，直线是的关于点的二分割线． （1）如图2，，直线交于点．已知是的关于点的二分割线，点是的中点，那么是的关于点的二分割线吗？为什么？ （2）已知中最小的角，若存在关于点的二分割线，直接写出的度数． （3）如图3，中，，为钝角．作，垂足为．在上方取一点，使，．若为关于点的二分割线，求的长． 【答案】（1） 解：是的关于点的二分割线． 理由如下：， ． 是的关于点的二分割线， 为直角三角形，为等腰三角形， 其中，， 是的中点， ，即， 由得， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∴为直角三角形， 又为等腰三角形（因）， 故是的关于点的二分割线； （2）的度数为或或或 （3） 【解析】 【分析】（1）先由等腰三角形性质及求出底角，再根据“二分割线”定义确定为等腰三角形，为直角三角形，进而证明，判断是否为关于点的二分割线； （2）分两大种情况讨论，即①当为等腰三角形，为直角三角形时；②当为等腰三角形，为直角三角形时；再对每一种情况进行细分讨论求解； （3）先确定为等腰三角形，，过点作交延长线于点，连接，然后证明，求出则，，证明出，最后由勾股定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：分两种情况：①当为等腰三角形，为直角三角形时， 当时，如图，符合题意； ， 当，时，如图，符合题意， 此时， ∴ ∴； ②当为等腰三角形，为直角三角形时， 当时，如图，符合题意； ∴； 当时，如图，符合题意； ∴， ∵ ∴，即， 综上：的度数为或或或； 【小问3详解】 解：∵， ∴为直角三角形，， ∵为关于点的二分割线， ∴为等腰三角形， ∴ 过点作交延长线于点，连接， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题重点考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，重点理解新定义，构造“手拉手全等三角形”解决第三问． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $