23.3 一次函数与方程（组）、不等式（讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十三章 一次函数 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点一 一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：一元一次方程的解，就是一次函数中y=0时的函数值对应的自变量x的值. 从“形”上看：一元一次方程的解，就是一次函数的图像与x轴交点的横坐标. 【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 即学即练 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，点在直线上则点的坐标满足直线解析式，据此可直接得到方程的解． 【详解】解：∵ 点在直线上． ∴ 将代入，得 ． 又∵ 待求解方程为． ∴ 方程的解为． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 1 3 4 y 2 4 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系，解答即可． 【详解】解：∵当时，；当时， ∴在之间存在使得，即 ∴方程的根最精确的范围是． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为（，，为常数，）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．正确理解题意是解题的关键. 方程的解即为函数的值为时对应的值. 由点在直线上，直接可得解. 【详解】解：∵ 直线 过点， ∴ 当时，，即方程 的解为 ， 故选：D． 知识点二 一次函数与二元一次方程（组） 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【补充】 1）二元一次方程组的图解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解. 2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 即学即练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程组的解是两条直线的交点的横纵坐标即可得出结果. 【详解】解：由图象可知：关于x，y的方程组即方程组的解为. 2．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】D 【分析】求出点的坐标，再根据待定系数法和两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：把点代入得：， ∴点， ∵直线与直线相交于点， ∴关于x，y的方程组的解为． 将，代入可得，解得：， 故直线的表达式为． 3．（2026·陕西西安·一模）将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】灵活运用“上加下减”的平移规律求出平移后的直线解析式是解题的关键．根据平移规律得到平移后直线的解析式，进而求出该直线与坐标轴的交点坐标，再利用三角形面积公式求出与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：将直线向上平移时，解析式遵循“上加下减”的规律，原直线解析式为，向上平移个单位长度， 平移后直线解析式为， 当时，，即平移后直线与轴交点为； 当时，，解得，即平移后直线与轴交点为， 直线与坐标轴围成的三角形的两条直角边长分别为和， 三角形面积为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】两条直线的交点坐标就是这两条直线方程组成的二元一次方程组的解，直接对应选项即可得到答案. 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴同时满足两个直线的方程， ∴解为的方程组就是由这两个直线方程组成的方程组． 知识点三 一次函数与一元一次不等式 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法： 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 即学即练 1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）一次函数与的图象如图所示，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用函数图象，结合，得出的取值范围． 【详解】解：如图所示：不等式的解集为：． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式的解集，对应直线的图象在直线下方时的取值范围，结合两直线交点的横坐标判断即可． 【详解】解：∵函数和的图象相交于点，由图可得时，直线的图象在直线下方， ∴的解集为． 3．（25-26八年级下·北京西城·期中）若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】联立两条直线的方程求出交点横坐标，再根据第一象限内点的横坐标为正，推导得到和的大小关系. 【详解】解：联立直线方程得，则 = ， 移项得， ∵两直线相交， ∴， ∴， ∵交点在第一象限，第一象限内点的横坐标大于，所以， 即， ∴， ∴. 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．关于的不等式的解集，某同学绘制了直线与直线（，为常数，）如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集是_____________． 【答案】 【分析】先求出两条直线的交点坐标为，再结合函数图象即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，， 解得， ∴两条直线的交点坐标为， 结合函数图象可得：关于的不等式的解集为． 题型01 利用图象法解一元一次方程 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象直接进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：点， ∴方程的解是； 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 2．（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是______； （2）关于x的方程的解是______； 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象； （1）利用函数图象写出函数值为时对应的自变量的值即可； （2）利用函数图象写出函数值时对应的自变量的值即可 【详解】（1）根据函数图象可得，当时，， 所以方程的解为； 故答案为：． （2）根据函数图象可得，当时，， ∴关于x的方程的解是 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 【答案】(1)3 (2)①；②；③， 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则，即 故答案为：； （2）①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． 题型02 已知直线与坐标轴交点求方程的解 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，掌握方程的解就是直线与x轴交点的横坐标是解题的关键． 由直线与x轴交点坐标为，再根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为， ∴当时， ∴方程的解为． 故选D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知直线与坐标轴交点求方程的解，解题关键是运用数形结合思想解题． 由直线与轴交点的横坐标为得出，再代入方程，求解即可． 【详解】解：直线与轴交点的横坐标为， ，即， 将代入关于的方程， 得， ， ， ， ． 故选：． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点______． 【答案】 【分析】x的方程的解是，说明时，,由此可以理解图象经过的点． 【详解】解：关于x的方程的解是， 把代入方程得， 在函数中，当时， 该函数图象一定经过点 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数、一元一次方程，掌握一次函数图象上点的坐标特征，熟悉解一元一次方程的步骤是解题的关键． 题型03 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案． 【详解】解：因为方程的解是， 所以函数的图象与x轴的交点坐标为， 所以C选项符合题意． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为 (a，b为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值． 由方程的解可得与的关系，再令一次函数求解，即可得交点坐标． 【详解】解：∵是方程的解， ∴，即． 令，即， 代入，得， ∴， ∵， ∴，解得． ∴交点坐标为． 故选：D． 2．（2025·天津·模拟预测）直线与轴的交点坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查直线与轴交点坐标的求法，求直线与轴的交点坐标，令，然后解关于的方程，得到的值和组成的坐标就是直线与轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 解得， 所以直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求此一次函数的表达式； (2)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查待定系数法求解析式以及一次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求出函数的解析式； （2）先求解函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求出面积即可． 【详解】（1）一次函数的图象经过点及点， 把两点的坐标分别代入，得， 解得：， 即一次函数的表达式是； （2）如图， 当时，， ， 即， 因为， 所以， 故此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积是． 题型04 图象法解二元一次方程组 典｜例｜精｜析 1．（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键； 根据方程组变形可得，根据两个一次函数图象交点，即可求出方程组的解． 【详解】方程组的解即为方程组的解， 一次函数与的图象交于点， 方程组的解为， 即方程组的解为， 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A．B．C． D． 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两个一次函数的解析式即可得． 【详解】解：设其中一个一次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则这个一次函数的解析式为， 同理可得：另一个一次函数的解析式为， 则所解的二元一次方程组为， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 3．（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 【答案】 1 3 【分析】利用表中的对应值得到时，，则可判断一次函数的图象和的图象的交点坐标为，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由表中数据得到时，， 所以一次函数的图象和的图象的交点坐标为， 所以方程组的解为，． 故答案为：1，3． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 题型05 两直线的交点与二元一次方程组的解 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 【答案】D 【分析】根据直线解析式判断其所在象限，即可求解． 【详解】解：直线中，，经过一、二、三，不经过第四象限， 因为直线与直线的不相等，所以两直线必有一个交点， 又因为交点必在直线上，所以交点不可能在第四象限， 故选项D符合题意． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知关于，的二元一次方程组没有解，则一次函数与的图象必定（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组与一次函数的关系，利用方程组无解的条件判断对应一次函数图象的位置关系． 【详解】解：∵将方程组中的方程化为一次函数形式． 第二个方程两边同时除以2，得，即． 第一个方程移项得． 又∵该二元一次方程组没有解． ∴一次函数与的图象无交点． ∴这两个一次函数的图象必定平行． 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，读懂题意，根据图象分段找到y的值应该属于哪条直线上的部分，在范围内找到最低点，求值即可． 【详解】解：由题意根据一次函数图象的性质可知，y的最小值是交点坐标的纵坐标值． 联立两直线解析式：， 解得，代入解析式求得． 故选：D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先联立两条直线的解析式得到二元一次方程组，求解得到交点坐标，再根据第三象限内点的横，纵坐标均小于列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两条直线解析式得， 解得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得， ∴不等式组的解集为． 题型06 求直线围成的图形面积 1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积. 2.在求两条直线与一条坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先分别确定两条直线与这条坐标轴的交点坐标(即可确定三角形的底)，然后求两条直线的交点坐标(即可确定三角形的高)，最后利用三角形的面积公式得出结果. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先求出两点的坐标，得到，结合题意得到，进而求出，由即可得出结果． 【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点， 则时，，时，，即， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 2．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 【答案】 2或 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质进行解答． （1）通过联立两个一次函数解析式，解方程得到交点坐标； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，再以这两个交点的距离为底边、两函数交点的纵坐标为高表示三角形面积，根据面积等于列方程求解． 【详解】（1）解：联立与， 得， 整理得， 由，解得， 代入得， 故交点坐标为． （2）解：函数与轴交于点， 函数与轴交于点， 两函数交于点． 三角形面积， 由，得， 简化得， 即或， 解得或， 均满足， 故或． 故答案为：；2或． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）先求得，再待定系数法求解析式，即可求解； （2）令，代入，即可求解； （3）过点作轴交于点，得出，设，进而分类讨论，根据三角形的面积公式，列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入 ∴ ∴ 设直线的函数表达式为 将、代入 ∴ 解得： ∴直线的函数表达式为 （2）解：当时， ∴ （3）解：如图，过点作轴交于点， 当时，，则，则 设 当在的上方时， ∴ 解得：， ∴ 当在的下方时，如图 ∴ 解得：， ∴ 综上所述，点的坐标为或 题型07 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象确定的解集，再利用整体思想求解即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象与轴交于点，且随的增大而增大， 当时，，即不等式的解集为． 要求不等式的解集， 将看作整体，可得， 解得． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东青岛·月考）如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象，找出两条直线都在x轴上方时对应的x的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于，直线与x轴交于， ∴不等式组，即的解集是． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用与轴交于且递减，得图像在轴上方时，解集为； （）根据两直线交点横坐标为，得交点左侧在下 方，解集为； （）解：由交点且递减，得函数值小于时；解：由与轴交于，递增，得；取两者公共部分，不等式组解集为． 【详解】（1）解：不等式，表示的图像在轴上方， ∵与轴交于，且随增大而减小， ∴图像在轴上方时； （2）解：不等式，表示的图像在图像下方， ∵两直线交点的横坐标为，交点左侧满足在下方， ∴解集为； （3）解：∵：表示函数值小于，交点，递减， ∴解集为； ∵：表示函数值大于，与轴交于，递增， ∴解集为； ∴两个解集的公共部分为，即不等式组的解集． 3．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由函数图象即可得解； （2）待定系数法求出函数为，当时，，解得，再结合函数图象即可得解； （3）结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得，方程的解为； （2）解：将，代入函数可得：， 解得：， ∴函数为， 当时，， 解得， 由函数图象可得，不等式的解集为； （3）解：由函数图象可得：不等式组的解集为． 题型08 根据两条直线的交点求不等式的解集 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象找出的图象在的图象上方时，对应的横坐标的取值范围即可． 【详解】解：∵直线与直线交于点， ∴由图象可得，当时，， 即不等式的解集为． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·山东东营·阶段检测）一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据一次函数与不等式的关系分别判断各选项即可． 【详解】选项①： 从图象可得，一次函数与轴的交点在的左侧，当小于该交点横坐标时，，因此不是所有都满足，结论①错误； 选项②： 一次函数与轴的交点在原点右侧（横坐标大于0），随增大而减小，因此对所有小于交点横坐标，都有， 因为，0小于交点横坐标， 所以时，，结论②正确； 选项③： 两个函数的交点横坐标为，当时，的图象在的图象上方， 因此，结论③正确； 综上，正确的结论有2个． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 【答案】3 【分析】先求出，再根据游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准即可得到答案． 【详解】解：当时，，解得， ∴ ∵当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时， ∵根据题意，结果取最大整数， ∴游泳池最多可连续开放天． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线与直线的交点坐标为，若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求两条直线的交点坐标，熟练掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据交点坐标求出的值，再结合一次函数的增减性分析不等式的解集即可． 【详解】解：由交点坐标为，代入，得， 解得：，即交点为， 由于，函数为递减函数，而为递增函数， 当时，，，故； 当时，，，故； 因此，当时，． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数 23.3 一次函数与方程（组）、不等式 知识点一 一次函数与一元一次方程 思路：由于任何一个一元一次方程可以转化为的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求自变量的值. 从“数”上看：一元一次方程的解，就是一次函数中y=0时的函数值对应的自变量x的值. 从“形”上看：一元一次方程的解，就是一次函数的图像与x轴交点的横坐标. 【补充】对于一次函数，已知x的值求y的值，或已知y的值求x的值时，就是把问题转化为关于y或x的一元一次方程来求解. 即学即练 1．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）已知点在直线上，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）画函数的图象时，列表如下，由表可知方程的根最精确的范围是（   ） x 0 1 3 4 y 2 4 A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知直线过点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 知识点二 一次函数与二元一次方程（组） 思路：一般地，二元一次方程都能写成的形式，因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线，所以一个二元一次方程也对应一条直线，进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因而也对应两条直线. 从“数”的角度看：解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标. 【补充】 1）二元一次方程组的图解法：画出两个一次函数的图像，找出它们的交点坐标，即得相应的二元一次方程组的解. 2）确定两条直线交点坐标的方法：联立两个一次函数的解析式，构建二元一次方程组，通过解方程组，即可确定两条直线的交点坐标. 即学即练 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系内，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22八年级上·河南郑州·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解与直线的表达式分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 3．（2026·陕西西安·一模）将直线向上平移个单位长度得到的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）直线与直线交于点，则下列各方程组中满足解为的是（   ） A．B．C． D． 知识点三 一次函数与一元一次不等式 思路：任何一个一元一次不等式都能写成的形式. 从“数”的角度看：解一元一次不等式就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从“形”的角度看：就是确定直线在x轴上（或下）方部分的点的横坐标满足的条件. 利用解一元一次不等式可确定相应的函数值对应的自变量的取值范围，具体的对应关系如下： 1）不等式的解集直线在x轴上方的部分所对应的x的取值范围； 2）不等式的解集直线在x轴下方的部分所对应的x的取值范围； 【补充】不解不等式而直接写出不等式解集的方法： 1）根据图像，求出两直线的交点的横坐标; 2）交点是分水岭，交点左右，哪个图像在上方哪个图像就大，反之亦然. 即学即练 1．（25-26八年级下·广东梅州·期中）一次函数与的图象如图所示，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京西城·期中）若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．关于的不等式的解集，某同学绘制了直线与直线（，为常数，）如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集是_____________． 题型01 利用图象法解一元一次方程 典｜例｜精｜析 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数（）的图象经过点A，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25八年级下·广西南宁·期末）根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山东青岛·周测）根据一次函数的图象，写出下列问题的答案： （1）关于x的方程的解是______； （2）关于x的方程的解是______； 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 题型02 已知直线与坐标轴交点求方程的解 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山东威海·期末）若直线经过点则方程的解为（    ） A．0 B．3 C． D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，直线与轴交点的横坐标为，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）若关于x的方程的解是，则函数的图象一定经过点______． 题型03 由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知方程的解是，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·广西崇左·月考）若是关于x的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是(　　) A． B． C． D． 2．（2025·天津·模拟预测）直线与轴的交点坐标为______． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数的图象经过点和点． (1)求此一次函数的表达式； (2)求此函数图象与两坐标轴所围成的三角形的面积． 题型04 图象法解二元一次方程组 典｜例｜精｜析 1．（22-23八年级下·四川眉山·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（2021·广东广州·二模）用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数图象，如图，则所解的二元一次方程组为（    ）． A．B．C． D． 2．（23-24八年级上·贵州贵阳·月考）已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 3．（22-23八年级上·山东青岛·期末）一次函数和的图象上一部分点的坐标见表：则方程组的解为_____，_____． 2 1 0 0 3 6 9 6 3 0 题型05 两直线的交点与二元一次方程组的解 典｜例｜精｜析 1．（2026·江苏连云港·一模）关于直线（为常数）与直线的交点情况，下列判断一定正确的是（   ） A．有1个交点，且在第一象限 B．有1个交点，且在第二象限 C．有1个交点，且在第三象限 D．有1个交点，但不在第四象限 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知关于，的二元一次方程组没有解，则一次函数与的图象必定（   ） A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定 2．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知直线的图象如图所示，无论x取何值，y总取中的最大值，则y的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京·期中）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______． 题型06 求直线围成的图形面积 1.在求一条直线与坐标轴所围成的三角形的面积时，先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，从而得出直线与坐标轴所围成的直角三角形的两条直角边长，再利用三角形的面积公式即可求出三角形的面积. 2.在求两条直线与一条坐标轴所围成的三角形的面积时，可以先分别确定两条直线与这条坐标轴的交点坐标(即可确定三角形的底)，然后求两条直线的交点坐标(即可确定三角形的高)，最后利用三角形的面积公式得出结果. 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，直线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，点C的坐标为，则等于（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变｜式｜巩｜固 1．（25-26九年级下·河北石家庄·开学考试）已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（   ） A． B．或 C．或 D． 2．（25-26九年级上·安徽马鞍山·期末）已知关于x的一次函数与． （1）这两个函数图象的交点坐标是__________； （2）若这两个函数图象与x轴围成的三角形的面积是2，则___________． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，且与直线相交于点，直线与轴、轴分别交于点、． (1)求点的坐标及直线的函数表达式； (2)直接写出点的坐标； (3)直线上是否存在点，使得的面积为？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型07 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级下·山东青岛·月考）如图，观察图象，可以得出不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）在学习一元一次不等式与一次函数时，小明在同一个坐标系中画出了一次函数和的图象（如图），两直线相交于点，分别与轴交于点．已知点坐标为，点坐标为，点坐标为，观察图象并回答下列问题： (1)关于的不等式的解集是_______； (2)关于的不等式的解集是________； (3)关于的不等式组解集是________． 3．（24-25八年级下·全国·期末）函数的图象如图所示，利用函数图象解答下列问题： (1)解方程； (2)解不等式； (3)解不等式组． 题型08 根据两条直线的交点求不等式的解集 典｜例｜精｜析 1．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级下·山东东营·阶段检测）一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）某社区游泳池每周检测水质，主要关注两项指标：游离氯浓度（单位：，保障消毒效果）和尿素浓度（单位：，反映水质卫生）．其中游离氯浓度和尿素浓度随泳池开放天数（单位：天）之间的关系如图所示，当游离氯浓度不低于尿素浓度时，水质符合卫生标准，此时游泳池最多可连续开放_____天（结果取整数）． 3．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线与直线的交点坐标为，若，则的取值范围为___________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $