专题04完全平方公式应用及配方法应用六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题04 完全平方公式应用及配方法应用六类题型 典例详解 类型一、利用完全平方公式求值 类型二、乘积为定值在完全平方公式的应用 类型三、和差为定值在完全平方公式的应用 类型四、利用配方后完全平方式的非负性求值 类型五、利用配方法比较大小 类型六、利用配方法求最值 压轴专练 类型一、利用完全平方公式求值 【典例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【变式1-1】（25-26八年级上·海南儋州·期中）【教材呈现】教材复习题13题： 已知，求的值． 【例题讲解】 小明探究出解题方法如下： 已知，求的值． 已知，求的值． ， ． ，， ，， ，_____． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小明发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小明在表格中将解答过程补充完整； (2)若，求和的值． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）把完全平方公式进行适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求xy的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【变式1-3】（25-26七年级下·广东茂名·月考）已知，．求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 类型二、乘积为定值在完全平方公式的应用 【典例2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）求下列各式的值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求下列代数式的值： (1)已知：．求：代数式的值． (2)已知，求的值． (3)若，，求的值 【变式2-2】（25-26七年级下·河南·期中）按要求完成下列各题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【变式2-3】（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）在公式中，如果我们把，，分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． (1)已知，，求的值； (2)已知，试求的值． 类型三、和差为定值在完全平方公式的应用 【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】若x满足，求的值． 设，则， ． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值为____________． (2)若x满足，求的值． 【变式3-1】（25-26七年级下·江西吉安·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： (1)若x满足，则的值为 ． (2)若，求的值． 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)简单运用：已知，，则 ． (2)提升运用：已知， ，求的值． (3)问题发现：若x满足，求的值； (4)类比探究：若x满足．求的值； (5)拓展延伸：如图，正方形和正方形和重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为x，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 【变式3-3】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 类型四、利用配方后完全平方式的非负性求值 【典例4】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ，， ， ，解得 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知a，b满足，求a、b的值． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，求的值． 解：因为， 所以， 所以，所以， 所以． 根据你的观察，解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)试说明：不论取什么值，多项式的值总是正数． 类型五、利用配方法比较大小 【典例5】（21-22八年级下·广东深圳·期中）要比较a，b两个数的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决．如果a-b＞0，则a＞b；如果a-b＝0，则a＝b．如果a-b＜0，则a＜b．若，，试比较x，y的大小． 【变式5-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 【变式5-3】（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 类型六、利用配方法求最值 【典例6】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【变式6-1】（23-24八年级上·河南南阳·期中）阅读理解题：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最小值吗？ 【初步思考】同学们经过合作、交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是2． 所以当时，的值最小，最小值是2． 请你根据上述方法，解答下列问题：代数式有最大值还是最小值？这个值是多少？并求此时的值． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ，因为， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 ； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 1.（21-22七年级下·江苏宿迁·月考）阅读与运用：例如：若，求的值． 解：则，我们可以得到：．若，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 2.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 3.（25-26七年级下·湖南·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 4.（23-24八年级下·吉林长春·月考）【阅读理解】题目：已知，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ， ， ， ， ． ． 【类比运用】已知，求的值． 【拓展】（1）若，则的值为______． （2）若，则的值为______． 5.（25-26八年级上·湖北黄石·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 6.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为，所以当时，的值最小，最小值是，所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是，即的最小值是． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 【探究问题】 (1)已知是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式________． 【拓展结论】 (2)①已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． ②已知，为有理数，且满足，若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）：若没有最大（或最小）值，请说明理由． 7.（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 8.（22-23六年级下·山东烟台·期中）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路： 例1：已知，，求的值． 解：∵，，∴． 例2：若满足，求的值． 解：设，，则，． 这样就可以利用例1中的方法进行求值了．请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值； (3)若，则的值为 ． 9.（24-25七年级下·陕西西安·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式 ，能够在三个代数式，，中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解∶将两边同时平方，得，即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)已知两个正方形的边长分别为、，若，，求． (3)若，则的值为 ． 10.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，，则，． ， 请仿照上面的方法求解下面问题： 解决问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)若满足，求的值． (4)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 11.（24-25八年级上·北京·月考）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如， ． 观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当，即或1时，的值均为0；当，即或0时，的值均为3． 我们给出如下定义： 对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于x的多项式关于对称，则 ； (3)代数式的对称轴是 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 完全平方公式应用及配方法应用六类题型 典例详解 类型一、利用完全平方公式求值 类型二、乘积为定值在完全平方公式的应用 类型三、和差为定值在完全平方公式的应用 类型四、利用配方后完全平方式的非负性求值 类型五、利用配方法比较大小 类型六、利用配方法求最值 压轴专练 类型一、利用完全平方公式求值 【典例1】（25-26七年级下·陕西宝鸡·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式，能够在三个代数式，，中，已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解：将两边同时平方，得， 即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)如图，已知两个正方形的边长分别为a，b，若，，求图中阴影部分的面积； (3)若，则的值为多少？ 【答案】(1)8 (2)22 (3)13 【分析】（1）根据完全平方公式变形，再将，代入即可求解； （2）根据题意得出图中阴影部分的面积，再根据完全平方公式变形求出的值，即可求解； （3）令，，则，，根据计算即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 解得； （2）解：由图可得，阴影部分的面积， ，， ， 阴影部分的面积； （3）解：令，， 则，， ． 【变式1-1】（25-26八年级上·海南儋州·期中）【教材呈现】教材复习题13题： 已知，求的值． 【例题讲解】 小明探究出解题方法如下： 已知，求的值． 已知，求的值． ， ． ，， ，， ，_____． 【方法运用】 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)小明发现，借助原题的条件还可以求出的值，请你帮助小明在表格中将解答过程补充完整； (2)若，求和的值． 【答案】(1) (2)5，9 【分析】本题考查完全平方公式的应用，理解并掌握完全平方公式是解题的关键． （1）利用完全平方公式展开，代入数据求解即可； （2）根据例题的方法，利用完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）把完全平方公式进行适当的变形，可解决很多数学问题．例如：若，求的值． 解：因为，所以，所以，根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，求xy的值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． （1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据进行运算，即可求解； （3）设，则，再由进行计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， 解得； （2）解：， ， ； （3）解：设，则， ， 即． 【变式1-3】（25-26七年级下·广东茂名·月考）已知，．求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）； （2）； （3），直接代入求值即可． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ， 所以； （3）解：当，时， ． 类型二、乘积为定值在完全平方公式的应用 【典例2】（25-26七年级下·湖南常德·期中）求下列各式的值 (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式变形可知，把，代入求值即可； （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ， ． 【变式2-1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）求下列代数式的值： (1)已知：．求：代数式的值． (2)已知，求的值． (3)若，，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，整式的化简和求值的应用，用了整体代入得思想，熟练掌握运算法则是关键． （1）先根据已知进行计算得出，再把所求的代数式化简得，最后代入求出即可； （2）运用两次完全平方公式进行计算即可求解． （3）根据题意得出，，根据，代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∴ 【变式2-2】（25-26七年级下·河南·期中）按要求完成下列各题： (1)已知，，求的值． (2)已知，求的值． (3)已知，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）先求出，再根据，代入求解即可； （2）设，，则，，可得把变形为，代入求解即可； （3）①由可知，两边同时除以即可得出； ②把两边同时平方，即可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ． （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可知， ∴， ∴． 【变式2-3】（22-23八年级下·吉林长春·开学考试）在公式中，如果我们把，，分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． (1)已知，，求的值； (2)已知，试求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）把两边平方，利用完全平方公式展开，再把代入计算即可求解； （）把两边平方，利用完全平方公式展开，整理即可求解； 本题考查了完全平方公式的应用，熟练运用完全平方公式的变形进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴． 类型三、和差为定值在完全平方公式的应用 【典例3】（2025八年级上·全国·专题练习）【阅读理解】若x满足，求的值． 设，则， ． 【解决问题】 (1)若x满足，则的值为____________． (2)若x满足，求的值． 【答案】(1)120 (2) 【分析】（1）仿照示例，利用完全平方公式的变形公式：进行解题即可； （2）利用示例的启发，通过求设出变量的差，再利用完全平方公式的变形公式进行解题即可． 【详解】（1）解：设， 则， ． （2）解：设，则， ． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形公式：；，掌握公式的变形是解题的关键． 【变式3-1】（25-26七年级下·江西吉安·期中）【阅读材料】若x满足，求的值． 解：设，．则，． ∴． 【类比探究】解决下列问题： (1)若x满足，则的值为 ． (2)若，求的值． 【拓展应用】 (3)已知正方形的边长为x，E、F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】(1)2 (2) (3)20 【分析】（1）仿照例题，设，利用完全平方公式求解即可； （2）仿照例题，设，利用完全平方公式求解即可； （3）设正方形边长为，则，令，得到，根据长方形的面积，得到，结合完全平方公式，得到，再根据阴影部分的面积正方形的面积正方形的面积求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ， 由条件可得， ， ； （2）解：设， 则， 由条件可得， ， ， ． （3）解：，正方形边长为， ， 令， ， ∵长方形的面积是24 ， ， ， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 【变式3-2】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）阅读材料：若满足，求的值． 解：设，则，． 所以． 请仿照上例解决下面的问题： (1)简单运用：已知，，则 ． (2)提升运用：已知， ，求的值． (3)问题发现：若x满足，求的值； (4)类比探究：若x满足．求的值； (5)拓展延伸：如图，正方形和正方形和重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长，交和于H、Q两点，构成的四边形和都是正方形，四边形是长方形．若正方形的边长为x，，，长方形的面积为200．求正方形的面积（结果必须是一个具体数值）． 【答案】(1)26 (2)25 (3)21 (4) (5)900 【分析】此题考查了对完全平方公式几何意义的应用能力，关键是能理解题例结合图形进行完全平方公式的灵活运用． （1）利用完全平方公式变形可得代入求解即可； （2）利用完全平方公式变形可得代入求解即可； （3）设，则，利用完全平方公式变形即可求出结果； （4）设，，则，，利用完全平方公式变形即可求出结果； （5）设，，则，，又因为，结合完全平方公式变形即可求出结果 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：26； （2）解：， ， ， 故答案为：25； （3）设，则， 由完全平方公式可得， 即：的值为21； （4）设，，则，， 由完全平方公式可得， 即：的值为； （5）设，则， 又由， ∴正方形的面积为：． 【变式3-3】（2025八年级上·全国·专题练习）阅读材料： 若x满足，求的值． 解：设，则， ． 类比应用： (1)若，求的值； (2)若，则的值为________； (3)已知正方形的边长为a，点P和点R分别是边和上的点，且，分别以和为边长作正方形和正方形．若图中阴影部分长方形的面积是4，请求出正方形和正方形的面积和． 【答案】(1)3 (2) (3)12 【分析】本题考查利用完全平方公式求解，解题的关键是正确的利用完全平方公式． （1）根据例题方法直接求解即可得到答案； （2）利用完全平方公式直接求解即可得到答案； （3）结合图形根据例题方法代入，结合完全平方公式直接求解即可得到答案． 【详解】（1）设， 则， ； （2）设， 则， ， （3）由题意可知： ． 图中阴影部分的面积为， 则正方形和正方形的面积和为． 类型四、利用配方后完全平方式的非负性求值 【典例4】（25-26八年级上·湖北襄阳·月考）阅读下列材料，观察解题过程：已知，求的值． 解：， ， ，， ， ，解得 根据你的观察，解答以下问题： (1)已知，求的值． (2)当分别取何值时，多项式的值最小？请你求出最小值． 【答案】(1) (2)，； 【分析】本题主要考查了完全平方公式、配方法的应用、代数式求值等知识点，熟练利用完全平方公式进行配方是解题的关键． （1）先利用完全平方公式对式子进行配方，再利用非负数的性质求得m、n的值，再求即可解答； （2）先利用完全平方公式对式子进行配方，再利用非负性求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，， ，， ， ． （2）解： ， ， ∴， ∴多项式的最小值为2，此时， ∴当，时，多项式的最小值为2． 【变式4-1】（24-25七年级下·山东青岛·月考）先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若，求m和n的值． 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题： (1)若，求的值． (2)已知a，b满足，求a、b的值． 【答案】(1)4 (2)， 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用； （1）将原式利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性求出x，y的值，进而求解； （2）将原式整理后利用完全平方公式变形，根据偶次方的非负性求出a，b的值． 【详解】（1）解：∵ ， ∴，， ∴，， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【变式4-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）先阅读下列例题： 已知，求和的值．解：把等式左边变形， 得，即． 因为，所以，即．仿照以上解法，解答下列问题． (1)无论取何值，多项式的值总是（   ） A．正数    B．负数    C．非正数    D．非负数 (2)已知的三边长分别为，且，则为 三角形； (3)已知，求和的值． 【答案】(1)A (2)等腰 (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，平方和算术平方根的非负性，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性得出结果即可； （2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，即可解答； （3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， 又 ∵， ， ∴值总是正数， 故选：A． （2）解：， ， 即， ， ， ， 是等腰三角形． （3）解：， ， ， ， ． 【变式4-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，求的值． 解：因为， 所以， 所以，所以， 所以． 根据你的观察，解决下面的问题： (1)若，求的值； (2)试说明：不论取什么值，多项式的值总是正数． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． （1）按照题目提供的方法将变形为后求出的值即可求解． （2）将其整理为完全平方数加正数的形式即可证得结论． 【详解】（1）解：原等式可化简为， 所以， 所以，所以． （2） ． 因为， 所以的最小值为1， 所以不论取什么值，多项式的值总是正数． 类型五、利用配方法比较大小 【典例5】（21-22八年级下·广东深圳·期中）要比较a，b两个数的大小，有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决．如果a-b＞0，则a＞b；如果a-b＝0，则a＝b．如果a-b＜0，则a＜b．若，，试比较x，y的大小． 【答案】x＞y 【分析】根据整式的运算法则以及完全平方公式运算即可作答． 【详解】∵ ， 即x-y＞0． ∴x＞y． 【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算以及完全平方公式，得到是解答本题的关键． 【变式5-1】（25-26八年级上·江西南昌·期末）我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据阅读材料，先将代数式配方后，再利用非负数的性质解答即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答即可； （3）计算，再根据非负数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的最小值为； （2）解：， , ， 当时，最大值为； （3）解：，理由如下， ，， ， ， ， ． 【变式5-2】（25-26七年级下·浙江·期中）配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法． 例如： 利用配方法解决下列问题： (1)若是一个完全平方式，则______________． (2)已知整式与，请通过计算比较M、N的大小； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方式的特征进行求解即可； （2）利用配方法化简、，进而比较即可； （3）根据题意得到，进而得到，利用完全平方公式和提取公因式对所求式子化简求值即可． 【详解】（1）解：是一个完全平方式， ， ， ， ； （2）解：、 则； （3）解：由题意得：， 得：， ， ． 【变式5-3】（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 【答案】(1)是 (2)10 (3) 【分析】本题考查完全平方公式； （1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到 ，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算，即可比较大小． 【详解】（1）解： ∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）解： ， ∵多项式是双平方多项式， ∴， 解得． （3）解： ∵，， ∴，即， ∴． 类型六、利用配方法求最值 【典例6】（22-23七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 【变式6-1】（23-24八年级上·河南南阳·期中）阅读理解题：在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最小值吗？ 【初步思考】同学们经过合作、交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是2． 所以当时，的值最小，最小值是2． 请你根据上述方法，解答下列问题：代数式有最大值还是最小值？这个值是多少？并求此时的值． 【答案】代数式有最大值，最大值为14，此时的值为2 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行计算，将变形为，再利用非负数的性质即可得出答案，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解： ， ， 当时，的值最大，最大值是0． 当时，的值最大，最大值为14， 当时，的值最大，最大值是14， 代数式有最大值，最大值为14，此时的值为2． 【变式6-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：解： ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)知识再现：当 时，代数式的最小值是 ； (2)知识运用：求代数式的最大值； (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值； （2）解：，且， 当时，代数式的最大值为； （3）解：， ， ， 当时，的最小值为． 【变式6-3】（24-25七年级下·福建漳州·月考）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ，因为， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以， 所以当时，的值最小，最小值是， 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最小值是 ； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性解答； （2）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性证明； （3）利用完全平方公式把原式变形，再根据偶次方的非负性分别求出、，根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时，有最小值是， （2）解：， ， ， 多项式的值总是正数； （3）解：∵， 则， ， ，， ，， ， 又， ∴边长为的三条线段能构成三角形， 的周长为：． 1.（21-22七年级下·江苏宿迁·月考）阅读与运用：例如：若，求的值． 解：则，我们可以得到：．若，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】将原式变形为，利用偶次方的非负性求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 2.（25-26七年级下·江苏徐州·期中）完全平方公式：适当的变形，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：因为，，所以，， 所以，得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （2）根据完全平方公式，进行运算，即可求解； （3）根据多项式乘多项式求得，再将原式利用完全平方公式展开，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，， ，即， ； （2）解：，， ，即， ， ， ， ，即， ； （3）解：， ， ， ． 3.（25-26七年级下·湖南·期中）已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由公式变换即可得出结果； （2）由公式变换即可得出结果； （3）由公式变换即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：． （3）解：， ∴． 4.（23-24八年级下·吉林长春·月考）【阅读理解】题目：已知，求的值． 【例题讲解】老师讲解了解这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ， ， ， ， ． ． 【类比运用】已知，求的值． 【拓展】（1）若，则的值为______． （2）若，则的值为______． 【答案】类比应用：7；拓展：（1）；（2）12 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键． 类比应用：把两边平方，利用完全平方公式化简后求出的值即可； 拓展：（1）把两边平方，利用完全平方公式化简后求出的值即可； （2）根据，得出，根据，代入数据求出结果即可． 【详解】解：类比应用：∵， 又∵， ∴ ； 拓展：（1）∵， 又∵， ∴ ； （2） ， ， 化简，得， 即， 则 ． 5.（25-26八年级上·湖北黄石·期末）【阅读材料】若满足，求的值． 解：设，．则，． ． 【类比探究】解决下列问题： （1）若满足，则的值为______． （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，长方形的面积是15，分别以，为边长作正方形和正方形．求阴影部分的面积． 【答案】（1）12；（2）；（3）16 【分析】本题主要考查了乘法公式与图形的综合，掌握乘法公式中完全平方公式的变形，整式的混合运算方法是解题的关键． （1）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （2）仿照例题，设，，利用完全平方公式进行求解即可； （3）根据正方形的边长表示出相关线段的长度，设，，利用完全平方公式表示出，然后利用作差法求出阴影部分面积即可． 【详解】解：（1）设，， ， ， ， ， 故答案为：12； （2）设，， ， ， ， ， ， 的值为； （3）正方形的边长为，，， ，， 设，， ， 长方形的面积是， ， ， ， ， ， ，． 6.（25-26七年级下·江苏苏州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为，所以当时，的值最小，最小值是，所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是，即的最小值是． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，是“完美数”，理由：因为，所以是“完美数”． 【探究问题】 (1)已知是“完美数”，请将它写成（、是正整数）的形式________． 【拓展结论】 (2)①已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． ②已知，为有理数，且满足，若有最大（或最小）值，请求出其最大（或最小值）：若没有最大（或最小）值，请说明理由． 【答案】(1) (2)①当时，为“完美数”，理由见解析；②有最大值，最大值是 【分析】（1）把分为两个整数的平方即可； （2）①根据为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； ②由已知等式表示出，代入中，配方后再利用非负数的性质求出最小值即可． 【详解】（1）解：∵是“完美数”， ∴； （2）解：① ， 当时，． ∵，是整数， ∴当时，此时． 根据定义，是“完美数”，故是满足条件的一个值； ②∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值是． 7.（25-26八年级上·海南海口·月考）巧用乘法公式解决最值问题 课堂上老师要求运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：， ， 当时，的值最小，最小值是0， 即当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列问题： 求当取何值时，有最小值，且最小值是多少？ 【答案】当时，该代数式有最小值，最小值为3 【分析】本题考查了利用完全平方公式的应用，将化为，仿照已知方法求解即可．会仿照已知方法进行配方，利用完全平方公式的性质进行求最值是解题关键． 【详解】解：∵ ∵ ∴ ∴当时，该代数式有最小值，最小值为3． 8.（22-23六年级下·山东烟台·期中）在学习完全平方公式后，我们对公式的运用作进一步探讨，请你阅读下列解题思路： 例1：已知，，求的值． 解：∵，，∴． 例2：若满足，求的值． 解：设，，则，． 这样就可以利用例1中的方法进行求值了．请结合以上两个例题解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若满足，求的值； (3)若，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题，利用完全平方公式的变形运算求解即可； （2）设，，再仿照例题，利用完全平方公式的变形运算求解即可； （3）设，，再仿照例题，利用完全平方公式的变形运算求解即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：设，， 则，， ． 9.（24-25七年级下·陕西西安·月考）在数学中，通常可以运用一些公式来解决问题．比如，运用两数和的完全平方公式 ，能够在三个代数式，，中，当已知其中任意两个代数式的值时，求出第三个代数式的值．例如：已知，，求的值． 解∶将两边同时平方，得，即， 因为， 等量代换，得， 所以． 请根据以上信息，解答下列问题． (1)已知，，求的值； (2)已知两个正方形的边长分别为、，若，，求． (3)若，则的值为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）根据完全平方公式变形，再将代入即可求解； （2）根据完全平方公式变形求出，即可求解． （3）令，表示出，，根据计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 解得：． （2）解：根据题意，得， 即， ∵， ， 即． ∴ ． （3）解：令， 则， ∵， ∴， 则， 故答案为：13． 10.（25-26七年级下·江苏泰州·期中）阅读理解： 若满足，求的值． 解：设，，则，． ， 请仿照上面的方法求解下面问题： 解决问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求代数式的值． (3)若满足，求的值． (4)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是48，分别以、作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）由阅读材料中的解法直接求解即可； （2）由阅读材料中的解法，利用完全平方公式变形求解即可； （3）由阅读材料中的解法，利用完全平方公式变形求解即可； （4）数形结合，先表示出阴影部分的面积为，再由阅读材料中的解法，利用完全平方公式、平方差公式变形求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则，， ； （2）解：设，， 则，， ； （3）解：设，， 则，， ； （4）解：如图所示： 正方形的边长为，，， 正方形的边长为，正方形的边长为， 长方形的面积是48， ， 阴影部分的面积为， 设，， 则，， ， 则或（负值，舍去）， ． 11.（24-25八年级上·北京·月考）阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式．例如， ． 观察上式可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的．例如，当，即或1时，的值均为0；当，即或0时，的值均为3． 我们给出如下定义： 对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于x的多项式关于对称，则 ； (3)代数式的对称轴是 ． 【答案】(1)，对称轴是 (2)4 (3) 【分析】（1）根据完全平方公式解答即可． （2）利用完全平方公式把原式变形，结合对称轴的意义解答即可． （3）利用完全平方公式把原式变形，根据偶次方的非负性计算，得到答案． 本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故的对称轴是． （2）解：根据题意，得， 故的对称轴是． ∵关于x的多项式关于对称， ∴， 解得， 故答案为：4． （3）解：根据题意，得 ， 故代数式的对称轴是， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $