专题08+计数原理与概率统计9个考点（湖南专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦计数原理与概率统计9大核心考点，汇编湖南各地市二模三模试题，情境融合绿色清明、智能机器人、脑机接口等社会热点与科技前沿，梯度覆盖基础运算到综合应用，适配高三二轮复习检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|约15题|线性回归、独立性检验、二项分布、综合应用|结合脑机接口实验考独立性检验，足球联赛积分问题考分布列与期望，体现真实情境建模| |选择填空|约24题|排列组合、二项式定理、统计量、古典概型|智能机器人移动路径考排列组合，3x3方格填数考逻辑推理，注重知识交叉应用|

专题08 计数原理与概率统计 排列与组合 运算 考点1 题号 1 2 3 4 5 答案 B D B C BD 6．1080 二项式定理 考点2 题号 1 2 答案 ACD BD 3． 4．0 5．90 统计 考点3 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B C BC ABD BC ACD 8．1 线性回归方程与独立性检验 考点4 题号 1 答案 ABD 2．(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 3．(1)有关，理由见解析 (2)无关 【详解】（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率， 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即； （2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关． 古典型概率与条件概率 考点5 题号 1 2 3 4 答案 C D BC BD 5．/ 6．/0.9375 7．(1)； (2)①；② 【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可； （2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和； ②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值. 【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； 记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； （2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即 ， 利用等比数列求和公式即可得 ； ②由题可知，的取值依次为， 当时，， 由数学期望的定义和①中的概率公式可知， ， 设， 由错位相减法可得， 所以. 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点6 1．(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 2．(1) (2)应该选择方案一 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 3．(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 4．(1) (2) 【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”， ， 则， 所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以. 5．(1)0.028. (2)0.7224. (3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析 【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布的概率公式，即可求解； （2）通过由全概率公式得出即可； （3）的所有可能取值为，60，，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 离散型随机变量的均值与方差 考点7 题号 1 答案 ABD 2． 3．(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 4．(1) (2)应该选择方案一 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 5．(1) (2) X 0 1 2 3 P ，. 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知： ， 由全概率公式得： . （2）由题意知：X的可能取值为0,1,2,3， 则有， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 6．(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 7．(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 8．(1) (2) 【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”， ， 则， 所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以. 正态分布 考点8 题号 1 2 答案 D ABD 3．(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 概率统计综合题型 考点9 1．(1) (2)分布列见详解， (3)； 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 2．(1) 数学期望为 (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）（i）推导得出，，两式作差，结合可推得结论成立； （ii）分析可得，结合（i）推导得出，可得出，则有是以为首项，为公比的等比数列，求出数列的通项公式，可证得结论成立. 【详解】（1）随机变量的可能取值为和， 时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战高二篮球队， 或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三篮球队， 则，． 则的分布列为 则的数学期望为． （2）（ⅰ）若第次挑战权属于高二篮球队， 若第次挑战权属于高一篮球队，则第次高一篮球队挑战高二篮球队，其概率为， 若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高二篮球队，其概率为， 所以①，同理可得②， ②①得， 又，因此，因此； （ii）若第次挑战权属于高一篮球队， 若第次挑战权属于高二篮球队，则第次高二篮球队挑战高一篮球队，其概率为， 若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高一篮球队，其概率为， 所以，③ ①②，得， 由③知， 又， 从而有，所以， 第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则， 故， 则有是以为首项，为公比的等比数列， 因此，，． 当为偶数时，，因此． 3．(1) (2) X 0 1 2 3 P . 【分析】（1）根据回归直线方程的计算方法求得回归直线方程. （2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）， , .所以，回归直线方程为. （2）由题意知随机变量的可能取值为，则： ， ， ， ， X 0 1 2 3 P 故均值. 4．(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分类讨论，根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可； （3）列出不等式组，求出取值范围，分类求与的关系即可. 【详解】（1）由题意，；；；； ；. （2）根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种. 因此，两集合的所有可能情况数为 X的所有取值为 当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况； 对于这k个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况. 因此，事件“”的所有可能情况数为，则 由，可知，则. （3）若，由，，则，矛盾. 若，由，可知，当时，满足； 当时，满足 若，由，即， 即，解得， 从而，，其中为自然数. 5．(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据全概率公式求解；方法二，根据互斥事件的概率加法公式和独立事件乘法公式求解； （2）分别求出和时，顾客获得的奖金的期望，比较大小得解. 【详解】（1）方法一，当时，记事件为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件为“顾客可以获得奖金”， 则． 方法二，由题可知，当时，若顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球，且他获得奖金的概率， 若顾客所选的箱子中有1个白球和3个红球，且他获得奖金的概率， 则当时，顾客可以获得奖金的概率. （2）当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为， 且， 则. 当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为. 且， 则. 因为， 所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大. 6．(1)，13 (2) 0 1 2 ． 【分析】（1）由公式求解，，在将代入即可. （2）由题意可得，列出分布列，即可求解. 【详解】（1）由表格中的数据可得，所以 ． 故． 故关于的线性回归方程为． 当时，， 故预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13． （2）由题意可得， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 9大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03统计 考点04线性回归方程与独立性检验 考点05古典型概率与条件概率 考点06二项分布与超几何的均值与方差 考点07离散型随机变量的均值与方差 考点08正态分布 考点09概率统计综合题型 排列与组合 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·二模）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 2．（2026·湖南湘潭·三模）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 3．（2026·湖南·三模）某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（    ） A．144种 B．240种 C．256种 D．288种 4．（2026·湖南永州·三模）某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 二、多选题 5．（2026·湖南·三模）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（    ） A．机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B．已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C．机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D．移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 三、填空题 6．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 二项式定理 考点2 一、多选题 1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（2026·湖南·二模）已知展开式中的系数为，则_________． 4．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知，则 __________（用数字作答） 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）的展开式中的系数为___________. 统计 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南·二模）在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2026·湖南怀化·二模）清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下：甲市游客总量万人次，游客人均消费元；乙市游客总量万人次，游客人均消费元．此期间甲、乙两市游客的人均消费额为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．（2026·湖南湘潭·二模）现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（    ） A．4，6 B．5，4 C．6，4 D．6，5 二、多选题 4．（2026·湖南岳阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据的第70百分位数是 B．若一组数据的标准差为0 ，则这组数据中的每个数值均相等 C．若事件相互独立，则 D．若事件两两独立，则 5．（2026·湖南常德·二模）下列说法正确的是（   ） A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大 C．根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立 D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 6．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 7．（2026·湖南永州·二模）已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（   ） A．这组数据的极差为7 B．这组数据的第40百分位数为8.5 C．这组数据的众数为11 D．这组数据的方差为 三、填空题 8．（2026·湖南衡阳·二模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 线性回归方程与独立性检验 考点4 一、多选题 1．（2026·湖南常德·二模）下列说法正确的是（   ） A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大 C．根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立 D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 二、解答题 2．（2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2） 参考数据： 3．（2026·湖南·三模）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 古典型概率与条件概率 考点5 一、单选题 1．（2026·湖南·三模）已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据的第70百分位数是 B．若一组数据的标准差为0 ，则这组数据中的每个数值均相等 C．若事件相互独立，则 D．若事件两两独立，则 4．（2026·湖南·三模）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（    ） A．机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B．已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C．机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D．移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 三、填空题 5．（2026·湖南永州·二模）从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为___________． 6．（2026·湖南湘西·三模）甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 四、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. (1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； (2)在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点6 一、解答题 1．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 2．（2026·湖南怀化·二模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 3．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 4．（2026·湖南永州·二模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 5．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 离散型随机变量的均值与方差 考点7 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（2026·湖南长沙·二模）已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______. 三、解答题 3．（2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （3） 参考数据： 4．（2026·湖南怀化·二模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 5．（2026·湖南·二模）为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． (1)求问题1回答正确的概率； (2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 6．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 7．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 8．（2026·湖南永州·二模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 正态分布 考点8 一、单选题 1．（2026·湖南永州·三模）已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 二、多选题 2．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 三、解答题 3．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 概率统计综合题型 考点9 一、解答题 1．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 2．（2026·湖南张家界·三模）某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为、，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为、．经商定，高一篮球队获得首次挑战权． (1)经过次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； (2)若经过次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件、、． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：当为偶数时，． 3．（2026·湖南郴州·三模）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：） 4．（2026·湖南长沙·三模）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， (1)若，且，请列举所有满足条件的和； (2)求随机变量的数学期望； (3)设在处取得最大值，试建立与的关系． 5．（2026·湖南湘潭·三模）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金． (1)当时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 6．（2026·湖南湘西·三模）党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 (1)求关于的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； (2)从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 计数原理与概率统计 9大考点概览 考点01排列与组合 考点02二项式定理 考点03统计 考点04线性回归方程与独立性检验 考点05古典型概率与条件概率 考点06二项分布与超几何的均值与方差 考点07离散型随机变量的均值与方差 考点08正态分布 考点09概率统计综合题型 排列与组合 运算 考点1 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·二模）清明将至，为倡导文明祭祀，筑牢防火安全防线，4名青年志愿者到3个社区参加“绿色清明”公益宣讲活动，要求每名志愿者只能选择一个社区，每个社区至少要有一名志愿者，则不同的分配方案共有（   ） A．24种 B．36种 C．64种 D．72种 【答案】B 【分析】根据分组分配问题解法，先分组再分配即可求解． 【详解】根据题意，将4名青年志愿者分为三组，共有种情况，再分配到3个社区，共有种情况， 所以共有种不同情况． 2．（2026·湖南湘潭·三模）现有甲､乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个出场，又不在最后一个出场，且乙不在第三个出场，则不同的出场顺序共有（    ） A．120种 B．96种 C．72种 D．60种 【答案】D 【分析】根据题意，分甲在第三个出场和甲不在第一个、第三个和最后一个出场两种情况讨论求解即可. 【详解】若甲在第三个出场，则不同的出场顺序有种； 若甲不在第一个、第三个和最后一个，则不同的出场顺序有种． 根据分类加法计数原理可知，不同的出场顺序共有种． 3．（2026·湖南·三模）某大学有A，B，C，D四个社团在招生.5名学生去报名，每个社团至少有1名学生，则不同的报名方式共有（    ） A．144种 B．240种 C．256种 D．288种 【答案】B 【分析】先将5名学生分成4组，其中一组有2名学生，其余三组各1名学生，可利用组合数确定分组方式，对分好的组利用排列数计算分配方式，最后用分步乘法计数原理计算总报名方式数. 【详解】先从5名学生中选出2人组成一个小组，有种方法； 再将这个两人小组与其余3名学生安排到4个不同的社团，有种方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排. 4．（2026·湖南永州·三模）某学校派甲、乙、丙、丁4名同学参加“永超”足球比赛中3个场次的志愿服务，每场比赛至少派1名同学，每名同学仅参加一个场次的志愿服务，甲、乙两位同学不能参加同一场次，则不同派法的种数为（    ） A．12 B．24 C．30 D．36 【答案】C 【分析】先求将名同学分成人数分别为的三组的方法数，再求将组同学分派到3个场次的方法数，根据分步乘法计数原理求结论． 【详解】解：符合要求的选派方法可分为两步完成， 第一步，将名同学分成人数分别为的三组，该步有种完成方法， 又甲、乙两位同学不能参加同一场次，则有种 第二步，将组同学分派到3个场次，此步有种完成方法， 由分步乘法计数原理可得符合要求的派法种数为． 二、多选题 5．（2026·湖南·三模）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（    ） A．机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B．已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C．机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D．移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 【答案】BD 【分析】根据分步计数原理，排列组合，结合概率公式逐项判断即可． 【详解】机器人移动4秒到达舞台中心，则机器人需要有两步向西， 剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有种，故A错误； 机器人移动4秒到达舞台中心， 由A可知，在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步， 故所求概率为，故B正确； 移动3秒机器人移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处， 则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步， 即种，故所求概率为，故C错误； 移动1秒后机器人与的距离为米， 即向北向西、向东向北、向东向南、向南向西，共4种情况， 而与在移动1秒后有种情况，故所求概率为，故D正确． 三、填空题 6．（2026·湖南湘潭·二模）将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入一个的方格中，每个格子填1个数字，且不重复，要求第一行数字满足，第三行数字满足，第三列数字满足，则符合要求的填数方法共有________种．（用数字作答） 【答案】1080 【分析】由计数原理分析求解即可. 【详解】从9个数中任取2个数填入和的位置，有种方法． 因为，， 所以在剩下的7个数中，最大的数只能填入的位置， 再从剩下的6个数字中选择4个数字填入，，，的位置，且这4个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，，，的位置， 最后剩下的2个数字只能按照从小到大的顺序分别填入，的位置， 故填好，，，，，，共有种方法． 因此，按照要求填好该方格共有种方法． 故答案为：1080. 二项式定理 考点2 一、多选题 1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）下列有关排列数、组合数的等式中，，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用组合数性质判断A；利用排列数阶乘公式判断B；利用组合数性质计算判断C；利用组合数性质及二项式定理计算判断D. 【详解】对于A，由组合数性质知，，A正确； 对于B，当时，，B错误； 对于C， ，C正确. 对于D，因为， 所以 ，D正确. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用赋值法求或系数和判断A、C，由二项式定理求对应项系数判断B，对等式两侧求导，再应用赋值法求系数和判断D. 【详解】对于A，令，则，故A错误； 对于B，由的系数为，故B正确； 对于C，令，则①， 令，则②， ①+②可得，，故C错误； 对于D，对原方程两边求导，有， 令，得，故D正确. 故选：BD 二、填空题 3．（2026·湖南·二模）已知展开式中的系数为，则_________． 【答案】 【详解】的展开式的通项为，则的系数为，解得． 4．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知，则 __________（用数字作答） 【答案】0 【分析】利用二项式定理和赋值法求解即可. 【详解】由题意可知，令，则 . 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）的展开式中的系数为___________. 【答案】90 【分析】利用二项式定理写出的展开式的通项，再结合两个二项式的乘积确定对应项的系数. 【详解】的展开式的通项为，， 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到； 当时，， 此时只需乘第一个因式中的即可，得到． 据此可得的系数为． 统计 考点3 一、单选题 1．（2026·湖南·二模）在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题．某学习小组6名同学这题的得分为，且有，已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分，则该6名同学答题得分的极差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为 ，所以 ，又 ， 所以 ，即 ， 因为 ，所以 的值可能是13，14，15， 当 时， ， 因为 ，且 为整数，所以 不可能； 当 时，，因为 ， 且 为整数，所以 不可能; 当 时， ，因为 ，且 为整数， 所以当且仅当 时，. 此时. 所以所求极差为 . 2．（2026·湖南怀化·二模）清明节期间，甲、乙两市旅游消费数据如下：甲市游客总量万人次，游客人均消费元；乙市游客总量万人次，游客人均消费元．此期间甲、乙两市游客的人均消费额为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【详解】此期间甲、乙两市游客的人均消费额为元． 3．（2026·湖南湘潭·二模）现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（    ） A．4，6 B．5，4 C．6，4 D．6，5 【答案】C 【分析】先对数据进行升序排列，再分别求出中位数和第百分位数，进而判断选项． 【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8， 这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4， ， 这组数据的第百分位数取第8个数,即为6， 这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确． 故选：C． 二、多选题 4．（2026·湖南岳阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据的第70百分位数是 B．若一组数据的标准差为0 ，则这组数据中的每个数值均相等 C．若事件相互独立，则 D．若事件两两独立，则 【答案】BC 【详解】对于A，数据共7个，则，所以第70百分位数为第5项数据8，故A错误； 对于B，由标准差的定义可知，若一组数据的标准差为0 ，则这组数据中的每个数值均相等，故B正确； 对于C，由概率的加法公式可知， 因为事件相互独立，所以， 所以，故C正确； 对于D，设样本空间含有4个等可能的样本点，且，，， 则，， 所以，，，即A，B，C两两独立， 但是， 所以事件两两独立时，不一定成立，故D错误. 5．（2026·湖南常德·二模）下列说法正确的是（   ） A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大 C．根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立 D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 【答案】ABD 【分析】选项A：根据百分位数的定义求解即可；选项B：根据相关系数与相关程度的关系判断即可；选项C：根据小概率值的独立性检验原理判断即可；选项D：根据一元线性回归模型拟合效果判断即可. 【详解】选项A：将样本数据从小到大排列：2，3，3，4，7，8，10，18， 则，所以第80百分位数为第7个数字，即，故A正确. 选项B：样本正相关系数的取值范围是，越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强. 故正线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1，故B正确. 选项C：在独立性检验中，当时，没有充分证据推断原假设不成立，应认为变量与独立，故C错误. 选项D：残差均匀分布在0附近的水平带状区域，则模型拟合效果好，故D正确. 6．（2026·湖南邵阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3 B．若随机变量，，则 C．某校在对高一（2）班学生的数学成绩调查中，随机抽取10名男生的数学成绩，其平均数为105，方差为24，随机抽取5名女生的数学成绩，其平均数为102，方差为21，则这15名学生的数学成绩的方差为25 D．一箱12罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率为 【答案】BC 【分析】A选项，由百分位数的定义进行求解；B选项，利用二项分布的期望和方差公式进行求解；C选项，利用总体方差和样本方差的关系进行求解；D选项，利用超几何分布求解相应的概率 【详解】A选项，，故从小到大选取第2和第3个数的平均数作为第25百分位数， 即，故数据2，3，4，5，6，7，8，9的第25百分位数为3.5，A错误； B选项，随机变量，，即，解得， 所以则，B正确； C选项，这15名学生的数学成绩的平均数为， 故这15名学生的数学成绩的方差为，C正确； D选项，2罐中有奖券的概率为，D错误. 7．（2026·湖南永州·二模）已知某地近一周的最高气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：），则（   ） A．这组数据的极差为7 B．这组数据的第40百分位数为8.5 C．这组数据的众数为11 D．这组数据的方差为 【答案】ACD 【分析】A选项，根据极差定义进行计算；B选项，根据百分位数的定义进行计算；C选项，根据众数的定义进行计算；D选项，计算出平均数，进而求出方差. 【详解】A选项，极差为，故A正确； B选项，，故从小到大，选择第3个数据作为数据的第40百分位数，即第40百分位数为9，故B错误； C选项，11出现了2次，其他数均出现了1次，故11为众数，故C正确； D选项，平均数为，故方差为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 8．（2026·湖南衡阳·二模）已知样本数据的平均数为a，设，当函数取最小值时，_______． 【答案】1 【分析】根据题意，得到，结合和二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 可得是一个图象开口向上的关于k的二次函数， 所以函数在其图象的对称轴处取得最小值，即，所以． 线性回归方程与独立性检验 考点4 一、多选题 1．（2026·湖南常德·二模）下列说法正确的是（   ） A．样本数据2，3，3，4，7，8，10，18的第80百分位数为10 B．样本数据的正线性相关程度越强，则样本相关系数的值越大 C．根据分类变量与的成对数据，计算得到，依据的独立性检验，结论为变量与不独立 D．一元线性回归模型的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内 【答案】ABD 【分析】选项A：根据百分位数的定义求解即可；选项B：根据相关系数与相关程度的关系判断即可；选项C：根据小概率值的独立性检验原理判断即可；选项D：根据一元线性回归模型拟合效果判断即可. 【详解】选项A：将样本数据从小到大排列：2，3，3，4，7，8，10，18， 则，所以第80百分位数为第7个数字，即，故A正确. 选项B：样本正相关系数的取值范围是，越接近1，随机变量之间的线性相关程度越强. 故正线性相关程度越强，则样本相关系数越接近1，故B正确. 选项C：在独立性检验中，当时，没有充分证据推断原假设不成立，应认为变量与独立，故C错误. 选项D：残差均匀分布在0附近的水平带状区域，则模型拟合效果好，故D正确. 二、解答题 2．（2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 3．（2026·湖南·三模）在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表： 思维任务类型 信号同步性 合计 信号同步 信号不同步 逻辑推理 42 58 100 创造性想象 28 72 100 合计 70 130 200 (1)分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由． (2)根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有关，理由见解析 (2)无关 【详解】（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率， 思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即； （2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关． 古典型概率与条件概率 考点5 一、单选题 1．（2026·湖南·三模）已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由两两相互独立得到， 设， 则 ，解得， 又考虑， 解得，综上得． 【点睛】利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性条件逐步缩小范围. 2．（2026·湖南郴州·三模）已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为 所以 由全概率公式可得. 二、多选题 3．（2026·湖南岳阳·二模）下列说法正确的是（   ） A．数据的第70百分位数是 B．若一组数据的标准差为0 ，则这组数据中的每个数值均相等 C．若事件相互独立，则 D．若事件两两独立，则 【答案】BC 【详解】对于A，数据共7个，则，所以第70百分位数为第5项数据8，故A错误； 对于B，由标准差的定义可知，若一组数据的标准差为0 ，则这组数据中的每个数值均相等，故B正确； 对于C，由概率的加法公式可知， 因为事件相互独立，所以， 所以，故C正确； 对于D，设样本空间含有4个等可能的样本点，且，，， 则，， 所以，，，即A，B，C两两独立， 但是， 所以事件两两独立时，不一定成立，故D错误. 4．（2026·湖南·三模）在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（    ） A．机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B．已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C．机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D．移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 【答案】BD 【分析】根据分步计数原理，排列组合，结合概率公式逐项判断即可． 【详解】机器人移动4秒到达舞台中心，则机器人需要有两步向西， 剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有种，故A错误； 机器人移动4秒到达舞台中心， 由A可知，在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步， 故所求概率为，故B正确； 移动3秒机器人移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处， 则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步， 即种，故所求概率为，故C错误； 移动1秒后机器人与的距离为米， 即向北向西、向东向北、向东向南、向南向西，共4种情况， 而与在移动1秒后有种情况，故所求概率为，故D正确． 三、填空题 5．（2026·湖南永州·二模）从1，2，3，4四个整数中依次不放回地随机抽取2个数，则第一次抽取的数小于第二次抽取的数的概率为___________． 【答案】/ 【分析】设第一次与第二次抽取的数即为，利用列举法求出所有的可能结果和满足题意的可能结果，即可求解. 【详解】由题意知，设第一次与第二次抽取的数即为， 则所有的可能结果为 ，共12种， 满足的可能结果为，共6种， 所以满足题意的概率为. 故答案为： 6．（2026·湖南湘西·三模）甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 【答案】/0.9375 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得答案． 【详解】“有人投中”的对立事件为“三人投篮都不中”， 故所求概率为． 四、解答题 7．（2025·湖北·模拟预测）某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. (1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； (2)在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 【答案】(1)； (2)①；② 【分析】（1）分为取到“黑红”和“红红”两种情况，分别对两种模型第二次取到的球是红球的概率进行计算即可； （2）①先算出第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和； ②利用数学期望的定义和①中的概率公式可得到的表达式，再利用错位相减法计算得出期望值. 【详解】（1）记在模型一下，第二次取到红球的概率为，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； 记在模型二下，取到红球的概率为，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况， 则； （2）①设第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球的概率为， 则， 则第次恰好抽到第二个红球的概率为中从到取值累加求和，即 ， 利用等比数列求和公式即可得 ； ②由题可知，的取值依次为， 当时，， 由数学期望的定义和①中的概率公式可知， ， 设， 由错位相减法可得， 所以. 二项分布与超几何分布的均值与方差 考点6 一、解答题 1．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 2．（2026·湖南怀化·二模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 【答案】(1) (2)应该选择方案一 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 3．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 4．（2026·湖南永州·二模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”， ， 则， 所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以. 5．（2026·湖南湘潭·二模）某工厂生产的零件分为合格品与不合格品两类．现采用一台检测仪器对零件进行检测，该仪器存在检测误差，具体检测特性如下：当零件为合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.8，判定为“不合格”的概率为0.2；当零件为不合格品时，单次检测判定为“合格”的概率为0.1，判定为“不合格”的概率为0.9.对同一个零件连续检测3次，若检测结果中“合格”的次数多于“不合格”的次数，则最终判定该零件为合格品；否则判定为不合格品．假设各次检测结果相互独立．已知该批零件中合格品占80%，不合格品占20%． (1)若某零件为不合格品，求该零件最终被误判为合格品的概率． (2)若随机抽取1个零件进行检测，求该零件最终被判定为合格品的概率． (3)已知生产一个零件的成本为50元，每个零件被连续检测3次的总费用为10元．若某零件最终被判定为合格品，则以每件120元的价格出厂销售；否则作销毁处理．若出厂的零件实际为不合格品，则需向客户全额退款，并赔偿客户40元．设一个零件的利润为元，若的均值小于25，则该工厂将停止生产该零件；否则继续生产，试问该工厂是否会停止生产该零件？请说明理由． 【答案】(1)0.028. (2)0.7224. (3)该工厂不会停止生产该零件，理由见解析 【分析】（1）连续检测3次该零件的结果中，“合格”的次数不低于2才能被误判为合格品，再结合二项分布的概率公式，即可求解； （2）通过由全概率公式得出即可； （3）的所有可能取值为，60，，求出对应概率，即可求出分布列，再根据期望公式计算即可. 【详解】（1）设该零件被误判为合格品是事件．连续检测3次该零件的结果中， “合格”的次数不低于2才能被误判为合格品， 所以， 所以该零件最终被误判为合格品的概率为0.028. （2）设被检测的零件为合格品是事件，被检测的零件为不合格品是事件， 被检测的零件最终被判定为合格品是事件， 则． 由（1）知，又因为，， 所以由全概率公式得 ， 故该零件最终被判定为合格品的概率为0.7224. （3）的所有可能取值为，60，． ， ， ， 则． 因为，所以该工厂不会停止生产该零件． 离散型随机变量的均值与方差 考点7 一、多选题 1．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】随机变量X服从正态分布，所以 对于A，由正态分布的对称性，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以，故D正确. 二、填空题 2．（2026·湖南长沙·二模）已知盒子中共有10个大小相同的球，有红、黄、白三种颜色，且红球、黄球、白球的个数分别为2，3，5，每次随机取出一个球不放回，记随机变量X为最后一个红球取出时总共所取出球的个数，则X的数学期望为_______. 【答案】 【分析】由题意得到随机变量的可能取值，求出概率，再由期望公式计算可得. 【详解】由题意可得随机变量的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10， 其概率为，， 所以期望 . 三、解答题 3．（2026·湖南岳阳·二模）某高校快递站统计了某年度新学期前5天的取件人数y(单位：人)，得到如下样本数据： 天数(序号)x 1 2 3 4 5 每日取件人数 120 100 80 70 55 (1)计算样本相关系数r，并据此判断变量x与y之间线性相关关系的强弱(结果保留两位小数)； (2)从这5天中随机选取3天，记X为所选日期中取件人数小于100的天数，求X的分布列与数学期望. 注: （1）样本的相关系数 （2）参考数据： 【答案】(1)；变量x与y之间具有很强的线性相关关系 (2)分布列见解析；期望：1.8 【分析】（1）使用相关系数计算公式求相关系数，根据求解结果判断线性相关关系的强弱； （2）结合超几何分布的概率公式求分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1），， ， ， ， 样本相关系数： ， 因为非常接近1，所以变量x与y之间具有很强的线性相关关系. （2）5天中取件人数小于100的天数有3天， 从这5天中随机选取3天，的可能取值为1，2，3. ， ， ， 所以的分布列为： 1 2 3 的数学期望 4．（2026·湖南怀化·二模）某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ 【答案】(1) (2)应该选择方案一 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 5．（2026·湖南·二模）为激发学生对体育的热爱，某校开展体育知识竞赛活动．甲、乙、丙三人参加比赛，有问题1、问题2两道题，其中问题1为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙、丙三人抢到的概率均为，问题2为必答题，甲、乙、丙三人都要回答；已知甲能正确回答问题1、问题2的概率分别为和，乙、丙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙、丙三人各题是否答对互不影响． (1)求问题1回答正确的概率； (2)记能正确回答问题2的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P ，. 【分析】（1）根据条件概率公式，结合全概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式，结合数学期望的公式进行求解即可. 【详解】（1）解：设“甲抢到问题1”为事件A，“乙抢到问题1”为事件B，“丙抢到问题1”为事件C，“问题1被回答正确”为事件D，由题意知： ， 由全概率公式得： . （2）由题意知：X的可能取值为0,1,2,3， 则有， ． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 则. 6．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 7．（2026·湖南长沙·二模）某工业系统内初始装有1个A类部件和2个B类部件.工作人员往系统内增添这两类部件，具体操作如下：每次从系统中随机抽调1个部件，记录类别后将其保留在系统中，同时向系统内增补1个与所抽调部件类别不同的部件.记第次操作抽调到A类部件的概率为，第n次操作后系统内A类部件的数量为. (1)求与的值； (2)求与的关系式； (3)求. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式以及全概率公式直接计算即可得； （2）由题意可得，利用期望公式可得，则由计算即可得解； （3）由（2）可得，即可得 ，再利用累加法计算即可得解. 【详解】（1）由题意可得，； （2）第次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 第 次操作抽到类部件的概率等于第次操作后类部件占比的期望， 故有，， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量不变， 若第次操作时，取到类部件，则类部件的数量加， 故， 故， 即； （3）由， 则， 即 ， 则 ，， ，， 则 ， 即，则， 故， 故. 8．（2026·湖南永州·二模）为了激活全民参与体育赛事的热情，某省举办了足球联赛．已知足球联赛积分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．球队甲2025年11月将迎来主场与球队乙和客场与球队丙的两场比赛．根据前期比赛成绩，球队甲主场与球队乙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；球队甲客场与球队丙比赛：胜利的概率为，平的概率为，负的概率为；且每场比赛结果相互独立． (1)设球队甲11月主场与球队乙比赛获得积分为，客场与球队丙比赛获得积分为，求的概率； (2)用表示球队甲11月与球队乙和球队丙比赛获得积分之和，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）找出所有符合题意的情况及其对应概率后求和即可得； （2）得到的所有可能取值及其对应概率后即可得其分布列，利用分布列即可得其期望. 【详解】（1）设事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队主场与乙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为3分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为1分”， 事件“甲队客场与丙队比赛获得积分为0分”， 事件“甲队11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分”， ， 则， 所以甲11月主场与乙队比赛获得积分超过客场与丙队比赛获得积分的概率为； （2）由题意可知的所有可能取值为， ， ， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 6 所以. 正态分布 考点8 一、单选题 1．（2026·湖南永州·三模）已知随机变量服从正态分布，，则（    ） A．0.7 B．0.6 C．0.5 D．0.3 【答案】D 【详解】因为，所以， 又因为，且， 所以. 二、多选题 2．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】随机变量X服从正态分布，所以 对于A，由正态分布的对称性，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以，故D正确. 三、解答题 3．（2026·湖南常德·二模）泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中为自然对数的底数． (1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似，当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为．若，求的值； (2)设，当且时，二项分布可近似看作泊松分布，即，其中. 某工厂生产件电子元器件，次品率为，各元件是否为次品相互独立，记为产品中的次品数，按泊松分布近似计算． （i）若，求产品中恰有2件次品的概率； （ii）求使得最大时的值． （参考数据：；若，则有，，） 【答案】(1) (2)这1000件产品中恰有2件次品的概率为；当为整数时，最大时的值为或；当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 【分析】（1）根据正态分布求解相应区间的概率即可；（2）（i）根据题意将已知数据代入公式即可，（ii）根据最大时列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为， 所以泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为，即． 所以， 由，得 ，即. （2）（i）由题意知，且， 又，所以二项分布可近似看作泊松分布， 所以， 所以，即这1000件产品中恰有2件次品的概率为. （ii）因为最大，所以， 即，解得， 又，所以当为整数时，最大时的值为或； 当不为整数时，最大时的值为小于的最大整数. 概率统计综合题型 考点9 一、解答题 1．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)； 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 2．（2026·湖南张家界·三模）某校高一、高二、高三三个篮球队为比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某队时，该队可挑战另外两队中的一队，且被挑战的队伍获得下一次的挑战权．已知高一篮球队挑战高二、高三篮球队的概率均为，高二篮球队挑战高一、高三篮球队的概率分别为、，高三篮球队挑战高一、高二篮球队的概率分别为、．经商定，高一篮球队获得首次挑战权． (1)经过次挑战后，高一篮球队已获得的挑战权次数记为，求的分布列及数学期望； (2)若经过次挑战后，挑战权属于高一篮球队、高二篮球队和高三篮球队分别记为事件、、． （ⅰ）证明：； （ⅱ）证明：当为偶数时，． 【答案】(1) 数学期望为 (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）分析可知随机变量的可能取值有、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （2）（i）推导得出，，两式作差，结合可推得结论成立； （ii）分析可得，结合（i）推导得出，可得出，则有是以为首项，为公比的等比数列，求出数列的通项公式，可证得结论成立. 【详解】（1）随机变量的可能取值为和， 时，第一次高一篮球队挑战高二篮球队，第二次高二篮球队挑战高三篮球队，第三次高三篮球队挑战高二篮球队， 或者第一次高一篮球队挑战高三篮球队，第二次高三篮球队挑战高二篮球队，第三次高二篮球队挑战高三篮球队， 则，． 则的分布列为 则的数学期望为． （2）（ⅰ）若第次挑战权属于高二篮球队， 若第次挑战权属于高一篮球队，则第次高一篮球队挑战高二篮球队，其概率为， 若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高二篮球队，其概率为， 所以①，同理可得②， ②①得， 又，因此，因此； （ii）若第次挑战权属于高一篮球队， 若第次挑战权属于高二篮球队，则第次高二篮球队挑战高一篮球队，其概率为， 若第次挑战权属于高三篮球队，则第次高三篮球队挑战高一篮球队，其概率为， 所以，③ ①②，得， 由③知， 又， 从而有，所以， 第一次挑战权为高一篮球队，经过一次挑战后，挑战权不是高一篮球队，则， 故， 则有是以为首项，为公比的等比数列， 因此，，． 当为偶数时，，因此． 3．（2026·湖南郴州·三模）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：） 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P . 【分析】（1）根据回归直线方程的计算方法求得回归直线方程. （2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）， , .所以，回归直线方程为. （2）由题意知随机变量的可能取值为，则： ， ， ， ， X 0 1 2 3 P 故均值. 4．（2026·湖南长沙·三模）已知集合含有个元素，其中，先后两次随机、独立地选取集合的两个子集，记为与．设为集合中元素的个数， (1)若，且，请列举所有满足条件的和； (2)求随机变量的数学期望； (3)设在处取得最大值，试建立与的关系． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）分类讨论，根据随机变量服从二项分布，利用期望公式求解即可； （3）列出不等式组，求出取值范围，分类求与的关系即可. 【详解】（1）由题意，；；；； ；. （2）根据集合的子集个数，可知集合A的可能情况有种；同理，集合B也可能有种. 因此，两集合的所有可能情况数为 X的所有取值为 当时，先从n个元素中选出k个元素，记为，有种可能情况； 对于这k个元素中的每个元素，满足时， 只可能满足这三种情况之一，有种可能情况. 因此，事件“”的所有可能情况数为，则 由，可知，则. （3）若，由，，则，矛盾. 若，由，可知，当时，满足； 当时，满足 若，由，即， 即，解得， 从而，，其中为自然数. 5．（2026·湖南湘潭·三模）为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱子中红球的个数为，顾客可从选中的箱子中一次性取出个球，若取出的均是红球，则顾客可获得奖金元，否则无法获得奖金． (1)当时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方法一，根据全概率公式求解；方法二，根据互斥事件的概率加法公式和独立事件乘法公式求解； （2）分别求出和时，顾客获得的奖金的期望，比较大小得解. 【详解】（1）方法一，当时，记事件为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件为“顾客可以获得奖金”， 则． 方法二，由题可知，当时，若顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球，且他获得奖金的概率， 若顾客所选的箱子中有1个白球和3个红球，且他获得奖金的概率， 则当时，顾客可以获得奖金的概率. （2）当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为， 且， 则. 当时，记顾客获得的奖金为元，则的所有取值可能为. 且， 则. 因为， 所以当时，顾客获得奖金金额的期望更大. 6．（2026·湖南湘西·三模）党的二十届五中全会审议通过的《中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划的建议》明确提出：“加快人工智能等数智技术创新”“全面实施‘人工智能+’行动”．下表是二十届五中全会后第个月某工业园区应用人工智能的工厂个数的数据： 1 2 3 4 5 2 3 5 7 8 (1)求关于的线性回归方程，并预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数； (2)从表中这5个月份中随机抽取3个月份，记这3个月份中应用人工智能的工厂个数大于6的月份的个数为，求的分布列与数学期望． 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为， 【答案】(1)，13 (2) 0 1 2 ． 【分析】（1）由公式求解，，在将代入即可. （2）由题意可得，列出分布列，即可求解. 【详解】（1）由表格中的数据可得，所以 ． 故． 故关于的线性回归方程为． 当时，， 故预测第8个月该工业园区应用人工智能的工厂个数为13． （2）由题意可得， 所以， 分布列如下： 0 1 2 所以． 2 / 10 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $