题号猜押09 辽宁中考数学18-19题（统计与概率、三角形与四边形的证明、一次函数与反比例函数）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦辽宁中考18-19题，整合统计概率、函数与四边形三大模块，以题组形式构建从数据处理到几何证明的逻辑链条，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计概率综合|2题|含数据收集整理、图表分析、用样本估计总体|从数据处理到统计量计算，体现数据分析观念| |一次函数应用|2题|实际问题建模、最值求解|函数建模与不等式结合，培养模型意识| |函数图像与面积|5题|一次函数与反比例函数图像交点、面积计算|函数图像性质与几何计算融合，发展几何直观| |四边形证明|8题|平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定|从特殊四边形定义到性质应用，强化推理能力|

题号猜押09 辽宁中考数学18-19题 （统计与概率、三角形与四边形的证明、一次函数与反比例函数） 考点1 统计概率综合 1．（2026·辽宁大连·一模）为践行“健康第一”教育理念，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，推行“课间15分钟”，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某初中每天除了以课程等方式安排1小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间开展自主体育活动．为了解学生每天在校自主体育活动的时长，该初中随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理、描述及分析． 【数据收集】 所调查的40名学生每天在校自主体育活动的时长如下（单位：小时）： 0.3，0.3，0.3，0.4，0.4，0.5，0.5，0.5，0.6，0.6， 0.6，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0， 1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.4， 1.4，1.4，1.5，1.6，1.6，1.6，1.6，1.7，1.7，1.8． 【数据整理】 每天在校自主体育活动的时长频数分布表 分组 频数 a 11 b 8 合计 40 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 每天在校自主体育活动的时长（小时） 1.04 c d (1)填空：_________，_________，_________，_________； (2)若该初中有1200名学生，请你估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）豌豆荚里有几粒豆子不确定，同学们对豆子粒数是否有规律很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动中随机抽取了______个豌豆荚，图中______，______； (2)所调查豆子粒数的中位数落在______类中；（只填写字母） (3)若该批豌豆荚共有2000个，请根据本次调查结果，估计其中豆子粒数在C类（）的豌豆荚大约有多少个． (4)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 考点2 一次函数的实际应用 1．（2026·陕西榆林·二模）随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用． 2．（2026·江苏南通·一模）某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 考点3 根据一次函数图像求面积 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴，垂足为点，一次函数的图象经过点，与交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)沿轴向右平移，点的对应点恰好落在直线上，求的面积． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 考点4 利用一次函数图像解决实际问题 1．（2026·辽宁沈阳·一模）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 2．（2026·浙江·模拟预测）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量（）的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求的值； (2)问一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 考点5 反比例函数与不等式的解集 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围． 考点6 反比例函数与图形面积 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若过点且平行于轴的直线与直线交于点为该直线上一动点，当的面积为21时，求点的坐标． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 3．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 考点7 反比例函数与几何综合 1．（2026·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 2．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，且． (1)求k的值； (2)若的平分线交反比例函数于点D，求直线的解析式． 考点8 平行四边形的性质与判定 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，时，直接写出四边形的面积是______． 考点9 正方形的性质与判定 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 2．（2026·安徽六安·一模）如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； 考点9 菱形的性质与判定 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 2．（2026·湖南长沙·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求平行四边形的面积． 考点10 矩形的性质与判定 1．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，若，求的长． 1．（2026·江西·模拟预测）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)点的坐标是______，______； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，求的面积． 2．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求k的值． (2)过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 3．（2026·北京丰台·一模）如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． (1)求证：平分； (2)连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 4．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 5．（2026·山东济宁·二模）如图，P是下方的一点．连接交于点E，连接． (1)尺规作图：过点A作的平行线，分别交于点B，F；（要求：保留作图痕迹，不写做法．） (2)在（1）的条件下，若F是的中点，，．求的长． 6．（2026·浙江·一模）如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，交对角线于点，交边于点，连结． (1)求证：为等腰直角三角形； (2)若，求的值． 7．（2026·辽宁鞍山·二模）将一个放置在平面直角坐标系中，其中，点的坐标为，点在边上（不与点，重合），作直线交轴于点，点关于直线的对应点为，连接，． (1)如图1，当四边形是菱形时，求直线的解析式； (2)如图2，当点落在轴上时，求的面积． 8．（2026·山东济宁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长． 9．（2026·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 10．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点，作，延长交线段于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 11．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 12．（2026·安徽宿州·一模）已知四边形是正方形． (1)如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连接，求证：； (2)在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； 13．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，为对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区的边界校准，其中，，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． (1)基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． (2)问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 15．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 16．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，，求的面积． 17．（2026·黑龙江双鸭山·二模）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的行走性能，进行测试．已知甲、乙两机器人在同一地点，甲机器人全程在它的“全速模式”下运动，乙机器人晚出发分钟，开始在“基本模式”下运动，中途停止运动进行分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙两机器人运动的距离（单位：米）与甲机器人运动的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)直接写出的值； (2)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙机器人出发多长时间，两个机器人相距米． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 19．（2026·辽宁沈阳·一模）辽宁省博物馆素以藏品丰富、特色鲜明而享誉海内外，其文创产品也受到了广大群众的喜欢．文创馆的工作人员在整理销售数据时发现，某款冰箱贴4月份的售价y（元/个）和销量m（个）的部分数据如下表所示： 4月份第x天 1 2 3 4 售价y（元/个） 30 32 34 36 销量m（个） 200 190 180 170 (1)由上表可知销量m与x之间的关系式为______；售价y与x之间的关系式为______； (2)若每个冰箱贴需要2元包装费，且售价不高于38元/个，成本为8元/个，则4月份第几天销售利润最大？最大利润是多少？ 20．（2026·辽宁铁岭·一模）读书点亮青春，知识成就梦想．某校对全校学生一周内平均读书的时间进行抽样调查，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 每个等级的人数统计表 等级 周平均读书时间/时 人数 A B 6 C 20 D 15 E 5 每个等级的人数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求统计图表中_____，_____； (2)已知该校共有1500名学生，试估计该校学生每周读书时间至少3小时的人数为_____； (3)该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率． 21．（2026·辽宁沈阳·一模）技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“E模型”和“M模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级）： A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“M模型”的评分数据：100，99，98，98，97，91，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的两种模型的评分数据统计表 品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占的百分比 E模型 88 b 98 M模型 88 87.5 c 抽取的对“E模型”的评分数据扇形统计图 据以上信息，解答下列问题： (1)求出图表中a，b，c的值； (2)此次调查中有300人对“E模型”进行评分，400人对“M模型”进行评分，估计此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押09 辽宁中考数学18-19题 （统计与概率、三角形与四边形的证明、一次函数与反比例函数） 考点1 统计概率综合 1．（2026·辽宁大连·一模）为践行“健康第一”教育理念，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时，推行“课间15分钟”，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某初中每天除了以课程等方式安排1小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间开展自主体育活动．为了解学生每天在校自主体育活动的时长，该初中随机调查了部分学生，并对调查数据进行了收集、整理、描述及分析． 【数据收集】 所调查的40名学生每天在校自主体育活动的时长如下（单位：小时）： 0.3，0.3，0.3，0.4，0.4，0.5，0.5，0.5，0.6，0.6， 0.6，0.8，0.8，0.8，0.9，0.9，1.0，1.0，1.0，1.0， 1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.2，1.3，1.3，1.3，1.4， 1.4，1.4，1.5，1.6，1.6，1.6，1.6，1.7，1.7，1.8． 【数据整理】 每天在校自主体育活动的时长频数分布表 分组 频数 a 11 b 8 合计 40 【数据描述】 【数据分析】 平均数 众数 中位数 每天在校自主体育活动的时长（小时） 1.04 c d (1)填空：_________，_________，_________，_________； (2)若该初中有1200名学生，请你估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数． 【答案】(1)5；16；1.2；1.1； (2)人． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）用学生人数乘以时长不少于1小时的人数占比求解即可． 【详解】（1）解：由调查数据可知，，， 1.2出现了6次，次数最多，则众数， 中位数为第20和21名学生时长的平均数，则中位数； （2）解：（人）， 答：估计该初中学生每天在校自主体育活动的时长不少于1小时的人数为人． 2．（2026·辽宁盘锦·一模）豌豆荚里有几粒豆子不确定，同学们对豆子粒数是否有规律很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： (1)本次调查活动中随机抽取了______个豌豆荚，图中______，______； (2)所调查豆子粒数的中位数落在______类中；（只填写字母） (3)若该批豌豆荚共有2000个，请根据本次调查结果，估计其中豆子粒数在C类（）的豌豆荚大约有多少个． (4)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 【答案】(1)，， (2)C (3) (4)不能，理由见解析 【分析】（1）根据B类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可求出答案； （2）根据中位数的定义进行判断即可； （3）用2000乘以C的占比即可求解； （4）根据选取样本的特点进行分析即可． 【详解】（1）解：由题意可得，（个） ，； （2）解：由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数， ∵，， ∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中； （3）解：， 答：豆子粒数在C类（）的豌豆荚大约有个； （4）解：不能，理由是： 样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性． 考点2 一次函数的实际应用 1．（2026·陕西榆林·二模）随着环保意识的增强和科技的进步，新能源汽车逐渐成为了人们出行的新选择，为了满足新能源汽车的充电需求，某充电站计划购进甲、乙两种充电桩共50台，已知甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台．设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元． (1)求与之间的函数关系式； (2)若该充电站管理员要求购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，求购买这两种充电桩所需的最少费用． 【答案】(1) (2)70000元 【分析】（1）设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元，根据计划购进甲、乙两种充电桩共50台，甲充电桩的价格为1500元/台，乙充电桩的价格为1000元/台列出关系式即可； （2）先根据计划购进甲、乙两种充电桩共50台，购进甲充电桩的数量不少于乙充电桩数量的4倍，得出，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设该充电站购进甲充电桩台，购进这两种充电桩所需的总费用为元， 根据题意，得 ， 与之间的函数关系式为． （2）解：由题意可得， 解得， 在中，， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为（元）， 购买这两种充电桩所需的最少费用为70000元． 2．（2026·江苏南通·一模）某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 【答案】(1) (2) (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程即可求解； （2）根据题意分情况列解析式即可求解； （3）根据一次函数的增减性判断计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，当时，； （2）解：由（1）可知，，为3的倍数， 当时， ， 当时， 综上， ； （3）解：当时，，随的增大而增大， ∴当时，； 当时，，随的增大而减小， ∴当时，． 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元． 考点2 一次函数的实际应用 1．（2026·辽宁葫芦岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，轴，垂足为点，一次函数的图象经过点，与交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)沿轴向右平移，点的对应点恰好落在直线上，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据已知求出点C的坐标，再将点C的坐标代入一次函数解析式求出k，即可得解； （2）根据平移得的纵坐标为4，把代入即可求出点的坐标，即可求，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立直线的解析式和一次函数的解析式，即可求出点的坐标，过点作，垂足为点，求出，根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：轴， 点， 一次函数的图象经过点， ， 解得：， ； （2）解：点的对应点恰好落在直线上， 的纵坐标为4， 把代入得， 点， ， ， 点， 设的解析式为， 则， 解得， ∴的解析式为， ， 解得， 点， 过点作，垂足为点， ， ， 的面积． 2．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D，E，直线：分别交x轴、y轴于点C，． (1)求点A的坐标和的面积； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】(1)；的面积为 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出直线的表达式，联立两直线解析式可得点A的坐标，然后再根据列式计算即可； （2）求出，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得， ∴点， 对于直线， 令，则， ∴点 令，则， ∴点， ， 对于直线， 令，则， ∴点， ∴， ； （2）点在线段AB上，点，点，点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴的值随t的增大而减小， ∵， 当时，取最大值，最大值为． 3．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点为直线与轴的交点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，过点作平行于轴的直线，分别交直线，于点，点，连接．设点的横坐标为， ①线段__________（用含的代数式表示） ②求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；②27 【分析】（1）联立两条直线解析式，求出点P坐标； （2）①设点的横坐标为，、，进而求出的值； ②先求出C点坐标，得到，求出，再利用三角形面积公式得到，最后利用二次函数的性质得到面积的最大值． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， 解得， 点的坐标为； （2）①解：设点的横坐标为，轴， 、， ； ②解：点为直线与轴的交点，点是线段上的一个动点， 将代入直线得：， 解得， ， ， 由①可得， 面积为： ， 当时，面积有最大值，最大值为27． 考点4 利用一次函数图像解决实际问题 1．（2026·辽宁沈阳·一模）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现，图1是机器人警察安安和全全，他们从街头处出发，准备前往相距米的处（、在同一直线上）巡逻，安安警察比全全警察先出发，且速度保持不变，全全警察出发一段时间后将速度提高到原来的倍.已知安安警察、全全警察行走的路程（米），（米）与安安警察行走的时间（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“全全”）； (2)求全全警察提速后的速度，并求、的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)全全警察加速后经过几秒追上安安警察． 【答案】(1)全全 (2)全全提速后速度为米/秒，， (3)折线①中线段所在直线的函数解析式为 (4)全全警官加速后经过秒追上安安警官 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出全全提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出各段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法求解即可； （4）利用待定系数法求所在直线的函数解析式，与所在直线的函数解析式联立，求出交点的横坐标，即可求解． 【详解】（1）解：折线①表示全全警官行走的路程与时间的函数图象， 故答案为：全全； （2）解：全全提速前速度为（米/秒）， 全全提速后速度为（米/秒）， 段经过的时间为（秒）， ， 当时，安安警官的路程为米， 安安警官的速度为（米/秒）， ； （3）解：设折线①中线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得， 解得， 折线①中线段所在直线的函数解析式为； （4）解：设所在直线的函数解析式为，将代入得， 解得， 所在直线的函数解析式为， 联立， 解得， 时，全全警官追上安安警官， （秒）， 全全警官加速后经过秒追上安安警官． 2．（2026·浙江·模拟预测）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量（）的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求的值； (2)问一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1) (2)不能兑换智能扫地机器人 【分析】（1）根据题意计算出的值； （2）分别计算出和时，塑料和纸张的积分与投放质量之间的关系式，再算出对应的积分，求和后与对比，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵纸张超过后，奖励积分为， ∴， ∴； （2）解：对于塑料：当时，设与的函数关系式为， ∵当时，，当时，， ∴， 解得：， ∴与的函数关系式为， 当时，，即投放塑料的奖励积分为分， 同理，对于纸张：当时，， 当时，，即投放纸张的奖励积分为分， ∴积分和：， ∴不能兑换智能扫地机器人． 考点5 反比例函数与不等式的解集 1．（2026·湖北襄阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出的解集 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数，根据函数图象解不等式，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标分别代入一次函数和反比例函数，即可求解； （2）联立函数解析式，求得点的坐标，可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围，根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得， 反比例函数的解析式为； 将点代入，得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：联立一次函数和反比例函数， 得， 解得或， 令，则， 点坐标为， 可知不等式的解集为反比例函数图象在一次函数图象上方部分所对应的的取值范围， 由图像可知，不等式的解集为或． 2．（2026·安徽芜湖·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）把，两点的坐标代入，求出，，得出点、点的坐标，再根据待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据两个图象的交点坐标，即可得时，的取值范围． 【详解】（1）解：∵点，在反比例函数的图象上， 把，两点的坐标代入，得，， 故点的坐标为，点的坐标为； ∵点，在一次函数的图象上， 把，代入得，， 解得， ∴一次函数表达式为． （2）解：由（1）可得点的坐标为，点的坐标为， 由图象可得，当时，的取值范围为或． 考点6 反比例函数与图形面积 1．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若过点且平行于轴的直线与直线交于点为该直线上一动点，当的面积为21时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时要熟练掌握并灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，由在反比例函数的图象上，则，可得反比例函数的解析式，将代入，求出后可得的坐标，再由待定系数法可得一次函数的解析式即可； （2）根据一次函数的图象在反比例函数图象的下方时，的取值范围即为答案； （3）设直线与直线的交点坐标为，把代入得，即，设，则，解出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意，在反比例函数的图象上， ． 反比例函数为， 将代入， ． ． 由题意，将，分别代入，得 ， 解得， 一次函数为； （2）解：∵当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解集为或； （3）如图， 把代入得， 即， 设， △的面积为21， ， ， 解得或， 的坐标为或． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式，求出，再将点坐标代入反比例函数解析式，求出点坐标，最后将，两点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为， 将代入得，， 点的坐标为． 将点和点的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方或二者交于一点，即， 不等式的解集为：或． （3）解：将代入得，， 点的坐标为， ， ． 将代入得，， 点的坐标为， ， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， 点坐标为． 3．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，直线与双曲线在第一象限内交于两点，已知，． (1)分别求出直线和双曲线的函数表达式； (2)设点是线段上的一个动点，过点作轴于点，是轴上一点，当的面积最大时，请求出此时点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入求出反比例函数解析式，再将代入反比例函数解析式求出n的值，进而可求直线的函数表达式； （2）设，先求出m的取值范围，再根据题意得到的面积的函数表达式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴， 将代入得， ∴， 将、代入得： 解得：， ∴； （2）解：设， ∵点是线段上的一个动点， ∴， ∵过点作轴于点，是轴上一点， ∴，到的距离为m， ∴的面积， ∵， ∴当时，的面积最大， ∵在的范围内， ∴当的面积最大时，． 考点7 反比例函数与几何综合 1．（2026·山东临沂·一模）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求一次函数的解析式； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，解题的关键是利用待定系数法求一次函数解析式，结合等腰三角形的性质确定点的坐标，再利用函数交点关系求解参数． （1）利用一次函数图象经过的两点、，代入列方程组，求解、得到一次函数解析式； （2）先根据轴求出点的坐标，再利用等腰三角形“三线合一”的性质，确定点的纵坐标，将点代入一次函数求出其横坐标，最后代入反比例函数解析式求出的值． 【详解】（1）解：一次函数的图象过两点 ， ． （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 2．（2026·辽宁本溪·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，且． (1)求k的值； (2)若的平分线交反比例函数于点D，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点A、B的坐标，又因为，所以可利用全等三角形的方法，求出点C的坐标．再将点C坐标代入反比例函数表达式，即可求出k值． （2）延长交于点N，先利用角平分线和平行线的性质，得到 ，求出点N坐标，因为已知点A和点N的坐标，所以利用待定系数法，将两点坐标代入直线的一般式，求解出a和b的值，得到直线的解析式． 【详解】（1）过点C作轴于点H， ∴ ， ∵， ∴，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． ∵在反比例函数的图象上， ∴． （2）延长交于点N， 在中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴ 设的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴的解析式为． 考点8 平行四边形的性质与判定 1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）在中，，点在的延长线上，点在的延长线上，平分，． (1)如图，求证：四边形是平行四边形； (2)如图，当时，连接，交于点，过点作，交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）利用等腰三角形的性质、角平分线的定义及三角形外角性质可证，得到，即可求证； （）由可证是等边三角形，得到，即得平行四边形是菱形，即得到，，再证明是等边三角形，得到，即得到，得，又根据菱形的性质得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴平行四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴与面积相等的三角形有． 2．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在中，，点D是的中点，连接，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，时，直接写出四边形的面积是______． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可； （2）根据三角形的面积公式得出的面积，进而利用三角形中线得出的面积，进而得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，过点A作于点E，过点C作交的延长线于点F， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，点D是的中点，，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积=． 考点9 正方形的性质与判定 1．（2026·辽宁抚顺·一模）如图，在等腰直角三角形中， ，，D是的中点，过点D 作于点E，于点F，连接． (1)求证：四边形为正方形． (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的判定定理判断四边形是矩形；再结合等腰直角三角形中是中点，利用等腰直角三角形的性质推导，进而根据正方形的判定定理证明该四边形为正方形． （2）因为四边形是正方形，所以与正方形的边长有关；先根据和等腰直角三角形的性质、中点的性质求出正方形的边长，再利用正方形的对角线公式计算的长度． 【详解】（1）证明：∵ ，，， ∴ ， ∴四边形是矩形． 连接，如图， ∵等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴点是的中点，点是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为正方形． （2）解：∵ ，∴ ， 由（1）可知是中点、是中点， ∴ ，． 在中，，由勾股定理得． 2．（2026·安徽六安·一模）如图，在正方形中，是对角线上的一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的值； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证即可； （2）过作于，过作于，则，，，设正方形边长为，结合求出，，代入求解即可． 【详解】（1）证明：∵正方形中，，，绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴，， ∴， 在和中 ∴ ∴ （2）过作于，过作于，过作于， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴，， 设正方形边长为， ∵， ∴，， ∴，， ∴ 由（1）得 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ， ∴ ∴． 考点9 菱形的性质与判定 1．（2026·北京大兴·一模）如图，在四边形中，，，点E，F分别为的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先根据点E，F分别为的中点，得出，证明四边形为平行四边形，结合一组邻边相等的平行四边形是菱形进行作答即可； （2）根据菱形的性质得，再运用斜边上的中线等于斜边的一半得，最后由勾股定理进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵点E，F分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：由（1）得四边形为菱形， ∴， ∵，点E为的中点， ∴， 即， 在中，． 2．（2026·湖南长沙·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，，，点，分别是，的中点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点，若，求平行四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）根据题意得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，结合菱形的判定即可证明； （2）方法一：如解图①，连接，根据题意得出，设，则，确定，再由三角形中位线的性质得出，然后结合图形求面积即可； 方法二：过点作于点，同理得出，利用三角函数求解确定，再由勾股定理得出，即可求解． 【详解】（1）证明：点分别是的中点， ， 四边形是平行四边形， ， ． 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； （2）解：方法一：如解图，连接， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则， 由勾股定理得 ， ， ， 点分别为的中点， ， 点是的中点，， ， ， ． 方法二：如解图②，过点作于点， 四边形是菱形，， ， 在中，， 设，则． 由勾股定理得， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， ，即， 在中，， 由勾股定理得， ． 考点10 矩形的性质与判定 1．（2026·北京顺义·一模）如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，，分别为，中点，连接并延长至点，使，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形的性质推出，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形推出为平行四边形，再根据等腰三角形三线合一的性质推出，即可得出结论； （2）过点作于，由，设，则，则，再由勾股定理得，证明得，即可求解． 【详解】（1）证明： 在中，点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 在中，，点为的中点， ， ， 平行四边形为矩形． （2）解：如图，过点作于， ，点为的中点， ， 四边形为矩形， ∴， ， ． ， 设，则，则， ， ， ， ， ， ∴， ， ． 1．（2026·江西·模拟预测）如图，菱形的边在轴的正半轴上，对角线，相交于点，已知点，反比例函数的图象经过点． (1)点的坐标是______，______； (2)延长交反比例函数的图象于点，交轴于点，连接，求的面积． 【答案】(1)，8 (2) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征以及菱形性质的运用，解题时注意：菱形的对角线互相垂直平分．（1）根据点是点和点的中点即可求出答案；把点坐标代入反比例函数的解析式即可；（2）先求出点的坐标，再求出的长，然后根据即可得解． 【详解】（1）解：∵点是菱形的对角线的交点， 即点是点和点的中点， ∴点的横坐标为：，纵坐标为：， ∴点的坐标为：；   将点的坐标代入反比例函数中得， 解得：； （2）解：∵四边形是菱形， ，． ． ∴点的纵坐标为4． 当时，， ， 点的坐标为． ． ． 2．（2026·河南南阳·一模）如图，平行于y轴的矩形直尺与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B对应的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） (1)求k的值． (2)过点C作于点E，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值； （2）求出，，根据平行四边形的判定即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A和B对应的刻度分别为和， ． 又，轴， ． 把代入， 得， 解得， （2）证明：∵直尺的宽度为，， ∴点C的横坐标为4． 将代入， 得， ． ， ， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 3．（2026·北京丰台·一模）如图，在中，，，D为的中点，过点D作，交于点E，点F在线段上，且，连接． (1)求证：平分； (2)连接，将射线绕点F顺时针旋转，交的延长线于点G． ①依题意补全图形； ②用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）由中点的定义结合已知条件可得，利用等边对等角可得，再说明可得，则即可证明结论； （2）①按要求完成作图即可；②如图：连接并延长交于点H．先说明，利用勾股定理可得，再说明，利用平行线分线段成比例可得，易得是的中位线可得．再说明可得，再利用线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵点D为的中点， ∴． ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴平分． （2）解：①如图即为所求； ②数量关系：．证明如下： 如图：连接并延长交于点H． ∵点D为的中点，， ∴，． 又∵平分，， ∴， ∴． ∴． 在中，根据勾股定理，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴是的中位线． ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴，则． ∵，，， ∴． ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． 4．（2026·北京大兴·一模）如图，在中，，，D为线段上一点，连接，，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接，点F是中点，连接． (1)连接，求的度数（用含的式子表示）； (2)用等式表示与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据旋转的性质，得到是等腰直角三角形，得到，根据角的和差关系即可得出结果； （2）作于点，作于点，根据三线合一和斜边上的中线得到，证明，得到，，进而推出，，在上截取，根据三角形的中位线定理和中垂线的性质，即可得出结果． 【详解】（1）解：连接， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 作于点，作于点，则， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 在上截取，则， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵为的中点， ∴， ∴，即． 5．（2026·山东济宁·二模）如图，P是下方的一点．连接交于点E，连接． (1)尺规作图：过点A作的平行线，分别交于点B，F；（要求：保留作图痕迹，不写做法．） (2)在（1）的条件下，若F是的中点，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）可证明，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则；证明，即可推出． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2026·浙江·一模）如图，在正方形中，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，交对角线于点，交边于点，连结． (1)求证：为等腰直角三角形； (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正方形的性质结合可证明，则，进而可得，因此为等腰直角三角形； （2）使用勾股定理计算出和。由计算出，最后计算． 【详解】（1）证明：如图，连接， 根据题意可知，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 7．（2026·辽宁鞍山·二模）将一个放置在平面直角坐标系中，其中，点的坐标为，点在边上（不与点，重合），作直线交轴于点，点关于直线的对应点为，连接，． (1)如图1，当四边形是菱形时，求直线的解析式； (2)如图2，当点落在轴上时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，进而得到∴，求出点坐标，则待定系数法求解析式即可； （2）先求出直线的解析式，设，根据列方程求出，则面积可求. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴，即：，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∴解得：， 即：； （2）解：设， ∵， ∴解得：， ∴， ∵点在上， ∴设， ∵点关于直线的对应点为，点落在轴上， ∴，， ∴， 即：， ∵， ∴即：， 解得：， 即：， ∴. 8．（2026·山东济宁·一模）如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，求的长． 【答案】2 【分析】由矩形的性质得到，，，则由勾股定理可得，证明，得到，证明，得到，据此代入数值求解即可． 【详解】解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分，则， ， ， 又， ， ， ∴， ， ， ，即， ． 9．（2026·北京西城·一模）如图，在四边形中，，对角线平分，过点B作交的延长线于点E，过点B作，交于点G，交于点F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若点F是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三个角都是直角的四边形是矩形证明即可； （2）证明，得到，进而利用特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ∴四边形是矩形． （2）解：∵点F是的中点， ， ∵平分， ， ，， ， ， 在中，， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ． 10．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点，作，延长交线段于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析 (2)四边形的面积为 【分析】（1）由平行线的性质和翻折的性质，得出，结合，可得，同理可证，易得和互相垂直平分，即可证出四边形为菱形； （2）令，则，由，得，解出的值后，通过即可得出结果． 【详解】（1）解：由折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴和互相垂直平分， ∴四边形为菱形． （2）解：令，则， ∴， 由，得， 解得， ∴． 11．（2026·云南大理·一模）如图，平行四边形中，点在对角线的延长线上，于点，过点作交的延长线于点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是菱形即可； （2）根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． ∵ 平行四边形是菱形． （2）解：∵， ， ∵，， 在中，， ， ， ∵四边形是菱形， ， 又∵， 在中，， ， ． 12．（2026·安徽宿州·一模）已知四边形是正方形． (1)如图1，为等腰直角三角形，，两个顶点D、E和正方形顶点B三点在一条直线上，连接，求证：； (2)在第（1）题条件下，如图2，连接，求证：平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题可得，由此得，根据证明； （2）连接，先证明，然后可得共圆，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵正方形， ，， ， 即， ，， ； （2）证明：如图，连接， ∵等腰直角三角形， ∴ 由（1）得，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴ 共圆， ∴， ∴ 平分． 13．（2026·江苏扬州·一模）如图，在矩形中，为对角线，将边沿折叠，使点落在上的点处，将边沿折叠，使点落在上的点处． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】（1）由矩形对边平行得到，再由折叠的性质可知：，进一步可得，即可求证； （2）利用折叠的性质得出和，再根据勾股定理求出，并在中利用勾股定理建立方程求出，即可利用面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：在矩形中， ， 由折叠的性质可知：， ∴， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． 14．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）乡村振兴战略推进中，某地依托北斗导航技术优化农田规划，技术员用边长为1的正方形定位模块拼出五连格L形测量组件，用于直角三角形高标准农田片区的边界校准，其中，，测量组件的顶点D、E、F、G恰好贴合农田三边（如图1），为精准测算种植面积提供数据支持． (1)基础问题：请求出这块直角三角形高标准农田的面积． (2)问题提出与解决： 技术员将L形测量组件接入北斗定位坐标系，让农田顶点A、B、C分别落在坐标轴上（如图2），北斗系统反馈反比例函数（）的图象经过测量组件顶点D，试求该反比例函数的解析式，为定位数据传输提供基础模型． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解直角三角形，求出，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，进而求出的长，再根据三角形的面积公式进行求解即可； （2）过作轴于，证明，，进而求出点坐标，待定系数法求出反比例函数的解析式即可. 【详解】（1）解：如图所示： 由题意知，，，， ，， ，， ，， ， ∴此直角三角形的面积为； （2）解：如图所示：过作轴于， 由题意知，，，， ， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ，即， 解得，， 同理， ， 即， 解得，， ， ， ， ∴反比例函数解析式为. 15．（2015·广西柳州·中考真题）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y=（k＞0）的图象与BC边交于点E． （1）当F为AB的中点时，求该函数的解析式； （2）当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】（1）y=（x＞0）；（2）当k=3时，S有最大值．S最大值= ． 【分析】（1）当F为AB的中点时，点F的坐标为（3，1），由此代入求得函数解析式即可； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的二次函数，利用二次函数求出最值即可． 【详解】（1）∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2， ∴B（3，2）， ∵F为AB的中点， ∴F（3，1）， 又∵点F在反比例函数（k＞0）的图象上， ∴k=3， ∴该函数的解析式为y=（x＞0） （2）由题意知E，F两点坐标分别为E（，2），F（3，）， ∴ ， = =， ∴当k=3时，S有最大值．S最大=． 16．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成，其中点B在x轴的负半轴上，将四边形绕点O顺时针旋转，使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点D，若点C的坐标为． (1)求反比例函数的解析式． (2)连接，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得，，由全等三角形的性质得，由旋转的性质得，，可得，故可得反比例函数的解析式； （2）过点作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、是矩形，得，，，再运用分割法可求出的面积． 【详解】（1）解：∵的直角边在轴上，点C的坐标为． ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质得，，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 又反比例函数的图象经过点D， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：过点作轴于点，延长交轴于点，可得四边形、是矩形，如图， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积 ． 17．（2026·黑龙江双鸭山·二模）某科技兴趣小组制作了甲、乙两个电子机器人，为测量各自的行走性能，进行测试．已知甲、乙两机器人在同一地点，甲机器人全程在它的“全速模式”下运动，乙机器人晚出发分钟，开始在“基本模式”下运动，中途停止运动进行分钟的调试，之后切换到它的“全速模式”下运动．已知甲、乙两机器人运动的距离（单位：米）与甲机器人运动的时间（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象，解答下列问题： (1)直接写出的值； (2)求乙机器人在“基本模式”和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)直接写出乙机器人出发多长时间，两个机器人相距米． 【答案】(1)； (2)乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为，乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为； (3)乙机器人出发分钟或分钟或分钟，两个机器人相距米． 【分析】（1）由图可得甲机器人的速度为米/分钟，根据题意即可得的值； （2）分别设乙机器人在“基本模式”下和“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式，用待定系数法即可求解； （3）设乙机器人出发分钟，两个机器人相距米，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由图可得，甲机器人的速度为（米/分钟） ∴． （2）解：设乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∴乙机器人在“基本模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 设乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∴乙机器人在“全速模式”下，运动的距离与之间的函数关系式为． （3）解：设乙机器人出发分钟，两个机器人相距米， （分钟），（分钟），（分钟）， 根据题意可得： 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴乙机器人出发分钟或分钟或分钟，两个机器人相距米． 18．（2026·辽宁沈阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点，，直线分别与x，y轴交于点C，D，过直线上一点M作x轴的平行线，交直线于点N． (1)求直线的解析式； (2)若，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点，代入，然后求解即可； （2）首先确定点坐标，易知，进而可得；设点的坐标为，根据题意可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，即，进而确定点坐标，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式； （2）对于直线，当时可得，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即， 又∵点在直线上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 当时，，即， 当时，，即， 综上所述，点M的坐标为或． 19．（2025·辽宁盘锦·三模）辽宁省博物馆素以藏品丰富、特色鲜明而享誉海内外，其文创产品也受到了广大群众的喜欢．文创馆的工作人员在整理销售数据时发现，某款冰箱贴4月份的售价y（元/个）和销量m（个）的部分数据如下表所示： 4月份第x天 1 2 3 4 售价y（元/个） 30 32 34 36 销量m（个） 200 190 180 170 (1)由上表可知销量m与x之间的关系式为______；售价y与x之间的关系式为______； (2)若每个冰箱贴需要2元包装费，且售价不高于38元/个，成本为8元/个，则4月份第几天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)第5天销售利润最大，最大利润为4480元 【分析】本题考查二次函数的应用，正确利用销量每件的利润利润得出函数关系式是解题关键． （1）根据表格信息得到关系式即可； （2）设利润为w元，根据销量每件的利润利润列函数关系式，配方为顶点式，然后根据自变量x的取值范围解答即可． 【详解】（1）解：由表格可知天数每增加天，售价增加元，销量减少个， ∴， ， 故答案为：，； （2）解：设利润为w元， ， ∵售价不高于38元/个， ∴， 解得， ∴当时，w最大，最大值为元， 即第5天销售利润最大，最大利润为4480元． 20．（2026·辽宁铁岭·一模）读书点亮青春，知识成就梦想．某校对全校学生一周内平均读书的时间进行抽样调查，并对数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 每个等级的人数统计表 等级 周平均读书时间/时 人数 A B 6 C 20 D 15 E 5 每个等级的人数扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)求统计图表中_____，_____； (2)已知该校共有1500名学生，试估计该校学生每周读书时间至少3小时的人数为_____； (3)该校每月末从每个班读书时间在E等级的学生中选取2名学生参加读书心得交流会，九年级某班共有3名男生1名女生的读书时间在E等级，现从这4名学生中选取2名参加交流会，用画树状图或列表的方法求该班恰好选出1名男生1名女生参加交流会的概率． 【答案】(1)4，30 (2)600 (3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，利用频数等于样本容量×所占百分数，利用圆心角计算公式计算即可． （2）利用样本估计总体计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得C等级有20人，占比为， 故， 故A等级的人数为：（人）， 根据题意，得， 故． （2）解：（人）． （3）解：设甲，乙，丙表示男生，丁表示女生，画树状图如图． 由图中可知，共有12种等可能的结果，其中一男一女的结果有6种， 所以1名男生1名女生参加交流会的概率为． 21．（2026·辽宁沈阳·一模）技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“E模型”和“M模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级）： A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息：抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“M模型”的评分数据：100，99，98，98，97，91，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的两种模型的评分数据统计表 品牌 平均数 中位数 众数 A等级所占的百分比 E模型 88 b 98 M模型 88 87.5 c 抽取的对“E模型”的评分数据扇形统计图 据以上信息，解答下列问题： (1)求出图表中a，b，c的值； (2)此次调查中有300人对“E模型”进行评分，400人对“M模型”进行评分，估计此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的共有多少人？ 【答案】(1)35；89；86，87，97，98 (2)295人 【分析】（1）根据题意可知，抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据共计7个，进而计算B等级数据占比，即可确定的值；分别计算抽取的对“E模型”的评分数据中，A、C、D等级人数，然后将抽取的对“E模型”的评分数据按照从小到大的顺序排列，根据中位数的定义，即可确定的值；根据众数的定义确定C的值即可； （2）根据题意可知抽取的对“E模型”的评分数据中A等级数据占比为，抽取的对“M模型”的评分数据中A等级数据占比为，然后计算此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的人数即可． 【详解】（1）解：根据题意，抽取的对“E模型”的评分数据中B等级的数据共计7个， ∴抽取的对“E模型”的评分数据中B等级占比为，即； ∵抽取的对“E模型”的评分数据中，A等级人数为（人）， D等级人数为（人）， ∴C等级人数为（人）， 将抽取的对“E模型”的评分数据按照从小到大的顺序排列，第1个数据在D组，第2至4个数据在C组，第5至11个数据在B组， 且B组数据从小到大排列为84，86，86，87，88，89，89， ∴第10和第11个数据分别为89和89， ∴中位数； 抽取的对“M模型”的评分数据中，其中86，87，97，98均出现了2次，其他数据出现了一次， ∴众数c是86，87，97，98； （2）根据题意，抽取的对“E模型”的评分数据中A等级数据占比为， 抽取的对“M模型”的评分数据中A等级数据占比为， ∵（人）， ∴估计此次调查中对“E模型”，“M模型”两种软件评分为A等级的共有295人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $