专题02 二次函数解答题（4大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(北京专用)

专题02 二次函数解答题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 求对称轴 题型02 比较函数值大小 题型03 求参数取值范围 题型04 最值问题 模块三、综合实战演练 1、 求对称轴的解题方法： 1. 从抛物线解析式中准确找出系数 a 和 b. 2. 代入公式 计算. 3. 得出对称轴方程. 二、比较函数值大小的解题方法： 1. 确定对称轴 x = h（用公式法或中点法） 2. 确定开口方向（看 a 的正负） 3. 计算各点横坐标到对称轴的距离。 4. 按距离排序，结合开口方向转为函数值大小关系. 三、求参数取值范围的解题方法： 1. 求对称轴x = a 2. 分析点到对称轴的距离。 3. 解绝对值不等式： 4. 注意端点验证。 四、最值问题的解题方法： 1.确定开口方向和对称轴 . 2.明确自变量的取值范围或隐含条件（如动点轨迹）. 3.判断对称轴是否在区间内. 4.计算端点函数值，比较得最值 . 5.最值问题含参数时，分类讨论后写出分段函数式 题型01 求对称轴 1．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 (1)当，时，求抛物线的对称轴； (2)若对于，，存在，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据抛物线的对称性解决问题即可． （2）利用二次函数性质存在点M到对称轴的距离小于点N到对称轴的距离的情况即可解答． 【详解】（1）解：当，，，， 点和抛物线与y轴的交点关于直线对称， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）解：，， 则，， ， ，， ，， 在的左侧，且点N在对称轴的右侧， 、是抛物线上任意两点，存在， ， ， 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知，抛物线上，若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． （1）把代入，再将函数解析式化成顶点式，即可求解； （2）根据题意，得抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为，由抛物线的性质得当时，y 随x增大而增大，当时，y 随x增大而减小，再根据，，则当点A在点B左侧时，则，当点A在点B右侧时，则．然后分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵ ∴抛物线的开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， ∵，， 当点在点左侧时，即， ∴， 当点在点右侧时，即， ∴． ①当，即时，此时点在对称轴右侧或顶点处， 当点在点左侧时，即， 由图象知，恒成立， 即时符合题意； 当点在点右侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴应有， 即； 综上，； ②当，即时，此时点在对称轴左侧， 当点在点左侧时，即， 则， ∵关于对称轴的对称点， 此时要使，应有：， 化简得：， 又∵， ∴， 即； 当点在点右侧时，即， 由图象知，恒成立， ∴； 综上：； 由①②得，． ∵，， ∴ ∴ 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)当时，求y的值； (2)当，时，求抛物线的对称轴； (3)若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)抛物线的对称轴 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将，代入解析式即可求解； （2）将，代入解析式，得出即可得解； （3）分①当点在对称轴上或对称轴右侧时，②当点在对称轴上或对称轴左侧时两种情况讨论组成不等式组即可得解； 【详解】（1）解：当时，； （2）由题意得，解得， ∵ ∴抛物线的对称轴； （3）， 抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为，， 点在对称轴的右侧， ①当点在对称轴上或对称轴右侧时， 抛物线开口向上， 在对称轴右侧，随的增大而增大． 由， ， ， 解得， ， ②当点在对称轴上或对称轴左侧时， 设抛物线上的点关于的对称点为， ，解得， ， ， ， 在对称轴右侧，随的增大而增大， 由， ， ， 解得， ， 综上所述，的取值范围是或． 4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的对称轴； (2)若，在抛物线上，且满足，当抛物线对称轴为直线时，求t的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键． （1）先求得抛物线与y轴的交点坐标，根据二次函数的对称性求解即可； （2）先求得、、，再根据已知列不等式组，然后解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， 当时，，即抛物线与y轴的交点坐标为； 抛物线经过点， 又抛物线过点， 抛物线的对称轴为直线，即直线； （2）解：若抛物线对称轴为直线，则，即， 抛物线的解析式为， 在抛物线上， ， 又， ， ∴ ． 5．已知抛物线． (1)若，求抛物线的对称轴； (2)若，且抛物线的对称轴在y轴右侧，点，，在抛物线上．若，求b的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是： （1）根据对称轴公式即可求得； （2）根据题意得出，即可得到． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 抛物线的对称轴为直线． （2）当时，抛物线， 抛物线的对称轴为直线， 点，，在抛物线上，且， ， ． 针对不同题目形式，可以选择最高效的方法： 1. 公式法（最通用） · 形式：y = ax² + bx + c · 技巧：对称轴为 x = -b/(2a)。直接代入系数，这是含参问题最稳妥的方法。 2. 交点式（遇零点速算） · 形式：y = a(x - m)(x - n) · 技巧：对称轴为 x = (m + n)/2。已知抛物线与x轴交点时，比公式法快。 3. 顶点式（直接读取） · 形式：y = a(x - h)² + k · 技巧：对称轴为 x = h。这也是配方的目标。 题型02比较函数值大小 6．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求的值； (2)已知点，在此抛物线上． ①当时，直接写出的取值范围； ②当时，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入，即可得到答案； （2）由（1）得到，当时，，当时，，则，画出函数图象． ①当时，即，根据图象求解即可； ②根据二次函数的性质得到当时，，则当时，，由得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴把点代入得到， ， 解得，； （2）由（1）得到抛物线为， 当时，， 当时，， ∴ 当时，解得或， 即抛物线与x轴交于点和，如图， ①当时，即，根据图象可知此时或； ②∵抛物线开口向下， ∴当时，， ∴当时，，即， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 7．在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点． (1)将写成的形式； (2)若，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法将二次函数一般式化为顶点式、函数值的比较等知识． （1）利用配方法进行变形即可求解； （2）当时，抛物线为，将点A、B的坐标代入求出，，问题得解． 【详解】（1）解：； （2）解：当时，抛物线为， 则，， ∴． 8．在平面直角坐标系中，点是抛物线上任意一点． (1)若，求该抛物线的对称轴； (2)已知点在该抛物线上，若存在，恰好使．比较的大小，并说明理由． 【答案】(1)直线 (2)，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据抛物线的增减性求解． （1）把点代入求得，即可根据对称轴公式求得答案； （2）根据各点到对称轴的距离判断y值大小． 【详解】（1）解：，，点是抛物线上任意一点， 抛物线过点， 即， 抛物线对称轴为直线，即该抛物线的对称轴为直线； （2）理由如下： 设抛物线对称轴为直线则抛物线上点关于对称轴的对称点为， 存在，恰好使， ， 抛物线开口向下， 在对称轴的左侧y随x增大而增大． 又关于对称轴的对称点为且， 点，，都在对称轴左侧，且 9．在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线. (1)当时，求t的值； (2)点，在抛物线上，若，比较，的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与性质、熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，结合已知求解即可； （2）先根据已知求得，进而求得，然后根据抛物线的开口向上，得到离对称轴越远，函数值越大求解即可． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴，解得， 由得抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵，， ∴，则或， ∴， ∵， ∴， ∵，，又抛物线的开口向上， ∴． 10．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线． (1) （用含a的式子表示）； (2)已知点，在抛物线上，若，求出a的值； (3)已知点，，在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要涉及到二次函数的开口方向、对称性以及增减性，熟知二次函数的基本性质是解决函数问题的关键． （1）根据二次函数的对称轴公式求解即可； （2）首先根据，得出点，关于对称轴直线对称，据此列式求解即可； （3）根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线； 故答案为：； （2）解：∵点，在抛物线上，且， ∴对称轴为直线， 由题意得，解得； （3）解：∵， ∴当时，y随x的增大而减小． ∵， ∴， ∵关于的对称点为， ∴， ∴． 题型一：明确对称轴，无参数 直接用距离比较。 题型二：对称轴含参 用距离公式表达，分情况讨论。 题型三：已知函数值相等，求参 利用对称性快速求解。 题型四：无法直接比较，转化求解 直接比大小转化为解不等式。 题型03 求参数取值范围 11．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，点在图形G上． ①当时，求b的取值范围； ②若b的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的t的取值范围． 【答案】(1) (2)①b的取值范围为全体实数② 【分析】（1）将抛物线的解析式转化为顶点式即可得出结果； （2）①求出时的函数解析式，数形结合求出的取值范围即可；②分抛物线的对称轴在轴上，轴左侧，轴右侧，分情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：①当时，，将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G，如图：    ∵点在图形G上，由图象可知：的范围为全体实数； ②当对称轴为轴或对称轴在轴右侧时，即：，一定满足的取值范围为全体实数； 当对称轴在轴左侧，且顶点纵坐标等于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与轴的交点的坐标时，满足的取值范围为全体实数， 即：，解得：或（舍去） 当对称轴在轴左侧，且顶点纵坐标小于抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折后与轴的交点的坐标时，满足的取值范围为全体实数， 即：， ∴综上：当时，b的取值范围均为全体实数， ∴的范围为． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，运用数形结合思想是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点为抛物线上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为． (1)求的值； (2)当线段与抛物线有两个公共点时，求出的取值范围； (3)过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将点代入即可求出的值； （2）分两种情况：当时；当时，分别画图求解即可； （3）先求出，分两种情况：当或时，当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的解析式为， ∴该抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵点为抛物线上任意一点，其横坐标为，轴，点的横坐标为， 设，，并设与抛物线的另一个交点为，则，， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 当时，如图， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 当时，如图， ∵线段与抛物线有两个公共点， ∴， ∴， 此时； 综上所述，当线段与抛物线有两个公共点时，的取值范围为或； （3）解： 由（2）的解答可知：，，， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵轴交抛物线于点， 设， ∴， ∴， 当时，解得：或， 当或时，， 如图， ∵线段的长随的增大而增大， ∴， 此时； 当时，， 如图， ∵线段的长随的增大而增大， ∴， 此时； 综上所述，点在抛物线上运动的过程中，若线段的长随的增大而增大， 的取值范围为或． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，函数图像上点的坐标特征，坐标与图形，二次函数的图像与性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 13．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为． (1)用含的式子表示抛物线的顶点坐标； (2)点为，点为． ①当时，若抛物线与线段有两个不同的交点，求的取值范围； ②当时，若抛物线与线段恰有一个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质， （1）根据顶点坐标公式计算即可； （2）①将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段有两个不同交点的条件，并求解即可； ②将代入抛物线解析式得：，得到新的函数解析式，得出抛物线与线段恰有一个交点的条件，并求解即可； 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴， 把代入，得， ， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：①当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． ∴， 综合以上条件，取交集得． 答：m的取值范围为． ②当时，点为，点为， 将代入抛物线解析式得：， 整理得：， 设，其开口向上，对称轴为． 当或 或（另一个根在区间外）或（另一个根在区间外） 解得：或或（根在范围内，在范围外），或（根在范围内，在范围外）． 综合以上情况，m的取值范围为或． 答：m的取值范围为或． 14．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①或 ② 【分析】（1）通过配方法将抛物线解析式化为顶点式，直接得出顶点坐标； （2）①分和两类讨论图形的解析式：当时，结合图像可直接判断随增大而增大；当时，写出，坐标并表示出关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质解不等式得到的范围；②当时，先确定抛物线的解析式，设，则可转化为，则，结合，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：， 则抛物线的顶点坐标为． （2）①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为， 当，图形如下图所示， 据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大； 当，图形如下图所示， 当，解析式为， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得， 令，即当，随着的增加而增加， 的对称轴为， 则，解得， 综上，的取值范围为或． ②解：如图，当，抛物线为，当，，当，， 即在图形上，随着的增大而增大， 设，则，可转化为， 若对任意的，都有， 则，解得， 其中，则， 解得． 15．在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，，求解即可； （2）根据题意，得轴，且，在抛物线顶点的上方，当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，分两种情况讨论求解即可； （3）把代入抛物线解析式，化简得，时，m取得最小值1，当时，，由m的最大值小于6，故，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 故直线，， ， ，． （2）解：根据题意，得的对称轴为直线， ，的纵坐标相同， 轴，且， ， 在抛物线顶点的上方， 直线与抛物线的交点为， 当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点， 当时， 只需满足， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 综上：且． （3）解：为抛物线上一点， ， ， ， ， 时，m取得最小值1， 由且． 当时，取得最大值，且， 由m的最大值小于6， 故， 解得， ， 故． 1. 定轴判向：求出对称轴 x = h（常含参如 m, t），并确定开口方向。 2. 列不等式：根据函数值大小关系，将条件转化为点到对称轴距离的不等式。 3. 求解讨论：解绝对值不等式，注意对称轴位置是否固定。 题型04 最值问题 16．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)当时，比较的大小，并说明理由； (2)当时，随的增大而减小，且的最大值与最小值的差为，求的最小值． 【答案】(1) (2)h的最小值为16． 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． （1）根据待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先求得对称轴为直线，再分当时，当时，两种情况讨论，根据抛物线的开口方向，进而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，且， ∴，， ∴； （2）解：对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴分两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时，抛物线开口向下，要使时，y随x增大而减小， 则对称轴； 当时：抛物线开口向上，对称轴，在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴； 当时：抛物线开口向下，对称轴， 在时，y随x增大而减小， ∴当时，y有最大值，； 当时，y有最小值，； 则， ∵， ∴当时，h取得最小值， ∴， ∵， ∴h的最小值为16． 17．已知二次函数的图象经过点，． (1)求，的值． (2)求当时，二次函数的最大值． (3)现将该二次函数的图象沿着轴的正方向平移个单位长度得到新的二次函数图象，当时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数图象与几何变换，正确的理解题意是解题的关键． （1）把点，代入，即可求得b、c的值； （2）根据二次函数的性质即可求得； （3）平移后新的二次函数的表达式为，分三种情况讨论：①当，即时，在对称轴的右侧，②当，即时， ③当，即时，在对称轴的左侧，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得解得 ，的值分别是，． （2）解：二次函数的表达式为， 二次函数图象的对称轴为直线． ， 二次函数图象的开口向上，当时，随的增大而减小． ， 当时，二次函数有最大值，最大值为． （3）解：平移后新的二次函数的表达式为，该二次函数图象的对称轴为直线． 分三种情况讨论： ①当，即时，在对称轴的右侧， 二次函数在取得最小值， ，解得或，不符合题意． ②当，即时，二次函数在取得最小值，此时最小值为，不符合题意． ③当，即时，在对称轴的左侧， 二次函数在时取得最小值， ，解得或（舍去）， 此时二次函数的表达式为，即． 综上所述，平移后新的二次函数的表达式为． 18．已知二次函数 (1)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (2)当时，函数的最大值为，最小值为，若，求的值． 【答案】(1)函数的最大值为，最小值为 (2)或 【分析】（1）根据二次函数的性质及自变量的取值范围即可解答； （2）根据二次函数的性质及自变量的取值范围对分类讨论，根据的取值范围列方程即可得到的值 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴是，顶点坐标为； ∴当时，， ∵当时，随着的增大而增大， ∴当时，． ∵当时，随着的增大而减小， ∴当时，． 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为； （2）解：当时，对进行分类讨论． ①当时，即时，随着的增大而增大． 当时，， 当时，， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)； ②当时，顶点的横坐标在取值范围内， ∴， 当时，在时，， ∴ ∴，解得， (不合题意，舍去)； 当时，在时，， ∴， ∴，解得 (不合题意，舍去)； ③当时，随着的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 解得(不合题意，舍去)． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，分类讨论思想，掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）当时， ①若，求该函数最小值； ②若，则此时对应的函数值的最小值是5，求的值； （2）当时，若对于任意的满足且此时所对应的函数值的最小值是12，直接写出的值． 【答案】（1）①3；②5；（2）或者 【分析】（1）①确定函数的解析式，根据解析式的特点求其最小值即可；②判断对称轴与自变量的取值范围大小关系，根据位置关系，利用函数的增减性计算即可； （2）分b≥0和b＜0两种情形求解即可． 【详解】解：（1）①当b=-2，c=4时，二次函数变形为： ， 当时函数的最小值为3； ②∵抛物线为． 此时抛物线开口向上，对称轴为． ∴当时，随增大而增大． ∵1＜， ∴取值范围位于对称轴的右侧， ∴当时，， ∴． ∴． （2）当b≥0时， ∵二次函数的对称轴为x=， ∴＜， ∴取值范围位于对称轴的右侧， ∴当x=b时，函数有最小值， ∴， 解得b=2或b=-3（舍去）； 当b＜0时， ∵二次函数的对称轴为x=， 当对称轴位于取值范围内时，， ∴x=时，函数有最小值， ∴，此时无解； 当对称轴不位于取值范围内时，， ∴位于对称轴的左侧， ∵随增大而减小， ∴x=b+2时，函数有最小值， ∴， 整理，得； 解得b=或b=（舍去）； ∴或者． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，函数的增减性，指定取值范围内的最值，准确判定对称轴与指定取值范围的关系是解题的关键． 20．已知关于x的二次函数（实数b，c为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式； （2）若，当时，二次函数的最小值为21，求b的值； （3）记关于x的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，求实数m的最小值． 【答案】（1）；（2）或4；（3）4． 【分析】（1）将点代入二次函数的解析式可得的值，根据二次函数的对称轴可得的值，由此即可得； （2）先求出二次函数的对称轴为，再分，和三种情况，分别利用二次函数的性质可得一个关于的一元二次方程，解方程即可得； （3）先根据可得，令，再根据二次函数的性质列出不等式，求解即可得． 【详解】解：（1）将点代入得：， 二次函数的对称轴为， ，解得， 则此二次函数的表达式为； （2），即， ， 则此二次函数的对称轴为， 由题意，分以下三种情况： ①当，即时， 在内，随的增大而减小， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）； ②当，即时， 在内，随的增大而减小；在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（均不符题设，舍去）； ③当，即时， 在内，随的增大而增大， 则当时，取得最小值， 因此有， 解得或（不符题设，舍去）， 综上，的值为或4； （3）由（1）可知，， 由得：，即， 令， 在内，随的增大而增大， 要使得当时，总有，则只需当时，即可， 因此有， 解得， 则实数的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 1. 化标准式：先化为顶点式，确定开口和对称轴。 2. 定区间：明确 x 的取值范围。 3. 比距离（或分类）：比较区间端点、顶点到对称轴的距离。 · 最小值：若顶点在区间内，a>0 时顶点最小；否则，靠近对称轴的端点最小。 · 最大值：若顶点在区间内，a<0 时顶点最大；否则，远离对称轴的端点最大。 4. 算结果：代入求值。 1．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)若，点，（）在该抛物线上，求的长； (3)记抛物线与轴的交点为，点在抛物线上，分别过点作轴、直线的垂线，交直线于点，，是上一点，且，过点作交于点．已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，通过移项化简直接用含的式子表示出； （2）代入得到具体抛物线解析式，令解一元二次方程，用较大根减去较小根即可得到的长度； （3）先求出直线的解析式，分类讨论点与点的上下位置关系，利用角和相似三角形将转化为关于的二次函数，再根据二次函数的增减性结合给定区间列不等式求解的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得抛物线为 将代入中， 得， ∵点，在该抛物线上， ∴将代入中， 得， 解得，， ∴； （3）解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 如图①，过点作轴于点，则，，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 当时，如解图①， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得抛物线， ∵点的横坐标为，且在抛物线上， ∴， ∵轴， ∴点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在点上方， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴抛物线开口向下，当时，的长随的增大而增大， 又∵当时，的长随的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如解图②， 同理可得， ∵点在点上方， ∴ ， ∴， ∵， ∴该抛物线开口向上，对称轴为，则当时，随的增大而增大， ∵，即时，随的增大而增大， ∴不能满足全部在的范围内，故此情况不存在， 综上所述，的取值范围为． 2．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若点在抛物线上， ①求a的值； ②过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； (2)点，是抛物线上的两点，且．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点，（点M，N不重合），使得，求a的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①把点代入计算即可； ②分、、三种情况讨论求解即可； （2）求得对称轴为直线，再分当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①点在抛物线上， ， ； ②由①可得抛物线的解析式为， 当时，如图，点E不在线段PF上，故不成立； 当时，点E与点P重合，也不成立； 当时，如图， 点E为线段PF的中点，且， 可设，则， ， 解得或（舍去）， ∴； （2）解：， 对称轴为直线， （ⅰ）当时，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小； 此时，， 点在对称轴左侧， ， 点在对称轴左侧，如图， ， ， ； 此时，抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点之间的部分不可能存在纵坐标相等的情况．） （ⅱ）当时，抛物线开口向下，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； 此时，， 点在对称轴右侧， ， 点在对称轴左侧， 如图， 点C关于对称轴的对称点在对称轴右侧，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等．） ， ．（因为点和点B在对称轴同侧，故只需比较点和点B的横坐标．） ， 此时，抛物线在点B、C之间的部分（含点B、C）上存在两点，，使得；（当点B、C分别位于对称轴异侧时，在抛物线上点B、C之间的部分关于对称轴对称的对应点均满足．） 综上所述，a的取值范围为． 3．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点． (1)当时，比较，的大小； (2)当时，记抛物线在点，之间的部分（含点，）为图形，若在图形上存在两点、（点在点左侧），点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出当时，、的值，通过比较得到、的大小关系； （2）抛物线的对称轴为，分和两种情况讨论 【详解】（1）解：， 抛物线的解析式为， 点的坐标为，点的坐标为， 当时，可得：， ， 当时，可得：， ， ； （2）解：抛物线的对称轴为， ①当时，抛物线开口向上， ， ，即， 两边平方得， 整理得， 设， 当时，解得， ，开口向上， 根据二次函数的图象可得的解集为或， ， 要存在点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小， 则点需要在对称轴的两边或者在对称轴的左边， ， ，， 在对称轴的右边， ∴需要在对称轴的左边才能满足条件， 此时， 解得； ②当时，抛物线开口向下， ， ，即， 两边平方得， 整理得， 设， 当时，解得， ，开口向上， 根据二次函数的图象可得的解集为， ， 要存在点沿图形从点运动到点的过程中，随的增大而减小， 则点需要在对称轴的两边或者在对称轴的右边， ， ，， 在对称轴的右边，在对称轴的左边或右边，都满足条件， ， 综上，或． 4．在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的表达式(用含a的式子表示)； (2)过点作y轴的垂线l，将抛物线在直线l下方的部分沿直线l翻折，与抛物线的其他部分组成的图形记为G，直线与直线交于点M，与图形G交于点N(不与点M重合)，若的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了二次函数的表达式求解、图形翻折变换、函数单调性分析及区间分类讨论，解题的关键是代入点坐标求抛物线表达式，利用翻折性质确定分段解析式，结合二次函数单调性分析的变化趋势． （1）将点代入抛物线方程，化简求出，得到含的表达式； （2）确定直线，求出抛物线与的交点，推导翻折后解析式，分区间计算的表达式，结合单调性确定的取值范围，验证边界点排除重合情况． 【详解】（1）解：将代入，得， 化简得，即， 故抛物线表达式为． （2）解：直线为， 令，解得或，即抛物线与交于、， 翻折后部分解析式为， 故图形为：， 点． 分类讨论如下： 情况一: 当时，，，   因，对称轴，在时随增大而减小，满足条件（如下图）． 情况二: 联立,求得直线与抛物线的交点A的横坐标为, 当时，，, , ∵,, 则上述关于t的二次函数在时随增大而减小， 故满足条件的t值为． 情况三:当时，，, , ∵,则上述关于t的二次函数在时随增大而增大， 故此种情况不合题意,舍去. 情况四:当时，联立,求得直线与抛物线的交点B的横坐标为, 当时,， , ∵,则上述关于t的二次函数在时随增大而减小， 故满足条件的t值为(见上图)． 情况五: 当时，， ∵,对称轴为,则上述关于t的二次函数在时随增大而增大， 故此种情况不合题意,舍去. 验证时，、重合，不符合题意，排除． 综上，的取值范围为或或． 5．在平面直角坐标系中，点，是抛物线上两个不同的点． (1)当时，求的值； (2)若对于，，都有，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）求出抛物线的对称轴为直线，再结合得出点，关于直线对称，即可得出结果； （2）分两种情况：若，则；若，则；结合二次函数的增减性，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为 ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴点，关于直线对称． ∴． （2）解：若，则． 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 若，则． 当时，y随着x的增大而增大；当时，y随着x的增大而减小． ∵当，时，总成立，且是关于对称轴的对称点的横坐标， ∴或． ∴． 综上，的取值范围是或． 6．在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点 (1)当时、比较m，n的大小，并说明理由； (2)当时，记抛物线在点M，N之间的部分（含点M，N）为图形G，若在图形G上存在两点A、B（点A在点B左侧），点沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式、对称轴、增减性等性质，以及平面直角坐标系中点的坐标与函数的关系、分类讨论思想的应用；解题的关键是先求出抛物线的对称轴，再根据的正负判断抛物线开口方向和增减性，结合点的横坐标与对称轴的位置关系，分和两种情况，利用的条件及对称点性质确定的范围，同时确保图形上存在满足随. 增大而增大的两点． （1）先将代入抛物线解析式，确定抛物线表达式，再根据的值算出点的横坐标，进而得到两点完整坐标，最后把两点坐标代入抛物线解析式求出的具体数值，通过比较数值大小得出与的关系； （2）首先求出抛物线的对称轴为，再分(抛物线开口向上)和(抛物线开口向下)两种情况，结合抛物线的增减性分析；当时，根据与1的大小关系进一步细分情况，利用的条件和对称点性质求出对应的范围，确保图形上存在两点满足随.增大而增大；当时，同样结合抛物线增减性、的条件及图形的特点，求出符合要求的的范围，最后综合两种情况得出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， （2）解：， 抛物线的对称轴为， ①当时，抛物线开口向上，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ， ， 设点横坐标为点横坐标为， 当，即时， ， ， ， ， ， ， 当满足时，点沿图形从运动到的过程中， 随的增大而增大， 符合题意， 当，即时， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ， ， ， ， ， ， ， 当满足时，点沿图形从运动到的过程中，随的增大而增大， 符合题意， 当时，符合题意， ②当时，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ， ， 存在点和点(点在点左侧)，点沿图形从运动到的过程中，随的增大而增大， ， ， 设点关于对称轴的对称点为， 则， ， ， ， ， 综上所述，或． 7．在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和在该抛物线上，如果，且，那么 ； (3)已知点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，当线段的长随的增大而减小时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)2 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴、图象和性质、点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由对称轴公式直接得解即可； （2）根据对称性即可得解； （3）易得，画出图象，数形结合即可得解． 【详解】（1）解：∵； ∴对称轴为直线x1； （2）解：∵， ∴点A、B关于对称轴对称， ∵对称轴为直线，， ∴， 故答案为：2； （3）由题可知， ∴， 画出函数图象， 要使得线段的长随m的增大而减小， 由图可知，或． 8．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含有a的式子表示b，并求抛物线的对称轴； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，求a的取值范围． 【答案】(1)；对称轴 (2)①6；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，函数值的计算与线段的长度，二次函数的最值，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． （1）将点和点代入抛物线方程即可得a与b的关系，再由求解对称轴即可； （2）①根据，，可将点M与点N的坐标求解出来，再求解长度即可； ②先将点M与点N的坐标表示出来，再表示的长，根据二次函数的对称轴求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，即， 可得； ∴对称轴； （2）解：①若，， 则点，抛物线为，直线， ∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M， ∴当时，，即点， ∵过点作x轴的垂线，交直线于点N， ∴当时，，即点， ∴的长度为； ②∵，， ∴抛物线为， ∵点作x轴的垂线，交抛物线于点M， ∴当时，，即点， ∵过点作x轴的垂线，交直线于点N， ∴当时，，即点， ∴， ∴对称轴为，如图， ∵点P从点运动到点的过程中，的长总是先减小后增大，由图象得 ∴或， 即或， ∴或． 9．在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为，点 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，图形的轴对称变换，分类讨论思想，正确推导抛物线轴左侧部分翻折后的解析式是解题关键． （1）利用二次函数对称轴公式求对称轴，代入求点的坐标即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，结合折叠的性质得出翻折后的抛物线的解析式，从而得出图形，表示出，再结合二次函数的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线为， ∴对称轴为， 当时，， 故点的坐标为． 答：对称轴为，点． （2）解：已知抛物线为，配方得， ∴原抛物线顶点为， ∵过点作轴的垂线，与轴交点的坐标为， ∴直线的方程为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， 故图形的分段函数为： ， 点和点是图形上的点， ∵， ∴在轴右侧，故， 在轴左侧，， 故， 此时， 由可知其是开口向下的函数，对称轴为， 当时，随的增大而增大； 10．在平面直角坐标系中，抛物线 (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； ②已知和是抛物线上的两点．若，当，时，则的最大值是______； (2)若抛物线经过点，已知和是抛物线上的两点，对任意，，，，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）①先将点代入抛物线的解析式可得，再将抛物线的解析式化成顶点式，由此即可得； ②先求出抛物线的解析式，再根据二次函数的增减性求出的取值范围，由此即可得； （2）先求出，再分两种情况：①当时，结合二次函数的增减性求出的最小值，的最大值，建立一元一次不等式，解不等式即可得；②当时，根据当时的值与当时的值也满足，由此即可得． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． ②∵， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∵抛物线开口向上，其对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵和是抛物线上的两点，且，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是． 故答案为：． （2）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， ①当时，抛物线的开口向上，且对称轴为直线， ∴在内，当时，取得最小值4；在内，当或时，取得最大值，即的最大值为或1， 又∵， ∴要使得当，时，都有，则需， 解得，符合题设； ②当时， ∵当，时，都有， ∴当时的值与当时的值也满足，即， 解得，与题设不符，舍去； 综上，的取值范围是． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 专题02二次函数解答 目录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴龈题型专练 题型01求对称轴 题型02比较函数值大小 题型03求参数取值范围 题型04最值问题 模块三、综合实战演练 解题方法总述 模块一 一、求对称轴的解题方法： 1.从抛物线解析式中准确找出系数a和b. 2.代入公式计算 3.得出对称轴方程 三、比较函数值大小的解题方法： 1.确定对称轴×=h(用公式法或中点法) 2.确定开口方向（看a的正负） 3.计算各点横坐标到对称轴的距离。 4.按距离排序，结合开口方向转为函数值大小关系， 三、求参数取值范围的解题方法： 1.求对称轴×=a 2.分析点到对称轴的距离。 3.解绝对值不等式 4.注意端点验证。 四、最值问题的解题方法： 1.确定开口方向和对称轴 2.明确自变量的取值范围或隐含条件（如动，点轨迹） 3.判断对称轴是否在区间内. 4.计算端点函数值，比较得最值. 1/7 让教与学更高效 题 面学科网 www zxxk .com 让教与学更高效 5.最值问题含参数时，分类讨论后写出分段函数式 压轴题型专练 模块二 题型01求对称轴 1.在平面直角坐标系xOy中，M(x,y,),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+ca>O)上任意两点，设抛物线 的对称轴为直线x=t. (1)当x=-2,1=c时，求抛物线的对称轴； (2)若对于1+3t<x<2+2t,3-51<x2<5-31,存在y<y2,求t的取值范围. 2.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=2ax2+(3a+1)x+c(a>0),设该抛物线的对称轴为x=t. (1)若a=1,求该抛物线的对称轴； (2)已知A(x,),，B(x2y2)抛物线上，若对于x=2t+1,x2-x>1,都有y2>,求t的取值范围. 3.在平面直角坐标系xOy中，M(x,y),N(x2,y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线 的对称轴为x=t. (I)当x=0时，求y的值； (②)当x=2,y1=c时，求抛物线的对称轴； (3)若对于t+1<x<t+2,3<x2<4,都有<2，求t的取值范围. 4.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=axr2+bx-3(a<0). (1)若抛物线过点(4，-3)，求该抛物线的对称轴： (2)若，A-4,y),B(-2,y2),C(-1,y)在抛物线上，且满足y3<y,<y2,当抛物线对称轴为直线x=t时，求t 的取值范围 5.己知抛物线y=ax2+bx+b2-b(a≠0). (1)若b=2a,求抛物线的对称轴： (②)若a=1,且抛物线的对称轴在y轴右侧，点A(-3),B(-1,y2),C(3,y3)在抛物线上.若y,>y3>y2, 求b的取值范围. ●)类题点拨 针对不同题目形式，可以选择最高效的方法：1.公式法（最通用）·形式：y=x2+bx+c·技巧：对 称轴为×=-b/(2)。直接代入系数，这是含参问题最稳妥的方法。2.交点式（遇零点速算）·形式：y= a(仪-m)(x-n)·技巧：对称轴为×=(m+n)/2。已知抛物线与×轴交点时，比公式法快。3.顶点式（直 接读取)·形式：y=a(仪-h)2+k·技巧：对称轴为×=h。这也是配方的目标。 2/7 面学科网 www zxxk com 让教与学更高效 题型02比较函数值大小 6.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2mx-1经过点P(-1,2m-2). (1)求a的值： (2)已知点A(-m-1,少，)，B(2m+4,y2)在此抛物线上. ①当y,>y2时，直接写出m的取值范围； ②当-1<m<1时，比较乃，，-1的大小，并说明理由. 7.在平面直角坐标系xOy中，A(m-1,y),B(3,y2)是抛物线y=x2-2mx+m2-4上两点. (1)将y=x2-2mx+m2-4写成y=a(x-h)2+k的形式； (②)若m=0,比较y,的大小，并说明理由， 8.在平面直角坐标系x0y中，点(xo,yo)是抛物线y=ax2+bx+3(a<0)上任意一点. (1)若x,=-2,y。=3,求该抛物线的对称轴： (②)已知点(-1，)，(1，y),3,)在该抛物线上，若存在3<x<4,恰好使y=3.比较，2，y3的大小，并 说明理由. 9.在平面直角坐标系xOy中，点(2，n)在抛物线y=x2-(m+3)x+3m上，设抛物线的对称轴为直线x=t. (1)当n=3m时，求t的值； (2)点A(-1,y),B(t+1,y2)在抛物线上，若mn<0,比较片，的大小，并说明理由. 10.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2(a+1)x+3(a>0)的对称轴为直线x=t. (I)t=_(用含a的式子表示)； ②E知小（）在物线上若=出倒金： (3)已知点(-2，y),(1,y2, 4+二，y在抛物线上，比较，，的大小，并说明理由 ●类题点拨 题型一：明确对称轴，无参数直接用距离比较。题型二：对称轴含参用距离公式表达，分情况讨论。题 型三：已知函数值相等，求参利用对称性快速求解。题型四：无法直接比较，转化求解直接比大小转 化为解不等式。 3/7 丽学科网 www zxxk com 让教与学更高效 题型03求参数取值范围 11.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=x2-2x+t2-t-2. ()求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形G,点P(α，b)在图形G上. ①当t=2时，求b的取值范围： ②若b的取值范围为全体实数，直接写出符合题意的t的取值范围. 12.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=x2+bx+3经过点(2,3).点M为抛物线上任意一点，其横坐标为 m,过点M作MP∥x轴，点P的横坐标为-2m. (1)求b的值； (2)当线段MP与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； (3)过点P作PQ⊥x轴交抛物线y=x2+bx+3于点Q,点M在抛物线上运动的过程中，若线段PQ的长随m的 增大而增大，直接写出的取值范围. 13.在平面直角坐标系x0y中，抛物线解析式为y=x2-4mx+1. (1)用含m的式子表示抛物线的顶点坐标； (2)点A为(n,-2),点B为n+2,-2) ①当n=1时，若抛物线与线段AB有两个不同的交点，求m的取值范围； ②当n=m时，若抛物线与线段AB恰有一个交点，直接写出m的取值范围. 14.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=-x2+2mx. (I)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）； (2)将抛物线在y轴右侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G, ①过点H(h,0)作x轴的垂线，交图形G于点P,交直线y=mxm≠0)于点Q,已知点H从点O运动到点 D(2,0)的过程中，PQ的长随OH的长的增大而增大，求m的取值范围； ②若m=0,且点M(t,y1),N(t+n,y2)在图形G上，对任意的n≤t≤n+2,都有y2≥2y,,直接写出实数n 的取值范围 15.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的顶点坐标为h,1. (1)求b,c的值（用含a,h的式子表示）； (2)将抛物线在直线1：x=2h(h≠0)右侧的部分沿直线1翻折，其余部分保持不变，得到图形G.己知P(s,), Q(s+8,),当t>1时，对于t的每一个值，总存在s,使线段P9与图形G有两个不同的交点，求h的取值 范围； (3)M(2h-1,m)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上一点，在（2)的条件下，若m的最大值小于6，求a的取 值范围. 4/7 面学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ●)类题点拨 1.定轴判向：求出对称轴×=h(常含参如m,t),并确定开口方向。2.列不等式：根据函数值大小关 系，将条件转化为点到对称轴距离的不等式。3.求解讨论：解绝对值不等式，注意对称轴位置是否固定 题型04最值问题 16.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2-2a2x(a≠0)经过点A(-l,m和点B(3,n). (I)当a=1时，比较m,n的大小，并说明理由： (2)当-1≤x≤3时，y随x的增大而减小，且y的最大值与最小值的差为h,求的最小值. 17.己知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A-1,-5),B(1,-9). (I)求b,C的值 (2)求当-5≤x≤-3时，二次函数y=x2+bx+c的最大值. (3)现将该二次函数y=x2+bx+c的图象沿着x轴的正方向平移k(k>0)个单位长度得到新的二次函数图象， 当2≤x≤4时，新的二次函数有最小值，最小值为7，求平移后新的二次函数的表达式 18.己知二次函数y=-x2+6x-5 ()当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？ (②)当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值. 19.在平面直角坐标系x0y中，已知二次函数y=x2+bx+c. (1)当b=-2时， ①若c=4,求该函数最小值； ②若2≤x≤3，则此时x对应的函数值的最小值是5，求C的值； (2)当c=2b时，若对于任意的x满足b≤x≤b+2且此时x所对应的函数值的最小值是12，直接写出b的 值. 20.已知关于x的二次函数y,=x2+bx+c(实数b,c为常数)· (1)若二次函数的图象经过点(0,4)，对称轴为x=1,求此二次函数的表达式： (2)若b2-C=0,当b-3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值； (3)记关于x的二次函数y2=2x2+x+m,若在(1)的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y,求实数m的 最小值. 5/7 丽学科网 www zxxk com 让教与学更高效 ●)类题点拔 1.化标准式：先化为顶点式，确定开口和对称轴。2.定区间：明确×的取值范围。3.比距离（或分类）： 比较区间端点、顶点到对称轴的距离。·最小值：若顶点在区间内，>0时顶点最小；否则，靠近对称轴 的端点最小。·最大值：若顶点在区间内，a<0时顶点最大；否侧，远离对称轴的端点最大。4.算结果： 代入求值。 综合实战演练 模块三 1.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+1a>0)经过点A4,5. (I)用含a的式子表示b: (2)若a=2,点M(x,10),N(x2,10)(x2>x)在该抛物线上，求MN的长； (3)记抛物线与y轴的交点为B,点P(m,yp)在抛物线上，分别过点P作x轴、直线AB的垂线，交直线AB于 点C,Q,E是PO上一点，且PO=4PE,过点E作EF∥AB交PC于点F.已知当0<m≤a+时，EF的 2 长随m的增大而增大，求a的取值范围. 2.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2-2ax(a≠0). (①)若点A(1,-1)在抛物线上， ①求a的值； ②过点P(0,且与y轴垂直的直线交抛物线于E,F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值： (2)点B(1-2a,y),C-1y2是抛物线上的两点，且y,>y2·若抛物线在点B,C之间的部分（含点B,C) 上存在两点M(x,m),N(x2,n)(点M,N不重合)，使得m=n,求a的取值范围. 3.在平面直角坐标系x0y中，M(3-a,m,N(3a+2,n是抛物线y=ax2-3ax+1(a≠0)上两点. (1)当a=-1时，比较m,的大小： (2)当m<n时，记抛物线在点M,N之间的部分（含点M,N)为图形G,若在图形G上存在两点A、B (点A在点B左侧)，点P(p,q)沿图形G从点A运动到点B的过程中，9随P的增大而减小，求a的取值 范围. 4.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+1(a>0)经过点3,1). (I)求该抛物线的表达式（用含a的式子表示）： (2)过点(0,1)作y轴的垂线1，将抛物线y=ax2+bx+1(a>0)在直线1下方的部分沿直线1翻折，与抛物线的 其他部分组成的图形记为G,直线x=t与直线y=ax+1交于点M,与图形G交于点N(不与点M重合)，若 MN的长度随t的增大而减小，求所有满足题意的t的取值范围. 6/7 丽学科网 ww w zxxk com 让教与学更高效 5.在平面直角坐标系x0y中，点A(x,y),B(x2,y2是抛物线y=ax2-4ax+ca≠0)上两个不同的点. (I)当=y2=C时，求x+x2的值； (2)若对于a<x1<a+2,a+2<x2<a+3,都有y<y2,求a的取值范围. 6.在平面直角坐标系x0y中，M(3-2a,m),N(a+2,n是抛物线y=ax2-2axa≠0)上两点 (1)当a=-1时、比较m,n的大小，并说明理由： (2)当m<n时，记抛物线在点M,N之间的部分（含点M,N)为图形G,若在图形G上存在两点A、B(点 A在点B左侧)，点P(p,9)沿图形G从点A运动到点B的过程中，q随p的增大而增大，求a的取值范围. 7.在平面直角坐标系x0y中，己知抛物线y=ax2-2ax-2(a>0). (1)求该抛物线的对称轴： (2)点Ax,乃)和B(x2,y2)在该抛物线上，如果x=0,且八=y2,那么x2=-: (3)己知点P(m,0),过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=ax-2于点N,当线段MN的长随 m的增大而减小时，求m的取值范围. 8.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0)和点B(0,3a). (1)用含有a的式子表示b,并求抛物线的对称轴； (2)过点P(u,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M,交直线y=ax+3a于点N. ①若a=1,t=2,求MN的长； ②已知在点P从点D(a,O)运动到点E(a+3,O)的过程中，MN的长总是先减小后增大，求a的取值范围. 9.在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+2ax-a2+a(a>0)与y轴交于点C. (I)求抛物线的对称轴和点C的坐标（用含a的代数式表示）； (2)过点C作y轴的垂线1，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线I翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部 分的图象组成新的图形，记为图形G,己知点P(a,p)和点Q(-2-a,q)是图形G上的点.设t=p+9,过点 P作x轴的垂线交x轴于点M,当t随着OM的增大而增大时，求Q的取值范围. 10.在平面直角坐标系x0y中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0】 (1)若抛物线经过点(-2,4， ①求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）； ②已知A(x,y)和B(x2,y2)是抛物线上的两点.若a=1,当-2≤x≤0,1≤x2≤2时，则y-y2的最大值 是 (2)若抛物线经过点(2,1)，已知A(x,y)和B(2,2)是抛物线上的两点，对任意x,为，-2≤x,≤0， 1≤x2≤2，都有y-y2≥3，求a的取值范围. 7/7