学易金卷：高二数学下学期第三次月考01（上海专用）【测试范围：导数、排列组合、概率统计、圆锥曲线】

**基本信息** 聚焦高二选择性必修内容，分A/B组题适配不同层次，以蝗虫灾害、绿色出行为情境，融合导数、概率统计等知识，考查数学建模与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|极限、导数几何意义、排列组合|结合茎叶图、随机数表考查统计基础| |选择题|4/18|相关系数、正态分布、椭圆性质|以散点图、导函数图像辨析数学眼光| |解答题|5/78|导数应用、概率分布列、统计案例|20题绿色出行概率结合数列递推，21题通道问题深化逻辑推理|

2025-2026学年高二下学期第三次月考A卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章（A卷添加选择性必修第二册第7章~ 第8章；B卷添加选择性必修第一册第2章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．极限 ． 2．曲线在点处的切线方程为 ． 3．设，则当时， ． 4． 某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个 最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场工作人员做了9个分数 的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示(见下图)，则的值为 . 5．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个， 利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是 . 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 6．（A组）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”， 则 . 6．（B组）已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点， 若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 7．（A组）从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了 人民生活；世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会；已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数 的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：由上表可得经验回归方程 ，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为 ． 7． （B组）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线 过点，则直线的斜率为 ． 8．（A组）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球； 2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球， 则第二次抽到3号球的概率为 . 8．（B组）设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是 ． 9．已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 10．已知，设曲线与函数的图象关于直线对称； 若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是 . 11．已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是 . 12．（A组）若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________． 12．（B组）已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）13．下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 13．（B组）已知函数的导函数的图像如下图，那么的图像可能是（ ） A． B． C． D． 14．（A组）下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点， 设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A． ①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 14．（B组）定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论： ①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 15．（A组）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15． （B组）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数 都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”． 那么下列结论正确的是（     ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 16．（A组）若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立， 则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．（B组）已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．则说法正确的选项是（    ） A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数． （1）若是上的单调函数，求的取值范围；（2）当时，求在的最小值． 17．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须 安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 18．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩 在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，； （2） 若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享， 记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 18．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于两点， 且点为线段的中点，求直线的方程． 19．（A组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校 高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况， 现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2） 是否有的把握认为“数学成绩总评优秀 与每天都整理数学错题有关”？附：； （3） 从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 19．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，． 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时， 销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积． （1）已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元， 求实数的取值范围． 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚；甲、乙、丙三人为响应 “绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种；他们之间的 出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月 第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复． （1） 若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2） 记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望； （3）求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数． 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：的左、右焦点为、. （1） 已知为的上顶点，求的周长；（2）已知直线交于，两点，若， 求直线的方程；（3）已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上 一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和， 使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道， 与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数 . （1） 若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2） 设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围； （3） 对于函数，若函数有两个极值点为、， 且不等式恒成立，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期第三次月考数学卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章（A卷添加选择性必修第二册第7章~ 第8章；B卷添加选择性必修第一册第2章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．/ 2． 3． 4． 5．11 6．（A组）/ 6．（B组）2 7．（A组） 7．（B组） 8．（A组） 8．（B组） 9． 10． 11． 12．（A组） 12．（B组） 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）A 13．（B组）D 14．（A组）A 14．（B组）C 15．（A组）B 15．（B组）D 16．（A组）B 16．（B组）C 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数． （1）若是上的单调函数，求的取值范围；（2）当时，求在的最小值． 17．（1）；（2）. 【分析】（1）转化为对任意，利用可得答案；（2）求出，根据单调性可得答案. 【详解】（1），……2分，若是定义域内的单调函数，则任意， 所以，解得，……2分， 所以实数的取值范围为；……2分； （2） 当时，，……2分， 令，解得，或，……2分， 所以在单调递增，在上，单调递减，……2分， 所以在的最小值为．……2分. 17．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须 安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 17．（1）1440；（2）25；（3）1200. 【分析】（1）采用插空法进行求解即可；（2）采用去杂法进行求解即可； （3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知；运用插空法，……2分，可得共有排法数为种.……2分， （2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，……2分， 男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种.……2分， （3） 有两类不同情形：①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种；……2分， ②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人， 其方法数为种；……2分， 所以共有种不同的安排方法.……2分. 18．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩 在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，； （2） 若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享， 记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 18．（1），；（2）分布列见解析，，. 【分析】（1）由题设写出相关概率值，再应用全概率公式求； （2）由题意可能值为并求出对应概率，即得分布列，进而求期望和方差. 【详解】（1）由题设，……2分，则，且，，……2分， 所以.……2分 （2）由题意，可能值为，……1分， 且，，，……3分， 所以的分布列如下，……1分， 0 1 2 则，.……3分. 18．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于两点， 且点为线段的中点，求直线的方程． 18．（1）；（2）. 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上，……2分， 由抛物线定义可得，解得，……2分， 故抛物线的标准方程为．……2分 （2）设，……1分，如右上图所示：则，……1分， 两式相减可得，即，……2分， 又线段的中点为，可得，则；……2分， 故直线的斜率为4，所以直线的方程为，即直线的方程为．……2分. 19．（A组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校 高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况， 现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2） 是否有的把握认为“数学成绩总评优秀 与每天都整理数学错题有关”？附：； （3） 从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 19．（1）列联表见解析，0.35；（2）有；（3）分布列见解析，期望为. 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率；（2）求出的观测值，与临界值比对得解； （4） 求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）完善列联表， 如下：……3分， 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为；……1分 0 1 2 3 （2）由（1）得，……2分， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； ……2分 （3） 不是每天都整理数学错题的学生有20人， 其中数学成绩总评优秀人数为5，的所有可能值为0，1，2，3，……1分， ，，……3分， 所以的分布列如右上表：……1分， 期望.……1分. 19．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，． 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时， 销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积． （1）已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元， 求实数的取值范围． 19．（1）；（2）. 【分析】（1）由题意，月销售额是一个分段函数，先确定分段点：由，得，结合函数 定义域得，因此月销售额为，再分别求各段最大值的最大值，一段 为二次函数最值，另一段为三次函数最值，需利用导数求解；（2）题意为方程=对应的解不低于6， 小于14，由于函数为单调增函数，所以原题意等价于，，解得． 【详解】（1） 若，由，得．解得． 因为，所以；……1分， 设该商品的月销售额为，则，……1分， 当时， ，……1分， 当时，， 则，由，得，……2分， 所以在上是增函数，在上是减函数，当时，有最大值；……1分； （2） 设，……2分， 因为，所以在区间上是增函数，……2分， 若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数在区间上有零点，……1分， 所以，即，解得．……2分， 答：（1）若，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大； （2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是． ……1分. 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚；甲、乙、丙三人为响应 “绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种；他们之间的 出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月 第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复． （1） 若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2） 记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望； （3）求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数． 20．（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）；2天. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件， 记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件，……1分， 则，……1分， 又，所以， 即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为．……2分； （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，则， ， ，，……3分， 所以的分布列为：……1分， 0 1 2 3 故，即的数学期望为；……2分； （3）由题意得，则 ， 所以，……2分，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，……2分， 所以，经检验当时，上式也成立， 所以；……1分， 由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 则，即，……1分， 当为偶数时，显然不成立，当为奇数时，不等式可变为， 当时，成立；当时，成立； 当时，，则时，不成立；……1分， 又因为函数单调递减，所以当时，不成立，所以只有在第1天和第3天时， ，所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2天．……1分. 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：的左、右焦点为、. （1） 已知为的上顶点，求的周长；（2）已知直线交于，两点，若， 求直线的方程；（3）已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上 一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 20．（1）；（2）或；（3）存在. 此时，. 【分析】（1）先根据椭圆的方程写出点，，的坐标；再根据两点间距离公式得出，，，从而可求出的周长；（2）先根据得出 ，，三点共线；再设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，结合即可求出，从而得出直线的方程；（3）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，进而得出，及线段的中点坐标；再求出线段的垂直平分线方程，得出点的坐标；最后根据 ，列出关于的方程求解即可做出结论. 【详解】（1）由椭圆方程可得：，，则，……2分， 所以有，，，由两点间距离公式可得：，，， 所以的周长为；……2分； （2） 设点，，由可得： ，，三点共线且，即，……1分， 当直线过点，且斜率为时，则，点，不满足；所以直线过点，且斜率不为，设直线方程为， 联立方程组，整理得：，则， 由韦达定理可得，……3分， 结合可得：或，则直线的方程为或， 即或.……2分； （3）设点，，联立直线与椭圆的方程，整理得：， 则，解得，由韦达定理可得，……2分， 则，； 线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为：，……2分， 令，得，设为轴上一点， 假设存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形， 则，，又因为，， 所以，……2分， 即，整理得：，因为，所以；……1分， 综上，存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，此时，.……1分. 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和， 使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道， 与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 21．（1）与；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）求出函数的值域，再利用给定定义求解即得；（2）利用辅助角公式求出的 值域，再利用不等式的性质可得，结合定义推理即得；（3）利用导数求出 函数的值域，假定存在，设出通道下界与通道上界的直线方程，利用定义建立不等式， 构造函数，按探讨函数值情况即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为R，在R上单调递增，……1分， 而，则，即，因此，……1分， 取，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：， 显然直线与的距离为2，因此通道宽度不超过3， 所以通道下界与通道上界的直线方程分别为与；……2分， （2）函数的定义域为R，而， 即，则，……2分，取， 得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：，……2分， 显然直线与的距离， 所以存在宽度为2的通道；……2分； （3）函数，求导得，函数在上单调递减， 则，……1分， 显然当时，恒有，即，假设存在宽度为的通道， 设通道下界与通道上界的直线方程分别为，，……1分， 则对任意，恒成立，即， 令，……1分， 当时，则，而，不符合题意；……1分， 当时，对任意，，函数在上单调递减， 值域为，因此不存在，使得对任意，成立， 即不存在宽度为的通道；……1分， 当时，对任意，，函数在上单调递增，值域为， 因此不存在，使得对任意，成立，即不存在宽度为的通道；……2分， 综上，不存在宽度为的通道.……1分. 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数 . （1） 若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2） 设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围； （3） 对于函数，若函数有两个极值点为、， 且不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，将原点的坐标代入切线方程，即可求得实数的值；（2）分析可知对任意的，恒成立，由参变量分离法可得， 利用导数求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；（3）分析可知， 方程在上有两个不等的实根、，根据判别式以及韦达定理求出的取值范围，由参变量分离法可得，令，，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，其中，则，……1分， 所以，，，……1分， 所以，函数的图象在点处的切线方程为， 将原点的坐标代入切线方程可得，解得；……2分； （2）解：，则，……1分， 因为函数在区间上为减函数，故对任意的，恒成立，……1分， 可得，令，其中，则，……1分， 当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因为，，则，故；……2分， 故实数的取值范围是；……1分； （3）解：因为，由题意可知，方程在上有两个不等的实根， 即方程在上有两个不等的实根，则，可得，……2分， 由可得，……1分， 又因为 ，所以，，……2分， 令，令，其中，，……1分， 所以，函数在上为减函数，故当时，， 所以，，因此，实数的取值范围是.……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期第三次月考A卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 1234 4. 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 123456789 5678q 123456789 123456789 123456789 0123456789 0123456789 0123456789 缺考标记 填空题（本大题共有12题，满分54分， 第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 3. 5. 6 7 10 11. 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 10. I4) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）2025-2026学年高二下学期第三次月考B卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年高二下学期第三次月考B卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 1234 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 4 4 4. 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 123456789 5678q 123456789 123456789 123456789 0123456789 0123456789 0123456789 缺考标记 填空题（本大题共有12题，满分54分， 第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 3. 5. 6 7 10 11. 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15 [A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) （4,2) ○ 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 10. I4) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考试卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章（A卷添加选择性必修第二册第7章~ 第8章；B卷添加选择性必修第一册第2章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．极限 ． 1．/【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可. 【详解】；故答案为：. 2．曲线在点处的切线方程为 ． 2．【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上．求导得：，所以． 故切线方程为．故答案为：． 3．设，则当时， ． 3．【分析】先求出的通项，求出，再由，即可求出的值. 【详解】展开式的通项为，则，， 由，可得，即，所以．故答案为：. 4． 某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个 最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场工作人员做了9个分数 的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示(见下图)，则的值为 . 4．【分析】根据已知条件及茎叶图的特点，结合平均数公式即可求解. 【详解】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为，最高分为， 所以剩余个数为，因为个剩余分数的平均分为， 所以，解得，所以的值为.故答案为：. 5．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个， 利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是 . 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 5．11【分析】由题意可知，由47，从左至右依次读取00-39的数，可求得结果 【详解】利用随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，即47开始读取，在编号范围内的 提取出来，可得36，33，26，16，11，则选出来的第5个零件编号是11，故答案为：11. 6．（A组）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”， 则 . 6．/【分析】首先求出事件、事件的基本事件数，再由条件概率公式计算可得. 【详解】事件（数字之和大于5）的基本事件数（数字组合）， 共有种；而事件（最小数字是2且和大于5， 即）的基本事件数有种，由条件概率公式；故答案为：. 6．（B组）已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点， 若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． 6．【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得关系， 进而求出离心率.【详解】设内切圆半径为，由题意知， 所以 ，即， 由点为双曲线右支上的一点，则， 故双曲线的离心率；故答案为：. x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 7．（A组）从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了 人民生活；世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会；已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然对数 的底数）拟合，设，其变换后得到一组数据：由上表可得经验回归方程 ，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为 ． 7．【分析】根据题意，求得样本中心代入回归方程，求得，进而求得，令时，求得的值，即可得到答案. 【详解】由表格数据得，， 因为数对满足，解得， 所以，即，可得，当时，可得， 即当时，蝗虫的产卵量的估计值为．故答案为：． 7． （B组）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点，若的平分线 过点，则直线的斜率为 ． 7．【分析】分别设出直线、直线和直线的方程，以及，两点坐标， 利用角平分线到角两边距离相等，可得直线和直线的斜率积为，从而得到， 联立直线与抛物线，结合韦达定理即可求解. 【详解】设直线的方程为，即，设直线，的方程分别为 ，，即，， 设，，的平分线过点，， 整理得：，， ，则，即，由，得，，．又，，解得：或（舍去）.故答案为：. 8．（A组）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球； 2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球， 则第二次抽到3号球的概率为 . 8．【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可. 【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，， 记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而，，两两互斥，和为， ，，，记第二次抽到3号球的事件为B， ；故答案为:. 8．（B组）设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是 ． 8．【分析】设，，再设，， 由得到的范围，再由计算可得. 【详解】设，， 则，设，，则，， 所以， ， 所以，即，故， 又， 即；故答案为：. 9．已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 9．【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同零点的问题， 根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果. 【详解】函数的定义域为，， 函数既有极大值又有极小值，在上有两个不同零点， ，解得：，即的取值范围为；故答案为：. 10．已知，设曲线与函数的图象关于直线对称； 若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是 . 10．【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增.当时，函数在处的切线与轴垂直，所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需，由 ， 又，所以，所以；故答案为：. 11．已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是 . 11．【分析】先分别设出直线与两曲线的切点坐标，写出切线方程；再根据直线与两曲线都相切，列出方程组，整理得出；最后构造函， 利用导数判断函数的单调性，求出最值，得出函数的值域，从而求出的取值范围. 【详解】设直线与曲线相切于点，由可得：， 则直线的斜率为：，直线的方程为：， 即，设直线与曲线相切于点，由可得：，则直线的斜率为：，直线的方程为：，即， 因为存在直线与曲线和曲线都相切，所以， 整理得：，令， 则，令，解得：或；令， 解得：或；所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，又因为， ，当时，， 所以函数的值域为，所以的取值范围是；故答案为：. 12．（A组）若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________． 12．【分析】先分类讨论的最小值，再分类讨论研究函数的单调性，根据题意得到关于的不等式，利用构造函数，使用导数研究不等式的解的情况，从而综合得出实数a的取值范围． 【详解】（1）①当时，，，，恒成立， 在上增函数，故当时， ②当时，，， （I）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数， 故当时，，且此时 （II）当，即时，在时为负数，在时为正数， 所以在区间上为减函数，在上为增函数，故当时，， 且此时 （III）当，即时，在时为负数，所以在区间上为减函数， 故当时，．综上所述，． 由于当趋近于时，的趋近于， ①当时，在上,，单调递增，在的取值范围是[g,由题意得，解得； ②当时，.，即时，在上减， 在上增，当趋近于时，g的趋近于，由题意得，即(*)设，，，，所以单调递增， ∴，当且仅当时取等号.∴由得,即，∴时符合题意；③当时在递增，在递减，在递增，当趋近于时，g的趋近于， 若时，由题意得得（**），设，，则，所以递增，且， 所以恒成立，∴此时不等式（**）无解；若当时，由题意得得：，即（***）由于，∴, 而，∴不等式（***）无解； 综上，所求a的取值范围是；故答案为：. 12．（B组）已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________. 12.【答案】 【分析】通过讨论的范围，利用函数的单调性及零点存在定理判断函数的零点个数，从而确定的范围.【详解】当时，，，， 故，由零点存在性定理知：在区间上至少有1个零点； 当时，，符合题意；当时，，，由零点存在性定理知， 在区间至少有1个零点； 当时， ，因为，，所以，， 当时，，，递增， 当时，，，递减， 故在上递增，在上递减，又， 即在上，，故在区间上没有零点．所以，当时，函数 在上有零点.令，， 可知为奇函数，图象关于原点对称，从而，当时，函数 在上有零点.又当时，，符合题意，综上，实数的取值范围；故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）13．下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 13．A【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于； 选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大； 选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数；选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A 的大，综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小. 故选：A. 13．（B组）已知函数的导函数的图像如下图，那么的图像可能是（ ） A． B． C． D． 13．D【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小可得答案. 【详解】因为，的导数大于零，因此，，单调递增，又，的导数表示曲线与的曲线上任一点切线的斜率，是单调递减的，故增的慢，是单调递增的，故增的快，排除A、C，又，即与在的切线是平行的，排除B；故选：D. 14．（A组）下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点， 设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A． ①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 14．A【分析】根据二项分布的概率公式判断①，根据正态分布的性质判断②，根据条件概率判断③， 根据期望与方差的性质判断④. 【详解】对于①：随机变量服从二项分布，则，故①正确； 对于②：随机变量服从正态分布且， 则，故②正确； 对于③：事件 “4个人去的景点互不相同”，事件 “小赵独自去一个景点”，则，，所以，故③正确；对于④：，，故④错误； 故选：A． 14．（B组）定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论： ①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 14．C【分析】曲线：上取点，利用点的坐标证得对称性，从而判断出①②， 利用的范围可以判断出③，从而得出结论. 【详解】曲线：上取点，则该点关于轴对称的点也在曲线，故曲线关于轴 对称，同理可证曲线关于轴对称，则该点关于原点对称点也在曲线，故曲线关于原点对称，故①②正确；曲线：，则，而椭圆：中，， 故曲线与椭圆无公共点，③错误；综上，正确的有2个，故选：C. 15．（A组）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 15．B【分析】通过已知的递推公式，逐步推导出的表达式，进而求出的值.首先对递推公式进行变形，构造出一个新的数列，求出新数列的通项公式，再得到的通项公式， 最后代入求值. 【详解】因为，等式两边同时除以，得到，设， 则，且，所以是以0为首项，为公差的等差数列， 所以该数列的通项公式为，所以， 所以.故选：B. 15． （B组）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数 都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”． 那么下列结论正确的是（     ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 15．D【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果.【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误；对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误，对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误，对于选项D，因为， ，所以，所以选项D正确；故选：D. 16．（A组）若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立， 则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．B【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出， 再求出即可解决问题；当然，方法二可以结合max、min函数图形来简化解题过程. 【详解】不等式等价于即， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立，记，则， （1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减 ①当，即时，，②当，即时， ，从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增，所以； （2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减， ，，， ①当时，此时，     当即时，； 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以；令，则，， 记，则，当时，恒成立， 即在区间上单调递减，即，即； ②当时，此时， 当即时，； 当即时，，从而当时， ，则在区间上单调递减， 在区间上单调递增，所以； （3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增，， ①当，即时，； ②当，即时，，从而当时，，则在上单调递减，在上单调递增，所以，； 综上所述，，所以；故选：B. 16．（B组）已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．则说法正确的选项是（    ） A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题 16．C【分析】代入求得判断A；利用函数的周期判断B；利用已知条件和函数的周期性判断C；根据函数的奇偶性结合已知条件求出，判断D. 【详解】对A，因为为偶函数，所以是奇函数，所以，又， 所以，故A对；对B，由，， 得，所以，所以，， 又，所以是周期为4的函数，也是周期为4的函数， 所以，故B对；对C，在上严格增， 在上严格减，由，可知在严格递减，在严格递增， 又的周期为4， 所以在严格递增，所以在严格递减，在严格递减，又，所以0是的极大值点，是周期为4的函数，所以2024是的极大值点，C错； 对D，若为偶函数，由于是奇函数，，则，即，所以，，所以唯一，不唯一，故D对；故选：C. 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数． （1）若是上的单调函数，求的取值范围；（2）当时，求在的最小值． 17．（1）；（2）. 【分析】（1）转化为对任意，利用可得答案；（2）求出，根据单调性可得答案. 【详解】（1），……2分，若是定义域内的单调函数，则任意， 所以，解得，……2分， 所以实数的取值范围为；……2分； （2） 当时，，……2分， 令，解得，或，……2分， 所以在单调递增，在上，单调递减，……2分， 所以在的最小值为．……2分. 17．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须 安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 17．（1）1440；（2）25；（3）1200. 【分析】（1）采用插空法进行求解即可；（2）采用去杂法进行求解即可； （3）根据分类加法计数原理，结合排列和组合的定义进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知；运用插空法，……2分，可得共有排法数为种.……2分， （2）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，……2分， 男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种.……2分， （3） 有两类不同情形：①先选4个工厂，将3名女生和1名男生安排在同一个工厂，其余3名男生分别在另三个工厂，一厂安排一人，其方法数为种；……2分， ②先选4个工厂，将3名女生安排在一个工厂，4名男生安排在另外三个工厂，有一厂两人，另两厂各一人， 其方法数为种；……2分， 所以共有种不同的安排方法.……2分. 18．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩 在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，； （2） 若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享， 记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 18．（1），；（2）分布列见解析，，. 【分析】（1）由题设写出相关概率值，再应用全概率公式求； （2）由题意可能值为并求出对应概率，即得分布列，进而求期望和方差. 【详解】（1）由题设，……2分，则，且，，……2分， 所以.……2分 （2）由题意，可能值为，……1分， 且，，，……3分， 所以的分布列如下，……1分， 0 1 2 则，.……3分. 18．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于两点， 且点为线段的中点，求直线的方程． 18．（1）；（2）. 【分析】（1）利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程； （2）由弦中点坐标为并利用点差法即可求得直线的斜率为，便可得直线方程. 【详解】（1）点在抛物线上，……2分， 由抛物线定义可得，解得，……2分， 故抛物线的标准方程为．……2分 （2）设，……1分，如右上图所示：则，……1分， 两式相减可得，即，……2分， 又线段的中点为，可得，则；……2分， 故直线的斜率为4，所以直线的方程为，即直线的方程为．……2分. 19．（A组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校 高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况， 现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2） 是否有的把握认为“数学成绩总评优秀 与每天都整理数学错题有关”？附：； （3） 从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 19．（1）列联表见解析，0.35；（2）有；（3）分布列见解析，期望为. 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率；（2）求出的观测值，与临界值比对得解； （4） 求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望.【详解】（1）完善列联表， 如下：……3分， 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为；……1分 0 1 2 3 （2）由（1）得，……2分， 所以有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”； ……2分 （3） 不是每天都整理数学错题的学生有20人， 其中数学成绩总评优秀人数为5，的所有可能值为0，1，2，3，……1分， ，，……3分， 所以的分布列如右上表：……1分， 期望.……1分. 19．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，． 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时， 销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积． （1）已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元， 求实数的取值范围． 19．（1）；（2）. 【分析】（1）由题意，月销售额是一个分段函数，先确定分段点：由，得，结合函数 定义域得，因此月销售额为，再分别求各段最大值的最大值，一段 为二次函数最值，另一段为三次函数最值，需利用导数求解；（2）题意为方程=对应的解不低于6， 小于14，由于函数为单调增函数，所以原题意等价于，，解得． 【详解】（1） 若，由，得．解得． 因为，所以；……1分， 设该商品的月销售额为，则，……1分， 当时， ，……1分， 当时，， 则，由，得，……2分， 所以在上是增函数，在上是减函数，当时，有最大值；……1分； （2） 设，……2分， 因为，所以在区间上是增函数，……2分， 若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数在区间上有零点，……1分， 所以，即，解得．……2分， 答：（1）若，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大； （2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，实数a的取值范围是． ……1分. 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚；甲、乙、丙三人为响应 “绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种；他们之间的 出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月 第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复． （1） 若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2） 记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望； （3）求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数． 20．（1）；（2）分布列见解析；期望为；（3）；2天. 【详解】（1）记甲、乙、丙三人3月1日选择“共享单车”出行分别为事件， 记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件，……1分， 则，……1分， 又，所以， 即若3月1日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为．……2分； （2）由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，3，则， ， ，，……3分， 所以的分布列为：……1分， 0 1 2 3 故，即的数学期望为；……2分； （3）由题意得，则 ， 所以，……2分，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，……2分， 所以，经检验当时，上式也成立， 所以；……1分， 由题意知，3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足，即， 则，即，……1分， 当为偶数时，显然不成立，当为奇数时，不等式可变为， 当时，成立；当时，成立； 当时，，则时，不成立；……1分， 又因为函数单调递减，所以当时，不成立，所以只有在第1天和第3天时， ，所以丙在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2天．……1分. 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：的左、右焦点为、. （1） 已知为的上顶点，求的周长；（2）已知直线交于，两点，若， 求直线的方程；（3）已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上 一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 20．（1）；（2）或；（3）存在. 此时，. 【分析】（1）先根据椭圆的方程写出点，，的坐标；再根据两点间距离公式得出，，，从而可求出的周长；（2）先根据得出 ，，三点共线；再设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，结合即可求出，从而得出直线的方程；（3）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，进而得出，及线段的中点坐标；再求出线段的垂直平分线方程，得出点的坐标；最后根据 ，列出关于的方程求解即可做出结论. 【详解】（1）由椭圆方程可得：，，则，……2分， 所以有，，，由两点间距离公式可得：，，， 所以的周长为；……2分； （2） 设点，，由可得： ，，三点共线且，即，……1分， 当直线过点，且斜率为时，则，点，不满足； 所以直线过点，且斜率不为，设直线方程为，联立方程组， 整理得：，则， 由韦达定理可得，……3分， 结合可得：或，则直线的方程为 或，即或.……2分； （3）设点，，联立直线与椭圆的方程，整理得：， 则，解得，由韦达定理可得，……2分， 则，； 线段的中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为：，……2分， 令，得，设为轴上一点， 假设存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形， 则，，又因为，， 所以，……2分， 即，整理得：，因为，所以；……1分， 综上，存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，此时，.……1分. 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和， 使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道， 与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 21．（1）与；（2）证明见解析；（3）不存在，理由见解析. 【分析】（1）求出函数的值域，再利用给定定义求解即得；（2）利用辅助角公式求出的 值域，再利用不等式的性质可得，结合定义推理即得；（3）利用导数求出 函数的值域，假定存在，设出通道下界与通道上界的直线方程，利用定义建立不等式， 构造函数，按探讨函数值情况即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为R，在R上单调递增，……1分， 而，则，即，因此，……1分， 取，得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：， 显然直线与的距离为2，因此通道宽度不超过3， 所以通道下界与通道上界的直线方程分别为与；……2分， （2）函数的定义域为R，而， 即，则，……2分， 取， 得通道下界的直线方程：，通道上界的直线方程：，……2分， 显然直线与的距离， 所以存在宽度为2的通道；……2分； （3）函数，求导得，函数在上单调递减， 则，……1分， 显然当时，恒有，即，假设存在宽度为的通道， 设通道下界与通道上界的直线方程分别为，，……1分， 则对任意，恒成立，即， 令，……1分， 当时，则，而，不符合题意；……1分， 当时，对任意，，函数在上单调递减， 值域为，因此不存在，使得对任意，成立， 即不存在宽度为的通道；……1分， 当时，对任意，，函数在上单调递增，值域为， 因此不存在，使得对任意，成立，即不存在宽度为的通道；……2分， 综上，不存在宽度为的通道.……1分. 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数 . （1） 若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2） 设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围； （3） 对于函数，若函数有两个极值点为、， 且不等式恒成立，求实数的取值范围. 21．（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用导数求出函数在处的切线方程，将原点的坐标代入切线方程，即可求得实数的值；（2）分析可知对任意的，恒成立，由参变量分离法可得， 利用导数求出函数在区间上的最大值，即可得出实数的取值范围；（3）分析可知， 方程在上有两个不等的实根、，根据判别式以及韦达定理求出的取值范围，由参变量分离法可得，令，，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为，其中，则，……1分， 所以，，，……1分， 所以，函数的图象在点处的切线方程为， 将原点的坐标代入切线方程可得，解得；……2分； （2）解：，则，……1分， 因为函数在区间上为减函数，故对任意的，恒成立，……1分， 可得，令，其中，则，……1分， 当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，因为，，则，故；……2分， 故实数的取值范围是；……1分； （3）解：因为，由题意可知，方程在上有两个不等的实根， 即方程在上有两个不等的实根，则，可得，……2分， 由可得，……1分， 又因为 ，所以，，……2分， 令，令，其中，，……1分， 所以，函数在上为减函数，故当时，， 所以，，因此，实数的取值范围是.……2分. 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考试卷（上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020选择性必修第二册第5章~第6章（A卷添加选择性必修第二册第7章~ 第8章；B卷添加选择性必修第一册第2章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．极限 ． 2．曲线在点处的切线方程为 ． 3．设，则当时， ． 4． 某次比赛中，9名评委对选手表现进行百分制打分，将选手的9个得分去掉一个 最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场工作人员做了9个分数 的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示(见下图)，则的值为 . 5．某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39；现要从中选出5个， 利用下面的随机数表，从第一行第3列开始，由左至右依次读取，选出来的第5个零件编号是 . 0647  4373  8636  9647  3661  4698  6371  6233  2616  8045  6011  1410 9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607  5124  5179 6．（A组）在一个不透明的盒中装着标有数字1，2，3，4的大小与质地都相同的小球各2个，现从该盒中一次取出2个球，设事件为“取出2个球的数字之和大于5”，事件为“取出的2个球中最小数字是2”， 则 . 6．（B组）已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点， 若M为的内心，且，则双曲线的离心率为 ． 7．（A组）从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活；世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会；已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型 x 20 23 25 27 30 z 2 2.4 3 3 4.6 （其中为自然对数的底数）拟合，设， 其变换后得到一组数据：由右表可得经验回归方程， 则当时，蝗虫的产卵量的估计值为 ． 7． （B组）已知抛物线，直线过点且与相交于，两点， 若的平分线过点，则直线的斜率为 ． 8．（A组）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球； 2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号 盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球， 则第二次抽到3号球的概率为 . 8．（B组）设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是 ． 9．已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是 . 10．已知，设曲线与函数的图象关于直线对称； 若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是 . 11．已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是 . 12．（A组）若，，，对任意，总存在唯一的，使得成立，则实数a的取值范围____________． 12．（B组）已知函数在上有零点，则实数的取值范围___________. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）13．下列散点图中，线性相关系数最小的是（    ） A． B． C． D． 13．（B组）已知函数的导函数的图像如下图，那么的图像可能是（ ） A． B． C． D． 14．（A组）下列说法中正确的是（    ） ①设随机变量服从二项分布，则； ②已知随机变量服从正态分布且，则； ③小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点， 设事件“4个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则； ④；. A． ①②③ B．②③④ C．②③ D．①② 14．（B组）定义曲线：为椭圆：的“倒曲线”，给出以下三个结论： ①曲线有对称轴，②曲线有对称中心，③曲线与椭圆有公共点．其中正确的结论个数为（    ） A． B． C． D． 15．（A组）已知定义在的函数，满足，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 15． （B组）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数 都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”． 那么下列结论正确的是（     ） A．与是对立事件 B．与是互斥事件 C．与是相互独立事件 D．与是相互独立事件 16．（A组）若存在实数，，对任意实数，使得不等式恒成立， 则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 16．（B组）已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件．则说法正确的选项是（    ） A．命题①和②均为真命题 B．命题①为真命题，命题②为假命题 C．命题①为假命题，命题②为真命题 D．命题①和②均为假命题 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数． （1）若是上的单调函数，求的取值范围；（2）当时，求在的最小值． 17．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 现有4名男生和3名女生. （1）若安排这7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？ （2）若邀请这7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数； （3）若将这7名学生全部安排到5个备选工厂中的4个工厂参加暑期社会实践活动，要求3名女生必须 安排在同一个工厂，求这样安排的方法共有多少种？ 18．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 我区举办“中小学生国防知识竞赛”中，随机抽查了100名学生，其中共有4名男生和2名女生的成绩 在90分以上，从这6名同学中每次随机抽1人在全校作经验分享，每位同学最多分享一次（不放回抽样），记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B．（1）求，； （2） 若把抽取学生的方式更改为：从这6名学生中随机抽取3人进行经验分享， 记被抽取的3人中女生的人数为X，求X的分布列、数学期望和方差． 18．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且． （1）求抛物线的方程；（2）已知直线交抛物线于两点， 且点为线段的中点，求直线的方程． 19．（A组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校 高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况， 现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （2） 是否有的把握认为“数学成绩总评优秀 与每天都整理数学错题有关”？附：； （3） 从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取 3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 19．（B组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 经市场调查，某商品每吨的价格为百元时，该商品的月供给量为万吨，；月需求量为万吨，． 当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时， 销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积． （1）已知，若某月该商品的价格为，求商品在该月的销售额（以百元作为单位）； （2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元， 求实数的取值范围． 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． “绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚；甲、乙、丙三人为响应 “绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方式中的一种；他们之间的 出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为，乙每天选择“共享单车”的概率为，丙在每月 第一天选择“共享单车”的概率为，从第二天起，若前一天选择“共享单车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概率为，如此往复． （1） 若3月1日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率； （2） 记甲、乙、丙三人中3月1日选择“共享单车”出行的人数为，求的分布列与数学期望； （3）求丙在3月份第天选择“共享单车”的概率，并帮丙确定在3月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数． 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知椭圆：的左、右焦点为、. （1） 已知为的上顶点，求的周长；（2）已知直线交于，两点，若， 求直线的方程；（3）已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上 一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 对于定义在上的函数，若存在距离为的两条平行直线和， 使得对任意的都有，则称函数有一个宽度为的通道， 与分别叫做函数的通道下界与通道上界． （1）若，请写出满足题意的一组通道宽度不超过3的通道下界与通道上界的直线方程； （2）若，证明：存在宽度为2的通道； （3）探究是否存在宽度为的通道？并说明理由． 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数 . （1） 若经过点的直线与函数的图像相切于点，求实数的值； （2） 设，若函数在区间为减函数时，求实数的取值范围； （3） 对于函数，若函数有两个极值点为、， 且不等式恒成立，求实数的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $