专题03平行线的性质 2025-2026学年七年级数学下册同步培优讲义（浙教版）

专题03平行线的性质 （知识点+8题型+过关检测） 【题型1 两直线平行同位角相等】 2 【题型2 两直线平行内错角相等】 2 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 3 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 4 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 5 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 6 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 7 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 8 · 掌握核心性质：理解并牢记平行线的三大性质，精准区分“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的适用条件，明确性质与判定的逻辑区别，杜绝混淆。 · 规范推理表达：学会运用平行线的性质进行几何说理、角度计算和简单证明，规范书写几何推理步骤，注明性质依据，培养严谨的逻辑推理能力。 · 综合运用能力：能结合平行线判定、对顶角、邻补角、垂直等知识，综合解决角度探究、几何证明、实际应用等综合题型，提升几何知识融会贯通能力。模块三 知识◎梳理 知识点1：平行线的三大性质 性质口诀：两线平行，同位相等；两线平行，内错相等；两线平行，同旁互补 1. 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简写：两直线平行，同位角相等。 数学语言：若a∥b，则∠1=∠2（∠1、∠2为同位角）。 2. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简写：两直线平行，内错角相等。 数学语言：若a∥b，则∠3=∠4（∠3、∠4为内错角）。 3. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简写：两直线平行，同旁内角互补。 数学语言：若a∥b，则∠5+∠6=180°（∠5、∠6为同旁内角）。 知识点2：平行线性质与判定的核心区别 · 平行线判定：由角推线（已知角相等/互补，证明两直线平行），是“判断线是否平行”的依据； · 平行线性质：由线推角（已知两直线平行，得出角相等/互补），是“已知线平行，求角、证角”的依据。 知识点3：关键注意事项 · 平行线性质的前提是两直线平行，若两直线不平行，同位角、内错角不一定相等，同旁内角也不一定互补； · 运用性质解题时，必须先找准“三线八角”，明确截线和被截的平行线，再对应角的类型； · 综合题型中，常结合对顶角相等、邻补角互补、垂直（90°）联合解题，注意分步推导，不跳步骤。 模块四 题型◎汇总 【题型1 两直线平行同位角相等】 解题思路： 基础题型，先明确已知条件为两直线平行，找到对应的同位角，直接套用性质“两直线平行，同位角相等”，得出同位角相等的结论，可用于简单说理或角度等量代换。 解题口诀：两线平行，同位相等，找准角位，直接应用 【典例1】．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．已知直线，将一块的直角三角板按如图放置，，斜边在直线上，经过点的直线与直线相交于点，若，则的度数为__． 【题型2 两直线平行内错角相等】 解题思路： 基础推理题型，已知两直线平行，找到图形中的内错角（Z型角），利用性质直接得出内错角相等，常用于角度等量转换、简单证明，步骤需注明依据。 解题口诀：两线平行，内错相等，Z型找角，依据写清 【典例2】．如图，直线，点E，G分别在直线，上且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 解题思路： 高频角度计算题，已知两直线平行，找到同旁内角（U型角），利用性质得出两角和为180°，已知其中一个角，用180°减去已知角，求出未知角度数。 解题口诀：两线平行，同旁互补，和为一百八，减法求角度 【典例3】．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 解题思路： 探究类题型，先根据已知平行线，结合三大性质，找出同位角、内错角、同旁内角的关系，再结合对顶角、邻补角进行等量代换，判断角之间是相等、互补、互余等关系，推理过程要严谨。 解题口诀：先看线平行，再找角关系，等量代换，探究结论 【典例4】．如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，，则________． 【跟踪训练2】．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 解题思路： 综合角度计算题，初一几何高频考点，先标注已知平行线和已知角度，利用平行线性质得出相关角相等或互补，再结合对顶角相等、垂直、邻补角等知识，分步计算未知角，避免跳步出错。 解题口诀：已知平行标角度，性质结合互余补，分步计算不出错 【典例5】．将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．如图，已知，点B在射线上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 解题思路： 实际应用题，先将生活场景转化为平行线几何模型，找到题目中的平行线和截线，确定角的类型，再套用平行线性质，解决实际角度测量、道路拐弯、光线反射、零件加工等问题，贴合生活实际。 解题口诀：生活场景转几何，找准平行用性质，解决实际角度题 【典例6】．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【跟踪训练1】．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 【跟踪训练2】．如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 解题思路： 综合题型，先根据已知角的关系，利用平行线判定定理证明两直线平行，再根据得出的平行线，运用性质求未知角的度数，核心是先判平行，再用性质，区分两步的逻辑依据。 解题口诀：先由角关系判平行，再由平行线求角度，判定性质分清楚 【典例7】．如图，直线，，，则____． 【跟踪训练1】．如图，，，，求． 【跟踪训练2】．如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 解题思路： 几何证明题型，先根据已知条件，用判定定理证明两直线平行，再利用平行线性质得出角的关系，结合等量代换完成证明，每一步都要注明依据，规范书写证明格式，逻辑严密。 解题口诀：已知条件推平行，平行性质证角关，步步有据写规范 【典例8】．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有______（填序号）． 【跟踪训练1】．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【跟踪训练2】．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 模块五 过关◎检测 1．如图是一种常见的U型管道，当管道时，，为方便维修，可以绕点B转动（+表示顺时针，－表示逆时针），则在转动过程中，的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 2．下面说法正确的个数为（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间，垂线段最短；③如果，，那么；④两直线平行，同位角互补；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行； A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 23．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，直线分别交、于点E、F，平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 6．的两边分别与的两边互相平行，则与的数量关系为（　　） A．互余 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 7．如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 8．已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 9．如图， ，，则_______． 10．老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图，若，则的度数是________． 11．如图，已知直线，且直线p和直线q分别与直线m，直线n交于点C、D和点A、B，点E是直线q上的一个动点，，，当点E在射线上运动时，______度． 12．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则___________． 13．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 14．如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 15．如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 16．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 17．如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 18．如图，，平分，平分． (1)证明：； (2)若，求的度数． 19．已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行线的性质 （知识点+8题型+过关检测） 【题型1 两直线平行同位角相等】 2 【题型2 两直线平行内错角相等】 3 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 5 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 7 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 9 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 11 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 13 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 16 · 掌握核心性质：理解并牢记平行线的三大性质，精准区分“同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”的适用条件，明确性质与判定的逻辑区别，杜绝混淆。 · 规范推理表达：学会运用平行线的性质进行几何说理、角度计算和简单证明，规范书写几何推理步骤，注明性质依据，培养严谨的逻辑推理能力。 · 综合运用能力：能结合平行线判定、对顶角、邻补角、垂直等知识，综合解决角度探究、几何证明、实际应用等综合题型，提升几何知识融会贯通能力。模块三 知识◎梳理 知识点1：平行线的三大性质 性质口诀：两线平行，同位相等；两线平行，内错相等；两线平行，同旁互补 1. 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简写：两直线平行，同位角相等。 数学语言：若a∥b，则∠1=∠2（∠1、∠2为同位角）。 2. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简写：两直线平行，内错角相等。 数学语言：若a∥b，则∠3=∠4（∠3、∠4为内错角）。 3. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简写：两直线平行，同旁内角互补。 数学语言：若a∥b，则∠5+∠6=180°（∠5、∠6为同旁内角）。 知识点2：平行线性质与判定的核心区别 · 平行线判定：由角推线（已知角相等/互补，证明两直线平行），是“判断线是否平行”的依据； · 平行线性质：由线推角（已知两直线平行，得出角相等/互补），是“已知线平行，求角、证角”的依据。 知识点3：关键注意事项 · 平行线性质的前提是两直线平行，若两直线不平行，同位角、内错角不一定相等，同旁内角也不一定互补； · 运用性质解题时，必须先找准“三线八角”，明确截线和被截的平行线，再对应角的类型； · 综合题型中，常结合对顶角相等、邻补角互补、垂直（90°）联合解题，注意分步推导，不跳步骤。 模块四 题型◎汇总 【题型1 两直线平行同位角相等】 解题思路： 基础题型，先明确已知条件为两直线平行，找到对应的同位角，直接套用性质“两直线平行，同位角相等”，得出同位角相等的结论，可用于简单说理或角度等量代换。 解题口诀：两线平行，同位相等，找准角位，直接应用 【典例1】．如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当时，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，两直线平行同位角相等． 由平行线的性质，可得，即可得的度数． 【详解】解：∵直尺的两边互相平行， ∴， ∴， 故选：D． 【跟踪训练1】．如图，，点在直线上，且，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平行线的性质，得出的度数，再根据平角的定义求出的度数． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【跟踪训练2】．已知直线，将一块的直角三角板按如图放置，，斜边在直线上，经过点的直线与直线相交于点，若，则的度数为__． 【答案】/75度 【分析】先利用平行线的性质可得，再利用等腰直角三角形的性质可得，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ， 是等腰直角三角形，， ， ． 【题型2 两直线平行内错角相等】 解题思路： 基础推理题型，已知两直线平行，找到图形中的内错角（Z型角），利用性质直接得出内错角相等，常用于角度等量转换、简单证明，步骤需注明依据。 解题口诀：两线平行，内错相等，Z型找角，依据写清 【典例2】．如图，直线，点E，G分别在直线，上且．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，由得；根据平行线的内错角相等得；由得，故；再由得 【详解】解：过点作， ， ． ， ． ， ， ． ， ． 【跟踪训练1】．如图，，分别交、于点，，，平分交于点，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质．由平分可得，再由可得即可得结论． 【详解】解：平分， （角平分线的性质）， ， （两直线平行，内错角相等）． 故选：D． 【跟踪训练2】．如图，直线，直线分别交、于点E、F，平分，若，则__________． 【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，再结合角平分线的定义求解即可． 【详解】解：，， ，， 平分， ， 【题型3 两直线平行同旁内角互补】 解题思路： 高频角度计算题，已知两直线平行，找到同旁内角（U型角），利用性质得出两角和为180°，已知其中一个角，用180°减去已知角，求出未知角度数。 解题口诀：两线平行，同旁互补，和为一百八，减法求角度 【典例3】．如图是杠杆受力示意图，重力与拉力的方向均竖直向下（两力所在直线互相平行）．若，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，由“两直线平行，同旁内角互补”可得，代入求出即可． 【详解】解：∵两力所在直线互相平行， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． 【跟踪训练1】．如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据平行线的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【跟踪训练2】．如图所示，，直线分别交、于点、．平分，平分，．则______． 【答案】30 【分析】先根据角平分线的定义求得，再利用平行线的性质求得，然后利用角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 【题型4 根据平行线的性质探究角的关系】 解题思路： 探究类题型，先根据已知平行线，结合三大性质，找出同位角、内错角、同旁内角的关系，再结合对顶角、邻补角进行等量代换，判断角之间是相等、互补、互余等关系，推理过程要严谨。 解题口诀：先看线平行，再找角关系，等量代换，探究结论 【典例4】．如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∴，即． 【跟踪训练1】．如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 【跟踪训练2】．光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点G在射线上，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键． 根据平行线的性质知，结合图形求得的度数． 【详解】解：， ． ， ． 故选：C． 【题型5 根据平行线的性质求角的度数】 解题思路： 综合角度计算题，初一几何高频考点，先标注已知平行线和已知角度，利用平行线性质得出相关角相等或互补，再结合对顶角相等、垂直、邻补角等知识，分步计算未知角，避免跳步出错。 解题口诀：已知平行标角度，性质结合互余补，分步计算不出错 【典例5】．将两个平面镜按如图所示的位置放置，光线经过平面镜两次反射后，光线平行（即），若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平角求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【跟踪训练1】．如图，已知，点B在射线上，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作，根据平行的传递性，求出，，即可得到答案． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选B． 【跟踪训练2】．如图，，点F在上，点C，G在上，． (1)与平行吗？说明理由； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合可推得，再根据平行线的判定，即可得到结论； （2）先求出，再结合角平分线的定义，可求得，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】（1）解：； 理由如下： ， ， ， ， ； （2）解： ，， ， 平分， ， ， ． 【题型6 平行线的性质在生活中的应用】 解题思路： 实际应用题，先将生活场景转化为平行线几何模型，找到题目中的平行线和截线，确定角的类型，再套用平行线性质，解决实际角度测量、道路拐弯、光线反射、零件加工等问题，贴合生活实际。 解题口诀：生活场景转几何，找准平行用性质，解决实际角度题 【典例6】．如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否_________．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【详解】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 【跟踪训练1】．光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 【跟踪训练2】．如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作，利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【题型7 根据平行线判定与性质求角度】 解题思路： 综合题型，先根据已知角的关系，利用平行线判定定理证明两直线平行，再根据得出的平行线，运用性质求未知角的度数，核心是先判平行，再用性质，区分两步的逻辑依据。 解题口诀：先由角关系判平行，再由平行线求角度，判定性质分清楚 【典例7】．如图，直线，，，则____． 【答案】/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 【跟踪训练1】．如图，，，，求． 【答案】． 【分析】根据平行线的判定与性质求出，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪训练2】．如图，已知，分别平分，下列结论：①；②；③与互补．其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，补角的定义，根据平行线的性质得到，，由角平分线的定义可推出，则可证明，得到，再证明，可得到；根据，，可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴与不互补，故③错误； 故选：C． 【题型8 根据平行线判定与性质证明】 解题思路： 几何证明题型，先根据已知条件，用判定定理证明两直线平行，再利用平行线性质得出角的关系，结合等量代换完成证明，每一步都要注明依据，规范书写证明格式，逻辑严密。 解题口诀：已知条件推平行，平行性质证角关，步步有据写规范 【典例8】．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 【跟踪训练1】．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质得到，根据等量代换得到，根据平行线的判定即可得到结论； （2）根据平行线的性质和角的和差即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴．（ 内错角相等，两直线平行 ） （2）解：∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已证）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴， ∴（对顶角相等） 【跟踪训练2】．如图，，为平行线之间一点，连接，，为上方一点，连接，，为延长线上一点．若，分别平分，，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作平行线，利用平行线的性质将角进行转化，结合角平分线的定义，推导出与的数量关系． 【详解】解:如图，过点作，过点作． ∵ ， ∴， ∴，． ∵ ，分别平分，， ∴，，， ∴． ∵ ， ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，解题关键是通过作平行线将角进行转化，结合角平分线的定义建立角之间的数量关系． 模块五 过关◎检测 1．如图是一种常见的U型管道，当管道时，，为方便维修，可以绕点B转动（+表示顺时针，－表示逆时针），则在转动过程中，的度数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可知当，时，，根据可以绕点B转动，则的度数最小为，最大为，据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵可以绕点B转动， ∴的度数最小为，最大为， ∵A、B、C选项的度数都在可能的度数范围内，而， 故D选项符合题意． 2．下面说法正确的个数为（   ） ①在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②两点之间，垂线段最短；③如果，，那么；④两直线平行，同位角互补；⑤平行于同一条直线的两条直线互相平行； A．3个 B．4个 C．5个 D．2个 【答案】A 【详解】解：① 根据同一平面内垂直的基本性质，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确； ② 两点之间，线段最短，点到直线的所有连线中垂线段最短，原说法错误； ③ 根据等量代换，如果，，那么，正确； ④ 根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等，不是互补，原说法错误； ⑤ 根据平行线的传递性，平行于同一条直线的两条直线互相平行，正确； 综上，正确的说法共有3个． 23．如图1，这是某校的电动伸缩门，图2是该校电动伸缩门抽象出来的几何平面示意图，已知，，平分交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，根据平分，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．如图，，直线分别交、于点E、F，平分．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得；结合平分，得到，结合，得，解答即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴. ∵， ∴. 5．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 6．的两边分别与的两边互相平行，则与的数量关系为（　　） A．互余 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，根据题意画出图形，利用两直线平行，同位角相等以及同旁内角互补的性质解答． 【详解】解：如图1所示， ∵的两边分别与的两边互相平行， ∴， ∴， ∴； 如图2所示， ∵的两边分别与的两边互相平行， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的数量关系为相等或互补． 7．如图，，直线l与、分别交于点E、F，平分交直线于点M，平分交直线于点N．给出下面四个结论：①；②；③；④；上述结论中，正确结论的序号有_____． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键．根据平行线的性质得出；根据角平分线定义得出，，求出，即可得出，从而得出；根据平行线的性质得出，根据，得出；根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据，得出． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上分析，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 8．已知直线，将一块含角的直角三角板，按如图方式放置，其中A，B两点分别落在直线m，n上，若，则的度数为______ 【答案】/48度 【分析】根据直角三角板得到，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵是直角三角板， ， ， ． 9．如图， ，，则_______． 【答案】/230度 【分析】过点作，利用平行线的性质进行求解． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】注意掌握“铅笔头”模型． 10．老师在上课时不小心将一副含的三角板掉落在地上，直角顶点刚好落在瓷砖的边线上，如图，若，则的度数是________． 【答案】/155度 【分析】通过作辅助线，利用平行线的性质，将和与三角板的角建立联系，进而求解． 【详解】过三角板的角的顶点作直线， 由题意可得：，，， ，， ． 11．如图，已知直线，且直线p和直线q分别与直线m，直线n交于点C、D和点A、B，点E是直线q上的一个动点，，，当点E在射线上运动时，______度． 【答案】95 或 25 【分析】分两种情况：如图，当在线段上时，过作，如图，当在线段的延长线上时，过作，再进一步利用平行线的性质可得答案． 【详解】解：如图，当在线段上时，过作， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴； 如图，当在线段的延长线上时，过作， 同理：， ∵，， ∴，， ∴； 综上：或． 12．光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从空气射入水中时，会发生折射，已知在空气中平行的光线射入水中时也是平行的，如图，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案． 【详解】解：如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 13．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分 ．其中正确结论的是_________． 【答案】② 【分析】延长，交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长，交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，故①错误；②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，只要和为即可， 故③④不一定正确． 14．如图，点D，F，H，E都在的边上，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定与性质进行证明即可； （2）根据平行线的判定与性质证明，结合，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵（已知） ∴，（同位角相等，两直线平行）   ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∴；（同旁内角互补，两直线平行）； （2）证明：由（1）得， ∴，（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知） ∴，（等量代换） ∵，（已证） ∴，（两直线平行，同位角相等） ∴，（等量代换） ∵， ∴． 15．如图，E点为上的点，B为上的点，，．试说明：． 解：（已知）， （___________①___________）， （等量代换）． ___________②___________（同位角相等，两直线平行）． （___________③___________）． 又（已知）， （___________④___________）． （___________⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②；③两直线平行，同位角相等；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行的性质和平行的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据平行的性质和判定进行解答即可． 【详解】解：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 16．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 17．如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，，平分，平分． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义，结合已知得到，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先求得，再证明，利用平行线的性质求得，再根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分 ； （2）解： ， 平分 ． 19．已知，直线与，分别交于点E，F，平分与直线交于点G． (1)如图1，若，则的度数是 ． (2)作平分，交于点M． 如图2，过点G作，交直线于点N，求证：． 如图3，点P是延长线上的一点，连接，若，请写出与存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，进行计算即可； （2）根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线的定义，即可证明；由已知条件得出，再根据直角三角形两锐角互余，平角的定义，结合等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解：， ，． 平分， ， ． 故答案为：． （2）解：①∵平分， ． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ② ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $