专题03 函数（4大考点）（河南专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 函数专题二模试题汇编，涵盖函数基础、一次函数、反比例函数、二次函数四大考点，精选河南多地市二模真题，注重真实情境创设与综合应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|函数图像分析（光合作用氧气释放）、几何动点函数关系|结合生物、物理实验情境，考查图像解读能力| |填空|2题|一次函数性质、正比例函数定义|基础概念辨析，强调知识准确性| |解答|12题|一次函数实际应用（购票、生产安排）、反比例函数物理模型（杠杆原理）、二次函数新定义（变化率）|多考点综合，梯度设计合理，贴合河南二模命题趋势|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03函数 ☆4大考点概览 考点01函数基础知识 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 考点01 函数基础知识 1. (2026河南开封二模)光合作用，通常是指绿色植物（包括藻类）吸收光能，把二氧化碳和水合成富能 有机物，同时释放氧气的过程.小明通过实验探究了15℃和25℃环境下大豆苗光合作用氧气释放速度V (毫克/小时)与光照强度L(千勒克斯)之间的关系，并绘制了氧气释放速度V(毫克/小时)与光照强度L(千勒克 斯)之间的关系图象（如图所示），下列说法正确的是() ◆v(毫克/小时) 60 25℃ 40 15℃ 20 468:10 L/千勒克斯 -20 A.光照强度越大，大豆苗释放氧气的速度越快 B.当L=4时，两种温度环境下的大豆苗氧气释放速度相同 C.当L=8时，25℃环境下的大豆苗比15℃环境下的大豆苗3小时多释放30毫克氧气 D.当4<L≤10时，25C环境下的大豆苗的氧气释放速度比15℃环境下的快 2.(2026河南周口·二模)某物理实验兴趣小组对A、B两种液体进行加热实验.这两种液体在加热过程 中，其温度yC与加热时间xmin之间的函数关系如图1所示.为了解决“当两种液体的温度n相等时 的加热时间”，可以列方程进行解答.图2是甲、乙两位同学所列方程，则下列判断错误的是() 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y以℃ 65---------2A种液体 B种液体 n 动/min 图1 甲：45+45151=5+65.5t: 60 60 15 乙： 60 60 图2 A.15+45-15 可以表示两种液体温度相等时B种液体的温度 60 n-5 B. 65-5可以表示两种液体温度相等时A种液体加热所用的时间 60 65,5表示A种液体每分钟的温度变化量 60 60t或65-5 D.A、B两种液体加热至nC时的温度可用45-15( 60t来表示 3.(2025河南南阳二模)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发，沿线段AC向终点 C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线A-B-C向终点C匀速运动，P,Q两点同时到达点C,己知 点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接PQ.设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y,并绘制 成如图2所示的图象，且点E的坐标为8,0，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是() D a 8 图1 图2 A.点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B.线段AB的长度为10 2/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.a的值为5 D.点D的坐标为5,10 4.(2026河南商丘·二模)如图1，在△ABC中，动点P从点B出发沿折线BA→AC→CB匀速运动， 回到点B后停止.设点P运动的路程为x,线段BP的长为y,图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判 断错误的是() 42 M 4282 图1 图2 A.AB=AC B.∠A=90° C.若AP=5,则对应4个不同的x值 D.当△BCP的面积为4时，x=2或6V2 5.(2026河南·二模)如图1，在矩形ABCD中，动点P从点D出发，沿DA向点A运动，将PC绕点P顺 时针旋转60°，得到PE,连接EC.设线段DP的长度为X,△PCE的面积为y.当点P在AD上运动的过 程中，y与x的函数关系如图2所示，图象上最高点M的坐标为23,43？则矩形ABCD的面积为 () M 6 5 01234 图1 图2 A.12 B.42 C.3V3 D.4V3 考点02 一次函数 6.(2026河南·二模)已知一次函数y=kx-3中，y随x的增大而增大.请写出一个符合要求的k值： 3/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(2026河南商丘·二模)如图1，某兴趣小组取一根长40cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并 将其吊起来.在中点O的左侧且与O相距10c处挂一个重5N的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计 (质量忽略不计)并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态.已知弹簧测力计的拉力F(单位： N)与其到中点O的距离L(单位：cm)满足反比例关系. L(cm) 25 20 FN 15 10 5 x(cm) 0 234 x(cm) 图1 图2 图3 ()求F与L之间的函数解析式：不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为4cm.弹簧测力计的拉力FN是弹簧伸长的长度xcm的正比 例函数，如图2所示。 ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围： ②在图3中画出①中函数的图象.（省略列表，直接描点画图） 8.(2026河南周口·二模)若函数y=-X+m是正比例函数，则常数m的值为 9.(2026河南·二模)清明节期间，王先生的工作团队一起参加了洛阳牡丹节.他们计划先去王城公园赏 花，之后的行程大家有不同的意见，有人想去以道教文化为主题的雄奇山岳景区一一老君山，也有人想去 观看营造了盛唐氛围的沉浸式演出一一《唐宫乐宴》·王先生查询了这两个地方的票价后发现：若有3人 选择去老君山，5人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1660元；若有4人选择去老君山，4人选择去 观看《唐宫乐宴》，则总票价为1520元.（购票时均不能购买团体票） ()老君山和《唐宫乐宴》的票价分别是多少？ (2)若该团队又增加了2人，共10人出行，先一起去了票价为50元的牡丹文化节，后每人都在老君山和 《唐宫乐宴》中选择一处游玩，若去老君山的人数不多于去《唐宫乐宴》人数的一半，则他们团队在门票 上的总花费最少是多少？ 10.(2026河南·二模)冰糖葫芦是我国传统小吃，它种类丰富，常见的有经典的山楂款和创新的水果款。 某班级为了筹备新年晚会，准备购买一些冰糖葫芦.已知买3串山楂款冰糖葫芦和2串水果款冰糖葫芦共 需要27元，买5串山楂款冰糖葫芦和4串水果款冰糖葫芦共需要49元. 4/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ()求山楂款冰糖葫芦和水果款冰糖葫芦的单价. (2)该班级计划购买山楂款和水果款冰糖葫芦共50串，且山楂款冰糖葫芦的数量不超过水果款冰糖葫芦数 量的}，求该班级最少需要花费多少元 11. (2026河南商丘·二模)学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购 买雕刻刀.已知A型雕刻刀的单价比B型雕刻刀多5元，用1000元购买A型雕刻刀和用800元购买B型雕刻 刀的数量相同. (1)分别求A型、B型雕刻刀的单价： (②)学校准备购买A型和B型雕刻刀共50把，购买B型雕刻刀的数量不超过A型雕刻刀的 问购买多少把 A型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 12.(2026河南郑州二模)“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某 中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动，学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共15个小项 目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的2倍少3个. (1)“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ (2)“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是6分钟、8分钟（项目转场时间忽略不计），由 于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展10个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量 传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 13.(2026河南周口·二模)新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中， 它迎门而悬、地位显赫.两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺 寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成.某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天 能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱. 绿 青 水 山 多 墨 古 福 畫 (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 5/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 说明：一幅中 售价：1000元 堂画和两条对 对幅 a-280元/条 330元/条 /套 幅为一套 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同. ①求表中a的值： ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）· 若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得 最大利润？ 考点03 反比例函数 14. (2026河南·二模)在一次物理实验中，小华用一个固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变 电路中电流的大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值R,=22)亮度的实验（如图），己知串联电路中，电 U 流与电阻R，R间的关系为I= R+R,通过实验得出如下数据： R/2 a 3 6 I/A 3 2.4 2 b 5 4 2 1上- 0123456789R 结合函数图象，下列说法中不正确的是() A.固定电压U的值为12 B.I是关于R的反比例函数 C.a的值为2，b的值为1.5 D.I随R的增大而减小 15.(2026河南·二模)小军将两个含有30°角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，已 知三角板的顶点A恰好在反比例函数y=Kx>0的图象上，三角板的顶点B在X轴上，且B点的坐标为 (8,0). 6/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)求反比例函数的表达式和线段OA所在直线的表达式y=mx+nm≠0. 2)根据图象直接写出mx+n<k的解集， X (3)把△OAC沿X轴向右平移a个单位长度，对应得到△OAC,当反比例函数的图象经过△OA'C一边 的中点时，求a的值. 16.(2026河南·二模)如图1，取一根长150cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点O处并将其吊起 来.在点O左侧10Cm处挂一个物体，在点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态.改变 弹簧测力计与中点O的距离L(单位：Cm),弹簧测力计的示数F(单位：N)也随之变化，下表记录了 几组L和F的值， AF/N 120 100 80 60 40 20 0 123456icm 图1 图2 L/cm 。 2 F/N 80 40 20 (1)求出F关于L的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象： (2)己知杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即物体所受重力×物体到点O的距离=对弹簧测力计的拉 力×弹簧测力计到点O的距离，求点O左侧所挂物体所受的重力： (3)若使弹簧测力计的示数不超过5N,则L的取值范围为_， 17.(2026河南周口·二模)如图，矩形ABC0在平面直角坐标系中，点A-5,0,C0,6,反比例函数 6 图象L1对应的函数表达式为y=- (X<0),反比例函数图象L2对应的函数表达式为y=k(k≠0，X<0 X ),把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点. 716 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6 (1)若k=-12,则L2和L1之间（不含边界）有个优点： (2)若L2和L1之间（不含边界）有4个优点，求k的取值范围 18.(2026河南周口·二模)智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作.图1为某款智能机器人送餐时 的电路原理图，图中R为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值R大小可调），R为餐盘下的压力传感器，压力 传感器的阻值R(单位：2)随所受压力F(单位：N)变化的函数图象如图2所示，下列说法不正确的是 () R/ 50 40 30 R0 20 10 器 S 0 50100150200250F/N 图1 图2 信息窗 1.正常运行时，电路 中的R总=R。+R(触 发器电阻忽略不 计)，R总要求不低于 1202: 2.智能机器人送餐一 次的最大送餐量的压 力F为200N. A.当F=150N时，压力传感器阻值R<252 8/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B.压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小 C.当R=252时，压力传感器所受压力F>100N D.当智能机器人正常运行时，电阻箱阻值R,可以为1102 19.(2026河南周口·二模)如图，直尺的一边过原点O,与x轴的夹角为45°，另一边交y轴于点C.反 比例函数y=k(x>0)的图象交直尺的两边于点A2,a、Bb,4. X B 459 (1)求k和b的值； (2)求直尺的宽度. 考点04 二次函数 20. (2026河南·二模)在二次函数y=ax2+bx-3中，x与y的几组对应值如下所示 -1 0 0 -3 -3 3 2 432-1234 (1)求二次函数的表达式. (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象. (3)当二次函数y=ax2+bx-3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p,最小值为q,且 p-q=3,请直接写出m的值， X 1 0 3 9/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 0 -3 -4 -3 21. (2026河南·二模)如图，点A3,0和点B0,3是平面直角坐标系中的两个点. B A (1)若二次函数y=ax2-2ax+c经过A,B两点，请求出此二次函数的关系式和函数的最大值： (2)若将(1)中的二次函数图象向下平移n个单位长度后，与X轴交于C,D两点（点C在点D左侧）且 CD=2,求函数图象的平移距离n; (3)若二次函数 的图象经过点 0,、 , y=ax2-2ax+c 且当0≤X≤3时函数的最小值为-1'请直接写出。 2 的值 22. (2026河南商丘·二模)某兴趣小组利用二次函数的知识设计了一个计算程序，其程序框图如图1所 示，输入x的值分别为1、3时，输出y的值均为1. 开始 输入x 6 x>1? ￥是 y=-x2-2+4 y=ax +8x+c 43-2-101 123456 输出y 、结束 图1 图2 (1)求a和c的值； (2)图2是在平面直角坐标系中画出的关于X的函数图象. ①若恰有三个不同的x值输出的y值相同，求y的值： ②若在函数图象上有点M,N,点M的横坐标为m-3<m<0,点N的横坐标为m+2.5.对M,N之间 (含M,N两点)的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值之差为4时，直接写出m的取值范围. 23.(2026河南开封二模)已知抛物线y=-x2+bx+c(b,c为常数). (1)当b=4,c=-1时，求抛物线的顶点M的坐标； 10/6 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若抛物线的顶点M的坐标为m,m,当c的值最大时，求抛物线的解析式： (3)当c=2b+3时，若在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值的最大值为24，此时b和 c的值. 24.(2026河南周口·二模)消防教育进校园，消防安全记心间.为切实提升广大师生的自护自救能力， 某中学组织全体师生开展了一次消防演练.如图，O,A为某建筑物墙面上的两点，OB为水平地面，建立 平面直角坐标系，水枪喷口位于点B处时，水流恰好到达着火点A处.消防水枪喷出的水流可以看作是抛 y=aX-42+16的一部分，已知点A的高度0A=12米. 物线 消防安全 人人有责 。6 0 B x (1)求a的值. (2)求点B到墙面的距离. (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米，直接写出m的取 值范围 25.(2026河南周口·二模)南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧.位于南阳市北郊的中国月季园在一 年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测 量出拱底OA为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁 C处.据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，OA所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面 直角坐标系、（忽略拱门厚度） y/米 y/米 E B A G A x米 图1 图2 11/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)请求出拱门最高点距地面的高度： (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”DEFG(由三根钢管DE-EF-FG组成)、使E、F两点在 抛物线上，D、G两点在地面OA上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管： (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负 责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空 隙，仪仗队员的头不能触碰拱门)·直接写出d的取值范围， 26.(2026河南驻马店·二模)某护目眼镜的截面示意图如图所示，边框L1,L2,L3均呈抛物线形，L3的 最高点D到L,L,的交点B的距高BD子cm,L,与关于BD所在直线对称，L,分别与L,L,的交点之 间的距离AC=14cm.以L1,L2的顶点所在的直线为x轴，以BD所在的直线为y轴，建立平面直角坐标 3 系，已知抛物线L1的函数表达式为y= x+42. 16 D 0 (1)若鼻架P,Q之间的距离PQ=2cm,P,Q关于y轴对称，求点P的坐标 (2)求抛物线L3的函数表达式. 27.(2026河南安阳·二模)定义：我们把函数的“变化率”规定为研究函数增减快慢的量，对于函数 y=fx,任取两个不相等的自变量x,x,记Ax=x,-X,Ay=fx-fX,则A义叫做函数在X,到 △X X2的平均变化率. 特别地： 1.若对于任意X1,X2,平均变化率为定值，则称该函数为常变率函数，这个定值叫做该函数的固定变率； 例如正比例函数y=3x,平均变化率恒为3，故其固定变率为3： 2.若平均变化率随自变量变化，当x2无限趋近于x1(记x1=x)时， y的定值叫做函数在x处的瞬时变 △X 率，记作f'x: 3.瞬时变率的计算规则：可通过代数变形消去AXX,=X+Ax再直接去掉4X即可得到f'x 12/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)已知一次函数y=2x-5,记其表达式为f'x=2x-5 ①求该函数的固定变率f'(x: ②若一次函数gx=mx+n的固定变率为-3，且过点2,7，求gx的解析式. (2已知反比例函数fX=kk≠0，X>0 ①按定义推导该函数的瞬时变率f'x(用含k,x的式子表示)； 包老k=8点AQ,马在fx的图象上，过A作BX轴于B.点C在x轴正半轴上，且B0E2记直线 AC的斜率为kC当fa=kC时，求△ABC面积的最大值与最小值. (3)已知二次函数fx=aX2+bx+4a≠0？其图象与y轴交于点D ①按定义推导该二次函数的瞬时变率f'x(用含a,b,x的式子表示)： ②若a=1'b=-2过点D作直线L,使得直线L的斜率等于fx在点t,ft)处的瞬时变率，直线L与 fx的图象交于另一点E,点F为fx图象的顶点，连接EF,DF,记△的面积为S,求E的坐标： ③在②的条件下，点P在fx的图象上，且点P的横坐标为m,其瞬时变率f'm满足f'm≤6，求S关于 t的函数解析式，并求S的最大值与最小值及对应m的取值范围 fx即函数值，例如y=2x-5可表示为fX=2x-5即fx=y 13/6 专题03 函数 4大考点概览 考点01函数基础知识 考点02一次函数 考点03反比例函数 考点04二次函数 函数基础知识 考点01 1．（2026·河南开封·二模）光合作用，通常是指绿色植物(包括藻类)吸收光能，把二氧化碳和水合成富能有机物，同时释放氧气的过程．小明通过实验探究了和环境下大豆苗光合作用氧气释放速度 (毫克/小时)与光照强度 (千勒克斯)之间的关系，并绘制了氧气释放速度(毫克/小时)与光照强度(千勒克斯)之间的关系图象(如图所示)，下列说法正确的是（     ） A．光照强度越大，大豆苗释放氧气的速度越快 B．当时，两种温度环境下的大豆苗氧气释放速度相同 C．当时，环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放毫克氧气 D．当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快 【答案】C 【分析】本题需要从图像中获取准确数据、理解图像交点和上下位置关系的含义． 【详解】解：选项A：当时，环境下大豆苗释放氧气的速度不变，故A选项错误，不符合题意； 选项B：由题图知，当时，环境下大豆苗释放氧气的速度大于环境下大豆苗释放氧气的速度，故B选项错误，不符合题意； 选项C：由题图知，当时，环境下的大豆苗1小时释放氧气毫克，环境下的大豆苗1小时释放氧气毫克，所以环境下的大豆苗比环境下的大豆苗小时多释放的氧气量为毫克，故C选项正确，符合题意； 选项D：当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的慢，当时，两种温度环境下的大豆苗的氧气释放速度相同，当时，环境下的大豆苗的氧气释放速度比环境下的快，故D选项错误，不符合题意． 2．（2026·河南周口·二模）某物理实验兴趣小组对A、B两种液体进行加热实验．这两种液体在加热过程中，其温度与加热时间之间的函数关系如图1所示．为了解决“当两种液体的温度n相等时的加热时间t”，可以列方程进行解答．图2是甲、乙两位同学所列方程，则下列判断错误的是（   ） A．可以表示两种液体温度相等时B种液体的温度 B．可以表示两种液体温度相等时A种液体加热所用的时间 C．表示A种液体每分钟的温度变化量 D．A、B两种液体加热至时的温度可用或来表示 【答案】D 【分析】根据图1表示出A种液体和B种液体温度y与加热时间x之间的函数关系，再结合选项一一判断即可 【详解】解：根据图1可得： A种液体：初始温度为，后温度为，因此温度，其中是A每分钟温度变化量， B种液体：初始温度为，后温度为，因此温度，其中是B每分钟温度变化量， 选项A：温度相等时加热时间为，代入B的温度公式得，表述正确； 选项B：温度相等时温度为，对A种液体：，整理得，即A种液体的加热时间，表述正确； 选项C：是A种液体60分钟总温度变化除以时间，就是每分钟温度变化量，表述正确； 选项D：、仅表示两种液体温度的变化量，不是总温度，总温度需要加上初始温度，表述错误． 3．（2025·河南南阳·二模）如图1，在中，，点P从点A出发，沿线段向终点C匀速运动，点Q同时从点A出发，沿折线向终点C匀速运动，P，Q两点同时到达点C，已知点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，连接．设点P运动的路程为x，的面积为y，并绘制成如图2所示的图象，且点E的坐标为，请根据图1和图2的信息判断下列说法错误的是（    ） A．点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处 B．线段的长度为10 C．a的值为5 D．点D的坐标为 【答案】D 【分析】根据图象可知，，进而得到，设，勾股定理求出的值，进而求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：∵点E的坐标为， ∴，此时点与点重合， ∴， ∵点Q的运动速度为点P运动速度的2倍，且两个点同时出发，同时停止， ∴点的路程是点的2倍， ∴， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴当点运动到点时，点运动的路程为10，此时， 的面积最大为， 故点D的实际意义是点Q恰好运动到点B处，，； 综上，只有选项D错误． 4．（2026·河南商丘·二模）如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ） A． B． C．若，则对应4个不同的x值 D．当的面积为4时，或 【答案】D 【分析】选项A，根据点P在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B，当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C，分点P在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的x值，即可判断； 选项D，分点P在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点P在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点P在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即， 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， 即， ， ， 选项B正确，不符合题意； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点P在上运动，对应图2中点N右侧的线段， 过点A作于点H， ， ， 当点P在点H的左侧时，， ， 此时； 当点P在点H的右侧时，同理可得， ， 此时； 综上所述，x值有4个， 选项C正确，不符合题意； 当时， 过点P作于点M， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 当时， 过点P作于点N， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 综上所述，当的面积为4时，或， 选项D错误，符合题意． 【点睛】此类问题在解答时应着重理解两个图形之间的对应关系，包括对图形中转折点的含义的理解． 5．（2026·河南·二模）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿向点运动，将绕点顺时针旋转，得到，连接．设线段的长度为，的面积为．当点在上运动的过程中，与的函数关系如图2所示，图象上最高点的坐标为，则矩形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质可得，设，由题意可得，由勾股定理可得，证明为等边三角形，作于点，表示出，结合函数图象计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， 设， 由题意可得：， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得，， ∴为等边三角形， ∴， 如图，作于点， ， 则， ∴， ∴的面积为， 由函数图象可得，函数图象是一条开口向上的抛物线，随着的增大而增大， ∵图象上最高点的坐标为， ∴此时点运动到点，即， 将代入可得：， 解得：（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴矩形的面积为． 一次函数 考点02 6．（2026·河南·二模）已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大，据此写出一个满足条件的的值即可. 【详解】解： 一次函数中，随的增大而增大， ， 故可取. 7．（2026·河南商丘·二模）如图1，某兴趣小组取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧且与O相距处挂一个重的物体，在中点O右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下拉，使木杆在水平位置处于平衡状态．已知弹簧测力计的拉力F（单位：N）与其到中点O的距离L（单位：）满足反比例关系． (1)求F与L之间的函数解析式；不必写出L的取值范围 (2)在弹性限度内，弹簧伸长的最大长度为．弹簧测力计的拉力是弹簧伸长的长度的正比例函数，如图2所示． ①求L与x之间的函数解析式；并直接写出x的取值范围； ②在图3中画出①中函数的图象．（省略列表，直接描点画图） 【答案】(1) (2)①（）；②见解析 【分析】（1）根据题意，设，再将，代入求解即可； （2）①设F与x之间的解析式为，将图2中的点代入求解，得到，结合，可得，再根据及，即可求得x的取值范围； ②结合x的取值范围，用描点法画图即可． 【详解】（1）解：弹簧测力计的拉力F与其到中点O的距离L满足反比例关系 可设， 根据题意，得时，， ， ， 与L之间的函数解析式是． （2）解：①设F与x之间的解析式为， 由题图2得图象经过， ， ， 与x之间的解析式为， ， ， ， ， ， ， 又， ； ②画出图象如图所示． 8．（2026·河南周口·二模）若函数是正比例函数，则常数m的值为________． 【答案】0 【分析】根据正比例函数的定义可得常数项为0，一次项系数不为0，即可求解； 【详解】解：函数是正比例函数， 常数项，且一次项系数， ． 9．（2026·河南·二模）清明节期间，王先生的工作团队一起参加了洛阳牡丹节．他们计划先去王城公园赏花，之后的行程大家有不同的意见，有人想去以道教文化为主题的雄奇山岳景区——老君山，也有人想去观看营造了盛唐氛围的沉浸式演出——《唐宫乐宴》．王先生查询了这两个地方的票价后发现：若有3人选择去老君山，5人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1660元；若有4人选择去老君山，4人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1520元．（购票时均不能购买团体票） (1)老君山和《唐宫乐宴》的票价分别是多少？ (2)若该团队又增加了2人，共10人出行，先一起去了票价为50元的牡丹文化节，后每人都在老君山和《唐宫乐宴》中选择一处游玩，若去老君山的人数不多于去《唐宫乐宴》人数的一半，则他们团队在门票上的总花费最少是多少？ 【答案】(1)老君山的票价为120元，《唐宫乐宴》的票价为260元 (2)他们团队在门票上的总花费最少为2680元 【分析】（1）设老君山的票价为元，《唐宫乐宴》的票价为元，根据若有3人选择去老君山，5人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1660元；若有4人选择去老君山，4人选择去观看《唐宫乐宴》，则总票价为1520元，列出方程组，解方程组即可； （2）设有人去老君山，他们团队在门票上的总花费为元，根据去老君山的人数不多于去《唐宫乐宴》人数的一半，列出不等式，求出，再得出．3100，根据一次函数的增减性，进行求解即可． 【详解】（1）解：设老君山的票价为元，《唐宫乐宴》的票价为元， 由题意得， 解得， 答：老君山的票价为120元，《唐宫乐宴》的票价为260元． （2）解：设有人去老君山，他们团队在门票上的总花费为元， 由题意得， 解得． 3100． ， 随的增大而减小， 为整数， 当时，取最小值，最小值为（元）． 答：他们团队在门票上的总花费最少为2680元． 10．（2026·河南·二模）冰糖葫芦是我国传统小吃，它种类丰富，常见的有经典的山楂款和创新的水果款．某班级为了筹备新年晚会，准备购买一些冰糖葫芦．已知买3串山楂款冰糖葫芦和2串水果款冰糖葫芦共需要27元，买5串山楂款冰糖葫芦和4串水果款冰糖葫芦共需要49元． (1)求山楂款冰糖葫芦和水果款冰糖葫芦的单价． (2)该班级计划购买山楂款和水果款冰糖葫芦共50串，且山楂款冰糖葫芦的数量不超过水果款冰糖葫芦数量的，求该班级最少需要花费多少元． 【答案】(1)山楂款冰糖葫芦每串5元，水果款冰糖葫芦每串6元 (2)该班级至少需要花费280元 【分析】（1）设山楂款冰糖葫芦每串元，水果款冰糖葫芦每串元，根据两次购买糖葫芦的费用列出方程组，求出解； （2）设买山楂款冰糖葫芦串，则水果款冰糖葫芦（）串，由题意得出不等式，求出解集，再列出总费用的一次函数，然后结合一次函数的性质讨论最值即可． 【详解】（1）解：设山楂款冰糖葫芦每串元，水果款冰糖葫芦每串元．根据题意，得， 解得 答：山楂款冰糖葫芦每串5元，水果款冰糖葫芦每串6元； （2）解：设买山楂款冰糖葫芦串，则水果款冰糖葫芦（）串，由题意得， 解得． 设总花费为元，则 随的增大而减小， 当时，最小，（元）． 答：该班级至少需要花费280元． 11．（2026·河南商丘·二模）学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同． (1)分别求型、型雕刻刀的单价； (2)学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元 (2)购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设B型雕刻刀的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设花费为元，购买型雕刻刀把，则购买B型雕刻刀把，列出关于花费的一次函数，再根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设B型雕刻刀的单价是元， 则型雕刻刀的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元． （2）解：设花费为元，购买型雕刻刀把， 则购买B型雕刻刀把， 根据题意，得， 解得， 由（1）可知， ， 随的增大而增大， 当取最小整数30时，有最小值， 最少花费为（元）． 答：购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元． 12．（2026·河南郑州·二模）“九年磨一剑，六月试锋芒”，为助力中考，有效缓解学生的考前压力，某中学九年级学生开展了考前减压团体拓展活动，学校准备了“能量传输”类与“鱼跃龙门”类共个小项目，其中“能量传输”类项目比“鱼跃龙门”类项目数的倍少个． (1)“能量传输”类项目和“鱼跃龙门”类项目各有多少个？ (2)“能量传输”和“鱼跃龙门”两类项目的平均用时分别是分钟、分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际拓展活动时，两种类型的项目只能开展个，且“鱼跃龙门”类项目数多于“能量传输”类项目数的一半，活动应该怎么设计能使得所用的时间最少？ 【答案】(1)“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个 (2)开展个“能量传输”类项目，个“鱼跃龙门”类项目，能使得所用的时间最少，为分钟 【分析】（1）设“能量传输”类项目有个，则“鱼跃龙门”类项目有个，根据题意，可列方程，求解即可； （2）设开展“能量传输”类项目个，则开展“鱼跃龙门”类项目为个，活动总用时为分钟，根据题意可得，结合题干条件可求得，因此当时，取得最小值． 【详解】（1）解：设“能量传输”类项目有个，则“鱼跃龙门”类项目有个， 根据题意，可列方程：， 解得， （个）， 答：“能量传输”类项目有个，“鱼跃龙门”类项目有个． （2）解：设开展“能量传输”类项目个，则开展“鱼跃龙门”类项目为个，活动总用时为分钟， 根据题意可得， ， 解得， ∵为整数， ∴， ， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，取得最小值， （个）． 答：开展个“能量传输”类项目，个“鱼跃龙门”类项目，能使得所用的时间最少，为分钟． 13．（2026·河南周口·二模）新考法中堂画属于立轴类装裱形式，通常为竖幅大幅作品，悬挂于堂屋正中，它迎门而悬、地位显赫．两旁通常配以楹联或书画，称作“对幅”，由两条字数相等、内容相连、画心尺寸与装裱规格完全相同的书画作品组合而成．某工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，某厂一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱． (1)如何安排可使每天装裱的工艺品配套？ (2)某书画经销商计划购进这种中堂画、对幅进行销售，有关信息如下表： 原进价 零售价 成套 中堂画 a元/幅 750元/幅 售价：1000元/套 说明：一幅中堂画和两条对幅为一套 对幅 元/条 330元/条 已知用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同． ①求表中a的值； ②该经销商计划购进对幅的条数比中堂画的5倍还多30条，且中堂画和对幅的总数量不超过270幅（条）．若将一半的中堂画成套销售，其余中堂画、对幅以零售方式销售，请问怎样进货，才能在全部售完时获得最大利润？ 【答案】(1)装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人 (2)①表中a的值为500；②当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润 【分析】（1）设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人，根据“工艺品由一幅中堂画和两条对幅组成，一个工人每天能装裱对幅6条或中堂画10幅，现打算安排39名工人完成该工艺品装裱”列方程组求解即可； （2）①根据“用2200元购进的对幅条数与用5000元购进的中堂画数量相同”列方程求解即可； ②当时，，设购进中堂画m幅，则购进对幅条，根据题意，列不等式求出，设销售利润为w元，根据题意列出函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：设装裱中堂画的有x人，装裱对幅的有y人， 则依题意，可列二元一次方程组为：， 解得， 答：装裱中堂画的有9人，装裱对幅的有30人． （2）解：①根据题意，得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：表中a的值为500． ②当时，， 设购进中堂画m幅，则购进对幅条， 根据题意，得：， 解得， 设销售利润为w元， ， ， ∴当时，w有最大值，此时对幅， 答：当购进中堂画40幅，对幅230条时，才能在全部售完时获得最大利润． 反比例函数 考点03 14．（2026·河南·二模）在一次物理实验中，小华用一个固定电压的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电路中电流的大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图）．已知串联电路中，电流与电阻间的关系为，通过实验得出如下数据： ．．． 1 3 4 6 ．．． ．．． 4 3 2.4 2 ．．． 结合函数图象，下列说法中不正确的是（   ） A．固定电压的值为12 B．是关于的反比例函数 C．的值为的值为1.5 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】先由待定系数法求解关于的函数解析式，即可判断A，B；再由函数解析式结合表格判断C；最后由函数图象即可判断D． 【详解】解：由题意得，， 当，时，， ∴关于的函数解析式为，但不是反比例函数，故A正确，B不正确； 当时，，解得；当时，，故C正确； 由函数图象可得，随的增大而减小，故D正确． 15．（2026·河南·二模）小军将两个含有角的全等三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，已知三角板的顶点恰好在反比例函数的图象上，三角板的顶点在轴上，且点的坐标为． (1)求反比例函数的表达式和线段所在直线的表达式 ． (2)根据图象直接写出的解集． (3)把沿轴向右平移个单位长度，对应得到，当反比例函数的图象经过一边的中点时，求的值． 【答案】(1)反比例函数的解析式为直线方程为 (2) (3)的值为4或6 【分析】（1）先说明是等边三角形，结合点，可得，进而得出，再根据勾股定理得，可得点代入，可得反比例函数的解析式；然后将点代入得出答案即可； （2）结合直线与双曲线的交点，再根据双曲线在直线上方的部分对应的自变量得取值即为不等式的解集来解答； （3）分两种情况讨论：点是的中点，由（1）得可得，把代入，得．然后根据得出答案；点是的中点，作轴，由题意得，，再解直角三角形得，把代入，得，进而得出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：， 是等边三角形， ． ， ， ． 在中，由勾股定理得． 把点代入，得． 反比例函数的解析式为； 直线过原点， ． 直线过点， 把点代入，得 ； （2）解：由图象得，当时，， ∴的解集是：； （3）解：分两种情况讨论： ①如图1，点是的中点，由（1）得 ， 把代入， 得． ． ②如图2，点是的中点，过点作轴于点． 由题意得，， 在Rt中， ． 把代入， 得， ， 综上所述，的值为4或6． 16．（2026·河南·二模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆上的中点处并将其吊起来．在点左侧处挂一个物体，在点右侧用一个弹簧测力计向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧测力计与中点的距离（单位：），弹簧测力计的示数（单位：）也随之变化，下表记录了几组和的值． ．．． 1 2 4 ．．． ．．． 80 40 20 ．．． (1)求出关于的函数表达式（不写自变量取值范围），并在图2中直接画出函数图象； (2)已知杠杆原理：阻力阻力臂动力动力臂，即物体所受重力物体到点的距离对弹簧测力计的拉力弹簧测力计到点的距离，求点左侧所挂物体所受的重力； (3)若使弹簧测力计的示数不超过，则的取值范围为 ． 【答案】(1)，图像见解析 (2)点左侧所挂物体所受的重力为 (3) 【分析】（1）根据表格信息可得，进一步可得解析式，再描点画图即可； （2）设重力为，可得，进一步可得答案； （3）根据及木棒的中点为可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， 如图， （2）解：设重力为， ∴， 解得：． （3）解：∵弹簧测力计的示数不超过， ∴， 解得：， ∵为一根长的匀质木杆的中点， ∴， 综上：． 17．（2026·河南周口·二模）如图，矩形在平面直角坐标系中，点，，反比例函数图象对应的函数表达式为（），反比例函数图象对应的函数表达式为（，）．把矩形内部（不含边界）横、纵坐标均为整数的点称为优点． (1)若，则和之间（不含边界）有 个优点； (2)若和之间（不含边界）有个优点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）当时，先画出的图象，通过对比与的位置，数出两图象之间的优点个数． （2）先列出矩形内部（不含边界）的所有整数点，根据个优点的条件，分情况讨论这些点在两函数之间的位置，结合反比例函数的性质，列出不等式求解的取值范围． 【详解】（1）解：当时，经过点，，， 如图，画出的图象， 由图可知：和之间（不含边界）有4个优点． （2）解：矩形内部（不含边界）的整数点为： ， ， ， ． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 情况一：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 情况二：当优点为时， 此时需满足： 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， 当时，，即， ∴． 综上，的取值范围为或． 18．（2026·河南周口·二模）智能机器人可以辅助或替代酒店的很多工作．图1为某款智能机器人送餐时的电路原理图，图中为电阻箱（一种变阻器，电阻阻值大小可调），R为餐盘下的压力传感器，压力传感器的阻值R（单位：Ω）随所受压力F（单位：N）变化的函数图象如图2所示，下列说法不正确的是（    ） 信息窗 1．正常运行时，电路中的（触发器电阻忽略不计），要求不低于120Ω； 2．智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为200N． A．当时，压力传感器阻值 B．压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小 C．当时，压力传感器所受压力 D．当智能机器人正常运行时，电阻箱阻值可以为110Ω 【答案】C 【详解】解：A.由图得，当时，,所以压力传感器阻值正确，此选项正确，故不符合题意； B. 由图得，压力传感器阻值R随所受压力F的增大而减小，此选项正确，故不符合题意； C. 由图得，当时，压力传感器所受压力，此选项错误，故符合题意； D. 因为智能机器人送餐一次的最大送餐量的压力F为200N，所以由图得可以取，因为要求不低于120Ω，所以，即，此时，当智能机器人正常运行时，电阻箱阻值可以为110Ω，此选项正确，故不符合题意． 19．（2026·河南周口·二模）如图，直尺的一边过原点O，与x轴的夹角为，另一边交y轴于点C．反比例函数的图象交直尺的两边于点、． (1)求k和b的值； (2)求直尺的宽度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）过点A作轴于点D，根据点A的横坐标为2，得出，结合，得出，即可得，求出反比例函数解析式，再将点代入反比例函数解析式即可求解． （2）过点C作于点E，过点B作轴于点F，证明，得出，在中，解直角三角形求出，即可解答． 【详解】（1）解：过点A作轴于点D，如图， ， ∵点A的横坐标为2， ， ， ， ∴， ． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为． ∵点在该反比例函数的图象上， ， ； （2）解：过点C作于点E，过点B作轴于点F，如图． 由题意得， ， ， ， 在中，， ∴， 即直尺的宽度为． 二次函数 考点04 20．（2026·河南·二模）在二次函数中，与的几组对应值如下所示． (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． (3)当二次函数的自变量满足时，此函数的最大值为，最小值为，且，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)顶点坐标为，画图见解析； (3)的值或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先由，则二次函数的顶点坐标为，再通过画函数图象的方法即可画出函数图象； （）由二次函数，则对称轴为直线，然后分当时；当，即时；当，即时；当，即时，四种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将和分别代入中，得 ，解得：， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴二次函数的顶点坐标为， 列表： 描点，连线， ∴二次函数的图象如图所示： （3）解：由二次函数，则对称轴为直线， 当时，时，；时，， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，时， ；当时， ， ∴， 解得（舍去）； 当，即时，时，，当时， ， ∴， 解得或（舍去）； 当，即时，时，；当时，， 则， 解得或（舍去）； 综上所述：的值或． 21．（2026·河南·二模）如图，点和点是平面直角坐标系中的两个点． (1)若二次函数经过两点，请求出此二次函数的关系式和函数的最大值； (2)若将（1）中的二次函数图象向下平移个单位长度后，与轴交于，两点（点在点左侧）且，求函数图象的平移距离； (3)若二次函数的图象经过点，且当时函数的最小值为，请直接写出的值． 【答案】(1)解析式为，函数有最大值4 (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解平移后的解析式为，设平移后与轴交于，两点（点在点左侧），可得，，结合可得答案； （3）求解二次函数为，可得抛物线的对称轴为直线，再分两种情况求解即可. 【详解】（1）解：∵二次函数经过点和点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴当时，函数最大值为. （2）解：二次函数的图象向下平移个单位长度可得函数解析式为：， ∵设平移后与轴交于，两点（点在点左侧） ∴当，即， ∴，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， 解得：（经检验符合题意）. （3）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， 此时当时，函数取最小值， ∴， 解得：， 当时，而， ∴当时，当时函数取最小值， ∴， 解得：， 综上：的值为或. 22．（2026·河南商丘·二模）某兴趣小组利用二次函数的知识设计了一个计算程序，其程序框图如图1所示，输入的值分别为1、3时，输出的值均为1． (1)求和的值； (2)图2是在平面直角坐标系中画出的关于的函数图象． ①若恰有三个不同的值输出的值相同，求的值； ②若在函数图象上有点，点的横坐标为，点的横坐标为．对之间（含两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值之差为4时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①若恰有三个不同的值输出的值相同，的值是3或1；② 【分析】（1）根据待定系数法进行求解即可； （2）①根据函数图象可直接进行求解； ②由题意易得，然后可得点的横坐标的范围为，进而结合函数图象及题意可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把代入得： ， 解得：； （2）解：①由（1）可知：， ∴当时，函数有最大值，最大值为3， 则由函数图象可知：若恰有三个不同的值输出的值相同，的值是3或1； ②由可知：当时，函数有最大值，最大值为5， ∴由点的横坐标为可知：， 由点的横坐标为及可知：， 当时，即，此时点N在函数上，当，即，此时点N在函数上， 要使在之间（含两点）的最大值和最小值的差为4，则需满足最大值为5，最小值为1， ∴由函数图象可知：当时，即，满足题意； 综上所述：的取值范围为． 23．（2026·河南开封·二模）已知抛物线y＝ (b，c为常数)． (1)当，时，求抛物线的顶点M的坐标； (2)若抛物线的顶点M的坐标为，当c的值最大时，求抛物线的解析式； (3)当时，若在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值的最大值为，此时b和c的值． 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 (3)b的值为6，c的值为15，见详解 【分析】（1）先把 ，代入，然后把得到的抛物线一般式配成顶点式即可求解； （2）由顶点 的坐标可得c与b的二次函数解析式，根据二次函数的性质可得b，c的值，进而求出抛物线的解析式； （3）首先把 代入得到只含有系数b的解析式，然后根据对称轴的位置分类讨论即可． 【详解】（1）解：当，时，抛物线为， 所以抛物线的顶点M的坐标为； （2）解：∵， ∴顶点M的坐标为． ∵顶点M的坐标为， ∴　， ∴， ∴当时，c的值最大，最大值为 ，此时抛物线的解析式为； （3）解：∵， ∴． 由题意得，抛物线的对称轴为直线． 当 ，即时，对应的图象在对称轴的左侧， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随着x的增大而增大， ∴当时，函数值y最大，最大值为，解得， ∴，； 当 ，即时，对称轴在之间， ∴当时，y有最大值，为 ， ∴ ，解得或，均不符合，故舍去； 当 ，即时，对应的图象在对称轴的右侧． ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，函数值最大，最大值为， 解得(不合题意，舍去)； 综上所述，b的值为6，c的值为15． 24．（2026·河南周口·二模）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，某中学组织全体师生开展了一次消防演练．如图，O，A为某建筑物墙面上的两点，为水平地面，建立平面直角坐标系，水枪喷口位于点B处时，水流恰好到达着火点A处．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分，已知点A的高度米． (1)求a的值． (2)求点B到墙面的距离． (3)将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)点B到墙面的距离为12米 (3) 【分析】（1）待定系数法进行求解即可； （2）令，进行求解即可； （3）求出时的的值，根据平移规则，求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意，， 把代入，得， 解得； （2）解：由①知：， ∴当时，解得， ∴， ∴，即点B到墙面的距离为12米； （3）解：由题意，当时， 解得， ∵将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A点正上方2米， ∴． 25．（2026·河南周口·二模）南阳月季甲天下，“三顾之城”受追捧．位于南阳市北郊的中国月季园在一年一度的开园仪式上，搭建了一个抛物线形花墙拱门，负责人在设计时利用了数学中抛物线知识，他先测量出拱底为7.2米，然后在点B处横竖分别放两根长度为3.2米的木棒，末端恰好落在点A和拱门内壁C处．据此，他在纸上画出图形，如图1，以点O为原点，所在直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系、（忽略拱门厚度） (1)请求出拱门最高点距地面的高度； (2)若要在花墙拱门内搭建一个矩形“支架”（由三根钢管组成）、使E、F两点在抛物线上，D、G两点在地面上（如图2所示），请你计算一下最多需准备多少米该种钢管； (3)若身高都为1.8米的仪仗队穿过拱门，仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，头和肩的宽度差忽略不计，负责人准备将队形设计成每排6人，当每两人间的距离为d米时，队伍能安全通过拱门（每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门）．直接写出d的取值范围． 【答案】(1)拱门最高点距地面的高度为米 (2)最多需准备米该种钢管 (3) 【分析】（1）由题意可得，，利用待定系数法求出抛物线形花墙拱门的解析式为，再将抛物线解析式化为顶点式，即可得出结果； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为直线，设点的横坐标为，那么，则点的横坐标为，求出，，表示出，再由二次函数的性质即可得出结果； （3）令，则，求得，，再结合题意计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：米，米， ∴，米， ∴， 设抛物线形花墙拱门的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线形花墙拱门的解析式为， ∵， ∴拱门最高点距地面的高度为米； （2）解：由（1）可得抛物线的对称轴为直线， 设点的横坐标为，那么， 由题意可得，点和点关于对称轴对称， ∴点的横坐标为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∵， ∴当时，的值最大，为米， 故最多需准备米该种钢管； （3）解：令，则， 解得：，， ∴（米）， ∵仪仗队成员的平均肩宽为0.35米，负责人准备将队形设计成每排6人， ∴（米）， ∵当每两人间的距离为d米，每两人间必须有空隙，仪仗队员的头不能触碰拱门， ∴d的取值范围． 26．（2026·河南驻马店·二模）某护目眼镜的截面示意图如图所示，边框，，均呈抛物线形，的最高点D到，的交点B的距离，，关于所在直线对称，分别与，的交点之间的距离．以，的顶点所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知抛物线的函数表达式为． (1)若鼻架P，Q之间的距离，P，Q关于y轴对称，求点P的坐标． (2)求抛物线的函数表达式． 【答案】(1)点P的坐标为 (2) 【分析】（1）由题意可知，点P的横坐标为，然后代入抛物线的函数表达式即可求解； （2）由题意可知，点A的横坐标为，从而求得，，进而得到，然后利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：∵鼻架P，Q之间的距离，P，Q关于y轴对称， ∴点P的横坐标为， 在抛物线中，当时，， ∴点P的坐标为； （2）解：由题意得点A，C关于y轴对称，， ∴点A的横坐标为， ∵的函数表达式为， ∴当时，；当时，， ∴，， ∵， ∴， 设抛物线的函数表达式为， 代入点，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 27．（2026·河南安阳·二模）定义：我们把函数的“变化率”规定为研究函数增减快慢的量，对于函数，任取两个不相等的自变量，，记，，则叫做函数在到的平均变化率． 特别地： 1．若对于任意，，平均变化率为定值，则称该函数为常变率函数，这个定值叫做该函数的固定变率；例如正比例函数，平均变化率恒为3，故其固定变率为3； 2．若平均变化率随自变量变化，当无限趋近于（记）时，的定值叫做函数在x处的瞬时变率，记作； 3．瞬时变率的计算规则：可通过代数变形消去，再直接去掉，即可得到． (1)已知一次函数，记其表达式为 ①求该函数的固定变率； ②若一次函数的固定变率为，且过点，求的解析式． (2)已知反比例函数 ①按定义推导该函数的瞬时变率（用含k，x的式子表示）； ②若，点在的图象上，过A作轴于B，点C在x轴正半轴上，且，记直线的斜率为，当时，求面积的最大值与最小值． (3)已知二次函数，其图象与y轴交于点D ①按定义推导该二次函数的瞬时变率（用含a，b，x的式子表示）； ②若，，过点D作直线L，使得直线L的斜率等于在点处的瞬时变率，直线L与的图象交于另一点E，点F为图象的顶点，连接，，记的面积为S，求E的坐标； ③在②的条件下，点P在的图象上，且点P的横坐标为m，其瞬时变率满足，求S关于t的函数解析式，并求S的最大值与最小值及对应m的取值范围． [即函数值，例如可表示为，即] 【答案】(1)①2， ② (2)①，②最大值与最小值均为4 (3)①，②，③，最大值，最小值0，对应 【分析】本题考查了新定义的理解与应用，一次函数、反比例函数与二次函数的图象与性质． （1）①根据固定变率的定义求得一次函数的固定变率； ②根据固定变率的定义求出m的值，再将代入求得n的值，随即得出结果； （2）①根据瞬时变率的定义推导出反比例函数的瞬时变率即可； ②由得出，从而得到点A，B，C的坐标，分情况讨论点C坐标得到的面积，再根据，由推导得为唯一解，从而得到面积定值4，此时最大值和最大值均为4； （3）①根据瞬时变率的定义推导出二次函数的瞬时变率即可； ②将已知条件代入求出二次函数表达式，并化为顶点式，从而求出点D，点F的坐标和的解析式，进而求出直线L的解析式，联立两个解析式求得点E的坐标表达式； ③先求出的面积S表达式，再由得到，此时分情况讨论：当或时，当时，当时，当时，各个情况的S的表达式，随即得到S的最大值和最小值． 【详解】（1）解：①任取， ∴， ∴； ②由定义得，代入得， 解得，故． （2）解：①，， ，去掉得； ②，则，，，或 当时，， 令，解得， 当时，，无负解，舍去， ； 又，由推导得为唯一解，故面积定值4， ∴最大值和最小值均为4． （3）解：①，， ，去掉得，； ②，，则， ∴，，， 直线L的解析式：，联立， 解得或，故； ③， 由，得， 分情况讨论：当或时，， 当时，，无最大值； 当时，； 当时，； 综上，，最大值，最小值0，对应． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $