20.1 勾股定理及其应用（第1课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册

20.1　勾股定理及其应用（第1课时）

1．经历勾股定理的探索过程，掌握勾股定理，感受“观察—猜想—证明”的定理探索路径，发展几何直观和推理能力．

2．通过了解我国古代研究勾股定理的相关成就，感受中华优秀传统文化，激发民族自豪感，增强文化自信．

勾股定理的探究过程．

勾股定理的探究过程．

       新课导入      

【引导语】同学们，我们已经学习了一些三角形的相关知识，了解到直角三角形是一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值．直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．那么，对于直角三角形的三条边，它们之间是否也存在某种特殊关系呢？

【问题】在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦．在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”．意思是说：分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积．请你判断一下，商高的说法是否正确呢？

【师生活动】教师出示如下图形，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，需要判断三个正方形的面积是否满足商高的猜想．学生利用正方形面积公式进行计算，容易得出它们之间的关系：9＋16＝25．

【追问1】你能从边的角度出发，总结出这个特殊直角三角形的三边关系吗？

【师生活动】师生共同总结出这个特殊直角三角形的三边关系：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方．

【追问2】其他直角三角形的三边是否也满足这样的数量关系呢？这就是我们今天要一起探究的问题．

【设计意图】通过回顾直角三角形的已有知识，建立新旧知识的衔接，再结合《周髀算经》中“勾三股四弦五”的数学背景提出问题，既渗透了中华优秀传统文化，又自然引出本节课的探究主题，激发学生的求知欲．

      新知探究      

【问题1】如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？

【师生活动】学生独立观察方格纸中的图形，首先探究图中正方形A1，B1，C1的面积关系．通过数方格可知正方形A1的面积为1，正方形B1的面积为4，难点在于如何求出以直角三角形斜边为边的正方形C1的面积．教师提示学生：图形在经过适当切割后拼接成一个新图形，切割、拼接前后图形各部分的面积之和不变．然后引导学生通过以下两种方法计算正方形C1的面积：第一种方法（补形法）是由一个边长为3的大正方形的面积减去四个直角边长分别为1和2的小直角三角形的面积得到，所以SC1＝32－4××2×1＝5；第二种方法（割补法）是由四个直角边长分别为1和2的直角三角形的面积加上中间一个边长为

1的小正方形的面积得到，所以SC1＝1×2××4＋1×1＝5．同理，可求出正方形C2和正方形C3的面积．学生填写学习任务单上的表格进行记录．

     

补形法                   割补法

【问题2】以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？

【师生活动】学生动手画图、计算，组内交流验证结果，发现所有画出的直角三角形都满足上述规律，即以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积．由此猜想：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²＋b²＝c²．学生在学习任务单上记录猜想．

【设计意图】遵循“特殊到一般”的探究路径，先分析方格纸中给定的直角三角形，发现可能存在的规律，再自主绘制任意直角三角形验证，进而提出猜想，培养学生的观察、归纳和猜想能力．

【问题3】从《周髀算经》“勾三股四弦五”的记载，到对方格纸中不同直角三角形的探究，我们发现了直角三角形三边的奇妙关系，并大胆提出猜想，迈出了科学探究的第一步．而猜想唯有经过证明，方能成为定理．在众多精妙的证明方法中，我国古代数学家赵爽借助一幅“弦图”（如下图），以简洁优美的几何构造，完美证明了这一猜想．接下来，让