专题07+函数与导数7个考点（湖南专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数与导数专题，系统整合7大核心考点，适配二模复习需求 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合大题|占比突出|导数与函数单调性极值最值、导数综合应用|注重逻辑推理与综合应用，贴合高考真题命题趋势|

专题07 函数与导数 7大考点概览 考点01函数的基本性质 考点02指对幂函数 考点03函数的应用 考点04导数的几何意义 考点05导数与函数的单调性极值最值 考点06导数的综合大题 函数的基本性质 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将函数变形为，由得函数的图象关于直线对称，再判断单调性，由，得，两边平方后化简即可. 【详解】函数的定义域为， 且， 因为，所以函数的图象关于直线对称， 令在上单调递增，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，当且仅当，即时等号成立， 函数在上单调递增， 由复合函数单调性知，在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以， 两边平方得，即， 又，所以，即. 故选：B. 二、多选题 2．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A：因为为偶函数，当时，， 所以，故A正确； 对于B：因为函数为偶函数，所以， 所以函数的图象关于直线对称，故B错误； 对于C：因为和均为偶函数，所以， 在中，将替换为，得，故， 所以的一个周期为2，故C正确； 对于D：当时，， 故， 故当时，，所以函数在上单调递增，故D正确． 3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．不等式的解集为 D．直线与函数的图象恰有3个交点 【答案】ACD 【分析】根据题意作出函数图象，即可判断A，结合函数图象分析周期性和对称性，即可判断B；根据图象交点判断CD. 【详解】如图，在图中一段一段的扇形上运动， 对于选项A：初始时在原点，当时，即为正三角形的高， 所以，故A正确； 对于选项B：由图可知：的一条对称轴为，周期为6，每经过半个周期均为的对称轴， 所以函数的对称轴方程为，故B错误； 对于选项C：如图所示， 若，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于选项D：令，解得， 结合图象可知：直线与函数的图象恰有3个交点，故D正确. 4．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】通过导数来判断函数单调性，进而判断函数图像的走势来解决问题. 【详解】对于A选项，，当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，存在，，使得，A正确． 对于B选项，由函数解析式可知为奇函数，得到的极大值为， 的极小值为，且当时，，当时，， 根据函数图像走势可知，所以的值域为． 取，不存在，使得，B错误． 对于C选项，不妨设，则， 即，． 设函数， 那么由，可知的图象关于直线对称， 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 可得与的值域相同，令，当时，， 当时，， 当时，，且，(当且仅当时，等号成立) 当时，函数单调递减，且， 所以当时，取得最大值，最大值为， 综上，的最大值为，即的最大值为，C正确． 对于D选项，不妨设， 则， 变形可得， 所以， 当时，，，要使得取得最小值， 则． 若，则， 解得，或 即,(当且仅当时，等号成立) 若，则， 解得或 即,(当且仅当时，等号成立) 当时，，， 而，矛盾，舍去． 综上，的最小值为，D正确． 三、填空题 5．（2026·湖南常德·二模）已知函数为奇函数，则实数______． 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意恒成立，即可求解. 【详解】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此， 化简可得：对定义域内的任意恒成立， 由于是变化的，因此，故. 6．（2026·湖南怀化·二模）已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 【答案】1 【详解】为偶函数，要使得有且仅有1个零点，则，解得． 经验证，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，符合题意． 指对幂函数 考点2 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 2．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 3．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上为增函数， 且在上为减函数，在上为增函数， 而在上单调递增，所以． 4．（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以，又且，所以， 而 的定义域为，处无定义， 当时，，因为，所以对数函数在上单调递增； 当时，， 根据复合函数性质得，内层在单调递减， 外层单调递增，因此在上单调递减. 则的递增区间是． 5．（2026·湖南常德·二模）已知实数满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数函数单调性分析不同取值对应的与1的大小关系，从而判断的符号. 【详解】 因为，所以，即，所以， 设 ，求导得 ， 因为，，因此，即在上是单调递增. 若 ，则，对应 ，得 ，此时 ； 若 ，由单调递增得 ，即， 又是增函数，故，此时 ，得 ； 若 ，由单调递增得得，解得，此时； 综上，所有情况都满足，选C. 【点睛】本题考查指数函数单调性的应用，核心是利用函数单调性判断变量的取值范围，体现了函数思想在不等式判断中的应用. 二、填空题 6．（2026·湖南常德·二模）已知函数为奇函数，则实数______． 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义可将问题转化为对定义域内的任意恒成立，即可求解. 【详解】由题意可得对定义域内的任意恒成立，故，因此， 化简可得：对定义域内的任意恒成立， 由于是变化的，因此，故. 7．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若恒成立，则实数___________． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论的取值范围即可求解. 【详解】当时，,则, 由于恒成立，则, 当时，,其对称轴为：, 由于,所以当时，, 则，解得：, 由于,则, 当时，时，，满足条件， 时，,满足恒成立 综上， 故答案为： 函数的应用 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可将方程变为，通过分析可确定，将问题转化为在上有解的问题，通过分离变量的方法，结合导数求得函数值域，进而得到所求范围. 【详解】与图象关于直线对称，， ，； 设，则由得：， 均在函数图象上； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； ，即在上有解，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，解得：， 即实数的取值范围为. 2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】P与t的函数关系式为． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．不等式的解集为 D．直线与函数的图象恰有3个交点 【答案】ACD 【分析】根据题意作出函数图象，即可判断A，结合函数图象分析周期性和对称性，即可判断B；根据图象交点判断CD. 【详解】如图，在图中一段一段的扇形上运动， 对于选项A：初始时在原点，当时，即为正三角形的高， 所以，故A正确； 对于选项B：由图可知：的一条对称轴为，周期为6，每经过半个周期均为的对称轴， 所以函数的对称轴方程为，故B错误； 对于选项C：如图所示， 若，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于选项D：令，解得， 结合图象可知：直线与函数的图象恰有3个交点，故D正确. 导数的几何意义 考点4 1．（25-26高三下·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________. 【答案】 【分析】根据导数几何意义求切线的斜率，结合切点坐标即可写出切线方程. 【详解】由，得， ，得， 故所求切线方程为，即. 2．（2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，再利用点斜式方程求出切线方程即可. 【详解】由，则，所以，又， 所以在点处的切线方程为，即. 3．（2026·湖南常德·二模）已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可根据圆的弦长公式求解. 【详解】由得，故，进而可得曲线在处的切线方程为：，即， 圆心到直线的距离为， 故.其中为圆的半径. 4．（2026·湖南湘潭·二模）若直线是曲线的一条切线，则________． 【答案】e 【分析】设切点为，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论. 【详解】设直线与曲线相切于点． 因为， 所以且， 解得，． 故答案为. 5．（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； （2）函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则 ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 导数与函数的单调性极值最值 考点5 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 【答案】A 【分析】利用导数分析的单调性及最值，根据指对互化，利用函数同构得，结合的单调性及取值情况，得到的关系，从而可得，结合的最小值，求得的最小值. 【详解】函数的定义域为，. 当时，；当时，. 在上单调递减，在上单调递增.在处取得最小值. 又当时，，且， 若，，则， 所以，即. 所以. 所以当，即时，取得最小值，最小值为. 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 【答案】A 【分析】利用奇偶性的定义求解的奇偶性，求出在范围内的表达式，利用导数法得到在范围内的单调性. 【详解】， 的定义域为， ， 是偶函数， 当时，， 当时，， ， ， ， ， ， ， 在上是单调递增函数. 3．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可将方程变为，通过分析可确定，将问题转化为在上有解的问题，通过分离变量的方法，结合导数求得函数值域，进而得到所求范围. 【详解】与图象关于直线对称，， ，； 设，则由得：， 均在函数图象上； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； ，即在上有解，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，解得：， 即实数的取值范围为. 二、多选题 4．（22-23高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．在定义域内为增函数的充要条件是 C．当时，既存在极大值又存在极小值 D．当时，恰有3个零点，且 【答案】BC 【分析】A按照导数几何意义解决；B证明导数为正值即可；C以极值定义去判定；D 构造函数去证明. 【详解】选项A: 当时，曲线, 则，切线斜率 又， 故曲线在点处的切线方程为. A选项错误； 选项B: 令， 则 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 在处取得最小值 当时，对任意恒成立， 则对任意恒成立， 故当时，在定义域内为增函数.B选项正确； 选项C: 由以上分析知道： 在处取得最小值 当时，必有二根， 不妨设为 则当时，，，为增函数， 当时，，，为减函数， 当时，，，为增函数， 故既存在极大值又存在极小值. C选项正确； 选项D: 由上面分析可知既存在极大值又存在极小值， 不妨设的极大值点为m，极小值点为n,且， 在上单调递减，又 故极大值为正值，极小值为负值， 当时，；当时， 故函数有三个零点，不妨设为， 又 故有，则 即当时，恰有3个零点，且，故D错误. 故选：BC 5．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】通过导数来判断函数单调性，进而判断函数图像的走势来解决问题. 【详解】对于A选项，，当时，， 当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，存在，，使得，A正确． 对于B选项，由函数解析式可知为奇函数，得到的极大值为， 的极小值为，且当时，，当时，， 根据函数图像走势可知，所以的值域为． 取，不存在，使得，B错误． 对于C选项，不妨设，则， 即，． 设函数， 那么由，可知的图象关于直线对称， 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象， 可得与的值域相同，令，当时，， 当时，， 当时，，且，(当且仅当时，等号成立) 当时，函数单调递减，且， 所以当时，取得最大值，最大值为， 综上，的最大值为，即的最大值为，C正确． 对于D选项，不妨设， 则， 变形可得， 所以， 当时，，，要使得取得最小值， 则． 若，则， 解得，或 即,(当且仅当时，等号成立) 若，则， 解得或 即,(当且仅当时，等号成立) 当时，，， 而，矛盾，舍去． 综上，的最小值为，D正确． 三、填空题 6．（2026·湖南·二模）已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题要先使用单调性分析得到在上单调减少, 在上单调增加, 因为,,所以,,再发现，进而得到，再使用双勾函数求解. 【详解】, 当时,,当时, ; 所以,在上单调递减, 在上单调递增, 因为,, 所以; 即 因为,, 所以,; 则，又因为函数在上单调递增， 所以,, 所以,的取值范围是． 7．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【分析】对求导，分析函数单调性后找到的最小值点；再令的最小值大于等于0，得到满足的关系式；最后将目标式通过所得关系式换元转化，构造关于单个变量的新函数，对新函数求导即可求得该目标式的最大值。 【详解】由题意可得恒成立， 令，，故恒成立，故， 与此同时，. （1）若，则. （2）若，令， 的定义域为，， 当时，有；当时，有， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，的最小值为， 因为恒成立，则恒成立，解得，即， （ⅰ）当时，则有； （ⅱ）当时，则有，则， 令，， 当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得最大值， 综合（1）（2）得：的最大值为， 所以的最大值为. 8．（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于的函数，利用导数求出的值域，进而得出函数的值域． 【详解】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又， 所以，即， 所以． 导数的综合大题 考点6 一、解答题 1．（2026·湖南湘潭·二模）已知a为实数，记. (1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； (2)若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围； (3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式； （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式得，利用分离常数法，求导求出的单调性求得的取值范围； （3）先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性． 【详解】（1）当时，， 所以当时，. 所以. （2）当函数为偶函数时，， 则，即，则， 所以，显然函数在上为增函数，且， 故时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 结合函数为偶函数，所以等价于， 则或，即或对恒成立. 设，，则，所以在上单调递增， 则，， 可知或，解得或， 则实数t的取值范围为. （3）充分性：当时，在上为增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在为增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线， 由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上为增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，为减函数， 当时，为增函数， 则函数在处取到最小值. 必要性：当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上为增函数，不存在最小值，故， 所以在上为增函数， 由于，所以，即，故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 2．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）（i）根据题意设，结合单调性将证明转化为证明，构造函数，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （ii）由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意；若，则.当时，，构造函数，结合导数证明即可. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，. 令，即，解得. 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故有极大值，为，无极小值. 故函数的极大值为，无极小值. （2）（i）因为，，不妨设， 要证，即证， 因为在上单调递减，故只需证. 又，只需证. 令，. ， 当时，，，故，所以在上单调递增， 因此，即. 又，所以，因此. （ii）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令，则，在上单调递减， 所以，所以，在上单调递增， 则，即，. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，和中至少有一个小于. 3．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率结合题设即可求得答案； （2）（ⅰ）先将问题转化成函数除1之外的两个零点问题，由，令，根据的取值分类讨论依题推得，再利用函数单调性与极值验证零点情况即得；（ii）依题意证得，将待证命题转化为当时，，构造函数通过求导判断函数单调性即可得证. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，得，所以a的值为． （2）（ⅰ）等价于， 令，又，可知除了1之外还有两个零点， 又，令， 当时，恒成立，故在上单调递减，不合题意； 当时，若函数有三个零点，则其等价函数必有除1外的两个零点， 因此在上有两个不相等的实数根, 故，解得， 设的两个零点为，且，有，， 故均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即， 又因为，，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 故实数a的取值范围是． （ii），由， 可得，则有， 要证，代入得，只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 即证得成立． 4．（2026·湖南·二模）已知函数，圆．设圆C与曲线交于A、B两点． (1)求 在处的切线方程； (2)证明：直线AB的斜率恒大于1； (3)若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点m的横坐标大于1，证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义求斜率，再根据点斜式求切线方程即可； (2) 将要证的直线AB的斜率恒大于1，转化成证明含的不等式，构造函数利用单调性证明即可； (3)将要证明的m的横坐标大于1，转化成，构造函数，利用单调性即证明. 【详解】（1）由，可得， 则在点处的切线方程为，即． （2）设， 不妨设，要证直线AB的斜率恒大于1，即证， 即证，即证①， 考查函数，，因， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 从而， 从而有，,所以， 要证①式，需证， 又， 即证： 化简得， 令， 令， 则， 由可得;由可得, 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，原命题得证． （3）点m的横坐标大于1，证明如下： 设，且．由A，B在圆上得： ， 构造函数，则． ， 当时，，且，故； 当时，，且，故； 所以在单调递减，在单调递增，所以， 令， 则， 所以在单调递增，所以， 当时，， 所以， 所以， 即，又，所以， 又在单调递增，所以，即， 所以点m的横坐标大于1． 5．（2026·湖南常德·二模）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若有两个不同的实数解，且，求证：． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导函数的正负性判断其单调性； （2）令，研究其单调性，求端点处的函数即可； （3）先求出，令得出，结合（2）可知，将问题转化为求证，最后构造函数求其范围即可. 【详解】（1）由得， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以当时，当时， 故的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）令， 则， 因为与的单调性一致，故在上单调递增， 因为，所以使得， 则当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 故当时，； （3）由（1）知，的单调递减区间是，单调递增区间是， 因为，所以， 因为，所以， 令，得， 由（2）可知，时，，故， 欲证，只需证， 即证， 因为，故只需证， 令， 则， 因为在上单调递增，且，所以在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则，故命题得证. 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数有两个零点和，且，求证：； (3)设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，） 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）根据导数与最值的关系求出函数的最值点，分别求出直线、方程，可得到与直线的交点横坐标及差值，再比较与差值的大小即可. （3）根据与的图象有两个交点得到，通过构造函数及导数与最值的关系得到，结合基本不等式得到，再通过构造函数及导数与单调性的关系求解即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，. 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取极小值，极小值为，无极大值. （2）有两个零点，即方程有两个不同实根和，. 设，则. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，. 的大致图象如图所示， 可知函数的最低点为，， 直线的方程为，直线的方程为. 则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和， 设与直线和的交点的横坐标分别是和，. 解方程可得，，. 当时，， 所以函数的图象在线段的下方. 当时，. 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，其中， 故函数的图象在线段的下方. 所以根据单调性，可得，，所以， 故. （3）由得，即， 所以，， 两式相加，得； 两式相减，得， 所以， 所以， 即. 不妨令，记，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，所以. 又， 所以，即. 令，则时，， 所以在上单调递增. 又， 所以， 所以，即. 7．（2026·湖南湘潭·二模）已知函数，． (1)证明：当时， (2)若是的极大值点，求的取值范围． (3)若，且，其中，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【详解】（1）因，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故当时，． （2）的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 函数的基本性质 考点1 题号 1 2 3 4 答案 B ACD ACD ACD 5．1 6．1 指对幂函数 考点2 题号 1 2 3 4 5 答案 A C C C C 6．1 7． 函数的应用 考点3 题号 1 2 3 答案 C C ACD 导数的几何意义 考点4 1． 2． 3． 4．e 5．(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义知函数在的导数值是切线的斜率，进而得a的值； （2）利用分离参数法将恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为. 则.因为曲线在处的切线斜率为1， 所以 ，解得； （2）函数的定义域为. 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则 ，当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，所以． 导数与函数的单调性极值最值 考点5 题号 1 2 3 4 5 答案 A A C BC ACD 6． 7． 8． 导数的综合大题 考点6 1．(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当，利用函数奇偶性可知，代入求得时的解析式，从而得到分段函数解析式； （2）根据函数的单调性、奇偶性化简不等式得，利用分离常数法，求导求出的单调性求得的取值范围； （3）先证明充分性，通过求导得出，，由于的图像是连续曲线，由零点存在性定理可知函数有且只有一个零点，再证明函数在处取到最小值，最后再证明必要性． 【详解】（1）当时，， 所以当时，. 所以. （2）当函数为偶函数时，， 则，即，则， 所以，显然函数在上为增函数，且， 故时，，时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 结合函数为偶函数，所以等价于， 则或，即或对恒成立. 设，，则，所以在上单调递增， 则，， 可知或，解得或， 则实数t的取值范围为. （3）充分性：当时，在上为增函数， 且， ，设在时恒大于零， 故在为增函数，故，故. 又由于的图象是连续曲线， 由零点存在性定理，可知存在，使得，由在上为增函数， 可知函数有且只有一个零点， 且当时，为减函数， 当时，为增函数， 则函数在处取到最小值. 必要性：当存在正数，使得函数在处取到最小值，必有， 当时，在上为增函数，不存在最小值，故， 所以在上为增函数， 由于，所以，即，故. 因此，“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 2．(1)极大值为，无极小值 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）（i）根据题意设，结合单调性将证明转化为证明，构造函数，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （ii）由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意；若，则.当时，，构造函数，结合导数证明即可. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，. 令，即，解得. 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故有极大值，为，无极小值. 故函数的极大值为，无极小值. （2）（i）因为，，不妨设， 要证，即证， 因为在上单调递减，故只需证. 又，只需证. 令，. ， 当时，，，故，所以在上单调递增， 因此，即. 又，所以，因此. （ii）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令，则，在上单调递减， 所以，所以，在上单调递增， 则，即，. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，和中至少有一个小于. 3．(1) (2)（ⅰ）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率结合题设即可求得答案； （2）（ⅰ）先将问题转化成函数除1之外的两个零点问题，由，令，根据的取值分类讨论依题推得，再利用函数单调性与极值验证零点情况即得；（ii）依题意证得，将待证命题转化为当时，，构造函数通过求导判断函数单调性即可得证. 【详解】（1）由，得， 所以， 因为曲线在点处的切线与直线垂直， 所以，得，所以a的值为． （2）（ⅰ）等价于， 令，又，可知除了1之外还有两个零点， 又，令， 当时，恒成立，故在上单调递减，不合题意； 当时，若函数有三个零点，则其等价函数必有除1外的两个零点， 因此在上有两个不相等的实数根, 故，解得， 设的两个零点为，且，有，， 故均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即， 又因为，，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 故实数a的取值范围是． （ii），由， 可得，则有， 要证，代入得，只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 即证得成立． 4．(1) (2)证明见解析 (3)点m的横坐标大于1，证明见解析 【分析】(1)根据导数的几何意义求斜率，再根据点斜式求切线方程即可； (2) 将要证的直线AB的斜率恒大于1，转化成证明含的不等式，构造函数利用单调性证明即可； (3)将要证明的m的横坐标大于1，转化成，构造函数，利用单调性即证明. 【详解】（1）由，可得， 则在点处的切线方程为，即． （2）设， 不妨设，要证直线AB的斜率恒大于1，即证， 即证，即证①， 考查函数，，因， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 从而， 从而有，,所以， 要证①式，需证， 又， 即证： 化简得， 令， 令， 则， 由可得;由可得, 故在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以，原命题得证． （3）点m的横坐标大于1，证明如下： 设，且．由A，B在圆上得： ， 构造函数，则． ， 当时，，且，故； 当时，，且，故； 所以在单调递减，在单调递增，所以， 令， 则， 所以在单调递增，所以， 当时，， 所以， 所以， 即，又，所以， 又在单调递增，所以，即， 所以点m的横坐标大于1． 5．(1)单调递减区间是，单调递增区间是. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导函数的正负性判断其单调性； （2）令，研究其单调性，求端点处的函数即可； （3）先求出，令得出，结合（2）可知，将问题转化为求证，最后构造函数求其范围即可. 【详解】（1）由得， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以当时，当时， 故的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）令， 则， 因为与的单调性一致，故在上单调递增， 因为，所以使得， 则当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以当时，， 故当时，； （3）由（1）知，的单调递减区间是，单调递增区间是， 因为，所以， 因为，所以， 令，得， 由（2）可知，时，，故， 欲证，只需证， 即证， 因为，故只需证， 令， 则， 因为在上单调递增，且，所以在上恒成立， 则在上单调递减，则， 则，故命题得证. 6．(1)极小值为，无极大值. (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）根据导数与最值的关系求出函数的最值点，分别求出直线、方程，可得到与直线的交点横坐标及差值，再比较与差值的大小即可. （3）根据与的图象有两个交点得到，通过构造函数及导数与最值的关系得到，结合基本不等式得到，再通过构造函数及导数与单调性的关系求解即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，. 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取极小值，极小值为，无极大值. （2）有两个零点，即方程有两个不同实根和，. 设，则. 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，. 的大致图象如图所示， 可知函数的最低点为，， 直线的方程为，直线的方程为. 则直线与函数的图象交点的横坐标分别是和， 设与直线和的交点的横坐标分别是和，. 解方程可得，，. 当时，， 所以函数的图象在线段的下方. 当时，. 令，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，其中， 故函数的图象在线段的下方. 所以根据单调性，可得，，所以， 故. （3）由得，即， 所以，， 两式相加，得； 两式相减，得， 所以， 所以， 即. 不妨令，记，则， 令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，即，所以. 又， 所以，即. 令，则时，， 所以在上单调递增. 又， 所以， 所以，即. 7．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用求导判断函数的单调性，利用单调性即可得证； （2）将函数求导得，记，再求导得，根据，分成，和三类情况讨论函数的单调性，即可逐一判断求得参数范围； （3）由（1）知，当时，，先后令，令，将其化成，再令，，可得，利用结合条件可得，从而要证，即证，再由余弦函数的单调性，需证，设，利用求导判断单调性证明即可. 【详解】（1）因，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，故当时，． （2）的定义域为，则， 记，则，则． ①若，即，则 令，则，所以在上单调递增， 当时，此时，则，故在上单调递增，不合题意； ②若，即，则必存在，使得当时，，则在上单调递增． 又，所以当时，，即在上单调递增，不合题意； ③若，即，同理可得，存在，使得当时，， 则在上单调递减．又，则当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以是的极大值点． 综上所述，的取值范围是． （3）由（1）知，当时，． 令，则，再令， 则． 令，，则． 所以． 由，得． 要证，只需证． 因为在上单调递减，所以只需证． 令，则，令，则， 易知在上单调递减．又，， 所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减． 又，且在上单调递增，故在上大于0. 而在 上单调递减，且，故存在唯一的，使得. 则在上单调递增，在上单调递减． 又，，所以恒成立， 所以，则，所以． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数与导数 7大考点概览 考点01函数的基本性质 考点02指对幂函数 考点03函数的应用 考点04导数的几何意义 考点05导数与函数的单调性极值最值 考点06导数的综合大题 函数的基本性质 考点1 1．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，则（   ） A． B．函数的图象关于点中心对称 C．函数是周期为2的周期函数 D．函数在上单调递增 3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．不等式的解集为 D．直线与函数的图象恰有3个交点 4．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 5．（2026·湖南常德·二模）已知函数为奇函数，则实数______． 6．（2026·湖南怀化·二模）已知函数有且仅有1个零点，则＝________． 指对幂函数 考点2 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 2．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 3．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南·二模）已知函数（且），若，则的递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南常德·二模）已知实数满足：，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2026·湖南常德·二模）已知函数为奇函数，则实数______． 7．（2026·湖南永州·二模）已知函数，若恒成立，则实数___________． 函数的应用 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南怀化·二模）某AI大模型的算力规模每半年翻一番，初始算力为，经过t年后算力为P，则P与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（   ） A． B．函数图象的对称轴方程为 C．不等式的解集为 D．直线与函数的图象恰有3个交点 导数的几何意义 考点4 1．（25-26高三下·湖南·阶段检测）函数的图象在点处的切线方程为__________. 2．（2026·湖南·三模）已知，则曲线在点处的切线方程为______． 3．（2026·湖南常德·二模）已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 4．（2026·湖南湘潭·二模）若直线是曲线的一条切线，则________． 5．（2026·湖南长沙·二模）已知函数. (1)若曲线在处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)若在定义域上恒成立，求实数a的取值范围. 导数与函数的单调性极值最值 考点5 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·二模）已知函数，，若，，则的最小值为（    ） A． B． C．-1 D． 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，，则（   ） A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减 C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 3．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高三上·湖北·阶段检测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．在定义域内为增函数的充要条件是 C．当时，既存在极大值又存在极小值 D．当时，恰有3个零点，且 5．（2026·湖南怀化·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．存在，，使得 B．记的值域为A，对任意，存在，使得 C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为 三、填空题 6．（2026·湖南·二模）已知函数，若正实数a,满足，则的取值范围是_________． 7．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数（，，），若在上恒成立，则的最大值为______. 8．（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 导数的综合大题 考点6 一、解答题 1．（2026·湖南湘潭·二模）已知a为实数，记. (1)当时，定义在上的奇函数满足：当时，，求的解析式； (2)若函数为偶函数，且对于任意，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围； (3)求证：“”是“存在正数，使得函数在处取到最小值”的充要条件. 2．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 3．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数a的值； (2)若函数有三个零点，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ii）求证：． 4．（2026·湖南·二模）已知函数，圆．设圆C与曲线交于A、B两点． (1)求 在处的切线方程； (2)证明：直线AB的斜率恒大于1； (3)若线段AB的中点为m，试判断点m的横坐标与1的大小关系，并证明你的结论． 5．（2026·湖南常德·二模）已知函数（其中为自然对数的底数）． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：； (3)若有两个不同的实数解，且，求证：． 6．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数. (1)求函数的极值； (2)若函数有两个零点和，且，求证：； (3)设函数，，若与的图象有两个交点，，试比较与的大小.（参考数据：，） 7．（2026·湖南湘潭·二模）已知函数，． (1)证明：当时， (2)若是的极大值点，求的取值范围． (3)若，且，其中，证明：． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $