19.3 二次根式的加法与减法（第1课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级 数学下册

19.3　二次根式的加法与减法（第1课时） 教学目标 1．经历二次根式加减运算法则的探究过程，能类比整式运算中的合并同类项进行运算，对被开方数不同的二次根式进行化简、运算，并从特殊到一般概括得到二次根式的加减运算法则． 2．会进行二次根式的加减运算，感受最简二次根式在计算中的意义，提升运算能力． 教学重点 二次根式的加减运算． 教学难点 二次根式的加减运算． 教学过程 知识回顾 前面我们学习了二次根式的乘法与除法运算，接下来要继续研究加法与减法运算．在进入新课学习之前，先来看两个算式，请你计算出结果，并说一说为什么可以这样计算． 1．2＋3 2．3a2＋2a3＋(5a2－a3) ＝ 8a2＋a3 ． 【师生活动】学生一起口答，给出两个算式的答案．教师组织学生交流，达成共识： 算式1中的两个根式被开方数相同，利用分配律，可以直接相加，在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立； 算式2是整式的运算，运算法则是先去括号，再合并同类项． 【类比探索】被开方数相同的二次根式就好比整式里的同类项，可以直接进行合并，那么，遇到被开方数不相同的二次根式，还能进行加减运算吗？ 【设计意图】通过复习回顾，唤醒学生的已有知识储备，为类比得出二次根式的加减法法则作好铺垫． 新知探究 【问题1】如何计算？ 【师生活动】教师组织学生交流讨论，明确表示的是与相加的关系，由于被开方数27与12不相同，所以无法直接相加，如果能把和化成被开方数相同的形式，那么就可以进行计算． 【师生活动】学生根据已有知识，在学习任务单上将和化为最简二次根式和，得到被开方数相同的两个二次根式，并完成的计算过程．学生代表分享做法，师生共同总结出“先化为最简二次根式，再合并”的运算方法． 【答案】 （化成最简二次根式） （利用分配律合并被开方数相同的二次根式） . 【新知】一般地，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并． 【拓展】化简后被开方数相同的二次根式，叫作同类二次根式． 【设计意图】引导学生明确研究对象的含义，在此基础上，通过类比整式加减运算，明确运算方法：先将二次根式化为最简形式（即最简二次根式），再合并被开方数相同的项（即同类二次根式）． 例题精讲 【例1】计算： （1）； （2）； 　　（3）． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成计算，教师挑选典型解题方法展示交流，重点强调解题步骤中“化简”与“合并”书写的规范性． 【答案】解：（1）； （2）； （3）． 【追问】比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？ 【师生活动】学生交流讨论后，师生共同总结：二次根式的加减类似于整式的加减，都需要合并“同类项”．只是二次根式在合并前，需要先化简．教师进一步强调最简二次根式在计算中的意义． 　　【归纳】合并同类二次根式的方法： 　　（1）根指数和被开方数不变； （2）根号外的因数（或因式）相加减． 如：． 【例2】计算： （1）； 　　（2）． 【师生活动】教师引导学生观察题目中的括号与系数特征，强调运算顺序与分配律的应用．学生在学习任务单上尝试独立计算，教师集中讲解，强化“去括号要变号”“系数与根式分别运算”等易错点． 【答案】解：（1）； （2）． 【提示】，可以分别写作，． 【设计意图】加强算法和算理教学，使学生掌握二次根式加减运算的方法、步骤和依据，体会有理数、二次根式及整式的运算之间的联系，感受数系扩充过程中运算法则和运算律的一致性及数式通性等． 【例3】有一块长为7.5 dm、宽为5 dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板？ 【师生活动】教师引导学生认真读题，分析题意，思考需要满足哪些条件才能成功截出． 【追问1】要求截出的两块正方形木板的边长分别是多少？ 【师生活动】学生得出大、小正方形木板的边长分别为dm和dm． 【追问2】若按如图的方式截出正方形木板，原木板的长和宽需要满足什么条件？ 【师生活动】学生得出只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板．学生通过计算发现＜＜5，所以木板够宽；两个正方形木板边长的和为 dm，需判断与7.5的大小关系． 【追问3】如何比较与7.5的大小呢？ 【师生活动】学生计算＋，得出和是；再由＜1.5得出＜7.5，从而判断出＋＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长． 如果学生提出先分别取，的近似值，再比较这两个近似值的和与7.5的大小，教师也应予以肯定，同时请学生比较两种解法的差异． 【答案】大正方形木板的边长为 dm．因为＜5，所以这块木板够宽． 两个正方形木板的边长的和为 dm，而 ， 由＜1.5可知＜7.5，即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长． 因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8 dm2和18 dm2的正方形木板． 【归纳】二次根式的估值方法多种多样，若是比较大小，可直接用平方法；若估值精度要求不高，可直接判断二次根式位于哪两个整数之间；若估值精度要求较高，可利用计算器取近似值． 【设计意图】在解决实际问题的过程中，让学生体会二次根式加减运算的应用价值． 课堂练习 1．下列计算是否正确？为什么？ （1）； （2）； 　　（3）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）不正确．，，5≠； （2）不正确．，，≠； （3）正确．． 2．化简： （1）； （2）； （3）； （4）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，针对共性错误进行集中讲解． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 3．如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和141.3．求圆环的宽度d（π取3.14）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r．由圆的面积公式可得 ． 答：圆环的宽度d为． 【设计意图】通过练习，帮助学生巩固对二次根式加减法运算法则的应用，强化运算和化简技能，同时体会数学与实际生活的联系，提升知识的应用能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．二次根式加减运算的一般步骤是什么？每一个步骤的依据是什么？ 2．在二次根式的加减运算中，有哪些地方容易出现错误？怎样避免？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第16页习题19.3第1，2，4题． 学科网（北京）股份有限公司 $