学易金卷：高一数学下学期第三次月考01（上海专用）【测试范围：三角函数、平面向量、复数、数列】

**基本信息** 上海高一数学月考卷立足沪教版必修第二册及选择性必修内容，分A/B组分层设题，覆盖复数、向量、数列等核心知识，融入欧拉公式、汽车费用等真实情境与文化素材，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|复数模、向量投影、数列通项|第4/12题分A/B组，B组侧重几何应用| |选择题|4题/18分|三角函数图象、欧拉公式、数列新定义|第15题以欧拉公式考查数学文化| |解答题|5题/78分|复数应用、三角函数平移、数列与函数综合|19A组结合汽车费用考数列应用，20B组引入双曲函数考类比推理|

2025-2026学年高一下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期第三次月考数学卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章（A卷添加选择性必修第一册第4章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．3 2． 3．/ 4．（A组） 4．（B组） 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 12．（A组） 12．（B组） 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）B 13．（B组）D 14．（A组）D 14．（B组）D 15．D 16．（A组）C 16．（B组）D 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知关于的方程，其中为虚数单位． （1）设，若方程至少有一个模为1的根，求的值；（2）设，虚数是方程的一个虚根， 在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围． 17．（1）、0、1；（2）. 【分析】（1）根据存在模为1的根和模为1的根为实数根和虚数根来分类探讨即可求解. （2）先根据复数根的性质得的轨迹，再根据点坐标以及几何意义即可求解. 【详解】（1）若，则方程为，因为方程至少有一个模为1的根，……1分， 当时，方程为或，符合；……1分， 当时，若模为1的根为实数根1时，则有，即；……1分， 若模为1的根为不为虚数根时，不妨设方程模为1的根为，且， 则也是方程的根，故，，此时符合； 故的值为：、0、1；……2分； （2） 若，则方程为，设复数，则，方程的一个虚根， 则也方程的一个虚根，……2分， 且由根与系数关系，……1分， 故的轨迹为以为圆心，半径为的圆C，如图，……2分， 又由题，所以，……1分， 所以.……2分. 17． （B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 已知复数，其中．（1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 17．（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）根据复数的虚部为零可求答案；（2）根据纯虚数的特征可求答案； （3）根据第四象限内点的特征可求答案. 【详解】（1）由z是实数，……1分，得，解得，或；……3分； （2）由z是纯虚数，……1分，得解得；……3分； （3）由z在复平面内对应的点在第四象限，得；……2分， 由解得或；……2分， 由解得，所以m的取值范围为．……2分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标 缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求函数在上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求. 18．（1），（2）1. 【分析】（1）根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合 整体思想即可得解；（2）根据，可得，再利用余弦定理 结合正弦定理即可得解. 【详解】（1）将图象向右平移个单位长度，得的图象，……2分， 再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得的图象，……2分， 由，得，所以， 故函数在上的值域为；……2分； （2）由（1）得，……1分， 因为，所以，……2分， 由余弦定理得，又，所以，……2分， 由正弦定理得，……1分，又，故.……2分， 19．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发， 第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 19．（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得. 【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，……2分， 所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，……1分， 所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，……1分， 因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 所以；……2分， （2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，……2分， 所以从第七年起，第年的养护保险费用为，……1分， 所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，……2分， 所以当时，使用年后， 养护保险费的年平均费用为.……2分， 经计算器计算得时，最小.……1分. 19．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 在中，. （1）如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心， 为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设， 求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 19．（1）；（2）；（3）2. 【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心， 即可表示；（2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可；（3）由， 利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）延长交于，则是中点， 所以，因为点为的重心，……2分， 所以；……2分； （2）以为原点，建立如图坐标系，则，，……1分， 设，，因为， 所以，所以，……1分， 所以 ，……2分， 因为，所以，所以，所以；……2分， （3）因为，所以，由可得 即，平方可得，……2分， ，， ，即，……2分， 根据平行四边形法则可知，令，则，，……1分， 根据基本不等式可得，所以，解得或，……2分， 所以，所以，所以的最小值是2.……1分. 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中， 是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值； 若不存在，请说明理由. 20．（1）证明见解析；（2），（3）或9. 【分析】（1）根据数量积的坐标运算与二次函数的单调性求解即可；（2）根据数列前项和与通项公的关系求解即可；（3）利用，结合作除法根据求解的最大项即可. 【详解】（1）证明：由已知，，……2分， 而函数在上是增函数，所以；……2分； （2）因为，所以，……2分， 两式相减，得，当时不满足，……2分， 所以数列的通项公式为；……2分， （3）因为，……2分， 又，……2分， 当，即时随的增大而增大，又，即，……2分， 即当或9时取最大值；所以存在或9，使得成立.……2分， 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数， 其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：. （e是自然对数的底数，e2.71828）.（1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明； （3）若对任意，关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 20．（1）；（2），证明见解析；（3）. 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案；（2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可 得出；（3）代入整理可得有解.令，，， 根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式， 求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，，……2分， 所以，， 所以， ；……2分； （2） ；……1分， 证明如下：左边，……1分，右边 ， ……3分， 所以，左边=右边，所以， ；……1分， （3）原题可转化为方程有解，即有解，……2分， 令，，， 因为在上单调递增，，，……2分， 所以，，又，当且仅当，即时等号成立，……2分， 所以，即有最大值，又当， 则要使有解，应有，即，所以.……2分， 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知以为首项的数列满足：.（1）当时，且，写出、； （2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值； ②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由. 21．（1） ，；（2）；（3）①为奇数时最小值为，当为偶数时最小值为 ； ②不唯一，理由见解析． 【分析】（1）根据首项，及递推公式，依次代入 和即可求得、的值；（2）根据等差数列通项公式，表示出， 根据绝对值的非负性可得，再根据即可求得的取值范围； （3）将代入，求得……值，即可表示出的最小值；举出特例， 说明使得成立的数列不唯一即可． 【详解】（1）因为，且，，……2分， 所以当时，即；……1分， 所以当 时，即；……1分； （2）因为数列是公差为-1的等差数列 所以，即①，……2分， 而，则，即，……1分， 当时，，因为，……1分， 所以或与①矛盾，（舍），……1分， 所以，所以；……1分； （3）当时，所以，或，或…..，……2分， ①当为奇数时的最小值为，……2分， 当为偶数时的最小值为；……2分， ②不唯一，因为满足，如数列 和 ，两个数列都满足因而不存在唯一的数列满足式子.……2分， 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其中． （1）若，，求的对称中心；（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；（3）已知函数，在第（2）问 条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 21．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数，若， 则与是相邻的最小值点和最大值点，……2分， 所以的最小正周期为，又，所以，解得，……1分， 所以，令，解得， 此时，所以的对称中心为；……1分； （2）依题意可得， ，，……2分， 所以或， 解得或，又， 得，……2分， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点，的最小值为；……2分； （3）由（2）知，，设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则，……2分， 当， ，，则，……2分， 当，，，则，……2分， 由可得，又，解得，所以实数a的取值范围为.……2分. / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高一下学期第三次月考卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 123456789 1234 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 0123456789 0123456789 0123456789 缺考标记 填空题（本大题共有12题，满分54分， 第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 3. 5. 6 7 10 11. 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A][B][C][D] 14[A][B][C][D] I5[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 10. I4) ■■■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页）2025-2026学年高一下学期第三次月考卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．____________________ 10．____________________ 11．____________________ 12．____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 [A] [B] [C] [D] 16 [A] [B] [C] [D] 3、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19． （14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ 2025-2026学年高一下学期第三次月考卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 ! 2. 选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 注意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字 体工整、笔迹清晰。 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 内作答，超出区域书写的答案无 123 123 效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 123456789 1234 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 5. 正确填涂 789 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 0123456789 0123456789 0123456789 缺考标记 填空题（本大题共有12题，满分54分， 第1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 3. 5. 6 7 10 11. 12. 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A][B][C][D] 14[A][B][C][D] I5[A][B][C][D] 16[A][B][C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分) 17.(14分) 数学第2页（共6页) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 1111 1g.014) 图 ■■■■ 图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(18分) 数学第6页（共6页） 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考试卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章（A卷添加选择性必修第一册第4章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数满足，则 ． 1．3【分析】通过方程解出，再求出即可求解.【详解】因为，由求根公式可得，，所以；故答案为：3 2．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 2．【分析】根据平面向量的坐标运算求，，再结合投影向量的定义求解即可. 【详解】由，，得，， 则向量在上的投影向量的坐标为；故答案为：. 3．已知向量，，且，则 ． 3．/【分析】根据平面向量垂直的坐标表示化简得出的值，然后利用诱导公式、二倍角的正弦、 余弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为向量，，且，则， 所以，，因此， .故答案为：. 4．（A组）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 4．【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得，则.故答案为：. 4.（B组）在复平面内，为原点，点所对应的复数是（i为虚数单位），将点绕着点按逆时针 方向旋转后得到点，则的坐标为 . 4.【分析】根据A点坐标以及与轴的夹角和与轴的夹角的关系求出点坐标 即可求解.【详解】设与轴的夹角为，则与轴的夹角为，由题意， 所以，所以， 所以， 所以，所以；故答案为：. 5．已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 5．【分析】利用三角形面积公式，将高之比转化为对应边长之比，利用余弦定理即可求得. 【详解】因的面积，则，故， 显然角为最大角，不妨设（），则， 由余弦定理，；故答案为：. 6．已知函数，若不等式在上恒成立， 则实数的取值范围为 ． 6．【分析】首先对不等式进行化简，然后根据的范围和正弦函数的性质计算的取值范围即可. 【详解】因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以，所以，， 所以为了满足不等式恒成立，则；故答案为：. 7．若函数与的图象交于两点,则 . 7．【分析】画出与图像, 可得与关于点对称，进而求解即可. 【详解】由题,画出与的图像,如图所示,  则与关于点对称，所以, 所以，故答案为:. 8．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 8． 【分析】利用平面向量夹角为锐角，即且不共线，列出不等式求解作答. 【详解】由题，可得且不共线，，且，即且， 所以实数的取值范围是.故答案为：. 9．如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 9．【分析】由正弦定理结合到距离，然后根据题意 结合图形求解即可.【详解】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个，所以由图可知或， 即实数的取值范围是； 故答案为：. 10．如图，在中，是上的两个三等分点， ，则的值为 ． 10．【分析】根据三点共线的性质可得，结合向量的数量积运算即可求解. 【详解】因为三点共线，且是上的三等分点， 由三点共线的性质可得，同理因为三点共线， 且是上的三等分点，可得，所以 .故答案为：. 11．已知，， 且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 11．【分析】首先根据两角和的正弦公式化简，依题意可得为的一个对称中心，即可求出的取值集合，再根据单调性求出的范围，即可得到的值，再一一检验即可. 【详解】因为，由可得 关于成中心对称，即为的一个对称中心，又，所以， 即，；又函数在区间上是单调函数，所以，解得， 所以或或， 当时，由，所以，因为在上不单调， 所以在上不单调，故舍去； 当时，由，所以，因为在上单调递减， 所以在上单调递减，符合题意； 当时，由，所以，因为在上不单调， 所以在上不单调，故舍去；综上可得；故答案为：. 12．（A组）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列；记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ． 12．27 【分析】方法一：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式 求满足条件的项数的最小值.【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】 设，则 ，由得，化简得， ，解得：，即．所以只需研究是否有满足条件的解，此时 ， ，为等差数列项数，且.由即， 解得，所以，得满足条件的最小值为.故答案为：. ［方法二］：列举法＋二分法 与相比，B元素间隔大；因此利用列举法从中 元素构成看，分别加了几个B中元素进行考虑；1个：； 2个：；3个：； 4个：；5个：； 6个：；发现当时，发生变号， 以下用二分法查找：，所以所求n应在22~29之间．， 所以所求n应在25~29之间，，， 不符合条件；，，符合条件； 因为，而，故答案为：. 12．（B组）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为， 若向量满足，则的取值范围为 ． 12．【分析】结合二次函数的性质，由的最小值求得向量与的夹角，判断出点对应的轨迹，从而求得的取值范围. 【详解】设向量与的夹角为，，则， ，所以当时， 取得最小值为，即 ，所以；如图所示，设， 三角形是等边三角形，设是的中点，则，由于， 所以，所以点的轨迹是以为直径的圆，圆的半径为，根据圆的几何性质可知， 即的取值范围为；故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 13．B【分析】由结合，可得，从而可得，即可判断B正确；取和，可以判断ACD错误. 【详解】在中，因为，所以，所以，因为，所以，对于B，因为，所以，即，将上式两边同时除以， 得 所以，B正确；由可知，令， 此时，则，，；令，此时，则，， ；对于A，当时，，当时，， 两者不相等，不为常数，A错误；对于C，当时，，当 时，，两者不相等，不为常数，C错误； 对于D，当时，，当时，，两者不相等，不为常数，D错误；故选：B. 13．（B组）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．，， B．， C． D．， 13．D【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，；故选：D. 14．（A组）在中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 14．D【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得，分情况考查的正负情况，转化为的正负情况，进一步分析即可. 【详解】因为，即 ，又时，三角形一定不是直角三角形，则有， ，若，则，为锐角，但是不能判断的大小，故A，B错误； 当时，则，中必有一个钝角，故此时是钝角三角形，C错误，D正确； 故选：D. 14．（B组）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 14．D【分析】先由题意求得的取值范围，再利用正弦函数的性质得到关于的不等式，从而得解. 【详解】，，因为函数在上恰好有两个零点， 所以，解得；故选：D. 15．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数， 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联， 在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 15．D【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，，， ，因此的面积为：， 面积的最大值为，D正确；故选：D. 16．（A组）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”． 关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”； ②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件． 下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 16．C【分析】根据给定的定义，按公差的取值情况分类探讨判断①；利用等比数列通项公式及前n项和公式，结合不等式恒成立即可推理作答. 【详解】令等差数列的公差为，当时，，不符合题意， 当时，， 函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴，存在， 使得，取不小于的正整数，则有，即，不符合题意，综上得①为假命题； 等比数列首项，因为数列为“K数列”，则有，即， ，于是， 依题意，任意的，，函数在单调递减，值域是， 因此，所以是为“K数列”的充要条件，②是真命题， 判断正确的是①为假命题，②为真命题；故选：C. 16．（B组）设，函数， 若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．D【分析】根据，解得，对讨论，结合一元二次方程 的根的情况，即可分类讨论得解. 【详解】令 ，解得，令，则， 若，则无解，因此在内有7个不同的根，由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度小于2，因此在内不可能有7个不同的根，当时，此时只有一个实根， 此时在内需有6个不同的实数根，由于相邻两个不同的根之间的距离为，而的区间长度等于2，因此在内不可能有6个不同的根； 当时，此时有两个不相等的实根 ，若，则，此时 在有两个不相等的实根，要使在区间内恰有7个零点，只需要在内有5个不同的根，则，得，故，解得， 若，则，此时在只有一个实根 ，要使在区间内恰有7个零点，只需要 在内有6个不同的根，则，得，故，解得， 综上可知：或.故选：D. 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知关于的方程，其中为虚数单位． （1）设，若方程至少有一个模为1的根，求的值；（2）设，虚数是方程的一个虚根， 在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围． 17．（1）、0、1；（2）. 【分析】（1）根据存在模为1的根和模为1的根为实数根和虚数根来分类探讨即可求解. （2）先根据复数根的性质得的轨迹，再根据点坐标以及几何意义即可求解. 【详解】（1）若，则方程为，因为方程至少有一个模为1的根，……1分， 当时，方程为或，符合；……1分， 当时，若模为1的根为实数根1时，则有，即；……1分， 若模为1的根为不为虚数根时，不妨设方程模为1的根为，且， 则也是方程的根，故，，此时符合； 故的值为：、0、1；……2分； （2） 若，则方程为，设复数，则，方程的一个虚根， 则也方程的一个虚根，……2分， 且由根与系数关系，……1分， 故的轨迹为以为圆心，半径为的圆C，如图，……2分， 又由题，所以，……1分， 所以.……2分. 17． （B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 已知复数，其中．（1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 17．（1）或；（2）；（3） 【分析】（1）根据复数的虚部为零可求答案；（2）根据纯虚数的特征可求答案； （3）根据第四象限内点的特征可求答案. 【详解】（1）由z是实数，……1分，得，解得，或；……3分； （2）由z是纯虚数，……1分，得解得；……3分； （3）由z在复平面内对应的点在第四象限，得；……2分， 由解得或；……2分， 由解得，所以m的取值范围为．……2分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标 缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求函数在上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求. 18．（1），（2）1. 【分析】（1）根据平移变换和周期变换的原则求出函数的解析式，再根据正弦函数的性质结合 整体思想即可得解；（2）根据，可得，再利用余弦定理 结合正弦定理即可得解. 【详解】（1）将图象向右平移个单位长度，得的图象，……2分， 再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得的图象，……2分， 由，得，所以， 故函数在上的值域为；……2分； （2）由（1）得，……1分， 因为，所以，……2分， 由余弦定理得，又，所以，……2分， 由正弦定理得，……1分，又，故.……2分， 19．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发， 第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 19．（1）；（2）. 【分析】（1）根据题意，购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，进而得年后燃油的总费用是，进而结合题意可得；（2）由题知从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为 ，公比为，进而得年后，养护保险费为，再求平均值即可得答案，最后利用计算器计算可得. 【详解】（1）解：根据题意，购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元， 所以购买该车后，每年的燃油费构成等差数列，首项为，公差为，……2分， 所以购买该种型号汽车第年的燃油费用为，……1分， 所以购买该种型号汽车年后燃油的总费用是，……1分， 因为每年养护保险费均为万元，所以购买该种型号汽车年后养护费用共万元， 所以；……2分， （2）解：当时，由于每一年的养护保险费都比前一年增加， 所以从第七年起，养护保险费满足等比数列，首项为，公比为，……2分， 所以从第七年起，第年的养护保险费用为，……1分， 所以购买该种型号汽车年后，养护保险费为，……2分， 所以当时，使用年后， 养护保险费的年平均费用为.……2分， 经计算器计算得时，最小.……1分. 19．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 在中，. （1） 如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心， 为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设， 求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 19．（1）；（2）；（3）2. 【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心， 即可表示；（2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出，，， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可；（3）由， 利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）延长交于，则是中点， 所以，因为点为的重心，……2分， 所以；……2分； （2）以为原点，建立如图坐标系，则，，……1分， 设，，因为， 所以，所以，……1分， 所以 ，……2分， 因为，所以，所以，所以；……2分， （3）因为，所以，由可得 即，平方可得，……2分， ，， ，即，……2分， 根据平行四边形法则可知，令，则，，……1分， 根据基本不等式可得，所以，解得或，……2分， 所以，所以，所以的最小值是2.……1分. 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中， 是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值； 若不存在，请说明理由. 20．（1）证明见解析；（2），（3）或9. 【分析】（1）根据数量积的坐标运算与二次函数的单调性求解即可；（2）根据数列前项和与通项公的关系求解即可；（3）利用，结合作除法根据求解的最大项即可. 【详解】（1）证明：由已知，，……2分， 而函数在上是增函数，所以；……2分； （2）因为，所以，……2分， 两式相减，得，当时不满足，……2分， 所以数列的通项公式为；……2分， （3）因为，……2分， 又，……2分， 当，即时随的增大而增大，又，即，……2分， 即当或9时取最大值；所以存在或9，使得成立.……2分， 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数， 其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：. （e是自然对数的底数，e2.71828）.（1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明； （3）若对任意，关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 20．（1）；（2），证明见解析；（3）. 【分析】（1）求出，代入化简即可求出答案；（2）类比推理可得出展开式中含有两项，展开即可得出结论；证明时，分别从左右两边化简，均可 得出；（3）代入整理可得有解.令，，， 根据的单调性以及基本不等式得出，.然后即可得出关于的不等式， 求解即可得出答案. 【详解】（1）由已知可得，，，……2分， 所以，， 所以， ；……2分； （2） ；……1分， 证明如下：左边，……1分，右边 ， ……3分， 所以，左边=右边，所以， ；……1分， （3）原题可转化为方程有解，即有解，……2分， 令，，， 因为在上单调递增，，，……2分， 所以，，又，当且仅当，即时等号成立，……2分， 所以，即有最大值，又当， 则要使有解，应有，即，所以.……2分， 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知以为首项的数列满足：.（1）当时，且，写出、； （2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值； ②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由. 21．（1） ，；（2）；（3）①为奇数时最小值为，当为偶数时最小值为 ； ②不唯一，理由见解析． 【分析】（1）根据首项，及递推公式，依次代入 和即可求得、的值；（2）根据等差数列通项公式，表示出， 根据绝对值的非负性可得，再根据即可求得的取值范围； （3）将代入，求得……值，即可表示出的最小值；举出特例， 说明使得成立的数列不唯一即可． 【详解】（1）因为，且，，……2分， 所以当时，即；……1分， 所以当 时，即；……1分； （2）因为数列是公差为-1的等差数列 所以，即①，……2分， 而，则，即，……1分， 当时，，因为，……1分， 所以或与①矛盾，（舍），……1分， 所以，所以；……1分； （3）当时，所以，或，或…..，……2分， ①当为奇数时的最小值为，……2分， 当为偶数时的最小值为；……2分， ②不唯一，因为满足，如数列 和 ，两个数列都满足因而不存在唯一的数列满足式子.……2分， 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其中． （1）若，，求的对称中心；（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；（3）已知函数，在第（2）问 条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 21．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由已知确定最小正周期，可得，即可求出函数解析式，再利用整体代入法求的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果. 【详解】（1）因为函数，若， 则与是相邻的最小值点和最大值点，……2分， 所以的最小正周期为，又，所以，解得，……1分， 所以，令，解得， 此时，所以的对称中心为；……1分； （2）依题意可得， ，，……2分， 所以或， 解得或，又， 得，……2分， 所以，函数最小正周期， 令，即，解得或， 若在上恰好有8个零点，则， 要使最小，则恰好为的零点，的最小值为；……2分； （3）由（2）知，，设在上的值域为，在上的值域为， 若对任意，存在，使得成立，则，……2分， 当， ，，则，……2分， 当，，，则，……2分， 由可得，又，解得，所以实数a的取值范围为.……2分. 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章（A卷添加选择性必修第一册第4章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数满足，则 ． 2．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 3．已知向量，，且，则 ． 4．（A组）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 4.（B组）在复平面内，为原点，点所对应的复数是（i为虚数单位），将点绕着点按逆时针 方向旋转后得到点，则的坐标为 . 5．已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 6．已知函数，若不等式在上恒成立， 则实数的取值范围为 ． 7．若函数与的图象交于两点,则 . 8．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 9．如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 10．如图，在中，是上的两个三等分点， ，则的值为 ． 11．已知，，且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 12．（A组）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列；记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ． 12．（B组）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为， 若向量满足，则的取值范围为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 13．（B组）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．，， B．， C． D．， 14．（A组）在中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 14．（B组）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 15． 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数， 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联， 在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 16．（A组）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”． 关于命题：①存在等差数列，使得它是“K数列”； ②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件． 下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 16．（B组）设，函数， 若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知关于的方程，其中为虚数单位． （1）设，若方程至少有一个模为1的根，求的值；（2）设，虚数是方程的一个虚根， 在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围． 17． （B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 已知复数，其中．（1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标 缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求函数在上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求. 19．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发， 第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值） 19．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 在中，. （1） 如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心， 为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设， 求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1）求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中， 是否存在正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值； 若不存在，请说明理由. 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数， 其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：. （e是自然对数的底数，e2.71828）.（1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明； （3）若对任意，关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知以为首项的数列满足：.（1）当时，且，写出、； （2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值； ②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由. 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其中． （1）若，，求的对称中心；（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；（3）已知函数，在第（2）问 条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版2020必修第二册第6章~第9章（A卷添加选择性必修第一册第4章）。 5．本试卷部分试题分为（A组题）和（B组题），请市重点中学的考生做（A组题），其余学校的考生做（B组题） 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知复数满足，则 ． 2．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 . 3．已知向量，，且，则 ． 4．（A组）已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 4.（B组）在复平面内，为原点，点所对应的复数是（i为虚数单位），将点绕着点按逆时针 方向旋转后得到点，则的坐标为 . 5．已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 6．已知函数，若不等式在上恒成立， 则实数的取值范围为 ． 7．若函数与的图象交于两点,则 . 8．已知向量，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是 ． 9．如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ． 10．如图，在中，是上的两个三等分点， ，则的值为 ． 11． 已知，， 且函数在区间上是单调函数，则的值为 . 12．（A组）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列；记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为 ． 12．（B组）已知向量与夹角为锐角，且，任意，的最小值为， 若向量满足，则的取值范围为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．（A组）在中，已知，则下列各式必为常数的是（    ） A． B． C． D． 13．（B组）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．，， B．， C． D．， 14．（A组）在中，，则下列说法一定正确的是（    ） A．若，则是锐角三角形 B．若，则是钝角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 14．（B组）已知函数在区间上恰有两个零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D． 15． 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数， 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联， 在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 16．（A组）设数列的前n项的和为，若对任意的，都有，则称数列为“K数列”． 关于命题： ①存在等差数列，使得它是“K数列”； ②若是首项为正数、公比为q的等比数列，则是为“K数列”的充要条件． 下列判断正确的是（    ） A．①和②都为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①和②都为假命题 16．（B组）设，函数， 若函数在区间内恰有7个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知关于的方程，其中为虚数单位． （1）设，若方程至少有一个模为1的根，求的值；（2）设，虚数是方程的一个虚根， 在复平面上，设复数所对应的点为，复数所对应的点为，求的取值范围． 17． （B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 已知复数，其中．（1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z是纯虚数，求实数m的值；（3）若z在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标 缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.（1）求函数在上的值域； （2）在中，角的对边分别为，若，且，求. 19．（A组）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购买了家用汽车，使用汽车共需支出三笔费用；购置费、燃油费、养护保险费，某种型号汽车，购置费共万元；购买后第年燃油费共万元，以后每一年都比前一年增加万元.（1）若每年养护保险费均为万元，设购买该种型号汽车年后共支出费用为 万元，求的表达式；（2）若购买汽车后的前年，每年养护保险费均为万元，由于部件老化和事故多发，第年起，每一年的养护保险费都比前一年增加，设使用年后养护保险年平均费用为，当时，最小，请你列出时的表达式，并利用计算器确定的值（只需写出的值）. 19．（B组） （本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 在中，. （1） 如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心， 为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设， 求的取值范围； （3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值. 20．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 设向量，函数在上的最小值与最大值的和为，又数列满足. （1） 求证：；（2）求数列的通项公式；（3）设，试问数列中，是否存在 正整数，使得对于任意的正整数，都有成立？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 20．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数， 其中双曲正弦函数：，双曲余弦函数：. （e是自然对数的底数，e2.71828）. （1）计算的值； （2）类比两角和的余弦公式，写出两角和的双曲余弦公式： ，并加以证明； （3）若对任意，关于x的方程有解，求实数a的取值范围. 21．（A组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知以为首项的数列满足：. （1）当时，且，写出、； （2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围； （3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值； ②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由. 21．（B组） （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数，其中． （1）若，，求的对称中心；（2）若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（，且）上恰好有8个零点，求的最小值；（3）已知函数，在第（2）问 条件下，若对任意为，存在，使得成立，求实数的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $