精品解析：重庆巫山县初中教育集团2025-2026学年九年级下学期第二次定时作业数学试卷

巫山初中2025-2026学年九年级（下） 数学第二次定时作业 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义．依据“只有符号不同的两个数互为相反数”这一性质即可求解． 【详解】解：∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数是2026． 故选：A． 2. 雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品，下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．该图形沿过中心的竖直直线（或水平直线等）折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，故本选项符合题意； B．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．该图形找不到任何一条直线使得折叠后两部分重合，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 3. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 了解某电视台新闻频道的收视率 B. 对2025年成都世界运动会知晓情况调查 C. 对某一批导弹杀伤力测试 D. 对某校初一年级3班学生身高情况调查 【答案】D 【解析】 【分析】本题需依据全面调查与抽样调查的适用范围判断，全面调查适用于调查范围小、易实施、无破坏性的情况，抽样调查适用于范围广、有破坏性或难以全面调查的情况． 【详解】解：A．调查电视台新闻频道收视率，涉及范围广，无法全面调查，适合抽样调查； B．调查成都世界运动会知晓情况，涉及人群数量多，适合抽样调查； C．对导弹杀伤力测试具有破坏性，适合抽样调查； D．某校初一年级3班学生数量少，易开展调查，适合全面调查； 故选：D． 4. 如图，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．掌握同弧所对圆心角是圆周角的2倍是解题关键． 由同圆半径相等得到，则等边对等角，结合并利用三角形内角和定理可求得的度数，再利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】∵， ∴， ∴． ∴， 故选：C． 5. 观察下列图形，它们是按一定规律排列的．依照此规律，第个图形中五角星的个数为（　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何图形类找规律，根据题意归纳出规律是解题关键． 根据前三个图可推断出规律为，第个图形有个五角星． 【详解】解：第1个图形中五角星个数为1，第2个图形中五角星个数为，第3个图形中五角星个数为，…… ∴第个图形中五角星个数为， ∴第个图形中五角星的个数为个． 故选：B． 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，根据位似图形的概念得到，进而得出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵四边形与四边形位似，其位似中心为点， ， ， ， ． 7. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上的点，根据反比例函数图像上的点的横纵坐标之积为6，进行判断即可． 【详解】解：A、，故点在反比例函数的图像上；符合题意； B、，故点不在反比例函数的图像上；不符合题意； C、，故点不在反比例函数的图像上；不符合题意； D、，故点不在反比例函数的图像上；不符合题意； 故选A 8. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（　　） A. 15% B. 20% C. 5% D. 25% 【答案】B 【解析】 【详解】解：如果设平均每月降低率为x，根据题意可得 250（1﹣x）2=160， 解得：x1=20%．x2=180%（舍去）． 故选B． 考点：一元二次方程． 9. 如图，在正方形中，在对角线上取一点E，使，连接并延长，交边于点H，过点D作于点F，连接，在上取点G，使，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明，则可得，证明，可得，设，则，利用解直角三角形和勾股定理即可得到和，即可解答． 【详解】解：∵四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， 则， ， ， ． 10. 已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题综合考查了整式与因式分解，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 【详解】，为自然数，，，为正整数，且， 且，故，即，，，． 对于：，为单项式． 对于：，．当时，，为单项式；其他为二项式． 对于：，所有为三项式，无单项式． 对于：，所有为四项式，无单项式． ∴满足条件的M中仅有和两个单项式，故①正确． 当时，有种：， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②正确； 二次三项式即， ， ，满足， ，可因式分解需判别式． ∵，∴． 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，舍去 当时，，符合题意， 当时，（舍去，不是二次三项） 当时，（舍去，不是二次三项） ∴使能在实数范围内因式分解的整式M共1个，故③不正确． 综上所述，正确的有①②． 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年清明假期，重庆旅游热度位居全国第一，4月4日至4月6日期间，全市共接待游客58000000人次．数据58000000用科学记数法可表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中的值可以用整数位数减去1来确定． 【详解】解：58000000用科学记数法表示为． 12. 在不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个黑球和3个白球，任意从口袋中摸出一个球来，摸到白球的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求得摸到白球的概率． 【详解】解：∵共有5个球，白球有3个， ∴摸到白球的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 13. 若n为正整数，满足，则______． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则及无理数的估算方法是解题的关键．先计算，估算的取值范围，又因为n为正整数，且满足，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，则 ， ∴ ， ∴， ∴， ∵为正整数，且满足， ∴ ． 故答案为：． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】通过分析方程中的绝对值，确定必须为负数，然后解方程组求得和的值，最后计算幂运算． 【详解】解：由方程，得，故． 由得， 若，则，代入得， ， ∴，即，与矛盾，故． 当时，，方程化为：， ， 解得：， 代入得， 解得：， 验证：，符合条件． 故． 15. 如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则______；若，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先证出，根据等腰三角形的判定可得，再连接，根据圆周角定理可得，然后解直角三角形和勾股定理求解即可得的长；设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 如图，连接， 由圆周角定理得：， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴，． 如图，设与的交点为点，连接，其中交于点，过点作于点， 由圆周角定理得：，即， ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴， 在和， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，综合性强，难度大，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字与百位数字差的2倍等于它的十位数字与个位数字的差，则称M为“倍差数”．对于一个“倍差数”，它的千位和十位数字构成的两位数减去百位与个位数字构成的两位数所得的差记为s，将它的百位和十位数字构成的两位数减去千位与个位数字构成的两位数所得的差记为t，规定：．例如：，因为，所以8651是“倍差数”，，，则．已知四位自然数是“倍差数”，则______；若四位自然数P、Q均为“倍差数”，其中，，，，，，m，n，x，y均为整数，当时，则的值为______． 【答案】 ①. 6 ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减法与乘法的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握“倍差数”的定义是解题关键．先根据“倍差数”的定义可得，再求出的值，代入的计算公式求解即可得；先根据“倍差数”的定义可得，，，，，再代入，根据均为正整数求出的值，从而可得的值，然后代入可得的值，由此即可得． 【详解】解：∵四位自然数是“倍差数”， ∴， ∴， ∴这个四位自然数是， ∴，， ∴． ∵四位自然数中的，， ∴四位自然数， ∵四位自然数为“倍差数”， ∴，，， ∴，， ∴，解得， ∵四位自然数，，， ∴四位自然数， ∵四位自然数为“倍差数”， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，，解得，舍去； 当时，，解得，舍去； 当时，，解得，符合题意； 当时，，解得，舍去； ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6；． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得________，解不等式②得________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为________，所以，原不等式组的整数解为________． 【答案】；；在同一条数轴上表示不等式①②的解集为：；；0，1，2 【解析】 【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再把每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后利用数形结合思想，找出两解集的公共部分即可得不等式组的解集，继而得出不等式组的整数解． 【详解】解：解不等式①得，解不等式②得， 所以，原不等式组的解集为，所以，原不等式组的整数解为0，1，2． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ， ， ， ② ， ， ． 在中，， ③ ， ． 【答案】（1） 如图所示： （2）；； 【解析】 【分析】（1）根据尺规作线段垂直平分线的作图步骤画图即可； （2）根据题干证明思路，结合直角三角形的性质等相关知识解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ∵在中，， ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校举办了数学知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A．；B．；C．，得分在90分以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，84，84，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 a 八年级 84 b 76 （1）填空：_____，_____，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的数学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生，八年级有1000名学生参加了此次数学知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 【答案】（1）84，85，30 （2）八年级的数学知识竞赛成绩较好，理由如下：两个年级的平均数相同，但八年级的中位数比七年级大，故八年级的数学知识竞赛成绩较好． （3）人 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求出，求出八年级C组人数所占的比例，得到的值； （2）根据中位数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级的数据中出现次数最多的是84，故； 八年级数据中A组数据有个，第5个和第6个数据分别为， 故； ，故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）； 答：估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的分式通分化简，再根据单项式乘以多项式和多项式乘以多项式的运算法则去小括号，接着把除法变成乘法后约分化简，进一步通分化简，最后求出x的值，并代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 21. 列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． （1）求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； （2）12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 【答案】（1）杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份 （2）杂酱小面每小时增产25份 【解析】 【分析】（1）设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份，根据“2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份”列方程解答即可． （2）设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份，根据“完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的”列方程解答即可． 【小问1详解】 解：设12月中旬杂酱小面每小时制作x份，则牛肉小面每小时制作份， 根据题意可得， ∴， ∴， 答：杂酱小面每小时制作150份，牛肉小面每小时制作230份． 【小问2详解】 解：设提速后，杂酱小面每小时增产m份，则牛肉小面每小时增产份， ∴， ∴， 经检验知：是原方程的解， 答：杂酱小面每小时增产25份． 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿着折线方向运动到点停止，速度为每秒个单位长度，同时点以个单位长度每秒的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，过点作交于点，设点运动的时间为秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过） 【答案】（1）， （2）画图见解析，性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（）过点作于，可得四边形是矩形，即得，，即可得，分和两种情况，利用三角形面积公式和相似三角形的性质可求出的函数表达式，在利用求出可求出的函数表达式； （）根据函数解析式画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，相似三角形的判定和性质，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，如图，过点作的延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 解：画图如下： 由图象可知，当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当或时，． 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，取交于点，不妨设，根据题意，可知，先求得，那么，接着利用等腰三角形的性质，得到，，然后利用外角求得，那么，然后在中应用勾股定理求得答案； （2）过点作于点，不妨设，那么，，，然后证明，那么， ，，最后在中利用勾股定理求得答案． 【小问1详解】 解： 过点作于点，取交于点，不妨设，如图所示： 根据题意，可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴； 答：小福家B与学校D的距离为千米． 【小问2详解】 解：∵小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处， ∴不妨设，那么， ∴，， ∵的距离比的距离还少2千米， ∴， 过点作于点，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（舍去负值）， ∴， ∵， ∴． 答：博物馆C与小福家B的距离为千米． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）当取得最大值时，点的坐标为及的最小值为4 （3）符合条件的点N的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据点A的坐标和，可求得点C的坐标，再根据待定系数法解答即可； （2）过点P作交直线于点F，先求得点B的坐标，从而得到，设，则，表示出，利用，可推出关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质可求得其最大值和此时点P的坐标；然后过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H，利用得到，结合，即可求解； （3）连接、、，利用等腰三角形三线合一可推出，从而求得，进而可知该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，得到的表达式；然后分两种情况讨论：①当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接，通过证明和，得到；接着过点M作于点H，则为等腰三角形，设，，利用，求得点F的坐标，进而求得直线的表达式，与的表达式联立，即可求得点N的坐标；②当在x轴的下方时，同①可求． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点P作交直线于点F， 令，则， 解得或4， ∴， ∴， ∴， ∵点P是直线上方该抛物线的一动点， ∴设，直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴点F的纵坐标为， 则，此时， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴此时； 如图，过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当点P、E、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为， ∵，，轴，， ∴， ∴的最小值为4； 【小问3详解】 解：符合条件的点N的坐标为或； 如图，连接、、， ∵，， ∴，， ∴， 又∵点G是的中点，即， ∴， ∴，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∵， ∴，对称轴为直线； ①如图，当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接， ∵是抛物线对称轴上纵坐标为1的点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点H，则为等腰三角形， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； ②如图，当在x轴的下方时， 同①可求得，直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，符合条件的点N的坐标为或； 25. 如图，在中，，点D为平面内一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到线段． （1）如图1，点D在线段上，，，点E恰好在的延长线上，延长交于点F，求证：； （2）如图2，，点D在内部，，点E在线段上，连接，G为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，连接，G为的中点，连接，直线平分，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，当点H到直线的距离最大时，请直接写出的值． 【答案】（1） 由旋转可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）， 理由如下： 延长至M，使，连接， 由旋转可知：，， ∴， ∵G为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 即： ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）因为绕D逆时针旋转α得到，所以，可先推导的内角角度；因为是等腰直角三角形，所以可得出的度数；要证，可通过推导和的度数相等来实现，利用三角形内角和定理及外角性质分析角度关系． （2）因为G是中点，考虑构造中位线或倍长中线；因为旋转得到，，可推导和的关系，可能用到相似三角形或全等三角形的判定定理；要找与的数量关系，可通过构造的辅助线将和转化到同一个三角形中，利用特殊三角形的性质分析． （3）延长至M，使，连接，，则垂直平分，由是等边三角形，，平分，得，由，可得，点D是在以为直径的圆上运动，设圆心为O，交于点K，连接，，当过点O时，最大，四边形是矩形，得，求出，，，得，由，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至M，使，连接，， 由翻折知，垂直平分，设垂足为点J， 由（2）知，是等边三角形，， ∵平分，设直线交于点N， ∴， 由旋转知，， 当点D在左下方时，， 当点D在右上方时， ∵， ∴， ∴点D是在以为直径的圆上运动， 设圆心为O，交于点K，连接，， 当过点O时，为直径，最大， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 巫山初中2025-2026学年九年级（下） 数学第二次定时作业 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ） A. 2026 B. C. D. 2. 雪花晶体是高空中过饱和水汽在低温下凝华、以六方冰晶形态生长而成，它们每一片都是大自然精巧美丽、独一无二的工艺品，下列以雪花为主题的图标中，是轴对称图形的是（） A. B. C. D. 3. 下列调查中，最适合全面调查的是（ ） A. 了解某电视台新闻频道的收视率 B. 对2025年成都世界运动会知晓情况调查 C. 对某一批导弹杀伤力测试 D. 对某校初一年级3班学生身高情况调查 4. 如图，点A、B、C都在上，且点C在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 观察下列图形，它们是按一定规律排列的．依照此规律，第个图形中五角星的个数为（　　）． A. B. C. D. 6. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 反比例函数的图像一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 8. 某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（　　） A. 15% B. 20% C. 5% D. 25% 9. 如图，在正方形中，在对角线上取一点E，使，连接并延长，交边于点H，过点D作于点F，连接，在上取点G，使，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 已知整式，其中n，为自然数，，…，为正整数，且…①满足条件的所有整式M中有且仅有2个单项式；②当时，满足条件的所有整式M的和为；③满足条件的所有二次三项式中，使能在实数范围内因式分解的整式M共3个．其中正确的个数是( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 2026年清明假期，重庆旅游热度位居全国第一，4月4日至4月6日期间，全市共接待游客58000000人次．数据58000000用科学记数法可表示为_____． 12. 在不透明的口袋中装有除颜色外其它都相同的2个黑球和3个白球，任意从口袋中摸出一个球来，摸到白球的概率为______． 13. 若n为正整数，满足，则______． 14. 若实数x，y同时满足，，则的值为____． 15. 如图，在平行四边形中，为锐角，，点E、F分别是、上的点，连接、交于点M，以为直径的圆O交于点G，且，，则______；若，______． 16. 对于一个四位自然数M，若它的千位数字与百位数字差的2倍等于它的十位数字与个位数字的差，则称M为“倍差数”．对于一个“倍差数”，它的千位和十位数字构成的两位数减去百位与个位数字构成的两位数所得的差记为s，将它的百位和十位数字构成的两位数减去千位与个位数字构成的两位数所得的差记为t，规定：．例如：，因为，所以8651是“倍差数”，，，则．已知四位自然数是“倍差数”，则______；若四位自然数P、Q均为“倍差数”，其中，，，，，，m，n，x，y均为整数，当时，则的值为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线）． 17. 解不等式组：，并写出所有整数解． 解：解不等式①得________，解不等式②得________， 在同一条数轴上表示不等式①②的解集： 所以，原不等式组的解集为________，所以，原不等式组的整数解为________． 18. 在学习了三角形和四边形的相关知识后，小南继续进行深入研究：如图，在矩形中，是对角线，请根据他的思路完成以下作图和推理填空： （1）尺规作图：作线段的垂直平分线，垂足为点，分别交边，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）若，求证：． 证明：四边形是矩形， ，_____①_____， ． 垂直平分， ， ， ， ② ， ， ． 在中，， ③ ， ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 某校举办了数学知识竞赛．现从该校七、八年级各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述和分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分为三组：A．；B．；C．，得分在90分以上为优秀）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩为：72，76，81，83，84，84，86，88，92，94． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组的数据是：84，86，86． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 84 84 a 八年级 84 b 76 （1）填空：_____，_____，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的数学知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有1200名学生，八年级有1000名学生参加了此次数学知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次数学知识竞赛成绩优秀的学生人数一共是多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题：重庆小面是重庆的一大特色美食，某面馆主打经营牛肉小面和杂酱小面两种特色小面，去年12月中旬该面馆门前顾客排队等待吃小面．经测算，该面馆平均每小时制作的牛肉小面比杂酱小面多80份，且2小时制作的牛肉小面总量比3小时制作的杂酱小面总量多10份． （1）求12月中旬两种小面每小时各制作多少份； （2）12月下旬，随着元旦的到来，人流量有所增加，为让每位顾客减少等待时间，该面馆提升了后厨的硬件设备，提升了师傅的制作效率．提速后，牛肉小面每小时增产的份数是杂酱小面每小时增产份数的2倍．已知当天需完成牛肉小面300份、杂酱小面150份，且完成牛肉小面所用时间是完成杂酱小面所用时间的，则提速后，杂酱小面每小时增产多少份？ 22. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿着折线方向运动到点停止，速度为每秒个单位长度，同时点以个单位长度每秒的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，过点作交于点，设点运动的时间为秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过） 23. 今年元旦节小希和小福约好一起去游览博物馆，如图A，B，C，D在同一平面内，已知小希家A位于小福家B的东南方向，位于学校D的正西方5千米处；小福家B位于学校D的北偏西方向；博物馆C位于小福家B的北偏东方向．（参考数据：，，） （1）求小福家B与学校D的距离（结果保留一位小数）； （2）小希从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C；同时小福也从自己家出发，沿方向匀速前往博物馆C，已知小希和小福的速度之比为．小福到达博物馆C后发现忘记带身份证，于是立即原速回家B处取，当他到家后得知小希正好到了DC方向的超市E处，他们查阅地图发现从B到E正好有一条公路可以直达，公路与的夹角（），且的距离比的距离还少2千米，于是两人商定小希在E处等待小福．求博物馆C与小福家B的距离（结果保留一位小数） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 如图，在中，，点D为平面内一点，连接，将绕点D逆时针方向旋转得到线段． （1）如图1，点D在线段上，，，点E恰好在的延长线上，延长交于点F，求证：； （2）如图2，，点D在内部，，点E在线段上，连接，G为的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明； （3）如图3，，，连接，G为的中点，连接，直线平分，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到，当点H到直线的距离最大时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $