专题09 函数与几何综合问题（函数压轴，压轴题专练）（安徽专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题09函数与几何综合问题 01压轴命题透视 以二次函数为核心，结合平面几何图形出题。重点考查解析式求解、动点运动、线段与面积 命题预测 最值。常考等腰、直角三角形及平行四边形存在性，融入相似、勾股定理，侧重数形结合、 分类讨论与代数几何综合应用。 线段定值与数量关系问题 次函数性质解决线段最值问题 高频考法几何模型解决线段最值问题 图形面积问题 角度问题 02压轴题型精讲 ●典例靶向突破。 量题型1线段定值与数量关系问题 解决斜线段长问题的关键点： 关键点1解决抛物线中斜线段(PD)定值问题的一般步骤： 步骤一：设抛物线上所求点的坐标： 步骤二：作坐标轴的垂线（或平行线）构造直角三角形，利用锐角三角函数或勾股定理将斜线段长问 题转化为竖直线段(EP)长的问题 步骤三：通过直线(BC)解析式求出交点(E)坐标，得到竖直线段(EP)长： 步骤四：根据等量关系列方程，求解，注意根据动点(P)自变量的取值范围对解取舍 关键点2斜线段转化为竖直或水平线段长的方法： (1)作x轴或y轴的平行线，利用锐角三角函数转化成可以直接表示出线段长的水平或竖直线段； 1/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)构造相似三角形，利用相似将斜线段转化为可表示的线段长 【典例1】已知抛物线'=ar+br(a,b 是常数且0)的对称轴为直线x=2 (I)设抛物线与x轴的交点为M,N,求MN的长： 2)若二次函数'=ar2+b 的最小值为4-8a (i)求a的值； pm-4 (i)已知点A(m,n),B(p,9)为该抛物线上不同的两点，9≠0，若g和p-4的值互为相反数，证 明：9=n」 【答案】(I)4 (2)(i)1;(iⅱ)见解析 【详解】(1)解：~抛物线的对称轴为直线x=2, =2,即b=4a' ..y=ax2-4ax =ax(x-4) 当'=0，即(-4)=0。 时， 解得x=0或x=4, “抛物线与轴的交点坐标为 4,0)(0,0) .MN=4-0=4, (2)(1)解：该二次函数有最小值， .a>0 y=ax2-4ax=a(x-2)2-4a .-4a=4-8a2 1 解得a=1,4=-2(舍)， 2/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a的值为1： (i)证明：由(1)可知=1，即 y=x2-4x A(m,n）B(p,q) 都在抛物线上， .n=m2-4m9=p2-4p 卫m-4 9和p-4的值互为相反数， :卫+m-4 0 9p-4, 一+m-4 =0 p2-4pp-4 整理，得p=4-m, ∴9=(4-m)-4(4-m)=m2-4m=n 即9=n. 【典例2】已知抛物线'=r-6x+C与x轴的交点分别为 (1,0)B(x2,0) (1)求一元二次方程x2-6x+c=0的两个根： (2)设抛物线与'轴交于点C,作CD∥x轴交抛物线于点D,求线段CD的长； (3)若点 (-2,p)Q(8,9) 在抛物线上，你能比较出P和9的大小吗？若能，请比较出大小：若不能，请说 明理由. 【答案】(0)==5 (2)6 (3)能，p=9 3/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(1,0) 【详解】(1)解：将 的坐标代入y=-6x+C得， 1-6+c=0,解得c=5, =x2-6x+5. 所以抛物线的解析式为 A少0 2-6x+5=0, 则 解得=5=5 所以一元二次方程-6r+c= 的两个根为=】戈=5 (2)将x=0代入y=-6r+5得.y=5,即 C(0,5) CDx 2-6x+5=5, 因为 轴，即C,D两点的纵坐标相等，则 解得5=05=6 又6-0=6， 即线段CD的长为6. (3)解法一：能比较P,9的大小，P=9. P(-2,p) 将点 的坐标代入y=-6x+5得， p=(-2)-6×(-2)+5=21 Q(8q) 将点 的坐标代入y=r-6x+5得，9=8-6x8+5=21, 所以P=9」 -6 解法二：抛物线的对称轴为x=一 =3 2×1 点P到对称轴的距离为3-(-2)5，点到对称轴的距离为8-35，则P,Q两点到对称轴的距离相 等， 即P,Q两点关于对称轴对称， 所以P=9」 4/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【典例3】抛物线 '=-+a0)与'销交于1(-2,0)，B两点（点4在点B的左侧），与y轴交于点 C(0,-4) 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，连接BC,点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交BC于点M,过点M作 MN⊥y PM+MN 轴，垂足为N.求 的最大值，并求此时点P的坐标： 【答案】0y-2-x-4 限大，点-引 9 【详解】)解：将1-2,0).c04)代入”=r-+c(a≠0) 得∫4a-（-2)+c=0解方程组得 a= 2 c=-4 c=-4 1 六抛物线的解析式是"=2r-x-4。 1 (2)解：令y=0,则有20-x-4=0, x=-2x2=4 解得 B(4,0) 5/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c0-4) ∴.直线BC的解析式为y=x-4。 令Mum-4则P-a-.N0n-4 PA+--)-+(w-0) :Pw+MN=a-+. 1 .PM+MN有最大值. 9 当m=3时，PM+MW最大值为2， 此时，点P的坐标为3-引】 题型2二次函数性质解决线段最值问题 一、利用二次函数性质求线段最值的一般步骤： 步骤一：设抛物线上点的坐标，确定自变量的取值范围； 步骤二：用横坐标或纵坐标表示线段长，化简为二次函数顶点式： 步骤三：利用二次函数性质，结合自变量的取值范围确定最值 二、规律总结 (①)遇到求竖直线段最值时： 1根据距离等于纵坐标之差； 2.再根据二次函数性质求最值即可 (2)遇到求点到定直线距离最值时： 1.作垂线和竖直线段； 6/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2表示竖直线段长： 3利用等角的锐角三角函数建立等量关系，表示出垂线的长； 4.利用二次函数性质求最值 (3)遇到求三角形周长最值时： 1分别表示出各边长： 2.得到对应的二次函数解析式 3.利用二次函数性质求解 (④遇到求线段比的最值时： 1.通常情况下要作坐标轴的垂线，构造相似三角形： 2根据对应边成比例列等量关系得到二次函数解析式： 3利用二次函数性质求解。 【典例1】如图，在平面直角坐标系O中，抛物线 =x2+bx+c 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D,对称轴交x轴于点E (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标. A D 7/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PNIly轴交AC于N,求线段PW的最大值及此时点P 的坐标. OB x (3)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PH L AC于H,求线段PH的最大值及此时点P的坐 标. (4)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PN/y轴交AC于N,过点P作PH⊥AC于H,求 △PNH周长的最大值及此时点P的坐标. 8/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)在抛物线对称轴上找一点N,使得△BCN的周长最小，求△BCN周长的最小值及此时点N的坐标. (6)在线段OA上找一点N,连接NC,作NM⊥NC交AC于点M,求CM的最小值. 7)在OC上找-点M,使M0 10 MC 值最小，求出最小值 9189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 i M D (8)在抛物线对称轴上有两动点N、M(点N在点M上方)，且MN=1,求四边形BNMC周长的最小值 及此时M的坐标. (9)在对称轴上找一点N使得M4-N 最大，求点N的坐标 y B D 【答案】(1)少=r+2x-3 对称轴为：直线x=-1,顶点坐标为：D(一1，一4)：(2)PN的最大 9 315 9 92 315 值为4，此时P(-2,4):(3)当PN最大为4时，PH最大值为8，此时P(一2,4)： 10/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9N2.9 315 (4)当△PNH周长最大值为44，此时P(-2,4):(5)10+32,N(-1,二2)；(6) 12-6N5()号i而：(8y而4丽+1w(-k子：9yN的坐标为：(-1，-6). 【详解】(1)解：：OA=OC=3, A(-3,0),C(0,-3), 0=(-3)2-3b+c b=2 .-3=c ，解得：c=-3, y=x2+2x-3 ∴抛物线的解析式为： 对称轴为：直线x=一1，顶点坐标为：D(一1，一4)， (2)解：设P(x,x2+2x-3),则N(x,-x-3), (329 PW=--3(x2+2x-3)=-r2-3x=+2+4, 3 9 315 ∴当x=一-2时，PW的最大值为4，此时P(-2,4). (3)解：过点P作PNy轴，交AC于点N, OA=0C=3, .∠AC0=45, PNy轴， ∴，∠PNH=45°，即：△PNH是等腰直角三角形， J反PN ∴.PH=2 设P(x,x2+2x-3),则N(x,-x-3), 329 PW=--3-(+2x-3）=-x-3x=x+2+4, 9 .当x=-2时，PW的最大值为4， 11/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 929W2 315 ∴当PN最大为4时，PH最大值=4×2=8，此时P(-2,4). /B (4)解：OA=OC=3, .∠AC0=45°， PNy轴， ∴∠PNH=45°，即：△PNH是等腰直角三角形， PN ∴.PH=NH=2， &△PNH周长=PHWH4PW,Pw Pw+PN=i+DPw, +2 设P(x,x2+2x-3),则N(x,-x-3), PNEx-3-(+2x-3）=-2-3x=x+2+4. 3 9 ∴当x=-2时，PN的最大值为4： 9 9√2,9 315 :当PN大为时，△PN则长数大值=号人5+)_+号，此时P(-三，) 9 (5)解：连接AC交对称轴于点W, .A、B关于对称轴对称， ..AN=BN ∴.△BCN的周长=BC+CN+BN'=BC+CN+AW=BC+AC, 12/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷此时△BCWN的周长最小值=aBCN'的周长=BC+AC=P+3+V52+32=i而+32 ,直线AC的解析式为：y=一x-3, ∴.当x=-1时，y=-2,即N(-1,-2). (6)解：由题意得：点N在以CM为直径的圆上，设CM的中点为E,连接EV, 则当圆E与x轴相切时，即：EN⊥x轴时，EN最小，此时CM=2EV最小， x-x-6 设M(x,-x-3),则E(22), x+6 EN=2,CM=Vx2+(-x-3+3}-V2, x+6 2x2=√2x,解得：x=6-62或x=6+6N2(舍去)， ∴M6-6N26V2-9 ∴CM最小值为V6-62+(6W2-9+3=12-6√2 (7)解：连接BC,过点M作MOLBC,则tan∠MCQ=-tan ZBCO, 13/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 MO BO 1 ·0cC03, 10 CM .Mg=10 :M* MC 10 三4M+M0,当A、M、Q在同一条直线上时，1/+V0 -MC 10 最小值=AQ, 连接AC, E 0 B 此时AQ=ABxOC一号 BC .AM+ MC最小值=号而， 10 (8)解：过点N作作NOMC交y轴于点2，连接AQ交DE于点N,连接BN,则Q(-2,0), D .'NO MC,MNICO, ∴.四边形MWQC是平行四边形， ∴.CM=ON, 14/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BNMC ∴四边形 的周长=BC+BN+MN+CM=BC+BN+1+QN= 10+1BN+ON, B、A关于DE对称， ∴.AN=BN, NM ∴四边形 的周长的最小值=而+1+BN+QN-0+1+AW4QN=0+1+40=0+1+ √22+32=√10+√13+1 :直线40的解析式为：少=-名 3-2, N(-3), 4 7 ÷此时M(-山3)· (9)解：连接BC,并延长交ED于点N,连接BN, E :A、B关于DE对称， ..AN=BN, INA-NCI _INB-NCIBC_INB-NCl B(1,0),C(0,-3), ∴直线BC的解析式为：y=3x-3, 令x=-1代入y=3x-3得：y=-6, .N(-1,-6), 15/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 NA-NC 最大时，N的坐标为：（一1，一6） 题型3几何模型解决线段最值问题 类型 1.用“两点之间线段最短”求最值 2.利用“垂线段最短”求最值 3.用“阿氏圆”求最值 4.用“点圆”“线圆”求最值 【典例1】如图1，抛物线'=+5ar+C经 过4(6.0)，CQ,）,点B在x轴上，且4C=BC,过点8作 BD⊥x轴交抛物线于点D,点E,F分别是线段CO,BC上的动点，且CE=BF,连接EF, B D 图1 图2 (I)求抛物线的表达式及点D的坐标： (2)当△CEF是直角三角形时，求点F的坐标； (3)如图2，连接AE,AF,直接写出AE+AF的最小值为： 【答案10y=名+名-4，点D3.5): 66 516、 420 2←39或39 3v6 【详解】（山解：把点4(3,0，C0-)代入得： 16/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9a+15a+c=0,解得： Q= 6 c=-4 c=-4 +6-4, 5 ∴抛物线解析式为y= 6 6 A(3,0), .0A=3, :AC=BC,OC⊥AB ∴.OB=OA=3,即点D的横坐标为-3， 当3，名9名3-4=5， ∴.点D(-3,-5); (2)解：点C(0,4), ∴.0C=4, :BC=OB+0C=3+4=5 设点E(0,m),则BF=CE4-m, ∴.CF=BC-BF=5-(4-m)=m+1, .∠ECF=∠OCB, 当∠CEF=∠BOC-90时，EFx轴，△ECF-△OCB, CE CF EF m4-m_m+l_EF 0CBC=0B,即4=5=3， 16 解得：m= 93 16 +1 9 ，解得：Er= EF 1 :此时点r(9。 当∠CFE=∠BOC=90时，△FCE-△OCB,过点F作FG⊥y轴于点G, 17/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE CF EF 4-mm+1 11 ∴8 -OC-OB,即5=4，解得：m=), CF=20 91 :sin∠OCB=OB=FG3 BC CF5 ..FG=4 3 ∷CG=16 9， :0G=20 91 :时点r(号9： 516、 420 综上所述，点F的坐标为3g或3g: (3)如图，连接AD,DF, AC=BC,且OC⊥AB, ∴.∠OCB=∠OCA, 点D(-3,5),BD1x轴， ∴.BD-BC=AC=5,BDy轴， .∠CBD=∠OCB, ∴.∠CBD=∠OCA, CE=BF, 18/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△BDF≌△CAE, ..DF=AE, .AE+AF=DF+AF≥AD,即当A、F、D三点共线时，AE+AF的值最小，最小值为AD的长， AD=VAB2+BD2=V3+3)'+52=V6. √61 即AE+AF的最小值为 【夷例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=+r-4(a≠0)与轴交于点 A,B(2,0 两点，与》轴 交于点C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD. 备用图 (I)求抛物线的表达式； (2)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE〃BC交y轴于点E,过点P作PF∥y轴交AD 于点p点M,N为，箱上两个动点，点M在点v的左，w=1HQ-》, 连接PN,MH'当 P+PE取得最大值时，求。点的坐标及N的最小 y=ax2+bx-4(a≠0 (3)将抛物线 沿射线BC方向平移5个单位长度，得到新抛物线”，过点A作 AR⊥BC 点”，点°是新范物线”上一点，当<01R=<0C时。请直接写出丽有符合条作的白巴的损 坐标，并写出求解点Q横坐标的其中一种情况的过程. 【答案】)y=r+x-4 19/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 711 145 (2)P点坐标为 28. PN+MH的最小值为2 -10+V85 3)点2的横坐标为V3-2或3 【详解】()解：在抛物线=+-4中，令=0，则=4，则C0), .0C=4, :OA=OC,A在x轴负半轴， 4(40) 16a-4b-4=0 将A(4,0)、B(2,0)代入抛物线得： 14a+2b-4=0, 解得：a=2b=1, :抛物线表达式为：y+x-4 (2)解：抛物线表达式为：y=+x-4】 顶点 设直线AD解析式为y=a+b', 9 3 2 =-k+b 则了 ,解得： k2 0=-4k+b b'=-6 3 直线AD解析式为y=-2-6, 2 设直线BC解析式为y=K-4, 则0=2k'-4,解得：k'=2, 直线BC解析式为y=2x-4, PE∥BC,BC=V2+4=25 20/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠PEC=∠BCO, sin∠PEc=K=sin∠BcO= OB25 PE BC255, .kd5 pE. 5 设Pmr+m-4则rm-6 1 .PF=yf-yp=- 2m-2 2m-2, 这是开口向下的二次诱数，放当m=子时。P?+否E取科最大值。 将m=2代入得y=-马 > 8 711 P点坐标为 (28 ,MN=1,将P向左移1个单位得 E H 则PP'=MN=l,PP'∥MN, ∴.四边形PP'MN是平行四边形， 21/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .P'M NP, 作点H0 关于)的对你点H》。 21 则PN=P'M,MH=MH', ∴PN+MH=P'M+MH'≥P'H', 当点P,M,H'共线时，PN+MH最小，最小值为PH, 2, V145 PN+MH的最小值为2. 3)解：BC=22+平=25.B(2,0)C0,-4) :地物线y+-4+-?沿射线BC方向平移5个单位长度，即将抛物找y号产+-4向下 平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度， 新抛将线解新式为为1+-}2=×+2x号。 ①当点Q位于直线AR上方时， :AR⊥BC, .∠ARC=90°， ∠1=∠2，∠AOK=∠ARC=90°， .∠OAK=∠KCR, 即201R=<0C8.点”是”与产轴的交点， +2x中，◆+2=0， 在少= 解得：=5-2（舍去）或 x=v13-2 0 13-2 ∴，点的横坐标为 22/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 KR ②当点O位于直线AR下方时，如图，∠LAK=∠OAK, ,∠OAK=∠KCR, &tam∠0A1K-OK=tam∠KCR=tam∠0CB=OB-1 OA 0C2, 44,0) .A0=4, .0K=2, 过点K作KG⊥AL,则KG=OK=2, KL=x,GL=y 2=y2+4 设 ,则 :tan∠AL0=A0 OL=tan∠GLK=GK GL· 42 ·2+xy,即x=2y-2 (2y-2}=y2+4 8 解得：y=3或y=0(舍去)， =8×2-2-10 3 3 3 4) 设直线L的解析式为=经- 3,则0=-4”-16 ,解得：”=- 3, 416 ∴直线4的解析式为y=3-3, 23/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 416 联立y=一 -9和=+2x 2，整理得3x2+20x+5=0: x=-l0+v85 =-10-v85 解得： 3或 3(舍去，此时∠QAR为钝角)， -10+√85 .点的横坐标为3. -10+V85 综上，点的横坐标为V3-2或3一. -12_3 【典例3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=4一2x-4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点 B 图1 图2 (1)求点A、B、C的坐标： (2)如图2，若点P在以点0为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BRCP,请你直接写出2CP+BP的最 小值 【答案1)1(-2,0)，B(80)C(0,-4) (2)2CP+BP的最小值为、65 123 详解①将v0代入y子4福.440 解得-2，与=8 （-2,0) ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 8,0) 24/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将x=0代入y=2-3 4 x-4得y=4 0-4) ∴，点C的坐标为 (2)在oC上截取OM,使OM=OP=1, B '∠MOP=∠Poc,OM_OP1 OP CO 2 ∴.AMOPAPOC, .MP=IPC PC+BP=MP+BP 当M、P、B三点共线时，2 PC+BP=MP+BP=MB最短， 根据勾股定理，最小值为 V0B2+OM2=V82+12=√65 x-2W5 【典例4】如图， 2 分别交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)，交y 轴于点C. 25/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 (1)求点A和点B的坐标； (2)以B为圆心，3为半径作圆. ①如图L,连接AC,P是线段AC上的动点，过点P作⊙B的一条切线PM(点M为切点)，求线段 PM的最小值： ②如图2，点D为抛物线的顶点，点Q在园g上，连接c0,D0,求D0-2C0的最大值. 【答案】0)1(-2,0)B(4,0) 309 (2)① 2ī：② 4 【解】少解：抛线>=5- 4 2 x-2V5 分别交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)， ，0：则05 -空-25，即2-2x-80 .(x-4)(x+2)=0 解得x=-2或x=4, .A(-2,0)B(4,0) (2)解：①连接BC,如图所示： A O 26189 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :过点P作⊙B的一条切线PM(点M为切点)， ∴.PM⊥BM 在R△PBM中，PM=VPB-M=PB-9,当PB最小时，则线段PM有最小值， “连接4C,P是线段4C上的动点， B(4,0) 当PB⊥AC时，线段PB最小， A-2,0),C0,-25),B(4,0), 0C=254C=0r+0C=26:B=4-(2)=6,则Sac号4C-PB=B0C,即 2 PB=6x25-N50 2√6 PM=VPB-9=Z,即线段PM的最小值I, ②由D0-2C0可知，线段端点为C、D、Q,其中C、D为固定点：Q为动点，且动点轨迹是oB, 4 5-25-5--95 4, C0,-25 9W5 BQ=3, :2=31 BC6乞，则在BC上找一点M使802，即8M BM 1 2, 如图所示： 27/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D OM BO 1 aBOM△BCQ,则C08C2,即QM=) DQ-cQ-DQ-OM 在aDQM中，D0-QM<DM,当D、Q,B三点共线时DQ-CQ=DQ-QM为最大值， 过点M作MN⊥x轴，如图所示： D ∴MN∥y轴，则aBNM∽aBOC, 3 3 MN BM OC BC o2名2.解箱E5 OB BC 46 2ON=31 D0-C0的最大值为 w-2+- 题型4图形面积问题 28/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求图形面积的方法： 1直接公式法： 条件：当三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴时 A O B 0 结论：SAABC=AB·h. 2.分割法： 条件：当三角形的各边都不在坐标轴上（不与坐标轴平行）时作法：作辅助线将其转化为一边 平行于坐标轴或一边在坐标轴上的三角形面积求解 E BF AID 结论：Sa=Sam+SA=BD 2 ·(AE+CF=2BD·(e 3.补全法： 条件：当三角形的各边都不在坐标轴上（不与坐标轴平行）时 y C D 结论：SAAC=S4cm-SAcm-SaAD 号0x0-c0o小 1 2AD·(o. 【典例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线'=+br多 A4,0),B1,3) “经过 两点.P是抛物线上一点，且 29/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在直线AB的上方. (I)求抛物线的表达式： (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； 【答案】(0)少=-r2+4x P(2,4)(3,3) (2 或 【详解】(1)解：将14,0，B03 代入y=ar2+ax 16a+4b=0 得a+b=3, a=-1 解得：b=4, y=-x2+4x ·,抛物线的解析式为： (2)解：设直线AB的解析式为：y=ka+t, 4k+t=0 将A4,0),B(1,3)代入y=+1得k+1=3, k=-1 解得：t=4, ,直线AB的解析式为：y=-x+4, 30/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A(4,0),B(1,3) S.0=2×4×3=6, S△OHB=2SAPB=6 P4B=3 即 过点P作PM⊥x轴于点M,PM与AB交于点N,过点B作BE⊥PM于点E,如图， B M :.SAPAB=S△PB+S△PM= PNxBE+PNx AM=多PN=3. 1 .PN=2, 设点P的横坐标为m, P(m,-m2+4m)1<m<4),N(m,-m+4) PN=-m2+4m-(-m+4)=2 解得：m=2或m=3: .P2,4)或3,3)： xOy y=x2+bx+c 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D,对称轴交x轴于点E. (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标. 31/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OB x D (2)求四边形ABCD的面积. B D (3)过E点的直线I将四边形ABCD的面积分成2：7两部分，求直线I的解析式. E A OB D (4)直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得△ACP的面积最大？若存在求△ACP面积的最大值及 此时点P的坐标；若不存在，请说明理由， B 32/89 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABCP的面积最大？若存在，求四边形ABCP 面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. B (O)抛物线上是香存在点尸，使得Sm-S,若存在，求出点P的坐标：若不存在，谐说明理由。 B x （7)抛物线上是否存在点P,使得5a=8 ”,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. B (8)抛物线上是否存在点P,使 得S0=S.o,若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由。 33/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (9)抛物线上是否存在点P,使得BP平分△ABC的面积，若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明 理由， (10)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PM⊥x轴于点M,使得AC平分△APM的面积，若 存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 A B (I1)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC于点N,使得 SAMw:S。ANP=2:1 ,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 34/89 60学科网·上好课 www.zx xk .com 上好每一堂课 y M A B x P C (12)抛物线上有一点P，其横坐标为 t， ，抛物线上另有一点 Q，其横坐标为 t+4， ，线段 PQ 上有一点 M， 作 MN//y 轴交抛物线于点 N， 求 △PNQ 面积的最大值. y P M A B x N C 【答案】(1) $$\left( 1 \right) y = x ^ { 2 } + 2 x - 3$$ 对称轴为：直线 x=-1， ，顶点坐标为： D(-1，-4)；( 2)9；(3) 、 y=2x+2或 $$x = - \frac { 3 } { 2 } x - \frac { 3 } { 2 } ；$$ (4) 存在，点P的坐标 $$\left( - \frac { 3 } { 2 } ， - \frac { 1 5 } { 4 } \right)$$ (5)存在，四边形 ABCP 的面积最大 值为 $$9 \frac { 3 } { 8 } ，$$ 此时点P的坐标 $$\left( - \frac { 3 } { 2 } ， - \frac { 1 5 } { 4 } \right) ；$$ (6)存在，点P的坐标为 $$\left( - 2 ， - 3 \right) 或 \left( - 1 + \sqrt 7 ， 3 \right) 或 \left( - 1 - \sqrt 7 ， 3 \right)$$ (7)存在，点P的坐标为(-2，-3) $$\left( - 2 ， - 3 \right) 或 \left( \frac { - 3 + \sqrt { 1 7 } } { 2 } ， \frac { 1 - \sqrt { 1 7 } } { 2 } \right) 或 \left( \frac { - 3 - \sqrt { 1 7 } } { 2 } ， \frac { 1 + \sqrt { 1 7 } } { 2 } \right) ； \left( 8 \right)$$ (8)存在，点P的坐 35/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -3+√213-√21 -3-√213+√21 (-1+13-1+3)（-1-3-1-3 标为 2 2或( 2,2或 2’2 或2一2：(9) 12 51 -525 (10)存在，P(1,4):(11)存在， (12)8 【详解】答案：(1)解：：OA=OC=3, A(-3,0),C(0,-3), 0=(-3)2-3b+c [b=2 ∴.-3=c ,解得：c=-3, y=x2+2x-3 ∴，抛物线的解析式为： 对称轴为：直线x=一1，顶点坐标为：D(一1，一4). (2)解：由例题可知该二次函数的解折式为’=r+2x-3,4(-3,0),B(1,0),C(0,-3),D(←1，-4) 连接OD，如图所示， :.△DOC的底为OC,高为点D的纵坐标的绝对值， :边5cm=S4om+S.oc+S.c 1 1 1 .四边形8CD=)×3×4+与×3×1+5×1x3=9 2 2 2 (3)解：由(14)可得 四边形ABCD=9 ①当过点E的直线I靠近点B时，交直线BC于点F,把四边形ABCD的面积分成2：7两部分，如图所示： OB 36/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点E在抛物线的对称轴上， .BE=2, 设点F的纵坐标为， 3w=9号2，即8w-x2p2, F=-2 ,(2不符合题意，舍去)， 设BC的解析式为：y=c+b,则把 B1,0).C(0,-3)代入得： k+b=0 [k=3 b=-3,解得：b=-3, ·BC的解析式为：y=3x-3, ,点F在直线BC上， 六-2=3x-3解得：x= 3 y=kx+b 设直线I的解析式为 ,把点E、F代入得： +6=2 片、3 2 ，解得 3, -k+b=0 b=- 2 33 “直线1的解析式为y=一2x一2： ②当过点E的直线I靠近点A时，交直线AD于点G,把四边形ABCD的面积分成2：T两部分，如图所示： 37189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由0可知A6=2,5w=×2×G=2, 2 G,=-2 设直线4D的解析式为：)=mx+”,则把点 -30).D-1,4)代入得： -3m+n=0 [m=-2 -m+n=-4,解得：n=-6, ∴.直线AD的解析式为：y=-2x-6, 点G在直线AD上， “-2=-2x-6,解得：x=-2, G(-2,-2) y=mx+n 设直线的解析式为 ,把点E、G代入得： -2m1+h1=-2 m,=2 -m+%=0,解得：n=2, 直线的解析式为y=2x+2: 综上所述：当直线1把四边形ABCD的面积分成2：7两部分时，则直线1的解析式为y=2x+2或 3 3 y=- 2x-2 38/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (④)解：设直线4C的解斩式为=c+b,则把点1(-3,0.C(0-3》代入得： [-3k+b=0 [k=-1 b=-3，解得：b=-3, ∴.直线AC的解析式为y=-x-3, 过点P作PH川y轴，交AC于点H,如图所示： yA B x 设点Pad+2a-3列，则有Ha,a-3), PH=-a-3-(a2+2a-3)=-a2-3a 根据铅垂法可知△APC的水平宽为点A与点C的水平距离，即为3， e。-e+g 2 3 2<0, 3 ∴当a= 27 2时，△4PC的面积为最大，最大值为8， (315 此时点P的坐标为24 (5)解：1(-3,0)，BL,0),C(0,-3) ∴AB=4,OC=3 39189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷Sc=24B.0C=6, S网边形HBCP=S.ABc+SAPc=6+S,APC ∴.当四边形ABCP取最大时，则△APC取最大， :由4可得△ArC的面款最大省为名。即四边形ABCP的面积最大值为6+号-。 27 315 此时点P的坐标为24 (6)解：设 P(mm+2m-),点c0,-) Sum=SAc可知：△4BP与△BC同底，为AB,则有点P与点C的纵坐标的绝对值相等， b-l-brel .m2+2m-3=-3或3， ①当m2+2m-3=-3时，解得：m=-2或m=0(舍去)， -2,-3) 此时点P的坐标为 ②当m+2m-3=3时，解得：m=2生2⑧ 2 -1±万， 此时点P的坐标为1+V7,3)或-V万，3)， 综上所述：当Sam=ac时，点P的坐标为(-2，-3)或1+7,3)或1-万，3) (7)解：过点D作DMly轴，交AC于点M,过点P作PWy轴，交AC延长线于点N,如图所示： 40/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D-14) .点M的横坐标为一1，代入直线AC的解析式y=-x-3得：y=-2, .DM=2, 根据铅垂法可知Sc=x3x2=3=S0, 设PaG+2a-),则有Naa-),由新垂法可把△1CP的面梨百作以1C为水平室，PN为重商， :PW=la2+2a-3+a+3=la2+3a a-3x02+3刘-3，即le2+3d=2, 当。+3=2时，解得：4=3=3面 2 -3+171-17） -3-171+17 此时点P的坐标为2’2或 2’2月 当a+30=-2 ，解得： a1=-2,a2=-1 (不符合题意，舍去)， -2,-3) 此时点P的坐标为 -3+171-7）-3-171+17 综上所述：当S40p=S.4o时，点P的坐标为(-2，-3)或2,2或2一，2 (8)解：1(-3,0).C0,-3) 41/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'.OA=OC=3, ∴.△AOP与aCOP的底相等， 当 S.AOP=S.COP 时，则a4O 与COp 的高也相等， 由题意知△AOP的高是点P的纵坐标的绝对值，而△COP的高是点P的横坐标的绝对值， 设Pa,a2+2a-3) la=la+2a-3到 .当 =G+2a-3时，解得：a=+E4=而 2 -1+3-1+3）-1-3-1-3 此时点P的坐标为 2一，2或22： =-a2-2a+3时，解得：4=-3+2 当 4,=3-回 -3+√213-V21 -3-√213+√21 此时点P的坐标为 2 2 Γ或2一，2 -3+2i3-√2)-3-2i3+V2i 综上所述：当Sop=Sco时，点点P的坐标为2 2或22或 -1+√13-1+√13 -1-13-1-13 2 2 或2一 2 (9)解：设直线BP与线段AC交于点H,如图所示： 42/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,BP平分△ABC的面积， ∴线段BH是△ABC的中线，即点H是线段AC的中点， ·4(-30),c0-3) 33 “根据中点坐标公式可得一22： 代入得 、设直线BH的解析武为y=+b把点2,2B(0 3 3k+b三2，解、 k25 3, k+b=0 b=- 5 3.3 “直线BH的解析式为y=5x 5 联立抛物线与直线解析式得：2+2x-3=x-3 55 12 解得：=一5，=1（不符合题意，舍去）， （号甜 (10)解：设直线AC与线段PM交于点Q,如图所示： M 设Pa,a2+2a-3) :PM⊥x轴， 43/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .M(a,0) AC平分△APM的面积， ∴线段AQ是△APM的中线，即点Q是PM的中点， :根据中点华标公可得Q0女+a引 点Q在直线AC上， 3 6号a2+。7 =-a-3 a1=-1,43=-3 解得： (不符合题意，舍去)， P(1-4) (11)解：由 S.AM S.ANP =2:1 ,可知 MN:NP=2:1 :.MV-2MP 设P(a,a2+2a-3 ,则有MP=-a2-2a+3, w=-2a-4 +2 3 3 + a-2, 点N在直线AC上， 2a2+号a-2=-a-3,化简得2a2+7a+3=0 4 . 3 解得：4=一24，=-3（不符合题意，舍去）， (12)解：由抛物线上有一点P,其横坐标为，抛物线上另有一点Q,其横坐标为+4，可知： P(6,t2+21-3),0t+4,2+10t+21) 44/89 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 设直线P吧的解析式为'=+b,把 P6,+21-3)+4+10+2）代入得： tk+b=t2+21-3 「k=2t+6 (t+4)k+b=2+101+21,解得：1b=-2-4-3, ÷直线P的解折式为'=(2+6)r--4-3 N(mm2+2m-3 设点 :MNy轴， :M(m(2+6m-P-4-3) MN=(2t+6)m-t2-4t-3-m2-2m+3=-m2+(2t+4)m-t2-4t 由铅垂法可知P,Q的水平距离即为水平宽，即为t+4-1=4,MN为铅垂高， Sg=2×4x[-m2+(21+4)m-2-4] -2m2+(41+8)m-2t2-8t =-2(m-1-2)}+8 -2<0,开口向下， “当m=t+2时，△PN№的面积有最大值，最大值为8 题型5角度问题 类型 1.造“一线三垂直”解决特殊角问题 2.构造辅助圆解决定角问题 3.求点坐标中的等角问题 4.构造等腰三角形或平行线解决半角或二倍角问题 45/89 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【真例1】地物线+2 2交x轴于A,B两点（A在B的右边)，交y轴于点C: B (1) (2) (I)直接写出点A,B,C的坐标： 2)如图(I),连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线P吧∥AC,交y轴于点O.若BC平 分线段P№，求点P的坐标： (3)如图(2)，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E,F两点（点E在x轴下 方)，线段DE交抛物线于另一点G,连接FG.若∠EGF=9O°，求直线DE的解析式. 【答案】040叭，8(-50，c0-引 e2-3) )y= 25 【详解】山解：角+2 2, 当=0时，=3则c0引 当y-0+2x 2 =0 x=-5,x2=1 解得： ,A在B的右边 46/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AL,0)B(-5,0) (2)解：设直线4AC的解析式 y=ka+b(k≠0) 5 将A,0),C0,2)代入得， k+b=0 5 b=- 2 k= 解得： bs、S 2 55 ∴直线4C的解析式为y=2x一2 PQ∥AC 5 设直线PQ的解析式为y=2x+6 :P在第三象限的抛物线上 设P+2-引.5<10 ·21 h=222 设。的中点为，则M PO 由B50,cQ-岛》：设监找pc的解折武为=s- 47/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将(50) 代入得， 0-6 解得：=日 直线aC的解新式为=方 21 :BC平分线段O, ∴，M在直线BC上， 25 222 解得： 4=-2,43=0 (舍去) 当1=-2时，2 +21-59 22 2 (3)解：如图所示，过点G作TS∥x轴，过点E,F分别作TS的垂线，垂足分别为T,S, B GD (2) ∴.∠T=∠S=∠EGF=90° ∴.∠EGT=90°-∠FGS=∠GFS .△ETG∽aGSF ET TG ·GsFS 即ET.FS=GS.TG 48/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “点D与原点o关于点C0,2)对称， D(0-5) 设直线EF的解析式为=，直线D的解折式为为-5 y=kx 联立直线 与抛物线解析式 1 EF P=2+2x 5可得，kx= +2-, 1 2 即+--0 y2=k2x-5 联立直线 与抛物线解析式 y=x+2x-可得，x-5=x2+2x- ED 2 2 2 即5r+2-k)x 0 5 设=6=f6=g ef=-5eg=5e+g=2k2-4 f=-g r-+2a-358+2g引-e*g+4e-g). 5=+2r-传8+2g-引-U+g+40U-) ET·FS=GS.TG :.(g-ef-g)=e+g+4e-g)x/+g+4f-g), 将f=-8代入得：e+8=-5 2k2-4=-5 49/89 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ·直线DE解析式为y=2x-5 2 【典例2】如图，抛物线y= 4x2+bx+4与x轴交于A机-3,0，B两点，与y轴交于点C: 3 B (1)求抛物线解析式及B，C两点坐标； (2)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标： (3)该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE=45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理 由. 【答案】0撒物线解折式为=音#-号+4,800，C0) 2D(-2,-4)康D(-44)D(4,4) 或 或 4 【详解】(1)解：∵抛物线y=- 3+bx+4与x轴交于A-3.0), 号(-3旷-动+4=0 8 解得：b= 3 枪物线解析式为=学女-号+4。 当x=0时，y=4, .:C0,4) 50/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时， 0- 3+4 x=-3,x3=1 解得： B(1,0) (2A(-3,0)B(1,0).C(0,4) 设D(m,n), 、以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形 m+0_-3+14+n_0+0 当AB为对角线时，2=2,2=2 解得：m=-2,n=-4, D(-2,-4) -3+0_1+m4+0_0+n 当4C为对角线时，2=2,2=2 解得：m=-4,n=4 .D(-4,4) -3+m_0+10+4_0+n 当BC为对角线时，2=2,2 2 解得：m=4,n=4 .D(4,4) 综上所述，以4，B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，D(-24)或D(4,4)或D(4) 或 (3)解：如图所示，作AG1CE交于点G,F为AC的中点，连接G0,GF, 51/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ·.∠ACE=45° ∴.△AGC是等腰直角三角形， ·A,O,C,G在⊙F上， ：A(-3,0).C(0,4) )4C-0CO GF- ,∠AOG=∠ACG=45°， G在y=-x上， u-.-:-2r-剧 解得：=2'6=0（舍去） ÷点9(3引 设直线CG的解析式为y=c+4 77 26+4 解得：k= “直线cG的解析式y=7x+4 ÷4(-30)）BL0) 52/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -3+1 ∴.抛物线对称轴为直线x= 21 当x=-1时，7×(-1)+42 7 别 【典例3】在平面直角坐标系中，抛物线'=-+x+3与×轴交于点 -l,0)和点B,与y轴交于点C. B 图1 图2 (1)求b的值： (2)如图1，M是抛物线上一点，∠MAB=∠ACO,求点M的坐标： 【答案】(I)b=2 811 (239 【详解】()解：：y=-r+r+3与x轴交于点 A(-1,0) 0=-1-b+3, 解得b=2: (2)解：b=2, ∴.y=-x2+2x+3=-（x-1)+4 令y=0,解得x=-1或x=3, 令x=0,得y=3, ∴A(-1,0)B(3,0)C(0,3) 设(m,m+2m+3),作M州Lx轴于点H 53/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠MAB=∠ACO, MH OA tan∠MAB=tan∠ACO,即AHOC, :-m2+2m+31 m+1 3 、8 解得m3或m=-1(舍去)， 8) -m2+2m+3= +2×+3=11 8 3 9 811 ..M 的坐标为39月 【典例4】如图，抛物线 =r+x+C与'轴交于4,8两点，与'轴交于点C,OC=01,B=4,对 ，将抛物线绕点0旋转180 x=-1 称轴为直线 后得到新抛物线”，抛物线”与'轴交于点D,顶点为 E,对称轴为直线· 图2 (1)分别求抛物线和的表达式； 54/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图'，点F的坐标为 -6,0) ,动点M在直线上，过点M作MN∥x轴与直线交于点N,连接FM ,DN.求FM+MN+DN的最小值： 3)如图2，点H的坐标为0-2 ,动点P在抛物线片上，试探究是香存在点P,使∠PEH=2∠DHE?若 存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】04=--2x+3乃=r2-2x-3 22+35 )存在， 【详解】(1)解：设对称轴与x轴交于点G, 由题意得AG=BG=2, ,对称轴为直线x=-1, B(1,0),A(-3.0) ∴.0C=0A=3, .c(3) 将AB、C分别代入片=ar+br+e a+b+c=0 9a-3b+c=0 得： c=3 55/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a=-1 b=-2 解得： c=3, :片=-2-2x+3 :=--2r+3=-++4,顶点为) ?抛物线”绕点旋转 y 180° y2 后得到新抛物线， 抛物线产的=1，顶点为亿-4)， :少的表达武为：为=(-旷-4，即为=-2x-3 (②解：将点F向右平移2个单位至P,则F=2,F(-4,0,过点D作直线二的对称点为P,连接 FN,FD',ND' G 0 M D :.ND=ND', 为=(x-102-4 “直线为直线=1 :MN∥x轴， 56/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN=1-(-1)=2 对于抛物线为=P-2x-3,令x=0,则乃=-3 D(0,-3) 点D与点D'关于直线x=1对称， D'(2,-3) 点 :MN∥x轴，FF'=MN=2, ∴.四边形FFNM为平行四边形， ∴.MF=NF', .FM+MN+DN NF'+2+ND'22+FD', 当点F',N,D'三点共线时，取得最小值， 而FD'=V(4-22+(-3-0=35 .FM+MN+DN 2+35 的最小值为 (3)解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： AB :抛物线片=(x--4 .E1,-4) 57189 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2∥y 轴， ∴.∠DHE=∠1， ,∠PEH=2∠DHE, ∴.∠PEH=2∠1=∠1+∠2， ∴.∠1=∠2， 作H关于直线的对称点H,则点H在直线PE上， :点”的坐标为0-2），直线5：x=1, :2-2) 设直线PE的表达式为： y=c+b(k≠0) f代入'(2-2)E0,4) 2k+b=-2 得：k+b=-4, [k=2 解得：b=-6, ∴.直线PE的表达式为y=2x-6, y=2x-6 联立2=x2-2x-3,得：x2-2x-3=2x-6, 解得：x=3或x=1(舍)， :Pg0) ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长EP交y轴于点N,作N的垂直平分线交HE于点Q,交y轴于 点M,过点E作EK⊥y轴于点K,则QM∥EK,如图： 58/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H :OM垂直平分HN, :.OH =ON, .∠QHN=∠QNH. ·.∠NQE=2∠NHE, ∠PEH=2∠DHE .∠NQE=∠PEH, .NO=NE H(0,-2),E(1,-4) 由点 得：EK=l,KH=2, OM∥EK, △HMQ∽△HKE HM MO HKKE’ HM MO .2 1, 59/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设HM=2m,MQ=m, .'MN HM =2m,NK =2-4m, 在Rt△OMN和R△ENK中，由勾股定理得 M2+MN2=NK2+KE2 .m+(2m=(2-4mj+r 解得：m=i或m=1(舍) ·K=2-202 1111 :ow4会 0). 设直线PE表达式为：y=ax+么(a≠0) 代入点N,E, a1+b=-4 得： 6=号 2 4=-1 解得： 42 b=- 2.42 直线PE表达式为：y=斤行， 242 y=- 联立 1111 h2=x2-2x-3 后智-23. 整理得：11x2-20x+9=0 60189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=1或x=1（舍)， 9480 综上所述， P6,0)或P12 03压轴强化训练 1.(25-26九年级上安徽合肥)如图是抛物线'=r+r+ca≠0) A(1,3) 的一部分，抛物线的顶点坐标是 ,与x轴的一个交点是B(4,O),点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是( ) B 0 1 A.abc>0 B.方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根 3W2 C.点P到直线AB的最大距离16 D.x(ax+b)≤a+b 【答案】D 【详解】解：由图象可知开口向下， a<0, 函数与y轴的交点在y轴的正半轴上， .c>0, 对称轴为直线x=1, .b=-2a>0, .abc<0 61/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故A不符合题意： ,抛物线的顶点坐标是A(1,3), ∴.ax2+bx+c=3时，方程的解为x=1, ∴，方程ax2+br+c=3有两个相等的实数根， 故B不符合题意： 设直线AB的解析式为y=:+m, 4k+m=0 .k+m=3, k=-1 解得m=4, 、y=-x+4, y=a(x-1)2+3 B(4,0) 设抛物线 ,将点 代入， .9a+3=0 1 解得a=- 3 28 y=- 夏之三之s 3 3 过P点作PG/y轴交AB于点G, G B 01 设P点华标为+子+9.则Gu-1+0 3 PG= 22+8-t+4)三-2+364=-1 -t+ -5+3 3 3 3331 2 4 62/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8当0 5 3 2<4)时，PG有最大值4， 5.w-PG-(,-x3PGPG 2 2 248,为最大值， 由图，B=32+(4-少妒=3 ,设点P到AB的距离为h, 则m=号4BA=×3h=2, △ABP 当 最大时，h取最大值， Vheka 、9 32 解得，h最大值= 8 3√2 .点P到直线AB的最大距离为8， 故C不符合题意： 当x=1时，a+b+c=3, ∴.ax2+bx+c≤a+b+c,即axr2+bx≤a+b, 故D符合题意； 故选：D 2.（九年级上安微)如图，抛物线-2x-3与轴交于4,8两点（点4在点°的左侧），与'轴交 于点C,过点B,C作一条直线l. (1)∠ABC的度数是 (2)点P在线段OB上，且点P的坐标 20),过点P作PM1轴，交直线于点N,交抛物线于点M ,则线段MN的长为一· 63189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y ● 【答案】 45°； 2 【详解】()当=0时，-2x-3=0 解得=-1名=3 ,:点在点B的左侧， ∴点A坐标为 1,0),点B坐标 80).当=0时.-3， ·点C坐标为 ,-3),A0B=0C,片∠ABC=45° 3k+b=0 k=1 (2)设直线1的函数表达式为y=x+b,根据题意得b=-3,解得b=-3, ,直线的函数表达式为y=x-3: 当x=2时，y=x-3=-1, 点N的坐标为 2,-1) 当=2时， y=x2-2x-3=22-4-3=-3 ÷点M的坐标为2-3)，：N=1-(3列=2 故答案为：45°；2. 3.（2026重庆一模)如图，在平面直角坐标系中，物线”=r-x+a+0)与'轴分别交于 A(-4,叭B(2,0),与'轴交于点C. 64/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图L,点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD∥y轴交AC于点D,过D作DE∥BC交x 轴于点E线段n在直袋AC上移动且N-2N,当PD-25 DE取得最大值时，求此时点。的坐标及 △PMN的周长的最小值； ③)如图2，将抛物线沿射线1C方向平移35 y 2个单位得到新抛物线'，点C的对应点为点”，平移后的新 抛物线 F(m,-2) 的对称轴上有一点 点G为新抛物线'上一动点，若∠CHG=∠C1F,请直接写出点 G的坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程 【答案】0)-+4 9W2 2 567 6®，-5或39 【详解】)解：抛物线"=ar-+(a≠0)与'销分别交于 A(-4,0八B(2,0) a= ∴.0=16a+4+c,解得： 0=4a-2+c c=4 65/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线的解析式为： (2解：：抛物线=宁-+4与y轴交于点C, :C0,49),即oc=4, ÷4(-4,0叭B2,0) OB=2, BC-Joc+BC=2 sin∠0BC=0C=42V5 BC255, DE∥BC, .∠AED=∠OBC, 如图：过D作DF⊥AB于F, in∠AED=sin∠OBc=25 , DF 25 DF= 25 DE DE5,即 5 BD-5 DE =PD-DE 5 设直线AC的函数解析式为y=c+b, 66189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [0=-4k+b k=1 则4=b ,解得：b=4, ∴直线AC的函数解析式为y=x+4, 设点Pp2-p+44<p<0),则Dp,p+4)F(p0): PD=P2-p+4-(+4)=-p-2p,FD=p+4-0=p+4 :m-25DE=Pm-nF=p-2p-(p+0=+3旷+. 5 当p-3时，Pm-250E最小，此时P3引.D3: 要求aPMN的周长的最小值，即求PM+PN+MN的最小值，即求出PM+PN的最小值， 如图：过P作PH8C,在PH上被取P明=N=25,此时四边形PMN?是平行四边形 D B PM=PN PM+PN=PN+PN 的最小值， :44,0叭C0,4) ∴.0A=0C=4,即∠0AC=45°， 如图：过P作PG∥r辅，过作PGV轴。 ·PH∥BC, ∠RPG=45° 67189 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 ÷PG=RG=PR-sm∠RPG=2V2x2 :点是P向右平移两个单位长度，向上平移两个单位长度得到的：即() AC P PN PP 如图：作点P关于直线的对称点，连接， PN=BN .PN+BN≥PA 当尺N PN+PN 有最小值PB,即PM+PN PP 共线时， 的最小值为， P :点P与点关于直线4C对称， ∠PPP=90°∠GPP=90°-∠GPP=45° ，即 ∠DPP=90°-∠GPE=45° ∴DP=DP, :P-3,3 &DB=PD=-1=3 2 2, :3+引即别号 ÷可0- 52 ∴，PM+PN的最小值为2， PM+PN+M的最小值为)+2巨=9 2, 68/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 92 APMN的周长的最小值为2 (3)解：1(40叭C(0,4) :.0A=0C=4,即∠0AC=45°， :将抛物线沿射线4C方向平移35个单位得到新抛物线'， ∴将抛物线向右平移3个单位长度、向上平移3个单位长度得到新抛物线)， :新抛物线y-北-明--列4+8=-2+5 二平移后的对称轴为=2.即F(2,-2) 点C的对应点为点H, H(3,7) 如图：过H作Ⅲ上x轴于1则3,0)，m-7 .A(-4,0) A1=3-（-4)=7 .AI=HI=7, ∴.∠HAI=∠AH, :FB=2AB=2-(4)=6 69189 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :tan∠AF=2-1 63: 如图：当点G在右侧时， .∠CHG=∠AH+∠KHG=∠CAF=∠HAI+∠IAF, 、∠KHG=∠LAF, :m∠KNG=m∠AF-号， ee-号)e.知过c作mTK则人-2听号) w=7-[g-2+]a-2-分6k=g-3 :tan∠KHG=KG-1 HK 3 8-3 1 e-2-3,解得： 8=7 G,-5) (2,7 如图：当点G在Ⅲ左侧时，如图：过H作对称轴的垂线W交对称轴于J,则 ,在对称轴上取 点，使得<UW=∠A ,连接0 G 交新抛物线于， .tan∠UW=tan∠aF=} 3,HW=3-2=1, :an∠UW=W-！nw-1 3,即了3，解得：W= 3 2 设直线HU y=kx+b 的函数解析式为 7=2k+b 1 k1= 则 3 解得： 3 7=3k+b b=8 70/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴直线HU的函数解析式为y= 3+8 1 y= 3t+8 5 x= 3 联立 三-5(x-2)}2+15，解得 7或∫x=3(不合题意舍弃)， y= 9 y=7 567 G39 567 综上，点G的坐标为(7，-5)或3'9 4.(2026宁夏银川一模)如图，抛物线’=-r+r+C与直线'=x+2相交于 4(-2,0）B3,m两点， 与x轴相交于另一点C. (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线 AB于点E ①当PE=2ED时，求P点坐标； 2 ②是否存在点P使。ABP的面积等于△ABC面积的3？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理 由 y=-x2+2x+8 【答案】(1) 2009 （-1,5),(2,8) ；②存在，点P的坐标为 71/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3,m) 【详解】(1)解：“点 在直线=+2上， m=3+2=5. ∴B(3,5) 抛物线’=-r+r+C过1(-2,0，B(3,5) -4-2b+c=0 -9+3b+c=5, [b=2 解得c=8, 小抛物线解析式为 =-x2+2x+8 (2)解：① P-+2x+8),则D(0) E在直线AB上，直线AB方程为y=x+2, E(x,x+2) PE=yp-yE=（-x2+2x+8)-(x+2)=-x2+x+6 ED=yE-yD=(x+2)-0=x+2 PE =2ED, .-x2+x+6=2(x+2) ∴x=-2或x=1, -2<x<3, x=1, y=-1+2×1+8=-1+2+8=9 ∴P(1,9) 72/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -1,5),(2,8 ②存在，点P的坐标为 . 理由如下： 如图，过点P作PF‖AB交x轴于点F,过点C作CG⊥AB于G交PF于点H, 令y=0-2+2x+8=0 x=4,x3=-2 解得， ∴A(-2,0)C(4,0)AC=6 ~Se-子S版且。8P与。AC有公类底边8 2 :△ABP的高：△ABC的高= GH 2 即cG3, :FP‖AB FA HG 2 ACCG3· 2 ∴.FA= ×6=4 3 A(-2,0) “F点坐标为 -6,0) 即F(-60) ~PF‖AB,直线AB的解析式为y=x+2, ∴设直线PF的解析式为y=x+k, 把F(-6,0)代入上式，0=-6+。 解得，k=6 直线PF的解析式为y=x+6, 73/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x+6 与抛物线y=-x2+2x+8联立，得y=-x2+2x+8, x=-1x2=2 解得，1片=5'=8 ·点P的坐标为 -1,5),(2,8) B 、GXE F D y=-x2+bx+c 5.(2026山东烟台一模)如图，已知抛物线 与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C,OA=OC=4 O B B 备用图 (I)求抛物线的表达式： (2)若点P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分△ABP的面积为3：5两部分， 请求出点P的坐标： (3)在y轴上是否存在一点N,使得∠BCO+∠BNO=∠OAC,若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请 说明理由 【答案】(0)'=-r2-3x+4 74/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(-1,6)(-3,4) (2) 或 3在，N的坐标为3或3 【详解】(1)解：0A=OC=4, ∴.A(-4,0),C(0,4), y=-x+bx+c 将点A、C代入 〔-16-4b+c=0 c=4 b=-3 解得c=4, .y=-x2-3x+4 (2)解：令-x2-3x+4=0, 解得545=1 ∴B1,0) 如图，过点P作PG上x轴交于点G,过点Q作QHLx轴交于点H, P A B PG∥QH 设直线AC的解析式为y=a+b, 75/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「-4k+b=0 b=4 [k=1 解得b=4, y=x+4, P.-f-3+9,直线BP的解析式为 y=kx+b' 「tk'+b=-2-3t+4 [k'=-t-4 K+b=0,解得b'=1+4, ∴.y=-(t+4)x+t+4 AC、BP所在两直线联立方程组，求交点Q坐标， y=x+4 y=-(t+4)x+1+4, x=- +5 解得： 51+20, y= t+5 5t+20 气t+5t+5, :AC分△ABP的面积为3：5两部分， 以P巴，B为底，高相等，两部分面积比等于底边之比， Pg-3P№_5 ‘B05或B03, PG∥QH, PO GH BO HB' Pe=3 GH 3 当B05时，HB5, 76/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t 513 可得1 t+5 解得5=5=-3 P1,6)或-3， PO5 GH 5 当BO3时，HB3, +55 可得1-45司。 此时方程无解， 综上所述， P-1,o)或34 (3)解：存在一点N,使得∠BCO+∠BN0=∠OAC,理由如下： 在y轴上取点F(O,), 当N在y轴正半轴时，如图， N F 刘B B1,0)C0,4) .BO=OF=1 BF=2 CF=3 ∴.∠OFB=45° .∠FBC+∠BCO=45°， ,OA=OC,∠AOC=90 .∠0AC=45 77/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BC0+∠BNO=∠OAC=45°， ∠BNO=∠FBC, 又∠BFN=∠CFB, .△BFNACFB, BF FN √_FN “CFBF,即3万， W=2 ∴.ON=OF+FN= 当N在y轴负半轴时，记为N”,如图， N 则N'和N关于x轴对称， w@-副 ∴.∠BNO=∠BN'O,满足条件∠BCO+∠BN'O=∠OAC, 5 上，N的坐标为03成心，3月 6。(2026海南省直辖县级单位一模)如图，已知抛物线”=-+伽+C过点 B(3,0)LC(0,3) 和点 78/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求该抛物线的函数关系式： (2)已知点P是BC上方的抛物线上一点，作PD⊥x轴于点D,求PD+OD的最大值； (3)当m-1≤x≤m+2,函数y有最小值为0，求m的值. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 21 (2)4 3)1或0 【详解】()解；：抛物线'=-r+r+C过点 B(3,0).C(0,3) 和点 [-9+3b+c=0 .c=3 b=2 解得：c=3 ∴该抛物线的函数关系式为y=-x+2x+3: (②解：设Pk-f+21+3),D0),其中0<1<3， PD+0D=-+21+3+1=-P+3+3=1-+4 -1<0, 21 .PD+OD的最大值为4： (3)解：：y=-r+2x+3=-(x-1+4 对称轴为直线x=1, 79189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当y=0时，-x2+2x+3=0 x=-1x2=3 解得： a=-1<0 ∴在对称轴左侧函数'随着x的增大而增大，在对称轴右侧函数'随着x的增大而减小. 故分以下三种情况讨论： ①若m+2≤1，即m≤-1 则当x=m-1时，函数y有最小值为0 ∴m-1=1,解得：m=0(舍去) ②若m-1<1且m+2>1,即-1<m<2 当x=m+2时，函数y有最小值为0， ∴m+2=3,解得：m=1。 当x=m-1时，函数'有最小值为0， m-1=-l,解得：m=0, .m=0或1 ③若m-1≥1，即m>2 则当x=m+2时，函数y有最小值为0， m+2=3,解得：m=(舍)， 综上，m的值为1或0。 y=ax2+bx+c 7.(2026安徽阜阳二模)平面直角坐标系中，如图1，二次函数 的图象与'轴交于 1(30,8两点，与”轴交于点C,顶点为D1,点P是抛物线上4，C丙点之间的一功点 图1 图2 图3 (1)求这个抛物线的解析式： 80/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值： ②如图3，过点E作F1 F 轴于点，设 =PE+EF,求”的最大值。 【答案】()少=-(x+1+4 9225 (2)①8；②8 【详解】()解：设抛物线的解析式为ya(x++4。 将1(-3,0)代入得： 0=a(-3+1)2+4 解得a=-1, ∴抛物线的解析式为=-(++4.即=-2x+3。 C(0,3) (2)解：①由(1)知 设直线AC的解析式为y=c+b, 「-3k+b=0 [k=1 将A(-3,0),C(0,3)代入得： b=3,解得b=3, “直线AC的解析式为y=x+3, 设Pk.--21+3)过点P作PQ1轴交4C于点01+3)， B 图2 ∴P0=（-2-2t+3-(t+3)=-2-3t 81/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0A=0C=3, :∴△AOC为等腰直角三角形， ÷∠AC0=45°， PQ⊥x,OC⊥AB, .PQ∥CO .∠PQE=∠ACO=45° PE⊥AC, ∴aPEO为等腰直角三角形， PE-PO-sin4s P0=-2-31=- 当1 2时，PQ有最大值4 √299W2 :PE的最大值为？×48： ②由O知2PE=P,P飞--2+3)Q61+3) 延长FE交PO于点G, 图3 PQ∥COEF⊥y ∴EG⊥PQ yE=YG 则 .△PEQ 为等腰直角三角形， 82/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.PG=QG -2-21+3-y6=y6-(t+3) %=%=-1+6 2 把%-1+6 2代入直线4C的解析式y=x+3, -t2-t 可得交点E的横坐标xe=2, :EF⊥y 轴， :.EF=-Xg= 12+1 2, t+2 3-0. 5 25 :当=一2时，w取得最大值，最大值为8： =x2-3x-4 8.(2026安徽蚌埠·一模)抛物线 与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点 C,连接AC,BC. (I)求△ABC的面积. (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a. ①当抛物线上P,C两点之间的部分（含点P,C)的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求 点P的坐标 ②当点P位于第四象限时，过点P分别作PE⊥BC于点E,PF1y轴于点F,当PE+PF取得最大值时， 求a的值. 【答案】(1)10 3+21015 (2)①点P的坐标为(-2,6)或2’4 ②0=2+② 2 83/89 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,则-3x-4=0 【详解1)解：对于=-3-4，今=0， 解得5=】与=4 .A(-1,0)B(4,0) AB=5, 对于少r-3x-4 令x=0,则=4， .C(0,-4) .0C=4, 2 ②解，0=-3x-4=空. :雅物线的顶点华标为[侵空）。 3 25 :点C的纵坐标为4，顶点纵坐标为一4， ∴两者高度差为4 分两种情况讨论： a.当点P位于y轴左侧时，令a2-3a-4=-4+10, 解得4=-245 (舍去)， P(-26) b当点P位于抛物线的对称轴右侧时，令。-30-4=至+10， 4 解得4=3+210 2,4=3-2i0 2一（舍去）， 84189 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P 3+2W1015 24 3+2W1015 综上，点P的坐标为(-2,6)或2一，4 P(a,a2-3a-4(0<a<4) ②设点 设直线BC的函数表达式为y=r+b, 将B(4,0),C(04) 别代入， 4k+b=0 k=1 得b=-4,解得b=-4, ∴直线BC的函数表达式为y=x-4, 如图，过点P作y轴的平行线，交直线BC于点M,则 M(a,a-4) B PM=a-4-(a2-3a-4）=-a2+4a OB=0C=4,∠COB=90°， ∴△COB是等腰直角三角形， ∴.∠OCB=∠OBC=45°， ,MP∥OC, ∴.∠CMP-45°， ∴.△MEP是等腰直角三角形， 85/89 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .PE= -PM PE-2 -a2+4o). p限-a+5(e=-c+5+a. 2 a=-_ 2√2+1 2 24② 2 对称轴是 2× 2 ,0<2+ <4, 当02+ 2时，PF+PE取得最大值。 y=ax2+bx+ 9.(25-26九年级上安徽宿州)如图，二次函数 的图象与轴交于点48，与'轴交于点 C,且图象经过点-1.6)，（2-6) 连接AC. M D 0 (1)求a,b的值. (2)点D是x轴上一动点，过点D作DM∥y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点D的横坐标为 m ①当点D在线段AO(点D不与点A,O重合)上运动时，过点E作EF⊥AC,垂足为F,求△MEF周长的 最大值及此时点E的坐标 ②当ME>3时，直接写出m的取值范围. 【答案】(0)'=-r2-3x+4 86/89 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)①△MEF的周长的最大值为 41+V2) 此时点E的坐标为一2,6)：②m的取值范围为m<-2-V万或 m>-2+V7-3<m<-1 或 【详解】()解：：二次函数y=r+r+4 的图象经过点 -1,6)(2,-6) a-b+4=6 .4a+2b+4=-6, a=-1 解得：b=-3, 六抛物线的解析式为”=-术-3x+4 (②)解：①在’=--3x+4中，当=0时，y=4,即C04) 当y=0时，-x2-3x+4=0, x=1x2=-4 解得： :4-4,0)B1,0) 设直线4C的解析式为 =k+b(k≠0) 「-4k+b=0 6=4, [k=1 解得：b=4, ∴.直线AC的解析式为y=x+4, :点D是x轴上一动点，过点D作DMy轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点D的横坐标为 m :D(m,0）,M(m,m+4),E(m,-m2-3m+4),∠ADM=90° 87/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ME=-m2-3m+4-(m+4)=-m2-4m ÷1-40)C(0,4) ∴.0A=0C=4, .∠0AC=∠OCA=45°， ∴，△ADM为等腰直角三角形， .∠AMD=∠MAD=45°， .∠EMF=∠MEF=45°， :EF⊥AC, ∴，△MEF为等腰直角三角形， ar-w是E(w. ∴.△MEF周长为： EM+EF+FM=EM+2EM=(+V2)(-m2-4m)=-+V2)(m+2}'+41+V2) -(1+2)<0 当m=-2时，周长的最大值为4+2)， 此时m-3m+4=-(-2}-3×(-2)+4=6 ÷△MEF的周长的最大值为4+2)，此时点E的坐标为-2.6： ②由①可得： M(m,m+4)E(m,-m2-3m+4） :ME=m-3m+4-(m+4=m2-4m ,ME>3, :m2-4m=m2+4n小>3 .m2+4m>3或m2+4m<-3, 88/89 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.m2+4m-3>0或m2+4m+3<0, 当m+4m-3> 0时，可得：m<-2-V万或m>-2+ 或 解m2+4m+3<0时，可得：-3<m<-1, 综上所述，m的取值范围为m<-2万或m>-2+万晚3<m<- 或 89/89函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题09函数与几何综合问题 01压轴命题透视 以二次函数为核心，结合平面几何图形出题。重点考查解析式求解、动点运动、线段与面积最 命题预测 值。常考等腰、直角三角形及平行四边形存在性，融入相似、勾股定理，侧重数形结合、分类 讨论与代数几何综合应用。 1.线段定值与数量关系问题 2.二次函数性质解决线段最值问题 高频考法 3.几何模型解决线段最值问题 4.图形面积问题 5.角度问题 02压轴题型精讲 ●典例靶向突破。 题型1线段定值与数量关系问题 解决斜线段长问题的关键点： 关键点1解决抛物线中斜线段PD)定值问题的一般步骤： 步骤一：设抛物线上所求点的坐标： 步骤二：作坐标轴的垂线（或平行线）构造直角三角形，利用锐角三角函数或沟股定理将斜线段长问题转化 为竖直线段E)长的问题 步骤三：通过直线(BC解析式求出交点D)坐标，得到竖直线段EP)长： 步骤四：根据等量关系列仿程，求解，注意根据动点P)自变量的取值范围对解取舍 关键点2斜线段转化为竖直或水平线段长的方法： (①)作x轴或y轴的平行线，利用锐角三角函数转化成可以直接表示出线段长的水平或竖直线段： 2)构造相以三角形，利用相州将斜线段路转化为可表示的线段长 【典例1】已知抛物线y=ax2+bx(a,b是常数且a≠0)的对称轴为直线x=2. (1I)设抛物线与x轴的交点为M,N,求MN的长； (2)若二次函数y=a.r2+bx的最小值为4-8a2. (i)求a的值； 《已知点小，®为该物线上不同的两点。90。若号和的互为相反数，证易： 9=n. 1/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例2】已知抛物线y=x2-6x+c与x轴的交点分别为A(1,0),B(x2,0). (1)求一元二次方程x2-6x+c=0的两个根； (2)设抛物线与y轴交于点C,作CD∥x轴交抛物线于点D,求线段CD的长； (3)若点P(-2,p),Q(8,9)在抛物线上，你能比较出P和9的大小吗？若能，请比较出大小；若不能，请说 明理由。 【典例3】抛物线y=ax2-x+c(a≠0)与x轴交于A-2,0),B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点 C(0,-4). 2/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图，连接BC,点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PM∥y轴交BC于点M,过点M作 MN⊥y轴，垂足为N.求PM+MN的最大值，并求此时点P的坐标； 题型2二次函数性质解决线段最值问题 一、利用一次函数性质求线段最值的一般步骤： 步骤一：设抛物线上点的坐标，确定自变量的取值范围； 步骤二：用横坐标@或纵坐标表示线段长，化简为二次函数顶点式： 步骤三：利用二次函数性质，结合自变量的取值范围确定最值 二、规律总结 ()遇到求竖直线段最值时： 1根据距离等于纵坐标之差； 2.再根据二次函数性质求最值即可 (2)遇到求点到定直线距离最值时： 1.作垂线和竖直线段； 2.表示竖直线段长： 3利用等角的锐角三角函数建立等量关系，表示出垂线的长； 4,利用一次函数性质求最值 3)遇到求三角形周长最值时： 1.分别表示出各边长： 2.得到对应的一次函数解折式 3/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.利用一次函数性质求解 ()遇到求线段比的最值时： 1,通常情况下要作坐标轴的线，构造相似三角形： 2,根据对应边成址比例例等量关系得到二次函数解折式： 3.利用二次函数性质求解。 【典例1】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,OA=OC=3,顶点为D,对称轴交x轴于点E. (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标. (2)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PNI/y轴交AC于N,求线段PN的最大值及此时点P 的坐标。 4/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 OB x C (3)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PH⊥AC于H,求线段PH的最大值及此时点P的坐 标. 5/31 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (4)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PN/Iy轴交AC于N,过点P作PH⊥AC于H,求 △PNH周长的最大值及此时点P的坐标. H 6/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (5)在抛物线对称轴上找一点N,使得△BCN的周长最小，求△BCN周长的最小值及此时点N的坐标. EI 0 、 (6)在线段OA上找一点N,连接WC,作NM⊥NC交AC于点M,求CM的最小值. 7/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (7)在OC上找-点M,使4M+0MC值最小，求出最小值. 10 E M ! D (8)在抛物线对称轴上有两动点N、M(点N在点M上方)，且MN=1,求四边形BNMC周长的最小值及 此时M的坐标. 8/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 N B (9)在对称轴上找一点N,使得WA-NC最大，求点N的坐标. 题型3几何模型解决线段最值问题 类型 1.用两点之间线段最短”求最值 2.利用垂线段最短求最值 3.用阿氏圆求最值 4.用点圆“线圆”求最值 【典例1】如图1，抛物线y=ax2+5ax+c经过A(3,0),C(0,-4),点B在x轴上，且AC=BC,过点B作 BD⊥x轴交抛物线于点D,点E,F分别是线段CO,BC上的动点，且CE=BF,连接EF. 9/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (1)求抛物线的表达式及点D的坐标： (2)当△CEF是直角三角形时，求点F的坐标； (3)如图2，连接AE,AF,直接写出AE+AF的最小值为：· 【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=axr2+bx-4a≠0)与x轴交于点A,B(2,0)两点，与y轴 交于点C,点A在x轴的负半轴上，OA=OC,点D是抛物线的顶点，连接AD. 10/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PE∥BC交y轴于点E,过点P作PF∥y轴交AD于 点F,点M,V为维上两个动点，点M在点N的左侧，MN-LQ- 连接PN,MH,当 PF+V5 PE取得最大值时，求P点的坐标及PN+MH的最小值： (3)将抛物线y=ax2+bx-4(a≠0)沿射线BC方向平移√5个单位长度，得到新抛物线片，过点A作AR⊥BC 于点R，点Q是新抛物线y上一点，当∠QAR=∠OCB时，请直接写出所有符合条件的点Q的横坐标，并 写出求解点？横坐标的其中一种情况的过程， 11/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 123 【典例3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=三x2 4 2-4与x轴交于A、B两点，与)轴交于点C. 0 B x 图1 图2 (I)求点A、B、C的坐标； (②)如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP,请你直接写出CP+BP的最 小值. 【典例4】如图， 抛物线y=5 2、5 x-2V5分别交x轴于点A,B(点A在点B的左侧)，交y轴 4 2 于点C. 12/31 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B B D 图1 图2 图3 (1)求点A和点B的坐标： (2)以B为圆心，3为半径作圆. ①如图1，连接AC,P是线段AC上的动点，过点P作⊙B的一条切线PM(点M为切点)，求线段PM的 最小值： ②如图2，点D为抛物线的顶点，点Q在圆8上，连接c0DQ,求D0-CQ的最大值， 题型4图形面积问题 求形面积的方法： 1直接公式法： 条件：当三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴时 13/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 B 0 结论：S△ABc 2B·6 2.分割法： 条件：当三角形的格边都不在坐标轴上（不与坐标轴平行）时作法：作辅线将其转化为一边 平行于坐标轴或一边在坐标轴上的三角形面积求解 0 结论：Sa度=Saum+Saa=2BD 1 ·(AE+CF)=BD·(ycya. 2 3.补全法： 条件：当三角形的格边都不在坐标轴上（不与坐标轴平行）时 y A牛 结论：SAAc=S64m-S△CD-S△AaD 1 24D×CD-2CD(x知。) 300 【典例1】在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,3)两点.P是抛物线上一点，且 在直线AB的上方. (1)求抛物线的表达式： (2)若△0AB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； 14/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例2】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,0A=OC=3,顶点为D,对称轴交x轴于点E. (1)求抛物线的解析式、对称轴及顶点D的坐标， OB D (2)求四边形ABCD的面积. 15/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B (3)过E点的直线1将四边形ABCD的面积分成2：7两部分，求直线1的解析式. E B (4)直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得△ACP的面积最大？若存在求△ACP面积的最大值及 此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 16/31 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 V OB (5)直线AC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABCP的面积最大？若存在，求四边形ABCP面 积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由 (6)抛物线上是否存在点P,使得S△4即=S△ABc,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 17/31 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (7)抛物线上是否存在点P,使得S4Cp=S。4cD,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。 B (8)抛物线上是否存在点P,使得S。4o=S.coP,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 18/31 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (9)抛物线上是否存在点P,使得BP平分ABC的面积，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明 理由 (10)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PM⊥x轴于点M,使得AC平分△APM的面积，若 存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 19/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (11)直线AC下方的抛物线上有一动点P,过点P作PM⊥x轴于点M,交直线AC于点N,使得 S。Mw:S。4wP=2:1,若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. M AN OBx 20/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (12)抛物线上有一点P,其横坐标为t,抛物线上另有一点Q,其横坐标为t+4,线段PQ上有一点M, 作MNy轴交抛物线于点N,求PNQ面积的最大值. yA B 题型5角度问题 类型 1.造‘一线三垂直”解决特殊角问题 2. 构造辅詛助圆解决定角问题 3. 求点坐标中的等角问题 4. 构造等腰三角形或平行线解决半角或二倍角问题 【典例】揽物线广-)子+2工)交X轴于4，B两点(A在B的右边，交y轴于点C 21/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 P GD (1) (2) (I)直接写出点A,B,C的坐标： (2)如图(1)，连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ∥AC,交y轴于点Q.若BC平分 线段P四，求点P的坐标； (3)如图(2)，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E,F两点（点E在x轴下方）， 线段DE交抛物线于另一点G,连接FG.若∠EGF=90°，求直线DE的解析式. 【典例2】如图，抛物线y=-4+bx+4与x轴交于4-3,0)，B两点，与y轴交于点C. 3 22/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B A (1)求抛物线解析式及B,C两点坐标； (②)以A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标； (3)该抛物线对称轴上是否存在点E,使得LACE-45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 【典例3】在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C. B 图1 图2 (1)求b的值： (2)如图1，M是抛物线上一点，∠MAB=LAC0,求点M的坐标： 23/31 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例4】如图，抛物线y,=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,0C=0A,AB=4,对 称轴为直线x=-1，将抛物线y绕点0旋转180°后得到新抛物线，抛物线与y轴交于点D,顶点为 E,对称轴为直线Z 图1 图2 (1)分别求抛物线y和的表达式： (2)如图1，点F的坐标为-6,0)，动点M在直线4上，过点M作MN∥x轴与直线马交于点N,连接FM, DN.求FM+MN+DN的最小值； (3)如图2，点H的坐标为(0，-2)，动点P在抛物线上，试探究是否存在点P,使∠PEH=2∠DHE？若存 在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 24/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 03压轴强化训练 1.(25-26九年级上，安徽合肥)如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，抛物线的顶点坐标是A(1,3), 与x轴的一个交点是B(4,O),点P在抛物线上，且在直线AB上方，则下列结论正确的是（) B 01 A.abex0 B.方程ax2+bx+c=3有两个不相等的实数根 C.点P到直线AB的最大距离3N互 D.x(ax+b)≤a+b 16 2.(九年级上·安徽)如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于 点C,过点B,C作一条直线1 (1)∠ABC的度数是： (2)点P在线段OB上，且点P的坐标为(2,0)，过点P作PM⊥x轴，交直线I于点N,交抛物线于点M, 则线段MN的长为· 25/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.(2026重庆.一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-x+c(a≠0)与x轴分别交于 A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C. 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过P作PD∥y轴交AC于点D,过D作DE∥BC交x轴 于点E,线段MN在直线4C上移动且MN=2V2,当PD-25DE取得最大值时，求此时点P的坐标及 5 △PMN的周长的最小值； (3)如图2，将抛物线沿射线AC方向平移3√2个单位得到新抛物线y,点C的对应点为点H,平移后的新抛 物线y的对称轴上有一点F(m,-2),点G为新抛物线y上一动点，若∠CHG=∠CAF,请直接写出点G的 坐标，并写出求G的坐标的其中一种情况的过程. 4.(2026宁夏银川一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2相交于A(-2,0),B(3,m)两点，与 x轴相交于另一点C 26/31 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线 AB于点E. ①当PE=2ED时，求P点坐标； 2 ②是否存在点P使△ABP的面积等于ABC面积的三？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3 5.(2026山东烟台一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与 y轴交于点C,0A=0C=4. 27/31 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A B 0 备用图 (1)求抛物线的表达式： (②)若点P为直线AC上方抛物线上一点，连接BP并交AC于点Q,若AC分△ABP的面积为3：5两部分， 请求出点P的坐标； (3)在y轴上是否存在一点N,使得∠BC0+∠BN0=∠OAC,若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说 明理由。 6.(2026海南省直辖县级单位.一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c过点B(3,0)和点C(0,3). D B 28/31 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的函数关系式： (2)已知点P是BC上方的抛物线上一点，作PD⊥x轴于点D,求PD+OD的最大值： (3)当m-1≤x≤m+2,函数y有最小值为0，求m的值 7.(2026安微阜阳·二模)平面直角坐标系中，如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A-3,0) ,B两点，与y轴交于点C,顶点为D(-1,4),点P是抛物线上A,C两点之间的一动点. B 图1 图2 图3 (1)求这个抛物线的解析式； (2)如图2，过点P作PE⊥AC于点E. ①求线段PE的最大值； ②如图3，过点E作EF⊥y轴于点F,设w=√2PE+EF,求w的最大值， 29/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026安徽蚌埠.一模)抛物线y=x2-3x-4与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧)，与y轴交于点C, 连接AC,BC, (I)求ABC的面积. (2)点P是抛物线上一点，设点P的横坐标为a. ①当抛物线上P,C两点之间的部分（含点P,C)的高度（最高点与最低点的纵坐标之差）为10时，求点 P的坐标。 ②当点P位于第四象限时，过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥y轴于点F,当PE+PF取得最大值时， 求a的值. 9.(25-26九年级上·安徽宿州)如图，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A,B,与y轴交于点C, 且图象经过点(-1,6)，（2，-6)，连接AC. 30/31 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 F M A B D (1)求a,b的值. (2)点D是x轴上一动点，过点D作DM∥y轴，交直线AC于点M,交抛物线于点E,设点D的横坐标为 m. ①当点D在线段A0(点D不与点A,O重合)上运动时，过点E作EF⊥AC,垂足为F,求△MEF周长的 最大值及此时点E的坐标. ②当ME>3时，直接写出m的取值范围. 31/31