精品解析：上海市民立中学2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题

民立中学2023学年第二学期高一年级质量检测数学试卷 2024.5.16 一．填空题：（满分42分，第16题每小题3分，第712题每小题4分） 1. 函数的定义域是____________． 2. 已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则__________． 3. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________． 4. 复数在复平面中所对应点到原点的距离是________. 5. 已知向量，若与平行，则实数______． 6. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 7. 函数的值域是______． 8. ______． 9. 已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________． 10. 若，则______． 11. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 12. 已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 二、选择题：（满分16分，每小题4分） 13. 设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 14. 若函数是偶函数，则的一个值为（ ） A. B. C. D. 15. 若复数z 满足且，则（ ） A. B. C. D. 16. 设，若且，则下列结论中必成立的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题：（满分42分） 17. 已知复数（为虚数单位）,当为何实数时，复数： （1）是实数； （2）是纯虚数． 18. 已知方程的根为，且，求实数的值． 19. （1）已知函数 ，求函数的解析式，并写出函数的性质． （2）若函数是偶函数，试写出函数的一条对称轴． 20. 已知向量，，． （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角A为锐角，且，，，求边的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民立中学2023学年第二学期高一年级质量检测数学试卷 2024.5.16 一．填空题：（满分42分，第16题每小题3分，第712题每小题4分） 1. 函数的定义域是____________． 【答案】 【解析】 【分析】由可得答案. 【详解】，则，. 故答案为： 2. 已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得. 【详解】与互为共轭复数，, . 故答案为：. 【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题. 3. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可． 【详解】解：向量，， 在上的投影向量的坐标为：，． 故答案为：，． 4. 复数在复平面中所对应点到原点的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算进行化简，求出复数所对应的点的坐标，借助两点间的距离公式即可得解. 【详解】， 所以，复数在复平面内，对应点的坐标为， 所以，复数在复平面中所对应点到原点的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算及复数所对应的点的坐标，其中涉及到两点间的距离公式，属于基础题. 5. 已知向量，若与平行，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， ， 由与平行，所以，解得. 6. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知且与不共线，利用平面向量数量积的坐标运算以及共线向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】因为，，且与的夹角为锐角，则，解得， 且与不共线，则，解得， 故实数的取值范围是. 7. 函数的值域是______． 【答案】 【解析】 【详解】易知函数， 令，记， 由二次函数性质可知在上单调递增，在上单调递减， 因此， 易知，所以； 所以函数的值域是. 8. ______． 【答案】 【解析】 【分析】先设所求和的式子为，再由错位相减法及等比数列进行求和，并结合虚数单位的周期性可得. 【详解】设①，所以②， ①②相减得， 因为，所以， 所以，， 因此. 9. 已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将函数写成分段函数的形式，在同一坐标系下画出函数和函数图象，利用数形结合即可判断两函数有两个不同的交点时实数k 的取值范围. 【详解】由题意，得 画出函数的图象，如下图所示： 由图象可知， 当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点． 故答案为： 10. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】通过设将两个复数的问题转化为单个复数的问题，再利用复数模的性质列方程求解可得. 【详解】设，因为，所以. 又因为，所以，即. 设，由得：记作①， 再由得：记作②， ②①相减得，即，解得. 再将代入①得，，解得. 因此. 11. 设函数（其中,）,若函数图象的对称轴与其对称中心的最小距离为,则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据对称轴与对称中心的最小距离即可得到周期,将对称轴代入即可得到关于的等式,再根据的范围即可得到解析式. 【详解】解:由题知,因为对称轴与对称中心的最小距离为, 所以,即, 所以,此时, 因为对称轴为, 故有:, 即, 因为, 所以, 故. 故答案为: 12. 已知非零平面向量不共线，且满足，记，则当与的夹角取得最大值时，______． 【答案】4 【解析】 【分析】作，，，与的夹角为，不妨设，利用两角差的正切公式得，利用基本不等式即可求解. 【详解】如图，作，，，与的夹角为，不妨设， 则 ， 当时，最大，即最大，此时． 故答案为：4. 二、选择题：（满分16分，每小题4分） 13. 设是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据基底的知识确定正确答案. 【详解】依题意，不共线， A选项，不存在使， 所以和可以组成基底. B选项，不存在使， 所以和可以组成基底. C选项，， 所以和不能构成基底. D选项，不存在使， 所以和可以组成基底. 故选：C 14. 若函数是偶函数，则的一个值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据是偶函数，可得到，由此写出一个答案即可. 【详解】函数为偶函数，则 ， 结合选项可知，当时，，B正确， 无论，取何值，ACD都无解，故错误. 15. 若复数z 满足且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，则； 由可得， 又因为，所以； 即，解得或（舍）； 可得. 16. 设，若且，则下列结论中必成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明函数为偶函数，利用导数得出函数在区间的单调性，利用单调性解不等式，即可得出答案. 【详解】，则函数为偶函数， 所以， 当时，，所以函数在区间上单调递增，则在区间上单调递减， 所以. 故选：C. 三、解答题：（满分42分） 17. 已知复数（为虚数单位）,当为何实数时，复数： （1）是实数； （2）是纯虚数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，即可解得实数的值； （2）根据题意得出，即可解得实数的值. 【小问1详解】 当复数为实数时，，解得. 【小问2详解】 当复数为纯虚数时，，解得. 18. 已知方程的根为，且，求实数的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次方程可得，分类讨论判别式的符号，结合韦达定理运算求解. 【详解】因为方程的根为，且， 则，且， 当，即时，方程有一对共轭虚根， 则，且，不合题意； 当，即时，方程有两个实根， 因为，可知同号，则，可得； 综上所述：. 19. （1）已知函数 ，求函数的解析式，并写出函数的性质． （2）若函数是偶函数，试写出函数的一条对称轴． 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及换无法求出解析式，再利用正弦函数的性质写出函数性质. （2）利用偶函数定义及对称性的意义求解. 【详解】（1）令，则，所以 因为. 正弦函数 的单调递增区间为：. 令 ，代入得： . 不等式三边同除以 ，得： . 所以 的单调递增区间为 . 正弦函数 的单调递减区间为：. 令 ，代入得： . 不等式三边同除以 ，得： . 所以 的单调递减区间为 标准正弦函数 的对称轴方程为： . 令 ，代入得： . 等式两边同除以 ，得： . 所以 的对称轴为 . 标准正弦函数 的对称中心横坐标为函数零点，满足：. 令 ，代入得： . 等式两边同除以 ，得： ，此时 . 所以 的对称中心为 . 综上所述：函数的性质： ①定义域； ②值域； ③最小正周期； ④奇函数； ⑤在上单调递增，在上单调递减；⑥对称轴：直线； ⑦对称中心： （2）因为是偶函数，所以. 即的图象关于直线对称. 令，得，故的一条对称轴为. 20. 已知向量，，． （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在中，角A为锐角，且，，，求边的长． 【答案】（1）最大值，此时，； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积坐标运算、二倍角公式以及辅助角公式求得函数的解析式，再由正弦函数的性质求解； （2）由（1）求出角的值，再利用正弦定理求出边的长作答. 【小问1详解】 依题意， 当，即时，取最大值. 【小问2详解】 由（1）及得：，即， 因，则，因此，，则， 而，有， 在中，由正弦定理得，， 所以边的长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $