专题03 几何证明压轴题（3大题型，压轴题专项训练）2026年中考数学(重庆专用)

专题03 几何证明压轴题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 求最值 题型02 求取最值的条件 题型03 特定条件求值 模块三、综合实战演练 1、 求最值的解题方法： 1由于B‘在圆上运动、G在定直线上运动，B’G的最小值相当于“圆上一点到直线上一点的最小距离”. 2转化为：先确定圆与直线的相对位置关系，当B‘、圆心、G三点共线且垂直于直线时取到最小值 . 3. 结合具体数值计算，得到B’G的最小值. 二、求取最值的条件的解题方法： 1.处理动点轨迹与最值 · 瓜豆原理（主从联动）：主动点（D）在直线上动，且从动点（E）满足固定夹角（如∠DAE=60°）与定比（AD=AE），则从动点轨迹也为直线。最小值用“垂线段最短”求解。 · 折叠隐圆：沿PE折叠，对应点Q满足EQ=EA（定长），则Q轨迹是以E为圆心、EA为半径的圆。BQ最大值 = BE + EQ（共线时取到）。 2.中点/特殊点的辅助线技巧 · 见中点，想中位线或斜边中线：若遇多个中点（如F是DE中点，H是BG中点），连接两点得中位线；遇直角三角形有中点，连斜边中线得等边关系。 · 倍长中线：单中点问题，延长过中点的线段一倍，构造“8字型”全等，将分散条件集中。 三、特定条件求值的解题方法： 1. 定性先行：先判断三角形的形状（锐角/直角/钝角），再确定哪些边可能作腰。 2. 不重不漏：按点在线段上、延长线上、反向延长线三类讨论，避免漏解。 3. 设参列方程：结合特殊角（如30°）边比关系，设AG=2a将几何关系代数化。 4. 检验排除：对每种假设结果进行合理性检验（如边长正负、点位置等） 题型01 求最值 1．在菱形中，对角线与交于点O． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若E为延长线上一点，连接，将绕点D顺时针旋转至，连接，所在直线交延长线于点G，延长至点H，使得，I为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接，请直接写出的最大值． 2．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 3．如图，在正方形中，点P为延长线上一点，连接． (1)如图1，连接，若，，求的值； (2)如图2，点F在上，连接．作的平分线交于点E，连接、，若，且平分．求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q为的中点，点M为平面内一动点，且，连接，以为边长作等边，若，直接写出的最小值． 4．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到△，连接，以为斜边向右作等腰直角三角，连接，求的最小值． 5．如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP． (1)如图1，连接PD，若∠PDC＝60°，AD＝4，求tan∠APB的值； (2)如图2，点F在DC上，连接AF．作∠APB的平分线PE交AF于点E，连接DE、CE，若∠APB＝60°，PA十PC＝PE．求证：DE平分∠ADF； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q为AP的中点，点M为平面内一动点，且AQ＝MQ，连接PM，以PM为边长作等边△PMM'，若BP＝2，直接写出B M'的最小值． 1“遇翻折，找隐圆”：翻折中对应点到折痕距离相等，Q到T距离固定→T轨迹是圆。 2 “三动点化两动点”：先固定P使BQ最小，将“双动点最值”降维为“单动点最值”。 3“三点共线求最值”：圆外一点到圆上点的最值问题，连接圆心与定点并延长是关键。 题型02 求取最值的条件 6．在中，，点在边上． (1)如图1，，点E在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； (2)如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，若，，请用等式表示线段和的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．M为直线AB上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最大值时，请直接写出的面积． 7．在中，，，点是平面内一点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，． (1)如图1，点在的内部，连接，点恰好在上，若，求的度数； (2)如图2，点在的上方，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； (3)如图3，连接，，将线段沿所在直线翻折至所在平面内得到线段，点为点的对应点，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 8．在中，为上一点，将线段绕点沿逆时针旋转一定角度得到．连接． (1)如图1，若，，，求的面积． (2)如图2，将线段绕点沿顺时针方向旋转一定角度得到，连接．若为线段的中点，，求证：． (3)如图3，在（1）问的条件下，为线段上一点，将沿翻折得到，取的中点，连接，．当取得最小值时，直接写出的值． 9．如图，已知在中，，点E在直线上，连接．过点C作于点D，交于点E (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最小值时，直接写出此时的值． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上一动点． (1)如图①，若BC＝，∠CAD＝15°，求BD的长； (2)如图②，D是BC边的中点，E是BA延长线上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，过点B作BG⊥AF交FA延长线于点G，连接DG．请猜想BG、CF、DG的关系，并证明你的结论； (3)如图③，若AB＝，M是△ABC内部一点，当CM＋AM＋BM取得最小值时，请直接写出△ABM的面积． 1. 突破惯性思维：不要死磕一种辅助线。2从“全等”、“相似”、“旋转构造”、“中点联想”这几个维度切换思路。 2. 复杂计算要敢算：压轴题计算量通常较大，涉及根号、分式等。平时训练要提升含参计算和精确作图的能力，否则会在第三步因算错而前功尽弃。 3. 动态问题“动中取静”：对于轨迹问题，优先判断是直线型（利用瓜豆或定角）还是圆弧型（利用定长或定弦定角）。对于最值问题，记住 “将军饮马”（和最小）、“垂线段最短”（直线型）、“三点共线”（圆外点） 三大模型。 题型03 特定条件求值 11．如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 12．如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 13．如图，在中，，D为直线上一点（不与A、C重合），将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若D在边上，，，求的长； (2)如图2，若D在边上，连接，延长交于F，求证：； (3)如图3，若D在的延长线上，连接，延长交于F，M为射线上一点，连接，使得，连接、，当为直角三角形时，请直接写出此时的值． 14．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 15．在中，，，点是边上一点，点在直线上运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点落在直线上． (1)如图1，点分别在边上，若，连接，，，求的长度； (2)如图2，点、分别在边、上，作交于点，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，点在射线（不含点）上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 1.“遇分散线段，想中间量”：直接连接CG和DE困难时，选择BD作为“跳板”。 2.延长造中位”：当图中有平行趋势时，延长相交可构造中位线，实现线段翻倍转化。 11．如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 12．如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 13．如图，在中，，D为直线上一点（不与A、C重合），将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若D在边上，，，求的长； (2)如图2，若D在边上，连接，延长交于F，求证：； (3)如图3，若D在的延长线上，连接，延长交于F，M为射线上一点，连接，使得，连接、，当为直角三角形时，请直接写出此时的值． 14．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 15．在中，，，点是边上一点，点在直线上运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点落在直线上． (1)如图1，点分别在边上，若，连接，，，求的长度； (2)如图2，点、分别在边、上，作交于点，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，点在射线（不含点）上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 几何证明压轴题 目 录 模块一、解题方法总述 模块二、压轴题型专练 题型01 求最值 题型02 求取最值的条件 题型03 特定条件求值 模块三、综合实战演练 1、 求最值的解题方法： 1由于B‘在圆上运动、G在定直线上运动，B’G的最小值相当于“圆上一点到直线上一点的最小距离”. 2转化为：先确定圆与直线的相对位置关系，当B‘、圆心、G三点共线且垂直于直线时取到最小值 . 3. 结合具体数值计算，得到B’G的最小值. 二、求取最值的条件的解题方法： 1.处理动点轨迹与最值 · 瓜豆原理（主从联动）：主动点（D）在直线上动，且从动点（E）满足固定夹角（如∠DAE=60°）与定比（AD=AE），则从动点轨迹也为直线。最小值用“垂线段最短”求解。 · 折叠隐圆：沿PE折叠，对应点Q满足EQ=EA（定长），则Q轨迹是以E为圆心、EA为半径的圆。BQ最大值 = BE + EQ（共线时取到）。 2.中点/特殊点的辅助线技巧 · 见中点，想中位线或斜边中线：若遇多个中点（如F是DE中点，H是BG中点），连接两点得中位线；遇直角三角形有中点，连斜边中线得等边关系。 · 倍长中线：单中点问题，延长过中点的线段一倍，构造“8字型”全等，将分散条件集中。 三、特定条件求值的解题方法： 1. 定性先行：先判断三角形的形状（锐角/直角/钝角），再确定哪些边可能作腰。 2. 不重不漏：按点在线段上、延长线上、反向延长线三类讨论，避免漏解。 3. 设参列方程：结合特殊角（如30°）边比关系，设AG=2a将几何关系代数化。 4. 检验排除：对每种假设结果进行合理性检验（如边长正负、点位置等） 题型01 求最值 1．在菱形中，对角线与交于点O． (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若E为延长线上一点，连接，将绕点D顺时针旋转至，连接，所在直线交延长线于点G，延长至点H，使得，I为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1)24 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； （2）由旋转得到，，又菱形的性质得到，，，进而得到．连接，可证得，得到，，由，，得到，再证，从而有，得到，再在菱形中，求得，即可得证结论； （3）由勾股定理得，根据，可求出，根据，且的值随着的值增大而增大，得到当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值．过点B作于M，作于点N，由菱形的面积可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分和， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴． （3）解：∵在菱形中，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∵，且的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值． 过点B作于M，作于点N， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴当有最小值时，有最小值， ∵由垂线段最短可知， ∴当点P与点N重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 2．已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点． (1)如图，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． (3)如图3，当时，过点作，垂足为点，以为一边构造如图正方形，连接，当时，直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）连接，由题意得：，进而得出，得到，证明是中点． （2）通过作辅助线构造，再结合得出线段间的数量关系． （3）先求出动点的运动轨迹是的角平分线，再利用正方形的性质和对称，将转化为两点间线段，再根据勾股定理求最小值． 【详解】（1）证明：连接，由题意得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴点是的中点； （2） 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵G是的中点， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 在中，，， ， 正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 动点的运动轨迹是的角平分线， 作点关于的对称点，则点一定在上， 连接，交于点， ，即的最小值就是， 过点作垂直于，交的延长线于点， 四边形是矩形， 四边形是正方形， ， ∴，即的最小值是． 【点睛】本题考查了三角形全等，平行的性质，等腰三角形的性质及判定，正方形的性质，以及利用几何变换求线段最值等知识．解题的关键是根据已知条件合理构造全等，利用其性质进行线段关系的推导，对于求线段和最小值问题，要运用对称等方法转化． 3．如图，在正方形中，点P为延长线上一点，连接． (1)如图1，连接，若，，求的值； (2)如图2，点F在上，连接．作的平分线交于点E，连接、，若，且平分．求证： ； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q为的中点，点M为平面内一动点，且，连接，以为边长作等边，若，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见详解 (3)的最小值为－2 【分析】(1) 设，则，根据，求得x，再利用计算即可． (2) 如图2，过点E作于点N，，交的延长线于点H，先利用角平分线的性质和直角三角形的性质得出，证明，利用证明，得出，最后利用等量代换得出． (3) 如图3，以边作等边三角形，连接，，交于点O，确定点M在以点Q为圆心，以为半径的圆上，确定点N、M、Q在一线时，最短计算即可． 【详解】（1）解：如图1，设，则， ∵四边形正方形，，    ∴，， ∵ ∴， 解得， ． （2）如图2，过点E作于点N，，交的延长线于点H，    ∵平分，，，， ∴，， ∴，，，， ∴， ， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是正方形 ∴，且 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， 故． （3）如图3，以边作等边三角形，连接，，交于点O，    ∵，，， ∴，， ∵Q是的中点 ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴，，， ， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴点M在以点Q为圆心，以为半径的圆上， ∴点N、M、Q在一线时，最短，此时， 故的最小值为 【点睛】本题考查了正方形的性质，圆与三角形的综合问题，三角形的全等和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，菱形的判定以及勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．如图，已知在直角中，，为边上一点，连接，过作，交边于点． (1)如图1，若，，，求； (2)如图2，作的角平分线交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，为边的中点，为边上一个动点，连接，将沿翻折，得到△，连接，以为斜边向右作等腰直角三角，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点作于点，连接．想办法求出，可得结论； （2）如图2中，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，，推出，推出是等腰直角三角形，可得结论； （3）如图3中，连接，以，为边构造矩形，连接，．证明四边形是正方形，再证明，推出，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，连接． ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：如图2中，过点作交的延长线于点． ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； （3）解：如图3中，连接，以，为边构造矩形，连接，． 由（1）可知，，， 是的中点， ，， ， 四边形是正方形， ，，， ，，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 5．如图，在正方形ABCD中，点P为CB延长线上一点，连接AP． (1)如图1，连接PD，若∠PDC＝60°，AD＝4，求tan∠APB的值； (2)如图2，点F在DC上，连接AF．作∠APB的平分线PE交AF于点E，连接DE、CE，若∠APB＝60°，PA十PC＝PE．求证：DE平分∠ADF； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q为AP的中点，点M为平面内一动点，且AQ＝MQ，连接PM，以PM为边长作等边△PMM'，若BP＝2，直接写出B M'的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】(1) 设PB=x，则PC=4+x，根据tan60°=，求得x，再利用tan∠APB=计算即可． (2) 如图2，过点E作EN⊥BC于点N，EH⊥PA，交PA的延长线于点H，先证明△AHE≌△CNE，再证明△ADE≌△CDE即可． (3) 如图3，以BP为边作等边三角形PBN，连接NM，NQ，NQ交BP于点O，确定点M在以点Q为圆心，以AQ=2为半径的圆上，确定点N、M、Q在一线时，MN最短计算即可． 【详解】（1）如图1，设PB=x，则PC=4+x， ∵四边形ABCD是正方形，AD=4， ∴∠ABP=∠DCB=90°，AB=BC=CD=4， ∴tan60°=， ∴， 解得x=， ∴tan∠APB==． （2）如图2，过点E作EN⊥BC于点N，EH⊥PA，交PA的延长线于点H， ∵PE平分∠APB，∠APB=60°，EN⊥BC，EH⊥PA， ∴∠HPE=∠CPE =30°，EN=EH， ∴PE=2EN，PN=EN，PH=2EH，PH=EH， ∴PE=2EN，PN=PH=， ∴PN+PH=， ∵PA十PC＝PE， ∴PA+PC=PN+PH， ∴PA+PN+NC=PN+PA+AH， ∴NC=AH， ∴△AHE≌△CNE， ∴AE=EC， ∵AD=DC，DE=DE， ∴△ADE≌△CDE， ∴∠ADE=∠CDE， 故DE平分∠ADF． （3）如图3，以BP为边作等边三角形PBN，连接NM，NQ，NQ交BP于点O， ∵∠APB=60°，∠ABP=90°，PB=2， ∴∠PAB=30°，AP=4， ∵Q是AP的中点， ∴PQ=QA=QB=PB=2， ∵△PBN是等边三角形， ∴PN=BN=PB， ∴PQ=PN=NB=BQ， ∴四边形PNBQ是菱形， ∴QN⊥PB，PO=OB=1，QO=ON， ∴QO=， ∴QN=2QO=， ∵∠BPN=∠=60°， ∴∠MPN=∠， ∵MP=，BP=PN， ∴△PNM≌△， ∴MN=， ∵AQ=QM=QB=QP， ∴点M在以点Q为圆心，以AQ=2为半径的圆上， ∴点N、M、Q在一线时，MN最短，此时MN=QN-QM=-2， 故的最小值为-2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角函数，三角形的全等和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质和三角函数是解题的关键． 1“遇翻折，找隐圆”：翻折中对应点到折痕距离相等，Q到T距离固定→T轨迹是圆。 2 “三动点化两动点”：先固定P使BQ最小，将“双动点最值”降维为“单动点最值”。 3“三点共线求最值”：圆外一点到圆上点的最值问题，连接圆心与定点并延长是关键。 题型02 求取最值的条件 6．在中，，点在边上． (1)如图1，，点E在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； (2)如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，若，，请用等式表示线段和的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．M为直线AB上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见详解 (3) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，得到，三线合一，得到，，进而推出平分，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）延长使得，连接，，先证明，得出是等边三角形，再利用三角形外角的定义及角的和差关系得出，证明出，从而得到是等边三角形，根据解直角三角形和等腰三角形三线合一的性质即可得证结论； （3）先确定出点的运动轨迹，得出取得最小值的情况即时，再根据沿直线翻折至与在同一平面内的得出点的运动轨迹，从而得到的最大值，过点作，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰直角三角形的性质求得相关线段的值，随即得出最终结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：如图，延长使得，连接，， ∵点为中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， 即． （3）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵为上一动点，绕点逆时针旋转得， 如图，过点作，将绕点逆时针旋转得，与交点， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 当点与重合时，将绕点逆时针旋转得，连接，与交点，与交点， ∵，，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与的夹角恒为，与的夹角恒为， ∴点的轨迹为定直线， 当时，的值最小，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵为直线上的动点，沿翻折得， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 当，，三点共线时，有最大值， ∴， 在中，， ∴， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， 解得， ∴． 7．在中，，，点是平面内一点，连接，将点绕点顺时针旋转得到点，连接，． (1)如图1，点在的内部，连接，点恰好在上，若，求的度数； (2)如图2，点在的上方，连接，，点恰好在上，延长交于点，点是的中点，连接，求证：； (3)如图3，连接，，将线段沿所在直线翻折至所在平面内得到线段，点为点的对应点，连接，当取得最大值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，再由等腰直角三角形的性质及三角形外角的性质即可求解； （2）延长至点H，使得，连接，得出为等腰直角三角形，确定，再由相似三角形的判定和性质得出，，，利用全等三角形的判定和性质得出，，结合图形利用勾股定理即可求解； （3）令点F、G分别为的中点，过点F作的垂线交的延长线于点H，交于点I，得出为等腰直角三角形，为的中位线，然后确定主动点E的运动轨迹是以为直径的上，从动点D的运动轨迹是以为直径的上，根据轴对称的性质得到点M的运动轨迹在以为直径的上，，然后利用三角形中位线的性质及勾股定理得出，确定当B、Q、M三点共线时，取得最大值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知和是等腰直角三角形． ∴． ∵， ∴， ∵∠DAB＝∠BAC﹣∠DAE﹣∠EAC＝90°﹣45°﹣22.5°＝22.5°． （2）证明：延长至点H，使得，连接，则为等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴． 又∵． ∴． ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴． ∴． （3）解：如图，令点F、G分别为的中点，过点F作的垂线交的延长线于点H，交于点I， 则为等腰直角三角形． ∵为的中位线， ∴． 根据题意，，由定弦定角辅助圆模型可知主动点E的运动轨迹是以为直径的上，因此从动点D的运动轨迹是以为直径的上， 由轴对称的性质得点D关于的对称点M的运动轨迹在以为直径的上， ∴． ∴为的中位线， ∴， 由平行线分线段成比例可得F、Q两点分别是线段的三等分点，则． ∴， 在中，， 则． 当B、Q、M三点共线时，取得最大值， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查旋转和轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例、勾股定理解三角形、圆周角定理及动点轨迹问题等，理解题意，结合动点运动得出动点的运动轨迹是解题关键． 8．在中，为上一点，将线段绕点沿逆时针旋转一定角度得到．连接． (1)如图1，若，，，求的面积． (2)如图2，将线段绕点沿顺时针方向旋转一定角度得到，连接．若为线段的中点，，求证：． (3)如图3，在（1）问的条件下，为线段上一点，将沿翻折得到，取的中点，连接，．当取得最小值时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用，，得出，再求得，由旋转知，得，过作于，在中，利用，求出和，即可求解； （2）要证明，可通过构造全等三角形，将与建立联系．已知是中点，考虑倍长中线法构造全等三角形，再结合角度关系证明三角形全等； （3）取中点，连接，利用中位线得，得出，由点为定点，可知点的运动轨迹为过点且的直线上部分，作点关于直线的对称点，连接， 则，则，当且仅当、、依次共线时取得最小值，此时，延长交于点，交于点，连接，设交于，延长交于，由翻折得出，证明四边形是矩形，四边形是矩形，得出，，，再证明，得出，证明，得出，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转知， ∴， 过作于， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长到，使，连接， ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：如图，取中点，连接， ∵为中点， ∴， 由翻折得， ∴， 由点为定点，可知点的运动轨迹为过点且的直线上部分， 如图，作点关于直线的对称点，连接， 则， ∴，当且仅当、、依次共线时取得最小值， 此时，如图，延长交于点，交于点，连接，设交于，延长交于， 由翻折知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 由对称可知，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，为中点， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理，翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、中位线、矩形的判定与性质，解题关键是利用倍长中线构造全等三角形，通过角度关系的转化得到证明三角形全等的条件以及利用相似三角形求出线段比值． 9．如图，已知在中，，点E在直线上，连接．过点C作于点D，交于点E (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段、之间的数量关系，并证明； (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最小值时，直接写出此时的值． 【答案】(1)3 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得到； （3）由，设，则，，取的中点O，连接，，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据是的中位线，得到，，故当点O、C、P三点共线且点P在O、C之间时，取最小值，此时，画出图形，延长和交于点D，由证明，得到，从而得到，，，设，则，由折叠得到，运用勾股定理得到，从而列出方程，解出x，即，从而求出，从而得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2），理由如下： 由（1）得：， ∵，， ∴，， 又∵，即， ∴， 过点E作交的延长线于点H， 则，， 在与中， ， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）∵在中，， ∴， 设，则，， 取的中点O，连接，，则， 由折叠可知：，， ∵点P为的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴当点O、C、P三点共线且点P在O、C之间时，取最小值， 此时， 此时，如下图所示，延长和交于点D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠可知：， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴． 即当取最小值时，的值为． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，三角形的中位线，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，折叠的性质，综合性非常大，正确作出辅助线把握图形的变化规律是解题的关键． 10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC边上一动点． (1)如图①，若BC＝，∠CAD＝15°，求BD的长； (2)如图②，D是BC边的中点，E是BA延长线上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，过点B作BG⊥AF交FA延长线于点G，连接DG．请猜想BG、CF、DG的关系，并证明你的结论； (3)如图③，若AB＝，M是△ABC内部一点，当CM＋AM＋BM取得最小值时，请直接写出△ABM的面积． 【答案】(1)1； (2)CF+BGFG．证明见解析部分； (3)． 【分析】（1）如图①中，过点D作DE⊥AC于点E，在AC上取一点F，使得DF＝AF，连接DF．设EC＝ED＝m，则CDm，构建方程求出m即可； （2）结论：CF+BGFG．如图②中，连接FD，延长FD到T，使得DT＝DF．利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的判定和性质解决问题即可； （3）如图③中，将△ABM绕点B逆时针旋转90°得到△RBQ，连接MQ，CR，过点C作CL⊥RB交RB的延长线于点L．由旋转的性质可知，AM＝RQ，BM＝BQ，AB＝BR＝AC，∠ABR＝∠MBQ＝90°，推出MQBM，可得AM+MCBM＝CM+MQ+QR≥CR，解直角三角形，求出CR，当AM+CMBM的取得最小值时C，M．Q．R共线，过点B作BJ⊥CR于点J．求出BJ，RQ的值，可得结论． 【详解】（1）解：如图①中，过点D作DE⊥AC于点E，在AC上取一点F，使得DF＝AF，连接DF． ∵∠CAB＝90°，AC＝AB，BC＝2， ∴AC＝ABBC，∠C＝∠B＝45°， ∵DE⊥AC， ∴∠C＝∠CDE＝45°， ∴EC＝ED， 设EC＝ED＝m，则CDm， ∵AF＝DF， ∴∠FAD＝∠FDA＝15°， ∴∠EFD＝∠FAD+∠FDA＝30°， ∴DF＝AF＝2DE＝2m，EFDEm， ∴mm+2m， ∴m， ∴CDDE1， ∴BD＝BC﹣CD＝2（1）1； （2）结论：CF+BGDG． 理由：如图②中，连接FD，延长FD到T，使得DT＝DF． ∵AF⊥EC，BG⊥FG， ∴∠AFC＝∠AGB＝90°， ∴∠AFC+∠AGB＝180°， ∴CF∥GT， ∴∠CFD＝∠T， ∵∠FDC＝∠TDB，DC＝DB， ∴△DFC≌△DTB（AAS）， ∴CF＝BT，DF＝DT， ∵∠CAB＝∠CFA＝∠AGB＝90°， ∴∠CAF+∠GAB＝90°，∠GAB+∠ABG＝90°， ∴∠CAF＝∠ABG， ∵AC＝AB， ∴△CFA≌△AGB（AAS）， ∴AF＝BG．CF＝AG， ∴AG＝BT， ∴AF+AG＝BG+BT， 即GF＝GT， ∴∠GFD＝∠T＝45°，GD⊥FT， ∴∠DFG＝∠DGF＝45°， ∴FGDG， ∴CF+BG＝AG+AF＝FGDG． 即CF+BGDG． （3）如图③中，将△ABM绕点B逆时针旋转90°得到△RBQ，连接MQ，CR，过点C作CL⊥RB交RB的延长线于点L． 由旋转的性质可知，AM＝RQ，BM＝BQ，AB＝BR＝AC，∠ABR＝∠MBQ＝90°， ∴MQBM， ∴AM+MCBM＝CM+MQ+QR， ∵CM+MQ+QR≥CR， ∵CL⊥RL， ∴∠L＝∠CAB＝∠AB＝90°， ∴四边形ABLC是矩形， ∵AB＝AC， ∴四边形ABLC是正方形， ∴CL＝BL＝AB， ∴RL＝2， ∴CR， ∴AM+CMBM， ∴AM+CMBM的最小值为， 此时C，M，Q，R共线，过点B作BJ⊥CR于点J． ∵S△BCR•BR•CL•CR•BJ， ∴BJ， ∴RJ， ∵△BMQ是等腰直角三角形，BJ⊥MQ， ∴MJ＝JQ＝BJ， ∴QR＝JR﹣IQ， ∴S△ABM＝S△BRQ•QR•BJ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质与判定，图形的旋转等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考压轴题． 1. 突破惯性思维：不要死磕一种辅助线。2从“全等”、“相似”、“旋转构造”、“中点联想”这几个维度切换思路。 2. 复杂计算要敢算：压轴题计算量通常较大，涉及根号、分式等。平时训练要提升含参计算和精确作图的能力，否则会在第三步因算错而前功尽弃。 3. 动态问题“动中取静”：对于轨迹问题，优先判断是直线型（利用瓜豆或定角）还是圆弧型（利用定长或定弦定角）。对于最值问题，记住 “将军饮马”（和最小）、“垂线段最短”（直线型）、“三点共线”（圆外点） 三大模型。 题型03 特定条件求值 11．如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论； （2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可； （3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点D为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①若，过Q作于G，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， 即； ②若，则， 解得：， 即； ③若，则， ∵，此种情况舍去； 综上：线段AP的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解． 12．如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）在中，利用三角函数求得，由勾股定理得，再利用直角三角形斜边中线的性质得，最后利用等边三角形性质求解； （2）①在上取一点，使，连接，，延长交于点，利用倒角得，可得是等边三角形，结合等边，利用手拉手模型证明，可得，，通过倒角可得，则，，则可证，则，，得，，再证明，，，易得，利用，倒角可得，则，即可证明； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点，同①可得，，设，则，分两种情况：当时和当时，分别作图计算即可 ． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长； （2）解：①，理由如下： 在上取一点，使，连接，，延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点， 同①可得，， 设， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 13．如图，在中，，D为直线上一点（不与A、C重合），将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若D在边上，，，求的长； (2)如图2，若D在边上，连接，延长交于F，求证：； (3)如图3，若D在的延长线上，连接，延长交于F，M为射线上一点，连接，使得，连接、，当为直角三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质、含有特殊角的直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得是等边三角形，所以可求出，解直角三角形即可得解； （2）作射线交的延长线于点H，使，过点C作交于点K，先证，再证，所以，进而即可得证； （3）以为边向上侧作等边，易证，可证出，所以，进而得到，然后证，再证，可得，，最后分类讨论，根据特殊角找出边的关系求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点G， 在中，，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：如图2，作射线交的延长线于点H，使，过点C作交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边向上侧作等边，连接，连接， 则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点A为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 14．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（）由等腰三角形的性质得，即得，再根据等边三角形的性质可得，，进而即可求解； （）连接，在上截取，连接，可证，得到，，可证点共圆，得到，，进而得到，即得到，即可得，即可证，得到，即可求证； （）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，，由点关于直线的对称点为，可得，，设，，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图，连接，在上截取，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨设，则，， ∴，， ， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴或， 设，， 当时， 由和得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴； 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 当时，同理可得， 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，圆内接四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 15．在中，，，点是边上一点，点在直线上运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点落在直线上． (1)如图1，点分别在边上，若，连接，，，求的长度； (2)如图2，点、分别在边、上，作交于点，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，点在射线（不含点）上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3)的值为或或． 【分析】（1）先求得，推出，得到，设，则，，，根据列式计算即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，取中点，连接，证明，得到，，在中，利用直角三角形斜边中线的性质求得，据此计算即可得到； （3）分当，和，三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， 解得， ∴，， ∴； （2）解：猜想：， 理由：以点为圆心，为半径画弧交于点，取中点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：的值为或或． 如图1，当点与点重合时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分，故点为的角平分线与的交点． 如图2，当时，， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，， 故； 如图3，当时，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 故； 如图4，当时，， ∴，， 过点作于点，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 故． 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，30度的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 1.“遇分散线段，想中间量”：直接连接CG和DE困难时，选择BD作为“跳板”。 2.延长造中位”：当图中有平行趋势时，延长相交可构造中位线，实现线段翻倍转化。 11．如图，中，．点D为斜边的中点，，交边于点E，点P为射线上的动点，点Q为边上的动点，且运动过程中始终保持． (1)求证：； (2)设．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域； (3)连接，交线段于点F．当为等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）根据同角的余角相等，得到，，即可得出结论； （2）先证明，求出，根据，得到，求出的长，进而求出的长，即可得出解析式，根据，，求出定义域即可； （3）先证明，得到也为等腰三角形，分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点D为斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， 由（1）得：， ∴， 即， 解得：， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形时，也为等腰三角形， ①若，过Q作于G，如图所示： 则， ∵， ∴， 解得：， 即； ②若，则， 解得：， 即； ③若，则， ∵，此种情况舍去； 综上：线段AP的长为或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求函数解析式，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想进行求解． 12．如图，在中，，点为线段上一动点，以为边向左作等边． (1)如图1，当为边中点时，若，，求的周长； (2)若，点在线段上，且满足，线段交线段于点，连接． ①如图2，若，用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； ②如图3，连接，，点运动过程中，当为直角三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角函数，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． （1）在中，利用三角函数求得，由勾股定理得，再利用直角三角形斜边中线的性质得，最后利用等边三角形性质求解； （2）①在上取一点，使，连接，，延长交于点，利用倒角得，可得是等边三角形，结合等边，利用手拉手模型证明，可得，，通过倒角可得，则，，则可证，则，，得，，再证明，，，易得，利用，倒角可得，则，即可证明； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点，同①可得，，设，则，分两种情况：当时和当时，分别作图计算即可 ． 【详解】（1）解：在中， ∵，，， ∴， ∴， ∵为边中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴的周长； （2）解：①，理由如下： 在上取一点，使，连接，，延长交于点， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴, ∴， ∴， ∴； ②同①在上取一点，使，连接，，延长交于点， 同①可得，， 设， ∴， 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 综上，或． 13．如图，在中，，D为直线上一点（不与A、C重合），将线段绕点B逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，若D在边上，，，求的长； (2)如图2，若D在边上，连接，延长交于F，求证：； (3)如图3，若D在的延长线上，连接，延长交于F，M为射线上一点，连接，使得，连接、，当为直角三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、旋转的性质、等边三角形的性质、含有特殊角的直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易得是等边三角形，所以可求出，解直角三角形即可得解； （2）作射线交的延长线于点H，使，过点C作交于点K，先证，再证，所以，进而即可得证； （3）以为边向上侧作等边，易证，可证出，所以，进而得到，然后证，再证，可得，，最后分类讨论，根据特殊角找出边的关系求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点D作于点G， 在中，，， ∴， ， 在中，， ∴， ∴， ∵线段绕点B逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴； （2）证明：如图2，作射线交的延长线于点H，使，过点C作交于点K， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：以为边向上侧作等边，连接，连接， 则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点A为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ①当时， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的值为或． 14．在等边三角形中，点是边上一点(点不与端点重合)，连接，，延长至点，连接，． (1)如图，若，求的度数(用含的代数式表示)； (2)如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．若，猜想线段与之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图，是边的中点，点关于直线的对称点为，连接，当将为等腰三角形时，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（）由等腰三角形的性质得，即得，再根据等边三角形的性质可得，，进而即可求解； （）连接，在上截取，连接，可证，得到，，可证点共圆，得到，，进而得到，即得到，即可得，即可证，得到，即可求证； （）以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，不妨设，则，，由点关于直线的对称点为，可得，，设，，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图，连接，在上截取，连接， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点共圆， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，以所在直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 不妨设，则，， ∴，， ， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴或， 设，， 当时， 由和得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴； 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 当时，同理可得， 由得，， 解得， ∴， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，点和圆的位置关系，圆内接四边形的性质，勾股定理，旋转的性质，轴对称的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 15．在中，，，点是边上一点，点在直线上运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点落在直线上． (1)如图1，点分别在边上，若，连接，，，求的长度； (2)如图2，点、分别在边、上，作交于点，请猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，点在射线（不含点）上运动，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1)4 (2)，理由见解析 (3)的值为或或． 【分析】（1）先求得，推出，得到，设，则，，，根据列式计算即可求解； （2）以点为圆心，为半径画弧交于点，取中点，连接，证明，得到，，在中，利用直角三角形斜边中线的性质求得，据此计算即可得到； （3）分当，和，三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，在中，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， 解得， ∴，， ∴； （2）解：猜想：， 理由：以点为圆心，为半径画弧交于点，取中点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：的值为或或． 如图1，当点与点重合时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分，故点为的角平分线与的交点． 如图2，当时，， ， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 过点作于点， 设，则，，， ∴， ∴， ∴，， 故； 如图3，当时，， ∵， ∴， 设，则， ∴， 故； 如图4，当时，， ∴，， 过点作于点，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 故． 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，旋转的性质，30度的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $