20.1 勾股定理及其应用（第1课时）课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

勾股定理及其应用（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 同学们，我们已经学习了一些三角形的相关知识，了解到直角三角形作为一种特殊的三角形，具有广泛的应用价值． 直角三角形的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余．对于直角三角形的三条边，它们之间是否也存在某种特殊关系呢？ 问题 在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫作勾，长的直角边叫作股，斜边叫作弦． 在《周髀算经》的开篇，商高构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”．意思是说：分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积． 商高的说法是否正确呢？ 问题 如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别是多少？它们之间有什么关系？ 三个正方形面积的关系是：9＋16＝25． 你能从边的角度出发，总结出这个特殊直角三角形的三边关系吗? 三个正方形的面积分别是9，16，25． └ 问题 如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形，三个正方形的面积分别是多少？它们之间有什么关系？ 三个正方形面积的关系是：9＋16＝25． 3² 5² 4² 两条直角边长的平方和等于斜边长的平方． 其他直角三角形的三边是否也满足这样的数量关系？ └ 问题1 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？ 先研究正方形A1，B1，C1． A1 问题1 数方格可知： 正方形A1的面积为1， 正方形B1的面积为4， 怎么求正方形C1的面积呢？ 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？ B1 C1 问题1 求正方形C1的面积： 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？ 方法1（补形法） 1个大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积． SC1＝32－4× ×2×1 ＝5 ． C1 问题1 求正方形C1的面积： 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？ 方法2（割补法） 四个直角三角形的面积加上中间一个小正方形的面积． SC1＝1×2× ×4＋1×1 ＝5 ． C1 问题1 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？ 请你用类似的方法，继续研究其余两组正方形． 第一组 正方形 A1 的面积 正方形 B1 的面积 正方形 C1 的面积 第二组 正方形 A2 的面积 正方形 B2 的面积 正方形 C2 的面积 第三组 正方形 A3 的面积 正方形 B3 的面积 正方形 C3 的面积 问题1 SA1＋SB1＝SC1 SA2＋SB2＝SC2 SA3＋SB3＝SC3 如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2 呢？A3，B3，C3 呢？ 1 4 5 4 9 13 9 25 34 问题2 以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？ S1＋S3 ＝ S2 ． 猜想：以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积． 猜想 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ． 如何证明？ 问题3 证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ． 在众多精妙的证明方法中，我国古代数学家赵爽借助一幅“弦图”，以简洁优美的几何构造，完美证明了这一猜想． 问题3 证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ． 把边长分别为 a，b 的两个正方形连在一起，它的面积是 a2＋b2． 这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（红色部分，直角边长分别为 a，b）和一个小正方形（黄色部分，边长为 b－a）． 第一步：拆分图形 a 问题3 证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ． 把左、右两个三角形移到箭头所示的位置，就会形成一个以 c 为边长的正方形，它的面积是 c2． 第二步：拼接转化 问题3 证明：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2 ． 第三步：计算推导 第一个图和第三个图都由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，所以它们的面积相等，即 a2＋b2＝c2． 新知 直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2＋b2＝c2．我国把它称为勾股定理．在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理． 赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法” ． “赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲．2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的． 问题4 根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？ 化简可得 a2＋b2＝c2． S大正方形＝c2， S小正方形＝(b－a)2， S大正方形＝S小正方形＋4S三角形， 即 ， 你还能想到其他证明方法吗？ 加菲尔德的梯形面积法 Rt△ABC≌Rt△CDE ． 易证△CAE 为直角三角形，四边形 ABDE 为梯形． 由图可知： S梯形ABDE＝S△ABC＋S△CDE＋S△ACE ， 化简可得：a2＋b2＝c2 ． 即 ， 拓展 例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． 解：（1）在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， AB2＝AC2＋BC2＝82＋62＝100， 所以 AB＝10． （1） （2） 22 例1 如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． 解：（2）在 Rt△DEF 中，根据勾股定理，DE2＋EF2＝DF2， （1） （2） 所以 DE2 ＝DF2－EF2＝172－152＝64， 所以 DE＝8． 23 归纳 运用勾股定理求直角三角形边长的关键 （1）先确定直角边和斜边，明确已知边和未知边； （2）根据勾股定理列出关系式，注意边长的计算结果是正数． 24 例2 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形 A，B，C，D 的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形 E 的面积． 分析：①的面积＝A 的面积＋B 的面积 解：根据图形，最大正方形 E 的面积为 122 ＋162 ＋92 ＋122 ＝625. ① ② ②的面积＝C 的面积＋D 的面积 E 的面积＝①的面积＋②的面积 25 　　1．设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c． （1）已知 a＝6，c＝10，求 b； （2）已知 a＝5，b＝12，求 c； （3）已知 b＝15，c＝25 ，求 a． 　　解：（1）根据勾股定理，得 62＋b2＝102，所以 b2＝64，b＝8 ； 　　（2）根据勾股定理 ，得 52＋122＝c2，所以 c2＝169， c＝13 ； 　　（3）根据勾股定理 ，得 a2＋152＝252，所以 a2＝400，a＝20． 　　2．如图，在平面直角坐标系中有两点 A（5，0）和 B（0，4）． 求这两点间的距离． 　　解：由图可知，A ，B 两点间的距离为 ． 勾股定理 内容 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c，那么 a2 ＋ b2 ＝c2 面积证法：图形经过分割、拼接后得到一个新的图形，原图形和新图形面积相等 证明 作用 已知直角三角形的任意两条边长，可以求出第三条边长 $