专题03+三角函数与解三角形3个考点（湖南专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题03 三角函数与解三角形 3大考点概览 考点01三角恒等变换 考点02三角函数的图像与性质 考点03解三角形 三角恒等变换 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由三角函数的定义可得，所以． 2．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B． C． D．的最大值为 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D. 【详解】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 3．（2026·湖南湘潭·二模）若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合两角和差公式和二倍角公式计算即可. 【详解】因为， 所以． 故选D. 二、多选题 4．（2026·湖南怀化·二模）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正弦函数性质可得或，分类讨论，结合三角恒等变换运算求解即可. 【详解】因为， 则或， 即或． 若，则； 若，则， 可得，， 则， 若，解得； 若，解得． 5．（2026·湖南常德·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用弦化切计算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 6．（2026·湖南邵阳·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 【答案】ACD 【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得，进而可得；B利用正弦定理可得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得，解方程即可. 【详解】A：因为，则，可得， 因为，则，，可得，所以，故A正确； B：由正弦定理，得，， 则，解得， 因为是边AC的中点，则，且， 可得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； C：因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D：因为，，则，即，，， 因为，则， 即，解得，故D正确. 7．（2026·湖南永州·二模）已知函数，则（   ） A．在区间上有1个零点 B．的周期为 C．的值域为 D．要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度 【答案】ABC 【分析】，根据的范围得出的零点，即可判断A项；由已知化简可得，即可判断B项；由已知可得，换元根据导函数求解在上的值域，即可判断C项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，. 因为，所以， 当时，即时，有， 所以在区间上有1个零点，故A项正确； 对于B项，由已知可得， ， 所以，的周期，故B项正确； 对于C项， . 令， 则. 令，得，所以在上单调递增； 令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递减. 且， . 所以当时，有最小值；当时，有最大值1. 所以的值域为，故C项正确； 对于D项，， 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数 ，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题 8．（2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】本题主要利用三角形内角和与三角恒等变换，求出角，再利用余弦定理建立等量关系，将转化为关于的表达式，进而利用二次函数的性质求出的最小值. 【详解】在中，，则，由诱导公式可知， 所以由，可得， 即， 化简得，因为，所以， 因此，又因为，所以. 在中，由余弦定理可知，已知，， 则，所以， 当时，取最小值为，因此的最小值为. 9．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 【答案】/ 【分析】应用二倍角余弦公式及诱导公式化简已知条件求出，化简目标式即可得. 【详解】由，则， 所以. 三角函数的图像与性质 考点2 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·二模）如图，这是函数的部分图象，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为的图象过点，所以． 因为点落在单调递减区间对应的图象上，所以，． 因为，所以． 因为的图象过点，所以， 则，，解得，． 由图可得，解得，结合，得． 2．（2026·湖南岳阳·二模）若函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用图象平移得到新的函数，再根据函数的奇偶性求解即可. 【详解】函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的得 再将图象向右平移个单位长度得 又因为函数为奇函数，所以 当时，. 3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】C 【分析】对于A：根据函数周期性分析判断；对于BD：根据正弦函数对称性的性质分析判断；对于C：根据单调性分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为函数的最小正周期， 所以，故A正确； 对于选项B：因为为最大值， 可知是函数的对称轴，所以，故B正确； 对于选项C：因为，令，可得， 所以函数在区间上不单调，故C错误； 对于选项D：因为， 所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 4．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 二、多选题 5．（2026·湖南·二模）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 【答案】AD 【详解】分母不为0，，解得，A正确． 定义域关于原点对称， ，满足奇函数定义，不是偶函数，B错误． ，不是的一个零点，C错误． 因为，所以是的一个周期，D正确． 6．（2026·湖南永州·二模）已知函数，则（   ） A．在区间上有1个零点 B．的周期为 C．的值域为 D．要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度 【答案】ABC 【分析】，根据的范围得出的零点，即可判断A项；由已知化简可得，即可判断B项；由已知可得，换元根据导函数求解在上的值域，即可判断C项；根据已知得出平移后的函数解析式，即可判断D项. 【详解】对于A项，由已知可得，. 因为，所以， 当时，即时，有， 所以在区间上有1个零点，故A项正确； 对于B项，由已知可得， ， 所以，的周期，故B项正确； 对于C项， . 令， 则. 令，得，所以在上单调递增； 令，得或， 所以在上单调递减，在上单调递减. 且， . 所以当时，有最小值；当时，有最大值1. 所以的值域为，故C项正确； 对于D项，， 将函数图象上的所有点向左平移个单位长度得到函数 ，故D项错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】先将函数平方，转化为关于的函数，再利用换元法，转化为关于的函数，利用导数求出的值域，进而得出函数的值域． 【详解】因为，所以，所以定义域为， 由题可知，， 令，不妨设， 则， 令，解得或， 当时，，则在单调递增， 当时，，则在单调递减， 又， 所以，即， 所以． 解三角形 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南常德·二模）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由三角形的面积公式以及正弦定理的边角互化代入计算可得，由等面积法以及三角形的面积公式代入计算可得，再由余弦定理代入计算，即可得到结果 【详解】，化简得， 再由正弦定理，得， 又， 代入得，整理得． 又，为的内角，则，即． 因为为的平分线，所以，， 在中，．① 又， ∴， 则， 化简得， 又，∴．② ①代入②，得，解得或（舍去）， ∴， 在中，由余弦定理得， ∴． 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 【答案】C 【分析】根据向量数量积的定义，三角形的面积公式求得的面积，依题意求出的值，利用基本不等式“1”的妙用求解. 【详解】因，则， 则，于是， ，和的面积分别为1，，， ，，， ， 当且仅当时，即，等号成立， 的最小值是. 3．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B． C． D．的最大值为 【答案】D 【分析】由同角的三角函数关系和降幂公式可判断A；由余弦定理结合A的结果可判断B；由同角的三角函数关系结合余弦定理可得判断C；由两角和的正切展开式再结合基本不等式可判断D. 【详解】由，得， ，所以， 对于A，由，得，所以为钝角，故A错误； 对于B，由，得，即，故B错误； 对于C，由，结合正弦定理可得， 所以，即得， 因为为钝角，为锐角，两边除以，得，故C错误； 对于D，由，即，， ， 因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，即的最大值为，故D正确. 故选：D. 4．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理和均值不等式运算，再通过三角形面积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以．因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则的面积， 则面积的最大值为． 故选：A. 二、多选题 5．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 【答案】ABD 【分析】对题干信息利用正弦定理和余弦定理即可判断AB选项；根据题意结合三角函数值域可判断C选项；利用正弦定理和三角恒等变换可判断D选项. 【详解】对于A：因为，所以或，又， 故，若，又，则，与矛盾，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，由正弦定理将上述等式化简为， 根据余弦定理代入可得，将代入得，解得或（舍），故B正确； 对于C：由选项A可知，所以， 又，因为为锐角三角形， 所以， 即，解得， 因为在上单调递减，所以，故C错误； 对于D：因为，由正弦定理及得， 所以， 又， 所以，又， 所以， 即，又，所以为锐角，可得， 所以，所以，所以，故D正确． 6．（2026·湖南·二模）已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，且S为的面积，R为外接圆的半径，则下列说法正确的是（   ） A． B．边BC上的中线 C． D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，利用三角形面积公式和正弦定理，将等式两边转化为用边角表示的形式进行推导；对于B，可考虑用中线长公式，将给出的表达式与标准中线长公式对比判断；对于C，可利用余弦定理将边转化为角，再借助三角函数的性质进行推导；对于D，先利用正弦定理将边转化为角，再通过三角函数的恒等变换化简式子，最后结合三角函数的取值范围或基本不等式求解. 【详解】A选项：由正弦定理，可知，所以，故A正确； B选项：如图，D为BC中点，则，因为，， 所以有，整理得，故B错误； C选项：如图，过点A作于点E．不妨设最大， ，当且仅当，时取等．C正确 D选项：因为，所以， 又由C选项知，所以 ，当且仅当时取等，故D正确. 7．（2026·湖南邵阳·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 【答案】ACD 【分析】A根据题意利用三角恒等变换可得，进而可得；B利用正弦定理可得，再利用平面向量结合基本不等式运算求解；C整理可得，进而分析最值；D根据数量积的几何意义结合外心性质可得，解方程即可. 【详解】A：因为，则，可得， 因为，则，，可得，所以，故A正确； B：由正弦定理，得，， 则，解得， 因为是边AC的中点，则，且， 可得，当且仅当时取等号， 所以，故B错误； C：因为 ，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C正确； D：因为，，则，即，，， 因为，则， 即，解得，故D正确. 三、填空题 8．（2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】本题主要利用三角形内角和与三角恒等变换，求出角，再利用余弦定理建立等量关系，将转化为关于的表达式，进而利用二次函数的性质求出的最小值. 【详解】在中，，则，由诱导公式可知， 所以由，可得， 即， 化简得，因为，所以， 因此，又因为，所以. 在中，由余弦定理可知，已知，， 则，所以， 当时，取最小值为，因此的最小值为. 四、解答题 9．（2026·湖南长沙·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得的值，则角B可求； （2）结合直角三角形性质和正弦定理求出，列方程求得，再由两角和的正弦公式得，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以 ， 由正弦定理可得， 所以，所以， 又，则，所以， 则，，所以． （2）由（1）知，，，在中，由正弦定理得，， 所以. 又，，，所以， 故，即. 又，所以，所以. 又， 所以的面积为. 10．（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，． (1)若，，求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，，， 根据余弦定理，， 故. （2）因为， 所以，，． 设，则，，， 在中，由正弦定理可得， 即， 在中，由正弦定理可得， 即， 则， 化简可得， 则． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角函数与解三角形 3大考点概览 考点01三角恒等变换 考点02三角函数的图像与性质 考点03解三角形 三角恒等变换 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南衡阳·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（   ） A． B． C． D．3 2．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B． C． D．的最大值为 3．（2026·湖南湘潭·二模）若，则（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 4．（2026·湖南怀化·二模）已知，则的值可能为（   ） A．1 B．－1 C． D． 5．（2026·湖南常德·二模）已知，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·湖南邵阳·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 7．（2026·湖南永州·二模）已知函数，则（   ） A．在区间上有1个零点 B．的周期为 C．的值域为 D．要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度 三、填空题 8．（2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 9．（2026·湖南邵阳·二模）已知，则______. 三角函数的图像与性质 考点2 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·二模）如图，这是函数的部分图象，则（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2026·湖南岳阳·二模）若函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的 ，然后再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为奇函数，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·二模）已知函数，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．函数在区间上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 4．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 二、多选题 5．（2026·湖南·二模）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．的定义域为 B．为偶函数 C．是的一个零点 D．是的一个周期 6．（2026·湖南永州·二模）已知函数，则（   ） A．在区间上有1个零点 B．的周期为 C．的值域为 D．要得到的图象，可将函数图象向左平移个单位长度 三、填空题 7．（2026·湖南常德·二模）函数的值域为___________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 解三角形 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南常德·二模）已知中，，，分别是角，，的对边，的面积，角的平分线交于点，且，则（   ） A． B． C． D．3 2．（2026·湖南邵阳·二模）已知是内的一点，且，.若，和的面积分别为1，，，则的最小值是（   ） A． B．9 C．15 D．20 3．（2026·湖南永州·二模）在中，内角所对的边分别为，且满足，则（   ） A．角为锐角 B． C． D．的最大值为 4．（2026·湖南湘潭·二模）在中，角，，的对边分别为，，．已知，且，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2026·湖南衡阳·二模）在三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则（   ） A． B．若，则 C．若三角形ABC为锐角三角形，则的取值范围是 D．若，则三角形ABC为直角三角形 6．（2026·湖南·二模）已知a、b、c分别为的内角A、B、C的对边，且S为的面积，R为外接圆的半径，则下列说法正确的是（   ） A． B．边BC上的中线 C． D．的最小值为 7．（2026·湖南邵阳·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则下列选项正确的是（   ） A． B．若是边AC的中点，则线段BD的长的最小值为 C．的最大值为 D．若点是的外心，且，，则 三、填空题 8．（2026·湖南岳阳·二模）在△ABC中，角，，所对的边分别为，，，若且，则的最小值为_____. 四、解答题 9．（2026·湖南长沙·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. (1)求B； (2)若D为外一点，B，D分别位于直线的两侧，，，，求的面积. 10．（2026·湖南怀化·二模）在中，为边上一点，． (1)若，，求的长； (2)求的值． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03三角函数与解三角形 考点1 三角恒等变换 题号 1 2 4 6 6 7 答案 B D D BCD ACD ACD ABC 06 9. 5 考点2 三角函数的图像与性质 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B B C C AD ABC 考点3 解三角形 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C D A ABD ACD ACD 8.月 9.0号 (2)4v5+9 【分析】(1)根据正弦定理以及两角和的正弦公式可求得tanB的值，则角B可求； (2)结合直角三角形性质和正弦定理求出4C,，列方程求得sin∠BAC=4, 5.c0s ZBAC=3 ，再由两角和的正 弦公式得sin∠ACB=4+3v ,代入三角形面积公式求解即可。 10 【10因为g2mc+引 所以V5a=2 ebsinC+--bsinC+V5 SbeosC, 3 由正弦定理可得√3(sinA-cosCsinB=sinBsinC, 1/3 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以V3(sin(B+C)-cosCsinB)=sinBsinC,所以√3 cosBsinC=sinBsinC, 又Ce(0,π)，则sinC>0,所以sinB=√3cosB, 则tanB=V5,B∈(0，π，所以▣B= 3 (2)由1)，B=骨a=4,在48C中，由正弦定理得， AC BC sin∠Bsin∠BAC sin∠BAC' 所以AC= 2V5 sin∠BAC 又∠c-受40-5,48aC=D1c,所以C 35 3v5 2 2 2 cos /DAC cos∠BAC 3w3 故2V5 2 ,即3 sin ZBAC=4cos∠BAC sin∠3AC cos.∠BAC 又sin2∠BAC+cos2∠BAC=l,所以sin∠BAC=4, ,cos∠BAC=3 ,所以4C=5V5 2 又sin∠ACB=sin ∠BAC+=4x1+3x54+35 =-×二+二× 35^25210 所以ABC的面积为)4AC-BC sin∠ACB=5V5sin∠HCB=4V5+9 2 10.①34 2 (2)an∠BAC =3 tan∠ABC 【详解】(1)由题意得，AD=2,BC=3, 根据余弦定理，cos∠ABC=BD+AB2-AD24+1-41 2BD·AB 2×2x14' 故AC=VAB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC= +9-2x1×3×4 1 V34 2 (2)因为BD=AD, 所以LABC=∠BAD,∠DAC=LBAC-LABC,∠ADC=2LABC. 设BD=x,则AD=x,CD=BCs3 2t, 在ABC中，由正弦定理可得 BC AC sin∠BAC sin∠ABC' 3x 即2 AC, sin∠BAC sin∠ABC AC 在△ACD中，由正弦定理可得 CD sin∠DAC sin∠ADC' 2/3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 即 2 AC sin∠BAC-∠ABC)sin2∠ABC 3x.sin∠ABCX2sin∠ABCcos.∠ABC 则 2 x.2 sin ABC cos∠ABC 2 sin∠BAC sin(∠BAC-∠ABC)sin∠BAC cos∠ABC-cos∠BAC sin ZABC 化简可得tan ZBAC.cos.∠ABC=3 sin ZABC, 则an∠BAC 3. tan∠ABC 3/3