20.1 勾股定理及其应用（第1课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册

20.1　勾股定理及其应用（第1课时） 教学目标 1．经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，感受“观察—猜想—证明”的定理探索路径，发展几何直观和推理能力． 2．通过了解我国古代研究勾股定理的相关成就，感受中华优秀传统文化，激发民族自豪感，增强文化自信． 教学重点 勾股定理的探究过程． 教学难点 勾股定理的探究过程． 教学过程 新课导入 【引导语】同学们，我们已经学习了一些三角形的相关知识，了解到直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值．直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．那么，对于直角三角形的三条边，它们之间是否也存在某种特殊关系呢？ 【问题】在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”．意思是说：分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．请你判断一下，商高的说法是否正确呢？ 【师生活动】教师出示如下图形，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，需要判断三个正方形的面积是否满足商高的猜想．学生利用正方形面积公式进行计算，容易得出它们之间的关系：9＋16＝25． 【追问1】你能从边的角度出发，总结出这个特殊直角三角形的三边关系吗？ 【师生活动】师生共同总结出这个特殊直角三角形的三边关系：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 【追问2】其他直角三角形的三边是否也满足这样的数量关系呢？这就是我们今天要一起探究的问题． 【设计意图】通过回顾直角三角形的已有知识，建立新旧知识的衔接，再结合《周髀算经》中“勾三股四弦五”的数学背景提出问题，既渗透了中华优秀传统文化，又自然引出本节课的探究主题，激发学生的求知欲． 新知探究 【问题1】如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？ 【师生活动】学生独立观察方格纸中的图形，首先探究图中正方形A1，B1，C1的面积关系．通过数方格可知正方形A1的面积为1，正方形B1的面积为4，难点在于如何求出以直角三角形斜边为边的正方形C1的面积．教师提示学生：图形在经过适当切割后拼接成一个新图形，切割、拼接前后图形各部分的面积之和不变．然后引导学生通过以下两种方法计算正方形C1的面积：第一种方法（补形法）是由一个边长为3的大正方形的面积减去四个直角边长分别为1和2的小直角三角形的面积得到，所以SC1＝32－4××2×1＝5；第二种方法（割补法）是由四个直角边长分别为1和2的直角三角形的面积加上中间一个边长为1的小正方形的面积得到，所以SC1＝1×2××4＋1×1＝5．同理，可求出正方形C2和正方形C3的面积．学生填写学习任务单上的表格进行记录． 补形法 割补法 【问题2】以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ 【师生活动】学生动手画图、计算，组内交流验证结果，发现所有画出的直角三角形都满足上述规律，即以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积．由此猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c²．学生在学习任务单上记录猜想． 【设计意图】遵循“特殊到一般”的探究路径，先分析方格纸中给定的直角三角形，发现可能存在的规律，再自主绘制任意直角三角形验证，进而提出猜想，培养学生的观察、归纳和猜想能力． 【问题3】从《周髀算经》“勾三股四弦五”的记载，到对方格纸中不同直角三角形的探究，我们发现了直角三角形三边的奇妙关系，并大胆提出猜想，迈出了科学探究的第一步．而猜想唯有经过证明，方能成为定理．在众多精妙的证明方法中，我国古代数学家赵爽借助一幅“弦图”（如下图），以简洁优美的几何构造，完美证明了这一猜想．接下来，让我们一起走进赵爽的证明思路． 【师生活动】教师讲解赵爽的发现：四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）．师生共同分析“赵爽弦图”的证明思路． 第一步：拆分图形（对应图1）．把边长分别为a，b的两个正方形连在一起，它的面积是a2＋b2．这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色部分，直角边长分别为a，b）和一个小正方形（黄色部分，边长为b－a）． 第二步：拼接转化（对应图2—图3）．把图1中左、右两个三角形移到图2中所示的位置，就会形成一个以c为边长的正方形（对应图3），它的面积是c2． 第三步：通过计算面积，推导定理．观察图形可知图1的组合图形与图3的大正方形都由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等，即a2＋b2＝c2．从而证明了“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”这一猜想． 图1 图2 图3 【新知】直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．我国把它称为勾股定理．在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”．“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的． 【设计意图】通过赵爽的证法，了解“出入相补法”的思想，感受图形分割、拼接的奇思妙想，提升思维能力；同时，了解我国古代数学的杰出成就，激发民族自豪感． 【问题4】根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？ 【师生活动】师生共同分析：S大正方形＝c2，S小正方形＝(b－a)2，S大正方形＝S小正方形＋4S三角形，所以有4×ab＋(b－a)2＝c2，化简可得a2＋b2＝c2． 【追问】你还能想到勾股定理的其他证法吗？ 【师生活动】学生思考，教师提示勾股定理还有多种证明方法（如加菲尔德的梯形面积法），并根据学生情况进行选择性介绍．同时，引导有兴趣的学生通过课外查阅资料进行进一步探究． 加菲尔德的梯形面积法：如下图所示，因为Rt△ABC≌Rt△CDE，易证△CAE为直角三角形，四边形ABDE为梯形，S梯形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE，即(a＋b)(a＋b)＝2××ab＋c2，化简可得a2＋b2＝c2． 【设计意图】引导学生通过计算“弦图”的面积推导得出勾股定理，体会“以形证数”的数学思想．通过鼓励多元证法的探索，提升学生的思维迁移与创新能力，同时，设计课后延伸任务，以满足高水平学生的深度探究需求，体现分层教学理念． 例题精讲 【例1】如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． 【师生活动】学生尝试在学习任务单上独立解题，教师讲评，师生共同明确解题要点：先确定直角三角形的直角边和斜边，再根据勾股定理进行计算，注意边长为正数，开根号时取算术平方根． 【答案】解：（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理，AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100，所以AB＝10． （2）在Rt△DEF中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2，DE2＝DF2－EF2＝172－152＝64，所以DE＝8． 【归纳】运用勾股定理求直角三角形边长的关键： （1）先确定直角边和斜边，明确已知边和未知边； （2）根据勾股定理列出关系式，注意边长的计算结果是正数． 【例2】如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积． 【师生活动】教师引导学生关联直角三角形与正方形的面积关系，学生明确可以先算A，B的面积和以及C，D的面积和，再将两个和相加得到正方形E的面积，并尝试在学习任务单上完成解答． 【答案】解：根据图形，最大正方形E的面积为122 ＋162 ＋92 ＋122 ＝625． 【设计意图】通过例题巩固学生对勾股定理的理解和应用，明确解题步骤和注意事项，帮助学生掌握勾股定理在求边长中的具体用法，同时归纳解题规律，提升学生的运算能力． 课堂练习 1．设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c． （1）已知a＝6，c＝10，求b； （2）已知a＝5，b＝12，求c； （3）已知b＝15，c＝25，求a． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，及时纠正错误，提醒学生在运用勾股定理时要注意给出的边长是直角边还是斜边． 【答案】解：（1）根据勾股定理a2＋b2＝c2，得62＋b2＝102，所以b2＝64，b＝8； （2）根据勾股定理a2＋b2＝c2，得52＋122＝c2，所以c2＝169，c＝13； （3）根据勾股定理a2＋b2＝c2，得a2＋152＝252，所以a2＝400，a＝20． 2．如图，在平面直角坐标系中有两点A（5，0）和B（0，4）．求这两点间的距离． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：由图可知，A和B两点间的距离为＝． 【设计意图】通过基础练习，强化学生对勾股定理的理解，及时反馈学习效果，查漏补缺． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．什么是勾股定理？它有什么作用？ 2．在探索勾股定理的过程中，我们经历了怎样的研究过程？通过什么方法证明了勾股定理？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第30页习题20.1第1题． 学科网（北京）股份有限公司 $