专题04 选择压轴题（综合题4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(北京专用)

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04选择压轴题 (综合题) 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴龈题型专练 题型01反比例函数相关综合题 题型02三角形相关综合题 题型03四边形相关综合题 题型04圆相关综合题 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、反比例函数相关综合题的解题方法： 1方法一：排除法（应对动点与函数图象题） 这是最常用、最快速的方法，不需要精确计算，通过分析 函数图象的趋势、特殊点来排除错误选项。 2方法二：性质分析法（应对几何探究题）一一对于考查几何基本性质（如勾股定理、矩形对角线、反比例 函数几何意义)的试题，直接分析几何关系，不动点、不算数。 3找不变量：在图形变化中寻找长度、角度或面积关系始终不变的部分。例如，矩形对角线相等且等于外接 圆半径，或反比例函数中矩形面积等于k。 4.代特殊值：当几何关系不好直接看出时，取一个符合题意的特殊位置（如中点、端点）进行计算或判断， 再推广到一般情况。 二、三角形相关综合题的解题方法： 1.性质定位法（最基础）看到三角形，先明确考查哪类性质。 2.图形标注法（必做动作）把已知条件全部标在图上 3.代数法（勾股/相似求长度）当图形中有垂直、平行或明显相似时，利用勾股定理或相似比例列方程。 4排除法（选择题专用）四个选项中，代入验证看哪个符合所有条件，快速排除明显违反三角形三边关系、 内角和、勾股数的选项 5:极端位置法（动点问题） 三、四边形相关综合题的解题方法： 1/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1.明确已知与结论圈出题目给的图形条件（如AB∥CD,AC⊥BD)和结论要求（如“一定是菱形”“面 积最大值”)。 2判定类题目优先用排除。若问“下列条件能判定它是矩形的是”，逐个选项判定：平行四边形+对角线 相等→保留：只有一组直角→排除（可能是直角梯形）。注意陷阱：对角线相等的四边形不一定是矩 形（如等腰梯形）。 3.计算类题目直接算或代特殊值。求面积：分割成三角形或利用公式（如菱形面积=对角线乘积2）。求 线段长：勾股定理或设未知数列方程。不会算时，取特殊四边形（如把平行四边形取为矩形）算一个值， 对比选项 4动点与函数图象选择题使用“三特法”：起点、中点、终点，计算对应的函数值，看图象是否匹配。同 时关注变化趋势是直线还是曲线。 四、圆相关综合题的解题方法： 1定理直接法，看到圆，立即明确题目考查哪个定理，直接套用结论。 2转化法（核心技巧）圆中的问题往往转化为三角形问题解决。 3方程法（求半径弦长）设半径为，利用勾股定理或垂径定理列方程。 4排除法，先计算特殊位置（如动点在中点、端点）对应值·与选项图象或数值对比，排除明显不符的·注 意单位、范围、是否取等号 5极端位置法（动点最值问题）动点在圆上移动时，求某量的取值范围或最值，确定最大最小值， 压轴题型专练 模块二 题型01反比例函数相关综合题 1.如图，在平面直角坐标系xO中，A是函数y=4(x>0图象上的动点，点B在x轴上，O4=4B,以 OA,OB为边的平行四边形AOBC的边BC交该函数的图象于点D,连接AD,OD. V 给出下面四个结论： ①四边形AOBC可能是菱形； 2/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ②△AOD的面积始终等于4； ③点D可能是BC的中点； ④△AOD不可能是直角三角形 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 2.如图，在平面直角坐标系x0y中，点A是反比例函数y=4(x>0的图象上的动点，过点A作x轴、y 轴的平行线与反比例函数y=2(x>0)的图象分别交于点B,C,OA与BC交于点D.给出下面四个结论： ①AB与AC可能相等； ②AC与AD一定不相等； ③AOB与△AOC的面积一定相等： ④△BOC与ABC的面积可能相等.上述结论中，所有正确结论的序号是() B A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.如图，在平面直角坐标系x0y中，一次函数y=+3的图象与函数y=2(x>0)的图象存在两个交点 A,B(A,B不重合，点A在点B的左侧)，与x轴交于点C,与y轴交于点D,连接OA,OB,给出下 面四个结论： ①AB一定大于AD; ②OA可能等于OB; ③AOB的面积可能小于△BOC的面积； ④△AOD的面积一定等于△BOC的面积. 上述结论中，所有正确结论的序号为() A.①② B.②③ C.①③④ D.②③④ 3/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 4.如图，函数y=(k>0)的图象与过原点O的直线相交于A,B两点，点M是第一象限内双曲线上的动 点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C,D两点，连结BM分别交x轴，y轴于点E, F,连结OM.给出下面四个结论： B ①若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°； ②△OCD可能是等腰直角三角形； ③aODM与△OCA面积相等： @若MFMB,则MD=MA 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①②③ B.②③④ C.①④ D.②③ 5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A,B分别为x轴，y轴正半轴上的定点，四边形OACB为矩形， 函数y= (0<k<OA0B)的图象与边AC交于点D,与边BC交于点E,直线DE与x轴交于点F,与 x y轴交于点G,连接0D,OE. 给出下面四个结论： ①aOED一定为锐角三角形； ②△EBG≌△FAD: ③当△EGB的面积为2时，k的值可能是4； ④aOEB与△OED的面积可能相等. 上述结论中，所有正确选项的序号是() G E B D 0 A F A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ ●类题点拔 4/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 1看趋势：分析随着动点移动，面积或距离是匀速变化（图象为直线）还是变速变化（图象为曲线），初步 筛选。 2找特殊点：重点看动点在起点、终点、转折点（如从一条边运动到另一条边）对应的函数值，判断选项 是否吻合。 3判范围：根据自变量（如动点路程）的取值范围，排除图象定义域不符的选项。 题型02三角形相关综合题 6.如图，在等边ABC中，AB=4,点D是AC的中点，点E是BD上一动点，连接AE,在AE的右侧作 等边△AEF,连接CE,CF,DF,下列结论：①BD⊥AC;②BE=FC;③∠EFC=∠ECF;④△AEF的周 长最小值是6；⑤∠ACF的大小随着点E的移动而发生变化；⑥当△ADF的周长最小时，∠ADF=60°.其 中正确的个数是() D B A.3 B.4 C.5 D.6 7.如图，在ABC中，AC=BC,∠ACB=45°，BD⊥AC于点D,CE⊥AB于点E,BD与CE相交于点 F.给出下面三个结论：①LEBF=22.5°；②CF=2AE;③BC=BD+DF.所有正确结论的序号是() B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC交AC于点E,交AD 于点G,过点A作AF⊥BE于点H,交BC于点F,给出下面四个结论： 5/15 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A G H B D F ①DG=DF;②LAGE=LAEG;③∠BAF=∠BFA;④GD+DC=AB. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④ 9.如图，在ABC中，LACB=90°，分别过点B,C作∠BAC平分线的垂线，垂足分别为点D,E,BC的 中点是M,连接CD,MD,ME,则下列结论：①AB-AC=ME;②ME∥AB;③BD=CD;④ ∠DME=∠BDC;其中正确结论的个数是() M A.0 B.1 C.2 D.3 10.如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD平分∠BAC,E是AD上一动点（不与A,D重合）， EF1AC于点F.设CE=a,EF=b,BC=c,给出下面三个结论：①a-b>0;②c-b<Va2-b;③ √2(a+b)≥c.上述结论中，所有正确结论的序号是() C E B A.① B.①③ C.②③ D.①②③ ●)类题点拨 技巧1：背熟常见勾股数，看到直角三角形边长，优先匹配这些数，可快速求未知边。 技巧2：45°和30°直角三角形的三边比。 6/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 技巧3：遇到中点，想三线·直角三角形斜边中点一斜边中线=斜边一半→等腰三角形·普通三角形 中线一面积等分，倍长中线造全等·三角形两边中点连线一中位线平行于第三边且等于其一半。 技巧4：遇到角平分线，想距离相等或比例。 题型03四边形相关综合题 11.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点，且CD=DE,连 接BE,分别交AC,AD于点F、G,连接OG、AE,则下列结论： 006-48: ②四边形ABDE是菱形； ③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等. 其中正确的有() B E A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 12.如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点，则下列说法： ①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形： ②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形： ③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分； ④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等. 其中正确的个数是() H D F A.1 B.2 C.3 D.4 13.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,将矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°得到矩形 A'B'C'D'.顺次连接AB,A'D,CD,CB.对八边形AB'A'DCD'CB给出下面四个结论： 7/15 扇学科网 www zxxk com 让教与学更高效 B' C D ①该八边形各边都相等； ②该八边形各内角都相等： ③点0O到该八边形各边所在直线的距离都相等； ④该八边形为正八边形时，矩形ABCD的长宽比为V2+1:1. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 14.如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点M,N分别是边AB,AD上的动点，点M不与A,B重 合，且MW=AB,P是五边形BMNDC内满足PM=PN且∠MPN=90°的点，现给出以下结论：① ∠BMP=∠ANP;②点P到边AB,AD的距离一定相等；③点P到边BC,CD的距离可能相等；④点P到 边AB的距离的最大值为1；其中正确的个数有()， D M B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 15.在。ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作直线EF分别交AB,CD于点E,F(E、F不与端点重合) ,连接BF交AC于点G,给出下面三个结论： ①OE=OF; ②若0G:GC=3:2,则△F0G与△BCG的面积比为3：8； ③点G可以是BF的中点. 所有正确结论的序号是() D E A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ●)类题点拨 等腰梯形对角线相等，但菱形对角线垂直，两者容易混淆 平行四边形对角线互相平分，这是所有特殊四边形都保留的性质 正方形判定要求最多，往往是“矩形+菱形”同时满足 中点四边形：任意四边形中点连线是平行四边形；矩形中点连线是菱形；菱形中点连线是矩形；正方形中 点连线是正方形 题型04圆相关综合题 16.如图，点C在以AB为直径的半圆上，AB=8,∠CBA=30°，点D在线段AB上运动，点E与点D关 于AC对称，DF⊥DE于点D,交EC的延长线于点F,下面是某学习小组的三个同学得到的结论： 甲：CE=CF; 乙：当AD=2时，EF与半圆相切； 丙：若点F恰好落在弧BC上，则AD=2√5. 下列说法正确的是() A.只有甲的结论正确 B.只有乙的结论正确 C.只有丙的结论错误 D.只有乙的结论错误 17.如图，半圆AB的直径AB=10,C是半圆AB的中点，D是BC的中点，连接AD,OD,过点D作 O0的切线分别交AC,AB的延长线于点E,F.下列结论：①OD∥AC;②∠DOB=45°；③BF=1;④ DE=5 2 .其中正确的个数有() B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上任意一点（不与A,B重合），CD⊥AB于点D.以CD为直 9/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 径作圆，分别交AC,BC于点E,F(点E,F均不与C重合)，连接EF,给出下面三个结论： ①AC.CE=CF·BC; ②当C为弧AB的中点时，△CEF的面积最大； ③VCE2+CF≤AB 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 19.如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=1,下面结论 中正确的是() ①该圆的半径为1： ②4C的长为： ③AC平分∠BAD; ④连接BC,CD,则ABC与△ACD的面积比为1：√3. B D A.①③ B.①④ C.①②③ D.①③④ 20.如图，AB,AC是⊙0的弦，AB=AC,半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，垂足分别为G,H, AM∥OF交OE于点M,AN∥OE交OF于点N,连接OA.给出下面四个结论： ①∠AOE=∠AOF,②四边形AMON是菱形， @4M=AN,④若AB=16,01=10,则oM-号. 上述结论中，所有正确结论的序号是() E G H 10/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ ●)类题点拔 技巧1：熟记常见圆周角与圆心角关系。 技巧2：遇弦作弦心距，遇切连半径。 技巧3：圆与三角形相似常见模型·弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角→可证相似·直径+ 高：直径所对圆周角90°+作高一射影定理相似·圆内两条相交弦：相交弦定理一比例式可转化. 技巧4：弧、弦、圆心角的三量互推在同圆或等圆中：·等弧→等弦→等圆心角一等圆周角。 综合实战演练 模块三 1.如图，在口ABCD中，∠BAD=60°，将口ABCD绕顶点A逆时针旋转至AEFG,此时点D在AE上， 连接AC、AF、CF、EB,线段EB分别交CD、AC于点H、K,则下列四个结论中：①∠CAF=60°；② △DEH是等边三角形；③2AD=3HK;④当AB=2AD时，4S△4CF=7S,ABcD;正确的是() E D H K B A.①②④ B.①③④ C.②③④ D.①②③ 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，AOB为直角三角形，AB⊥x轴于点B,点A在第一象限.C为斜边 OA上一点，且OB=BC,过点C作DC⊥BC(点D在直线AB的右侧)，己知AB=CD,点D在反比例函 数y=4的图象上，反比例函数y=的图象过点A.结合.下列结论不正确是（） 11/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 D B A.△OBA≌△BCD B.点C是OA的中点 C.四边形AOBD是平行四边形 D.k的值是2 次函数)=-x+5的图象与反比例函数y生x>0)的图象在第一象限内交于点4B 函数的图象与y轴正半轴交于点C,过A,B分别作y轴的垂线，垂足分别为D,E.若点M为反比例函数 图象在A,B之间的动点，作射线OM交直线AB于点N.给出下面四个结论： ①CD1 CE=4 ②四边形ADEB的面积为4： 15 ③当点M的坐标为2,2)时，线段MN的长度最大： ④当点N的坐标为3,2)时，线段MW的长度最大. 上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A,C分别在x,y轴正半轴上，点B坐标为(2m,m) ·点M是边BC上的动点（不与B,C重合），函数y=《(k>0,x>0)的图象经过点M且与边AB交于点N, 给出下面四个结论：①aBOM与△BON的面积一定相等；②若点M是边BC的中点，则点N一定为AB的 中点：③在点M的运动过程中，8是一个定值：④：0CM∽A04N.上述结论中，所有正确结论的序号 NB 是() 12/15 丽学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 5.如图，AB是O0的直径，D为O0上一点，且OD1AB于点O,点C是AD的中点，连接BC交OD于 E,连接AC、CD、OC.则下列说法：①LABC=22.5°；②E为0D中点；③CD=CE;④AC<20E.正 确的有() D B A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 6.如图，AB、AC、AD分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边.若AB=2,下面结论中 正确的是：() B ①该圆的半径为2： ②1c的长为5 ③AC平分∠BAD: ④连接BC,CD,则ABC与ACD的面积比为1：√5. A.①③ B.①④ C.①②③ D.①③④ 7.如图，在正方形ABCD中，点P是对角线BD上一点（点P不与B,D重合），连接AP并延长交CD于 点E,过点P作PF⊥AP交BC于点F,连接AF,EF,AF交BD于点G,给出三个结论： ①PE2+PF2=EF2,②AF=√2AP③BF+DE=EF.上述结论中，所有正确结论的序号是() G 13/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8.如图，正方形ABCD,E,F,G,H是其边上的点（不与A,B,C,D重合），AE=BF=CG=DH, 过点E,F,G,H分别作正方形边的垂线4，马，马，☑，构成四边形PQRS,点A,，C分别是射线PE和 RG上的点，且A'E=C'G,分别作射线AA,CC,交L,Z于点D,B,分别连接D'D,C'D,A'B, BB',可得四边形A'B'C'D'.给出下面四个结论： D P IS E B ①四边形PQRS是正方形； ②四边形AB'CD'是平行四边形： ③若D'H=A'E,四边形A'B'CD'是菱形不是正方形： ④若D'H=A'E,四边形A'B'CD'是正方形. 上述结论中，所有正确结论的序号是()· A.① B.①② C.①②③ D.①②④ 9.如图，在ABC中，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点P.下列结论： ①CP平分∠ACF; ②LABC+∠APC=180°； ③若PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则AM+CN=AC; ④∠BAC=2LBPC. 其中正确的是() E M B C W A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①③ 10.如图，已知正方形ABCD的中心为O.将正方形ABCD绕点O逆时针旋转60°得到正方形A'B'C'D',两 个正方形的公共点为G,H,I,J,K,L,M,N.对八边形GHIJKLMN给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； 14/15 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ②该八边形各内角都相等： ③点0到该八边形各顶点的距离都相等： ④点O到该八边形各边的距离都相等.上述结论中，所有正确结论的序号是() A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 15/15 专题04 选择压轴题 （综合题） 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 反比例函数相关综合题 题型02 三角形相关综合题 题型03 四边形相关综合题 题型04 圆相关综合题 模块三、综合实战演练 1、 反比例函数相关综合题的解题方法： 1.方法一：排除法（应对动点与函数图象题）——这是最常用、最快速的方法，不需要精确计算，通过分析函数图象的趋势、特殊点来排除错误选项。 2.方法二：性质分析法（应对几何探究题）——对于考查几何基本性质（如勾股定理、矩形对角线、反比例函数几何意义）的试题，直接分析几何关系，不动点、不算数。 3.找不变量：在图形变化中寻找长度、角度或面积关系始终不变的部分。例如，矩形对角线相等且等于外接圆半径，或反比例函数中矩形面积等于|k|。 4.代特殊值：当几何关系不好直接看出时，取一个符合题意的特殊位置（如中点、端点）进行计算或判断，再推广到一般情况。 二、 三角形相关综合题的解题方法： 1.性质定位法（最基础） 看到三角形，先明确考查哪类性质。 2.图形标注法（必做动作） 把已知条件全部标在图上. 3.代数法（勾股/相似求长度） 当图形中有垂直、平行或明显相似时，利用勾股定理或相似比例列方程。 4.排除法（选择题专用） 四个选项中，代入验证看哪个符合所有条件，快速排除明显违反三角形三边关系、内角和、勾股数的选项. 5：极端位置法（动点问题） 三、 四边形相关综合题的解题方法： 1.明确已知与结论 圈出题目给的图形条件（如AB∥CD，AC⊥BD）和结论要求（如“一定是菱形”“面积最大值”）。 2.判定类题目优先用排除。 若问“下列条件能判定它是矩形的是”，逐个选项判定：平行四边形 + 对角线相等 → 保留；只有一组直角 → 排除（可能是直角梯形）。 注意陷阱：对角线相等的四边形不一定是矩形（如等腰梯形）。 3.计算类题目直接算或代特殊值。 求面积：分割成三角形或利用公式（如菱形面积 = 对角线乘积/2）。求线段长：勾股定理或设未知数列方程 。不会算时，取特殊四边形（如把平行四边形取为矩形）算一个值，对比选项. 4.动点与函数图象选择题 使用“三特法”：起点、中点、终点，计算对应的函数值，看图象是否匹配。同时关注变化趋势是直线还是曲线。 四、 圆相关综合题的解题方法： 1.定理直接法，看到圆，立即明确题目考查哪个定理，直接套用结论。 2.转化法（核心技巧） 圆中的问题往往转化为三角形问题解决。 3.方程法（求半径/弦长） 设半径为r，利用勾股定理或垂径定理列方程。 4.排除法，先计算特殊位置（如动点在中点、端点）对应值 · 与选项图象或数值对比，排除明显不符的 · 注意单位、范围、是否取等号. 5.极端位置法（动点最值问题） 动点在圆上移动时，求某量的取值范围或最值，确定最大最小值. 题型01 反比例函数相关综合题 1．如图，在平面直角坐标系中，A是函数图象上的动点，点B在x轴上，，以为边的平行四边形的边交该函数的图象于点D，连接． 给出下面四个结论： ①四边形可能是菱形； ②的面积始终等于4； ③点D可能是的中点； ④不可能是直角三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．①④ 【答案】A 【分析】可能等于，当时，是等边三角形，平行四边形是菱形，故①正确；平行线间的距离处处相等，和为同底等高的三角形，面积相等，过点A作轴于点E，可得，由，即可判断②正确；假设点D是的中点，则，过点D作轴于点F，证明，得，设点A的坐标为，得点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得，即可判断点D不在函数的图象上，得③错误；通过画图得④错误 【详解】解：①是等腰三角形，， ∵点A是函数图象上的动点， 可能等于，当时，是等边三角形， ， 平行四边形是菱形，故①正确； ②四边形是平行四边形， ， ；（平行线间的距离处处相等，和为同底等高的三角形．） 如图，过点A作轴于点E， ， ， ， 点A在函数的图象上， ， ，故②正确； ③如图，假设点D是的中点，则， 过点D作轴于点F， 四边形是平行四边形， ，， ，， 轴，轴， ， ， ， 设点A的坐标为， ，， ，，， ， 点D的坐标为，将点D的横坐标代入中，得， ， 点D不在函数的图象上，（点的坐标不满足函数解析式，则点不在函数图象上，反之在函数图象上．） 点D不可能是的中点，故③错误； ④在中，不可能为直角，在点A运动的过程中，可能为直角， 如图， 当在直线下方时，为钝角， 如图， 当在直线上方时，为钝角，则是锐角， 可能为直角，即可能为直角三角形， 故④错误，综上所述，正确的结论序号为①②． 故选A 2．如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论： ①与可能相等； ②与一定不相等； ③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】设，则，，表示出、可判断①；利用待定系数法分别求得直线和的表达式，从而得到点D的坐标，然后求得，即可判断②；根据反比例函数k的几何意义，结合面积的和差即可判断③和④． 【详解】解：根据题意，设，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为， ∵点B、C在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴当时，即，解得，符合题意， ∴与可能相等，故①正确； 设直线的表达式为，直线的表达式为， 代入，，，得 ；， 解得；， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， 联立， 解得，即， ∴， ∴当时，即，整理得，符合题意， ∴与可能相等，故②错误； 如图，延长交y轴于点M，延长交x轴于点N， 则轴，轴， ∴， ∴，， ∴与的面积一定相等，故③正确； 根据题意可知，由①可知，， ∴， ∴， ∴与的面积一定不相等，故④错误； 综上，正确的说法是①③． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与函数（）的图象存在两个交点，（，不重合，点在点的左侧），与轴交于点，与轴交于点，连接，．给出下面四个结论： ①一定大于； ②可能等于； ③的面积可能小于的面积； ④的面积一定等于的面积． 上述结论中，所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】通过表示,,,, 进行比较，在表示，,的面积进行比较． 【详解】当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， 联立方程组得，整理得， 设，， ∴，， 当时，方程为即， ∴， 解得，， ∴，， ∴,,， 此时，所以①说法错误；②正确； ， 当时，即时，， 所以③正确； ， ∴， ∴④正确． 【点睛】本题主要考查直线与横纵坐标轴的交点，直线和反比例函数的交点，以及三角形相关的面积计算，熟练掌握函数相关的知识点是解决本题的关键． 4．如图，函数的图象与过原点O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线分别交x轴，y轴于C，D两点，连结分别交x轴，y轴于点E，F，连结．给出下面四个结论： ①若于点M，则； ②可能是等腰直角三角形； ③与面积相等； ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】设点，构建一次函数求出坐标，利用三角形的面积公式计算即可判断③．判断出不一定是等边三角形，故结论①不一定成立．根据，构建方程求出即可判断②．如图，作交于，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可判断④． 【详解】解：①设点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 则直线的解析式为， 令，则， 令，则，解得：， ， ， ∴与的面积相等，故③正确； 当是等腰直角三角形时，， 即， ∴， 该式可以成立（如，此时），故可以是等腰直角三角形，②正确． ∵反比例函数与正比例函数关于原点对称， ∴是的中点， ， ， ∴， ， ， ， 不一定等于， 即不一定是等边三角形， 不一定是， 不一定是，故①错误； 如图，作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 综上，正确的结论是②③④． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，分别为轴，轴正半轴上的定点，四边形为矩形，函数（）的图象与边交于点，与边交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，连接，． 给出下面四个结论： ①一定为锐角三角形； ②； ③当的面积为时，的值可能是； ④与的面积可能相等． 上述结论中，所有正确选项的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】当，时，，，有可能是钝角三角形；利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式求出点、的坐标，可证，利用可证；根据三角形的面积公式可得，所以可得；根据与的面积相等可得，方程有解，所以与的面积可能相等． 【详解】解：当，时，，， ， 有可能是钝角三角形， 故①中结论错误； 设点的坐标为， 则，， ， 当时，可得， 点的坐标为， 当时，可得， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标为， ，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在和中， ， ， 故②中结论正确； 由②可知直线的解析式为， 当时，可得， ， ， ， ， ， ， ， 故③中结论错误； 点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， ，，，， ， ， 若与的面积相等， 则有， 整理得：， ， 方程一定有解， 与的面积可能相等， 故④的结论正确； 结论正确的有②④． 1看趋势：分析随着动点移动，面积或距离是匀速变化（图象为直线）还是变速变化（图象为曲线），初步筛选。 2 找特殊点：重点看动点在起点、终点、转折点（如从一条边运动到另一条边）对应的函数值，判断选项是否吻合。 3 判范围：根据自变量（如动点路程）的取值范围，排除图象定义域不符的选项。 题型02 三角形相关综合题 6．如图，在等边中，，点是的中点，点是上一动点，连接，在的右侧作等边，连接，下列结论：①；②；③；④的周长最小值是6；⑤的大小随着点的移动而发生变化；⑥当的周长最小时，．其中正确的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，垂线段最短． 利用等边三角形的性质可判断①；证明，可得可判断②③⑤；当最小时，即点运动到点时，的周长最小，可判断④；取的中点，可得，即三点共线时，的周长最小，可判断⑥． 【详解】解：在等边中，点是的中点， ，故①正确； 是等边三角形，是等边三角形， ， ，即， ， ，，故②正确，⑤错误； ， ， ，故③正确； 当最小时，的周长最小， 根据垂线段最短，可得点运动到点时，的周长最小， 此时， 的周长最小为，故④正确； 如图，取的中点， ， ， ， 的周长等于的周长为， ， ， 根据两点之间线段最短，可得三点共线时，最短，即的周长最短， 为等边三角形，， ， 所以的周长最短时，，故⑥错误， ， 综上，正确的为①②③④，共4个， 故选：B． 7．如图，在中，，，于点D，于点E，与相交于点F．给出下面三个结论：①；②；③．所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． 先由等边对等角以及三角形内角和定理求出，然后得到为等腰直角三角形，则，再由角的和差求解，即可判断①；证明，则，，再由等腰三角形三线合一得到，即可判断②；而，结合即可判断③． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∴所有正确结论的序号是①②③， 故选：D． 8．如图，在中，，，于点，平分交于点，交于点，过点作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据题意得到，，是等腰直角三角形，证明，，可判定①正确；由角平分线的定义，三角形内角和定理可判定②正确；证明，得，，可判定③正确；由线段的等量代换可判定④正确，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，，是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，故①正确； ∵是等腰直角三角形，平分， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴，且， ∴， ∴，，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D ． 9．如图，在中，，分别过点B，C作平分线的垂线，垂足分别为点D，E，的中点是M，连接，，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①延长交于点，证明，得出相等的边，利用线段的和差以及三角形中位线定理进行判断； ②由①中三角形中位线定理进行判断； ③延长交于点，利用直角三角形斜边中线定理进行判断； ④根据直角得出点共圆，利用圆周角定理得出相等的角，然后利用角的和差进行判断． 【详解】解：①如图所示，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故①错误； ②由①得是的中位线， ∴， 即， 故②正确； ③如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，即点为斜边的中点， ∴， 故③正确； ④∵， ∴， 又∵， ∴点共圆， ∴， 由②得， ∴， ∴， 由③得，且点M是的中点， ∴， ∵, ∴， 故④正确； 综上，正确的选项为②③④，共3个． 10．如图，在中，，，平分，E是上一动点（不与A，D重合），于点F．设，，．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】利用直角三角形斜边大于直角边判断①；通过构造等腰三角形求出与的数量关系，进而表示出，代入不等式判断②和③； 【详解】解：①在中，为斜边，为直角边， ，即， ，故①正确； ②在上取点，使得，连接， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故②错误； ③要证，即证，即证， 两边平方得：， ， ， 整理得：，即， 任何实数的平方均非负， 该不等式恒成立， ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 技巧1：背熟常见勾股数 ， 看到直角三角形边长，优先匹配这些数，可快速求未知边。 技巧2：45°和30°直角三角形的三边比。 技巧3：遇到中点，想三线 · 直角三角形斜边中点 → 斜边中线=斜边一半 → 等腰三角形 · 普通三角形中线 → 面积等分，倍长中线造全等 · 三角形两边中点连线 → 中位线平行于第三边且等于其一半。 技巧4：遇到角平分线，想距离相等或比例。 题型03 四边形相关综合题 11．如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质可得，由中线的性质，即可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形与四边形面积相等，故③正确； 故正确的结论有3个． 12．如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法： ①若，则四边形为矩形； ②若，则四边形为菱形； ③若四边形是平行四边形，则与互相平分； ④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等． 其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先根据三角形的中位线性质证明四边形为平行四边形，然后根据矩形、菱形的判定与性质逐项即可解答． 【详解】解：∵点分别是四边形边的中点， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ①若，则， ∴四边形为菱形，即①错误； ②若，则，即， ∴四边形为矩形，即②错误； ③与是否互相平分均能得到四边形是平行四边形，即③错误； ④若四边形是正方形，则，， ∴，，即与互相垂直且相等，故④正确， 故正确的个数是1个． 故选：A． 13．如图，矩形的对角线相交于点，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形．顺次连接．对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各边所在直线的距离都相等； ④该八边形为正八边形时，矩形的长宽比为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】条件可知矩形的大小是不确定的，因此可以先尝试调整矩形的长、宽关系，然后进一步探究八边形的边、角以及点O到各边的距离的变化规律，继而求解． 【详解】结论①：由题意可知八边形的边长受矩形长、宽关系的影响，如图1所示，显然八边形的各边并不相等，故结论①错误； 结论②：如图1，由条件易知四边形是正方形，进而可证为4个全等的等腰直角三角形，由此可知八边形的各个内角均为135°，故结论②正确； 结论③：如图2，连接，过点O分别作，由条件易知均为等腰三角形，且．在和中，，，由结论①易知和不一定相等，因此和也不一定相等，故结论③错误； 结论④：如图3，结合结论②，设，则．当八边形为正八边形时，则，所以，所以矩形的长宽比为，所以结论④正确．综上，所有正确结论的序号是②④． 【点睛】本题考查了矩形、（正）多边形、旋转、全等、直角三角形等知识，解题的关键是先结合图形作出合理的猜想，进而快速地找到问题的切入点． 14．如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论：①；②点到边，的距离一定相等；③点到边，的距离可能相等；④点到边的距离的最大值为1；其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，：结合，，判断结论①正误；可证明，判断结论②正误；结合，可判断结论③正误；结合，可判断结论④正误． 【详解】 如图所示，过点分别作，，，的垂线，垂足分别为点，，，． ∵四边形为矩形， ∴． ∴，． ∴． ∴点，，共线． 同理可得点，，共线． ∵， ∴四边形为矩形． ∴． 同理可得． ∵，，， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． 结论①正确． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴点到边，的距离一定相等． 结论②正确． ∵， ∴． ∴． ∴点到边，的距离不相等． 结论③错误． ∵ ∴的最大值为． 结论④错误． 综上所述，结论正确的为①②． 15．在中，是对角线的中点，过点作直线分别交于点（E、F不与端点重合），连接交于点．给出下面三个结论： ①； ②若，则与的面积比为； ③点可以是的中点． 所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，对结论①通过证明三角形全等进行判断；对结论②利用相似三角形的性质和三角形面积公式进行判断；对结论③通过反证法和相似三角形的性质进行判断，最终确定所有正确结论的序号． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵是对角线的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，故①正确． ∵， ∴， ∴． ∵，设，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 设点到的距离为，点到的距离为， ∵， ∴， ，故②正确． 若点是的中点，则， ∵， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，即点与点重合，此时点与点重合，与题设中分别在上（非端点）矛盾，故③错误． 综上所述，①②正确． · 等腰梯形对角线相等，但菱形对角线垂直，两者容易混淆 · 平行四边形对角线互相平分，这是所有特殊四边形都保留的性质 · 正方形判定要求最多，往往是“矩形+菱形”同时满足 · 中点四边形：任意四边形中点连线是平行四边形；矩形中点连线是菱形；菱形中点连线是矩形；正方形中点连线是正方形 题型04 圆相关综合题 16．如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，交的延长线于点．下面是某学习小组的三个同学得到的结论： 甲：； 乙：当时，与半圆相切； 丙：若点恰好落在弧上，则． 下列说法正确的是（    ） A．只有甲的结论正确 B．只有乙的结论正确 C．只有丙的结论错误 D．只有乙的结论错误 【答案】C 【分析】连接，由轴对称的性质可得，则，再证明，得到，则可证明，据此可判断甲；连接，可证明是等边三角形，得到，证明，得到，由轴对称的性质可得，则可证明，据此可判断乙；连接，设交于点H，证明，得到点H为的中点，则可证明垂直平分，推出，则，进而得到，则，据此可判断丙． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故甲的结论正确； 如图所示，连接， ∵为直径， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与半圆相切，故乙的结论正确； 如图所示，连接，设交于点H， 由轴对称的性质可得， ∵为直径， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即点H为的中点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故丙的结论错误． 17．如图，半圆的直径，C是半圆AB的中点，D是的中点，连接，，过点D作的切线分别交的延长线于点E，F．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定可判断①，是半圆的中点和是的中点可判断②，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出，得到可判断③，证明，求出，再求出可判断④． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ∵是半圆的中点， ∴， ∵是的中点， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故③不符合题意， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，故④符合题意； 综上，符合题意的是①②④，共个． 18．如图，是半圆的直径，是半圆上任意一点（不与，重合），于点．以为直径作圆，分别交，于点，（点，均不与重合），连接，给出下面三个结论： ①； ②当为弧的中点时，的面积最大； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】设的中点为，连接，证明即可证明①，根据勾股定理可得，根据题意可得，，即可判断③，根据相似三角形的性质可得最大时，的面积最大，即可判断②． 【详解】解：如图所示，设的中点为，连接， 依题意，，， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； ∵，为直径 ∴为半径时，最大， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，故③正确 ∵ ∴ ∵为定值，则当最大时的面积最大 ∵ ∴当最大时，即为半径时，的面积最大， ∴重合，此时 ∴ ∴，即当为弧的中点时，的面积最大，故②正确 19．如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是（   ） ①该圆的半径为1； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆、圆周角定理、弧长的计算公式，熟练掌握圆内接正多边形的性质是解题的关键． 设圆的圆心是O，半径是，连接、、、，作交延长线于点M，于点N，根据圆内接正六边形的性质易得到是等边三角形，进而得到，根据圆内接正方形和圆内接等边三角形的性质得到，进而得到，根据得到，进而得到，最后利用三角形的面积公式进行解答即可． 【详解】解：设圆的圆心是O，半径是，连接、、、，作交延长线于点M，于点N，如下图： 是圆内接正六边形的一边， 对应的圆心角为， 是等边三角形， ， ， 故①正确； 是圆内接正方形的一边， 对应的圆心角为， 对应的圆心角为， 是圆内接等边三角形的一边， 对应的圆心角为， 对应的圆心角为， ， ， 平分， 的长为， 故②错误； ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故③④正确； 综上所述，正确的有①③④， 故选：D． 20．如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为，交于点，交于点，连接．给出下面四个结论： ①，②四边形是菱形， ③；④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】对于①利用弦相等则弦心距相等，结合定理证明直角三角形全等，从而得到圆心角相等． 对于②③：先由两组对边分别平行证出四边形是平行四边形，再结合①中得到的角相等，证明邻边相等，从而得出菱形，进而得到． 对于④：先通过垂径定理求出的长度，再用勾股定理求出的长度，最后利用平行线分线段成比例求出的长度． 【详解】解：∵，，， ∴． ∵， ∴（）． ∴．故①正确． ∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴． ∴． ∴平行四边形是菱形．故②正确． ∴．故③正确． ∵， ∴． ∵， ∴在中，． ∵四边形是菱形， ∴．设，则，． ∵，， ∴． 在中，， 即． 解得． ∴．故④正确． 综上，①②③④均正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的性质（垂径定理、圆心角与弦的关系）、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的相关性质和菱形的判定方法是解题的关键． 技巧1：熟记常见圆周角与圆心角关系。 技巧2：遇弦作弦心距，遇切连半径 。 技巧3：圆与三角形相似常见模型 · 弦切角定理：弦切角等于所夹弧所对的圆周角 → 可证相似 · 直径+高：直径所对圆周角90° + 作高 → 射影定理相似 · 圆内两条相交弦：相交弦定理 → 比例式可转化. 技巧4：弧、弦、圆心角的三量互推 在同圆或等圆中： · 等弧 → 等弦 → 等圆心角 → 等圆周角 。 1．如图，在中，，将绕顶点A逆时针旋转至，此时点D在上，连接，线段分别交于点H、K，则下列四个结论中：①；②是等边三角形；③；④当时，；正确的是（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】①由绕顶点A逆时针旋转至，得到△AEF≌△ABC，又由∠BAD＝60°，即可证明；②由ABCD，得到∠EDH＝∠DAB＝60°，又由ADBC，得到∠AEF＝120°，进一步得∠DEH＝60°，∠DHE＝60°，结论得证；③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，证明△BHC、△DMH和△BHM是等边三角形，得到DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD，点H为CD的中点，再证明△CKH∽△AKB，进一步得到AD＝3HK；④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，分别用AD表示出△ACF和的面积，即可得到结论． 【详解】解：①∵将绕顶点A逆时针旋转至， ∴△AEF≌△ABC， ∴∠EAF＝∠BAC， ∵∠BAD＝60°， ∴∠CAF＝∠EAF＋∠CAD＝∠BAC＋∠CAD＝∠BAD＝60°， 故①正确； ②∵ABCD， ∴∠EDH＝∠DAB＝60°， ∵ADBC， ∴∠AEF＝∠ABC＝180°－∠BAD＝120°， ∴∠DEH＝180°－∠AEF＝60°， ∴∠DHE＝180°－∠EDH－∠DEH＝60°， ∴∠DHE＝∠EDH＝∠DEH＝60°， ∴△DEH是等边三角形， 故②正确； ③过点H作HMAD交AB于点M，连接DM，如图1， ∵△EDH是等边三角形， ∴∠BHC＝∠EHD＝60°， ∵ADBCHM， ∴∠BCH＝∠EDH＝60°，∠DHM＝∠BCH＝60°， ∴∠CBH＝180°－∠BCH－∠BHC＝60°，∠BHM＝180°－∠DHM－∠BCH＝60°， ∴△BHC是等边三角形， ∵HMADBC， ∴∠DHM＝∠BCH＝60°，∠DMH＝∠BHM＝60°， ∴∠BHC＝∠BHM＝∠DHM＝∠DMH＝60°， ∴△DMH和△BHM都是等边三角形， ∴DH＝HM＝BH＝CH＝BC＝AD， ∴点H为CD的中点， ∵∠CKH＝∠AKB，∠CHK＝∠ABK， ∴△CKH∽△AKB， ∴， ∴， ∴AD＝3HK， ∴2AD＝3HK错误， 故③错误； ④过点C作CN⊥AB的延长线于点N，如图2，则∠BNC＝90°， ∵ABCD， ∴∠DCN＝180°－∠BNC＝90°， ∵∠BCD＝60°， ∴∠BCN＝30°， ∴BN＝BC＝AD，CN＝BC＝AD， ∴AN＝AB＋BN＝2AD＋AD＝AD， ∴AC＝＝AD， 由①可知，∠CAF＝＝60°，AC＝AF， ∴△ACF是等边三角形， ∴等边三角形△ACF的高为AC＝AD， ∴ , ∵的边AB上的高＝CN＝AD， ∴， ∴， 故④正确， 综上，①②④正确， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、图形的旋转、平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，添加适当的辅助线是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点，点在第一象限．为斜边上一点，且，过点作（点在直线的右侧），已知，点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点．结合．下列结论不正确是（   ） A． B．点C是的中点 C．四边形是平行四边形 D．k的值是2 【答案】B 【分析】运用即可证明 ，即可判断A，进一步证得 ，再结合等边对等角和内错角相等两直线平行，则，可证得四边形是平行四边形，即可判断C；延长 交轴于一点，过点作 轴，先证明四边形是矩形，因为点在反比例函数的图象上，所以矩形的面积是，故矩形的面积是，因为反比例函数的图象过点，则，即可判断D；若点是的中点，则为等边三角形，由于无法求得，即可判断B． 【详解】解：在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， 在和中，， ，故A正确； ∴四边形是平行四边形，故C正确； 延长 交轴于一点，过点作 轴，如图： 轴， ∴四边形是矩形， 同理，可证四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴矩形的面积是， ∴， ∴矩形的面积是2； ∵反比例函数的图象过点， ，故D正确； 若点是的中点，则， 由于，则为等边三角形， ∵无法求得， ∴故B不正确，符合题意． 3．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，且该一次函数的图象与轴正半轴交于点，过分别作轴的垂线，垂足分别为．若点为反比例函数图象在之间的动点，作射线交直线于点N．给出下面四个结论： ①； ②四边形的面积为； ③当点的坐标为时，线段的长度最大； ④当点的坐标为时，线段的长度最大． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】确定交点坐标，得到对应线段长及面积即可判断①②；利用对称性可知当的解析式为时，的长度最大，再求出坐标即可判断③④． 【详解】解：一次函数，则， ，解得或， ，则， ，，故①正确； 由题可知四边形为直角梯形，且， 四边形的面积为，故②错误； ∵点A与点B关于直线对称，反比例函数关于对称， ∴当的解析式为时，的长度最大， 解方程组得或， ∴此时M点的坐标为，故③正确； 当的长度最大时，求对应的点的坐标， 得 此时N点的坐标为，故④错误． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在x，y轴正半轴上，点B坐标为．点M是边上的动点（不与B，C重合），函数的图象经过点M且与边交于点N，给出下面四个结论：①与的面积一定相等；②若点M是边的中点，则点N一定为的中点；③在点M的运动过程中，是一个定值；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义以及矩形的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点M与点N， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①正确； ∵点M是边的中点， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即， ∴若点M是边的中点，则点N一定为的中点，故②正确； 由点B的坐标为， 可知点，点，点， ∴，， ∴，即是一个定值，故③正确； 在与只有， 根据已知条件无法证明，故④无法确定． 综上，上述结论中，所有正确结论的序号是①②③ ． 5．如图，是的直径，为上一点，且于点，点是的中点，连接交于，连接．则下列说法：①；②为中点；③；④．正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形，掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理判断①即可；在上取点，使得，根据等腰三角形的判定和性质判断②；然后利用等角对等边判断③即可；过点作交的延长线于点，构造，然后利用垂线段最短判断④即可解题． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴，故①正确， 在上取点，使得，    则， ∴， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； 过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴，即， 又∵是直径， ∴， ∴，即，故④正确； 故选C．    6．如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：（    ）    ①该圆的半径为2； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】先求出，进而证明是等边三角形，则，由此即可判断①；求出，则的长为：，即可判断②；求出，再求出，即可推出，由此即可判断③；过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，求出，则，设交于点M，求出，则，，则，再证明，则，即可判断④． 【详解】解：根据题干补全图形，连接，    根据内接正六边形的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，即圆的半径为2，故①正确； 根据内接正方形的性质可知：， ∴的长为：，故②错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； 过点A作交延长线于点H，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 设交于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论：①③④ 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键． 7．如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键． 根据题意，由勾股定理即可判断；过P点作，延长交于Q点，通过分析可证即可判断；将绕点A顺时针旋转得到，证，即可判断． 【详解】解： 连接并延长交于点E，过点P作交于点F， 是直角三角形， 正确； 如图，过P点作，延长交于Q点，则，四边形是矩形， ，， ， 四边形是正方形， 是对角线， ，， 是等腰直角三角形， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， 正确； 将绕点A顺时针旋转得到，如图2， ， ， C，B，H共线， ， ， ， 在和中， ， ， ， 正确； 综上，均正确． 故答案为：D． 8．如图，正方形，E，F，G，H是其边上的点（不与A，B，C，D重合），，过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，，构成四边形，点，分别是射线和上的点，且，分别作射线，，交，于点，，分别连接，，，，可得四边形．给出下面四个结论： ①四边形是正方形； ②四边形是平行四边形； ③若，四边形是菱形不是正方形； ④若，四边形是正方形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）． A．① B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，证明四边形是矩形，得到；再证明，同理可证明四边形和四边形是矩形，则，进而可证明，则可证明四边形是正方形，据此可判断①；证明，得到，同理可证明，得到；再证明，得到，则可证明，同理可证明，据此可判断②；可证明，，证明，得到，，再证明，即可判断③④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， ∴， 同理可证明四边形和四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴四边形是菱形， 又∵， ∴四边形是正方形，故①正确； ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证明， ∴四边形是平行四边形，故②正确； ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是菱形； ∵， ∴， ∴四边形是正方形，故③错误，④正确； 故选：D． 9．如图，在中，，的平分线，交于点P．下列结论： ①平分； ②； ③若于点M，于点N，则； ④． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质是解题的关键． 根据角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理和三角形外角性质对每个结论逐一进行分析即可． 【详解】 解： 过点作于点，于点，于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， ，，， 平分， 故结论①正确； 是由，平分、得到的， 实际关系为， 显然（例如取特殊角验证，若，则，和为而非）， 故结论②错误； 若于，于点， 则， 由，，且， ， ， 由，，且， ， ， ， 故结论③正确； 是的外角， ， 平分，平分， ． 又是的外角， ， 联立得， ， 故结论④正确； 综上所述，结论①③④正确， 故选B． 10．如图，已知正方形的中心为．将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，两个正方形的公共点为，，，，，，，．对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边的距离都相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】连接、、、、、，再根据题意分别求该八边形的各边长和内角，点到该八边形各顶点的距离、点到该八边形各边的距离，逐个判断，即可解题． 【详解】解：连接、、、、、， 将正方形绕点逆时针旋转得到正方形， ，，， 是等边三角形， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， 同理可得，， 结论①正确； ， 结论②错误； 在和中， ， ， ，， ， 和中， ， ， ， ， ， ， ， 结论③错误； 点到该八边形各边的距离就是中心到正方形各边的距离， 点到该八边形各边的距离都相等，即结论④正确． 综上所述，正确结论的序号①④． 故选：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $