专题03整式乘法与几何综合七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题03 整式乘法与几何综合问题七类题型 典例详解 类型一、利用几何图形验证完全平方公式 类型二、利用几何图形验证平方差公式 类型三、利用几何图形解释整式乘法 类型四、利用几何图形验证完全平方公式的推论 类型五、用乘法公式验证几何图形的面积问题 类型六、图形剪切拼接证明恒等式 类型七、利用整式运算几何图形的面积 压轴专练 类型一、利用几何图形验证完全平方公式 【典例1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【阅读发现】观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为______；应用“阅读发现”中发现的运算公式可以快速计算． (2)【直接应用】若，，求的值； (3)若x满足，求的值． (4)【拓展应用】如图，某学校在一面靠墙的空地上，用长的篱笆（不含墙）围成2个长方形（即长方形和长方形）小菜园，作为班级的劳动实践基地，已知墙足够长，围成的两块小菜园的总面积为．短期运作后，申请小菜园劳动实践基地的班级陡增，学校决定在原有小菜园两旁分别以，为边向外共扩建9个正方形小菜园（①～⑨）给9个班级使用，以为边向外扩建1个正方形小菜园⑩给教师使用，直接写出10个新扩建小菜园的总面积． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ① 已知，，求的值： ② 已知 ．求的值． 【变式1-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）将四个长为，宽为的长方形（如图），拼成如图的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：请你观察图直接写出之间的一个等量关系式为___________； (2)运用与探究：根据（）的结论，解决下列问题：，求的值． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足，求的值． (3)如图丁，在线段CE上取一点D且，分别以，为边作正方形，，连接，，． ①若阴影部分的面积和为33，四边形的面积为13，求的长度． ②若P为边上一点，连接，，线段的长度为4，，的长度为正整数，且与四边形的面积相等，求的长度． 类型二、利用几何图形验证平方差公式 【典例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． (1)通过计算左、右两图的阴影部分的面积，可以验证的等式是______（填字母）． A． B． C． (2)利用上述乘法公式计算： ①已知，，求的值； ② 【变式2-2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 类型三、利用几何图形解释整式乘法 【典例3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中放置两个正方形，分别为正方形与正方形，两个正方形相交于点，．设长方形的面积为，长方形的面积为，已知，能确定两个正方形边长之差的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有三张边长分别为的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江·期中）如图1，现有2个边长为的正方形，1个长为，宽为的长方形，将它们按图2放置．①②③三块阴影部分的面积分别为，若满足，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 类型四、利用几何图形验证完全平方公式的推论 【典例4】（24-25七年级上·上海·期中）如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 【变式4-1】（20-21七年级下·江苏镇江·期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． （1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示） （2）利用上面结论解决问题：若，则__________； （3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （4）利用上面结论解决问题：已知，则__________； （5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论． 【变式4-2】（18-19七年级下·四川成都·期末）在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形(如图1)，通过不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：. (1)根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为： ；利用图3可以验证的等式为： ； (2)利用(1)中所得结论，解决下面的问题：求的值； (3)如图，有三类长方形(或正方形)卡片()，其中甲同学持有类卡片各一张，乙同学持有类卡片各一张，丙同学持有类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 .(直接写出结果) 【变式4-3】（22-23七年级下·辽宁沈阳·月考）材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 类型五、用乘法公式验证几何图形的面积问题 【典例5】（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是______； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【变式5-2】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是__________； (2)若，则__________； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【变式5-4】（25-26七年级上·上海·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，、、三点在一条直线上． (1)如图①，，，这两个正方形的面积之差是________．（用、的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，则是_________． (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 类型六、图形剪切拼接证明恒等式 【典例6】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【变式6-1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【变式6-2】（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 类型七、利用整式运算几何图形的面积 【典例7】（25-26七年级下·四川·期中）下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 【变式7-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为______． 【变式7-2】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【变式7-3】（25-26七年级下·安徽池州·期中）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 1.（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（    ）    A．① B．②③ C．①③ D．③ 2.（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在边、上，点L、N分别在边、上，点H、K在边上，点J在边上，记如图三个阴影部分面积分别为，，，已知所表示的阴影部分为正方形，若，则长方形的面积为________． 3.（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 4.（25-26七年级下·宁夏银川·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． (2)【拓展应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)【学以致用】若x满足，求的值． 5.（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 6.（20-21七年级下·江苏连云港·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C，G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 7.（25-26七年级下·广东深圳·期中）综合探究 【问题提出】 小圳学习完全平方公式后，发现（），猜想（），但它们相差多少呢？想起老师讲过一种重要的数学思想方法——数形结合，于是利用几何图形展开探究． 【已有认知】 可以用几何图形的长度之差表示，如图① 【初步尝试】 可以用几何图形的面积之差表示，如图② 【深度探究】 可以用几何图形的体积之差表示．如图③ 解决问题： (1)请结合图②计算； (2)请用代数运算验证问题（1）的结果是否正确： (3)①请结合图③计算； ②【惊喜发现】；______； ③【拓展应用】根据你以上的发现，若，求的值． 8.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为的正方形， B 型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取 1 张 A型卡片，2 张C型卡片，1 张B型卡片，在纸上按照图 2 的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_____ ； (2)请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； (3)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和 ，在虚线框中画出你的拼图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分． 已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为． 若 ，当与满足什么关系，为定值，且定值为多少？ （用含的代数式表示）． 9.（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 10.（25-26七年级下·浙江温州·期中）为迎接五一劳动节，小艺计划在长为厘米，宽为厘米的长方形白纸上制作节日剪贴画．她用4张长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，3张边长为厘米的正方形纸片拼成“五一”字样，其余阴影部分为绘画区域，相关尺寸如图所示． (1)用含，的代数式表示绘画区域的面积（结果需化简）． (2)若，，求出绘画区域的面积． 11.（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式乘法与几何综合问题七类题型 典例详解 类型一、利用几何图形验证完全平方公式 类型二、利用几何图形验证平方差公式 类型三、利用几何图形解释整式乘法 类型四、利用几何图形验证完全平方公式的推论 类型五、用乘法公式验证几何图形的面积问题 类型六、图形剪切拼接证明恒等式 类型七、利用整式运算几何图形的面积 压轴专练 类型一、利用几何图形验证完全平方公式 【典例1】（25-26七年级下·江苏连云港·期中）【阅读发现】观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积的运算为______；应用“阅读发现”中发现的运算公式可以快速计算． (2)【直接应用】若，，求的值； (3)若x满足，求的值． (4)【拓展应用】如图，某学校在一面靠墙的空地上，用长的篱笆（不含墙）围成2个长方形（即长方形和长方形）小菜园，作为班级的劳动实践基地，已知墙足够长，围成的两块小菜园的总面积为．短期运作后，申请小菜园劳动实践基地的班级陡增，学校决定在原有小菜园两旁分别以，为边向外共扩建9个正方形小菜园（①～⑨）给9个班级使用，以为边向外扩建1个正方形小菜园⑩给教师使用，直接写出10个新扩建小菜园的总面积． 【答案】(1) (2)31 (3)2 (4)180平方米 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）将已知条件整体代入求值即可； （3）设，则，，再利用求得的值即可解答； （4）设垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为．由题意可得：，，由题意可得新扩建小菜园的总面积为，然后利用求解即可． 【详解】（1）解：如图2：阴影部分的面积的一种表示方法为：；阴影部分的面积的另一种表示方法为：，即． （2）解：∵，， ∴． （3）解：设，则，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． （4）解：设垂直于墙的边长为，平行于墙的边长为． 由题意可得：，， 新扩建小菜园的总面积为： 平方米． 【变式1-1】（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）数学活动课上，刘老师准备了若干张如图①的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图②的大正方形． (1)观察图②，请写出下列三个代数式：，，之间的等量关系__________； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A种纸片1张，B种纸片2张，C种纸片______张； (3)根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ① 已知，，求的值： ② 已知 ．求的值． 【答案】(1) (2)3 (3)①5；②1 【分析】（1）根据图②大正方形的面积，从整体和部分两种角度表示，从而得出三个代数式之间的等量关系． （2）先将展开，根据展开式中各项的系数确定种纸片的数量，再画出草图． （3）①将两边平方，再结合，利用（1）中的等量关系求出的值．②设，将转化为关于的式子，再利用（1）中的等量关系求解． 【详解】（1）解：∵图②大正方形的边长为 ∴其面积为 又∵大正方形由个边长为的正方形、个边长为的正方形和个长为、宽为的长方形组成 ∴其面积也为， ∴． （2）解：∵， 又∵种纸片对应，种纸片对应，种纸片对应， ∴需要种纸片3张． （3）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； ②设， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）将四个长为，宽为的长方形（如图），拼成如图的“回形”正方形和正方形． (1)观察与发现：请你观察图直接写出之间的一个等量关系式为___________； (2)运用与探究：根据（）的结论，解决下列问题：，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据图形面积关系即可求解； （）利用（）所得的关系式计算即可求解； 本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形运算，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式1-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)下图给出的甲、乙、丙3个正方形分割方案，分别验证了以下乘法公式： ① ② ③ 甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为________； (2)利用（1）中所得到的等式，解决下面的问题： 若x满足，求的值． (3)如图丁，在线段CE上取一点D且，分别以，为边作正方形，，连接，，． ①若阴影部分的面积和为33，四边形的面积为13，求的长度． ②若P为边上一点，连接，，线段的长度为4，，的长度为正整数，且与四边形的面积相等，求的长度． 【答案】(1)①③② (2) (3)①；②或 【分析】（1）分别用两种方法表示出阴影部分的面积，列出等式整理即可； （2）令，，则，，，再代入根据等式③，即可求解； （3）设，，，则，，①由图可得，，，从而，，进而，即可求出；②由图可得，，，从而，整理可得，根据m和n为正整数且，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：图甲中，或，则，整理得，即①； 图乙中，或，则，整理得，即③； 图丙中，或，则，整理得，即②； 综上可知：甲、乙、丙3个图形对应的乘法公式序号按顺序排列为①③②； （2）解：令，，则，， ， ， 由（1）中的等式③，得， ， 则； （3）解：设，，， 正方形和正方形， ，，则，， ①由图可得，，， ，，则，， ，则， 则； ②由图可得，，， ， ，即， 则，整理得， m和n为正整数，， 当时，，即，，则； 当时，，即，，则； 当时，，即，不符合题意，舍去； 综上所述：的长度为或． 类型二、利用几何图形验证平方差公式 【典例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴ ． 故选：B． 【变式2-1】（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形． (1)通过计算左、右两图的阴影部分的面积，可以验证的等式是______（填字母）． A． B． C． (2)利用上述乘法公式计算： ①已知，，求的值； ② 【答案】(1)B (2)①3；② 【分析】（1）分别表示出两幅图中阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据题意可得，据此可得答案； ②把所求式子中的每一项利用平方差公式展开，再计算求解即可． 【详解】（1）解：左边那幅图中阴影部分的面积为， 右边那幅图中阴影部分的面积为， ∵左、右两图的阴影部分的面积相等， ∴； （2）解：①∵， ∴ ∵， ∴； ② ． 【变式2-2】（25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 【变式2-3】（25-26七年级下·江苏镇江·期中）如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分拼成图2长方形． (1)上述操作能验证的等式是___________（填字母）； A．；B． (2)利用你得到的公式，计算下列各式： ①； ②． 【答案】(1)B (2)①1；②5050 【分析】（1）根据图1和图2的①②面积之和相等即可得到等式； （2）利用平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：图1的①②面积之和为，图2的①②面积之和为， 因此验证的等式是． （2）解：① ； ② ． 类型三、利用几何图形解释整式乘法 【典例3】（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中放置两个正方形，分别为正方形与正方形，两个正方形相交于点，．设长方形的面积为，长方形的面积为，已知，能确定两个正方形边长之差的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方形的边长为a，正方形的边长为b，根据，得出，根据，，求出，即可得出答案． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b，则，， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴只要知道就能够确定两个正方形边长之差． 【变式3-1】（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有三张边长分别为的正方形纸片，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则下列正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图1可得，长方形的长为，宽为，分别表示出、、、，再作差，结合求解即可． 【详解】解：由图1可得，长方形的长为，宽为， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-2】（25-26七年级下·浙江·期中）如图1，现有2个边长为的正方形，1个长为，宽为的长方形，将它们按图2放置．①②③三块阴影部分的面积分别为，若满足，则与满足的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出，再根据得到，即可求解． 【详解】解：设长方形①的长为，则长方形①，②，③的各边长如下： ∴， ， ， ∴， ， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26七年级下·浙江宁波·期中）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，当边长与在大小允许的情况下发生变化，始终为，则与的关系是_____（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】设，得出，，再得到，即可求解． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵始终为， ∵， ∴． 类型四、利用几何图形验证完全平方公式的推论 【典例4】（24-25七年级上·上海·期中）如图1，正方形的边长分别为，且． (1)用两个种正方形组合成图2的图形，外边框可以围成一个大正方形，则这个大正方形的面积为______；（用含的代数式表示） (2)将一个种和一个种正方形组合成图3的图形，外边框可以围成一个大正方形，用两种不同的方法表示这个大正方形的面积为______或______，从而可以得到一个乘法公式为______． (3)如图4，将正方形拼接在一起，沿着外边框可以围成一个大正方形，类比（2）的思路进行思考，直接写出所得到的等式______． (4)用正方形画出恰当的图形，说明 【答案】(1) (2)，； (3) (4)见解析 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）由题意得大正方形的边长为，根据面积公式即可表示； （2）方法一：求出这个大正方形的边长，利用正方形的面积公式求解即可得；方法二：根据这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和即可得；由此即可得出乘法公式； （3）利用两种方法求出大正方形的面积，由此即可得出等式； （4）利用正方形甲、乙、丙构造图形，根据图形中的面积关系即可得． 【详解】（1）解：由题意得大正方形的边长为，则面积为， 故答案为：； （2）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 从而可以得到一个乘法公式为， 故答案为：，；； （3）解：方法一：这个大正方形的边长为， 则这个大正方形的面积为； 方法二：因为这个大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 所以这个大正方形的面积为； 则所得到的等式为， 故答案为：； （4）解：构造图形如下：其中，图形是边长为的正方形， 则图形的面积为，阴影部分的面积为， 所以． 【变式4-1】（20-21七年级下·江苏镇江·期中）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系，”这就是“算两次”原理，也称为富比尼（G．Fubini）原理，例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 【教材片段】：计算如图1的面积，把图1看做一个大正方形，它的面积是，如果把图1看做是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． （1）如图2，用不同的代数式表示大正方形的而积，由此得到的等式为__________；（用a、b表示） （2）利用上面结论解决问题：若，则__________； （3）如图3，用不同的代数式表示大正方形的面积，由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （4）利用上面结论解决问题：已知，则__________； （5）如图4，用不同的代数式表示大正方形的面积（里面是边长为c的小正方形），由此得到的等式为__________；（用a、b、c表示） （6）若，请通过计算说明a、b、c满足上面结论． 【答案】（1）；（2）28；（3）；（4）21；（5）；（6）见解析 【分析】（1）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论； （2）由（1）得到，再将已知等式代入计算即可； （3）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论； （4）根据（3）中结论，将已知等式代入计算即可； （5）分别利用整体和部分和两种方法表示出面积即可得到结论； （6）分别计算出，，，根据整式的混合运算法则可得结论． 【详解】解：（1）大正方形整体表示面积为：， 大正方形部分和表示面积为：， ∴由此可得等式为：； （2）由（1）可得： ， ∴x+y=6，xy=2， ∴， ∴； （3）大正方形面积整体表示为：， 大正方形面积部分和表示为：， 故由此可得公式为： ； （4）∵a+b+c=7，ab+bc+ac=14， ∴由（3）可得： ， ∴； （5）由题可得： 大正方形面积整体表示为：， 大正方形面积部分和表示为：， ∴， ∴； （6）∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，用不同的方式表示出同一个图形的面积，解题时注意数形结合思想的运用． 【变式4-2】（18-19七年级下·四川成都·期末）在学习完全平方公式这一节课中，北师大版《数学》七年级下册教材中利用一个图形(如图1)，通过不同的方法计算图形的面积来验证完全平方公式：. (1)根据上面的原理，利用图2可以验证的等式为： ；利用图3可以验证的等式为： ； (2)利用(1)中所得结论，解决下面的问题：求的值； (3)如图，有三类长方形(或正方形)卡片()，其中甲同学持有类卡片各一张，乙同学持有类卡片各一张，丙同学持有类卡片各一张，现随机选取两位同学手中的卡片共四张进行拼图，则能拼成一个正方形的概率是 .(直接写出结果) 【答案】(1)；；(2)29；(3). 【分析】(1)根据面积公式即可解答. (2)通过的公式和等量代换即可解答. (3)由图分析可知能拼成一个正方形的概率. 【详解】解：(1)由图可知， ， ； (3)由图可得，能构成正方形的概率(正方形)=. 【点睛】本题考查了完全平方公式、矩形面积公式、识图能力，熟练掌握并灵活运用是解题的关键. 【变式4-3】（22-23七年级下·辽宁沈阳·月考）材料一：把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由图1，可得等式： （1）如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，请你用两种不同的方法求图2大正方形的面积（用含a，b的式子表示）： 方法一：________________；方法二：________________； 对于以上，你能发现什么结论？请用等式表示出来________________（直接写出等式） （2）利用（1）中所得到的结论，填空： ①已知上述等式中的三个字母a，b，c可取任意实数，若，，，且，请利用（1）所得的结论求的值为________； ②若三个实数x，y，z满足，，则的值为________； 材料二：若，求m，n的值． 解：， ， ， ，， ，． 问题： （3）若，则的值为________； （4）试探究关于x，y的代数式是否存在最小值？若存在，求出最小值及此时x，y的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）①；②；（3）4；（4）存在，，，原式最小值为2023 【分析】（1）将整个图形当作一个正方形和作为9个长方形或正方形求面积即可得解； （2）根据（1）可得，进而整体代入即可求解； （3）将原式变形为两个完全平方式与一个常数的和，利用偶次方的非负性即可求解y的值，进而求解； （4）将原式变形为两个完全平方式的和，利用偶次方的非负性即可求解； 【详解】解：（1）将整个图形当作一个正方形，则面积为， 将整个图形当作9个长方形或正方形，则面积为， ∴， 故答案为，，； （2）①∵，，， ∴， ∵， ， ∴， ∴故答案为 ②∵， ∴， ∴即， ∵， ∴， 故答案为； （3）∵， ∴即 ∴， ∴， ∴， 故答案为：4 （4）存在， 原式    当，时，原式最小 ，，原式最小值为2023． 【点睛】本题主要考查了完全平方式与几何图形的关系以及求代数式的值，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积． 类型五、用乘法公式验证几何图形的面积问题 【典例5】（25-26七年级上·上海青浦·期中）现有如图1的8张大小、形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)思考： 结论①：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为； 结论②：图2中的大正方形的面积又可以用含、的代数式表示为：___________； 结论③：图3中的大正方形的面积又可以用含、、的代数式表示为：________； 结合结论②和结论③，可以得到等式：________________________． (2)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且，求的值； (3)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），其中，，，求图中阴影部分的面积之和． 【答案】(1)，， (2) (3)6 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积，根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （2）根据结论求出，然后进行计算即可得解； （3）根据结论求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； ∴， ∴ ∴结合结论②和结论③，可以得到等式； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：由（2）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 【变式5-1】（25-26七年级上·上海·阶段检测）【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形（如图2）．图1中阴影部分面积可表示为：，图2中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得到等式：． 【拓展探究】图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个正方形． （1）根据图形可得到一个关于、、的等量关系式是______； （2）结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题： ①已知，，则 ． ②已知，求的值． 【知识迁移】 （3）如图5，红岭中学前不久举办了第一届“智启未来，科技筑梦”校园科技节活动，其中创意竞赛要求设计一款由两个正方形构成的光学元件模型．其中大正方形与小正方形的边长分别为a和b．已知两正方形边长之和，边长之积，且E为中点．模型中阴影部分为特殊光线吸收区域，其面积大小直接影响光学元件对光线的吸收效果，进而决定模型的光学性能．为优化设计，需精确计算图中阴影部分的面积总和，求该阴影部分面积总和． 【答案】（1）；（2）①24；②；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式；方法2：用小正方形的边长列式，根据方法1和方法2表示的图形面积相等，即可得到等量关系； （2）①根据（1）所得等式求出，再根据多项式乘法法则将所求代数式展开，整体代入计算求值即可；②利用完全平方公式求解即可 （3）根据图形列式得到阴影部分面积和为，再根据（1）所得等式计算即可． 【详解】解：（1）方法1：用大正方形面积减去四个小长方形面积列式可得：， 方法2：用小正方形的边长列式可得：； 故答案为：；； ∵方法1和方法2表示的图形面积相等， ∴； 故答案为：； （2）①∵，， ∴， ∴ ， 故答案为：24； ②∵，， ∴ ， ∴； （3）阴影部分面积和为： ， ∵，， ∴， ∴阴影部分面积和等于． 【变式5-2】（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是__________； (2)若，则__________； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解， (2)16 (3)17 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． （1）根据题意，方法一：阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；方法二：阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分的面积： 方法二：阴影部分的面积： 故答案为： （2）解：若， （3）解：如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 【变式5-3】（25-26七年级上·上海·期中）现有若干个正方形纸片，从中任取两个大小不等的正方形如下图摆放，、、三点在一条直线上． (1)如图①，，，这两个正方形的面积之差是________．（用、的代数式表示） (2)如图②，如果大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，则是_________． (3)如图③，大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，图中阴影部分的面积是________． (4)如图④，正方形和正方形的边长分别为，如果，，求图中阴影部分面积之和是多少？ 【答案】(1) (2) (3)12 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，二元一次方程组的应用，三角形面积计算，正方形面积计算，长方形面积计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握完全平方公式． （1）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，，根据题意得出，求出，再根据正方形的面积公式求差即可； （2）根据大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1，结合解析（1）可得，求出，最后求出结果即可； （3）设正方形的边长为x，正方形的边长为y，根据大正方形和小正方形的面积之和是25，的长度等于7，得出，求出，再根据三角形面积公式求出结果即可； （4）根据，，求出，根据阴影部分的面积为，然后再变形求值即可． 【详解】（1）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y，， 根据题意得， 解得， ∴这两个正方形的面积之差是： ． （2）解：由（1）可得 ． ∵大正方形和小正方形的面积之和是4，图中阴影部分的面积为1， ∴， 解得， ∴． （3）解：设正方形的边长为x，正方形的边长为y， 根据题意得， ∴， ∴阴影部分的面积之和为． （4）解：∵，， ∴ ， ∴阴影部分的面积为： ． 类型六、图形剪切拼接证明恒等式 【典例6】（25-26七年级上·上海黄浦·月考）如图1所示，有两张完全相同的大正方形纸片、，从纸片的四个角裁剪四个完全相同的小正方形，并将四个小正方形纸片拼放在纸片的四个顶点处．图2中已标出裁剪后、纸片尺寸，并且记裁剪后的面积分别为、（图2中阴影部分）． 小海认为：；乐乐认为：． 关于小海和乐乐观点，下列说法正确的是（    ） A．小海正确、乐乐正确； B．小海错误、乐乐正确； C．小海正确、乐乐错误； D．小海错误、乐乐错误． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法公式与几何图形，设四个小正方形的边长为x，根据原正方形的边长不变可列方程求出，然后根据割补法分别求出、，最后计算、，即可判断． 【详解】解：设四个小正方形的边长为x， 根据题意，得， 解得， ∴， ， ∴， ， ∴小海正确、乐乐正确， 故选：A． 【变式6-1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将大正方形通过剪、割、拼后分解成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能够验证平方差公式的是（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用不同的代数式表示两个面积相等的部分是解决问题的关键． 根据各个图形的拼图的面积计算方法分别用等式表示后，再进行判断即可． 【详解】图①的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，所以图①可以验证平方差公式； 图②的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的矩形，因此面积为，所以有，所以图②可以验证平方差公式； 图③的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的如图阴影部分是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有 ，所以图③可以验证平方差公式； 图④的如图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即’，拼成的如图阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，所以有，所以图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故选∶C． 【变式6-2】（24-25八年级上·福建福州·期中）我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”可见数形结合思想在解决数学问题，理解数学本质上发挥着重要的作用．在初二数学活动课上，老师带领同学们在拼图活动中探寻整式的乘法的奥秘． 情境一：如图，甲同学将4块完全相同的等腰梯形木片拼成如下两个图形，请你用含的式子分别表示图和图中阴影部分的面积，并说明由此可以得到什么样的乘法公式； 情境二：乙同学用块木片、块木片和若干块木片拼成了一个正方形，请直接写出所拼正方形的边长（用含的式子表示），并求所用木片的数量； 情境三：丙同学声称自己用以上的三种木片拼出了一个面积为的长方形；丁同学认为丙同学的说法有误，需要从中去掉一块木片才能拼出长方形． 你赞同哪位同学的说法？请求出该情况下所拼长方形的长和宽，并画出相应的图形；（要求：所画图形的长、宽与图样一致，并标注每一小块的长与宽）． 【答案】情境一：；情境二：所拼正方形的边长为，所用木片的数量为；情境三：赞同丁同学的说法，该情况下所拼长方形的长为，宽为，图形见解析 【分析】情境一：设等腰梯形的高为，可求，分别表示出图和图的面积，即可求解； 情境二：可得正方形面积为，由拼成了一个正方形可得是一个完全平方式，即可得，据此即可求解； 情境三：能构成长方形，则能进行分解，故去掉个后即可进行因式分解，从而可求解； 本题考查了因式分解，平方差公式、完全平方公式的几何意义，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：情境一： 如图，设等腰梯形的高为， ∴， ∴， ∴图的面积为， 图的面积为， ∵， ∴， ∴可以得到的乘法公式为：； 情境二： 拼成的正方形面积为， ∵拼成的是一个正方形， ∴是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴所拼正方形的边长为，所用木片的数量为； 情境三： 赞同丁同学的说法． 理由：∵不能进行因式分解，即转化不了长乘以宽， ∴三种木片不能拼出一个面积为的长方形， 去掉一块以后，面积为， ∴该情况下所拼长方形的长为，宽为， 长方形如图所示： 类型七、利用整式运算几何图形的面积 【典例7】（25-26七年级下·四川·期中）下图由两个长方形构成，其中阴影部分的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与长方形面积计算，解题的关键是利用“阴影面积=大长方形面积-小长方形面积”的关系，结合多项式乘法法则化简． 先分别计算大、小长方形的面积，再用大长方形面积减去小长方形面积，最后通过多项式乘法和合并同类项化简结果． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式7-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，在大长方形中放入三个正方形，，，边长分别为4，3，2．若3个阴影部分的面积满足，则大长方形的面积为______． 【答案】24 【分析】设，，用含，的式子表示，，，根据列方程，即可解得答案． 【详解】解：如图所示，设，， 三个正方形，，的边长分别为4，3，2， ，，，，，，， ， ， ， ， ， 化简整理得：， ，即大长方形的面积为24． 【变式7-2】（25-26七年级下·江西景德镇·期中）如图，某小区有一块长，宽的长方形绿化用地，物业计划在其中修建一个长方形的健身广场（图中阴影部分），并在广场的北面和东、西两面都留有宽度为的人行道（图中空白部分）． (1)请用含a，b的代数式表示健身广场的面积； (2)物业打算在广场北面和东、西两侧的人行道上铺设防滑地砖，用含a，b的代数式表示铺设地砖的面积； (3)若，，预计每平方米地砖的价格是40元，求购买地砖的总费用． 【答案】(1) (2) (3)2400元 【分析】（1）根据已知条件和长方形的面积公式，列出算式，再根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （2）根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则进行计算即可； （3）根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，最后把，代入（2）中化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解：健身广场的面积 ； （2）解：铺设地砖的面积 ； （3）解：把，代入中，可得：， 购买地砖的总费用为：元． 【变式7-3】（25-26七年级下·安徽池州·期中）在莹莹住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建一横一竖，互相垂直且宽度均为米的通道． (1)通道的面积共有多少平方米？ (2)剩余草坪的面积是多少平方米？ 【答案】(1)通道的面积是平方米 (2)剩余草坪的面积是平方米 【分析】（1）通道面积为长为米，宽为米的长方形面积加上长为米，宽为米的长方形面积，再减去一个边长为米的正方形面积，据此列式求解即可； （2）用最大的长方形面积减去通道面积即为剩余草坪的面积，据此列式求解即可． 【详解】（1）解：通道的面积共有： 平方米， 答：通道的面积是平方米； （2）解：剩余草坪的面积为： 平方米， 答：剩余草坪的面积是平方米． 1.（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形，其中不能验证平方差公式的是（    ）    A．① B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【分析】根据各个图形中阴影部分面积的“算两次”，进而判断是否验证平方差公式即可． 【详解】解：图①中，将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形， 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有， 所以图①可以验证平方差公式，不符合题意； 图②中阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的长方形的长为，款为，因此面积为，所以有， 因此图②可以验证平方差公式，不符合题意； 图③中阴影部分可以看作是边长为的正方形，因此面积为，所拼成的图形中阴影部分的面积可以看作四个小正方形的面积和，，因此不能验证平方差公式，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示图形中阴影部分的面积是解决问题的关键． 2.（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在边、上，点L、N分别在边、上，点H、K在边上，点J在边上，记如图三个阴影部分面积分别为，，，已知所表示的阴影部分为正方形，若，则长方形的面积为________． 【答案】143 【分析】设的边长为，则，，，，，，可得，，，代入即可求解． 【详解】解：设的边长为， ∵正方形的边长为8，正方形和边长为6，四边形是长方形， ∴，， 则，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 3.（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4.（25-26七年级下·宁夏银川·期中）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为． (1)【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． (2)【拓展应用】根据图②所得的公式，若，，则______． (3)【学以致用】若x满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3)17 【分析】（1）阴影部分的面积等于两个较小的正方形的面积之和，又等于大正方形的面积减去2个长方形的面积，据此列式求解即可； （2）根据（1）所求代入求值即可； （3）设，则，根据，结合（1）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，图②中阴影部分图形的面积和为； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 5.（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）如图，将一个边长为的正方形图形分割成四部分，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若图中、满足，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式得出，根据，求出的值即可； （2）设，，可得，，利用完全平方公式可求出，即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴． （2）解：设，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴． 6.（20-21七年级下·江苏连云港·期中）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些图形的面积．例如，由图1，可得等式：． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为的正方形，试用不同的形式表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来． (2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值． (3)如图3，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C，G三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长满足，，请求出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)40 (3)20 【分析】（1）通过两种不同的方法计算图2的面积，即可得解； （2）将，代入（1）中等式，变形可得答案； （3）利用阴影部分的面积、三角形的面积与三角形的面积之和等于正方形的面积与正方形的面积之和即可求解． 【详解】（1）解：由正方形面积公式得大正方形的面积为， 将图形看成9个小正方形与小矩形的面积之和， 则大正方形的面积为， ∴． （2）∵， ∴ ． ∵，， ∴． ∴的值为40． （3） ， ∵，， ∴原式 ． ∴阴影的面积为20． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，数形结合，利用面积法正确写出相关图形的面积是解题的关键． 7.（25-26七年级下·广东深圳·期中）综合探究 【问题提出】 小圳学习完全平方公式后，发现（），猜想（），但它们相差多少呢？想起老师讲过一种重要的数学思想方法——数形结合，于是利用几何图形展开探究． 【已有认知】 可以用几何图形的长度之差表示，如图① 【初步尝试】 可以用几何图形的面积之差表示，如图② 【深度探究】 可以用几何图形的体积之差表示．如图③ 解决问题： (1)请结合图②计算； (2)请用代数运算验证问题（1）的结果是否正确： (3)①请结合图③计算； ②【惊喜发现】；______； ③【拓展应用】根据你以上的发现，若，求的值． 【答案】(1)； (2)正确，见解析； (3)①；②；③18． 【分析】（1）根据图②表示出阴影部分的面积可得答案； （2）根据完全平方公式求解即可； （3）①根据图③体积的表示方法可得答案； ②根据和①可得答案； ③根据②的方法求解即可． 【详解】（1）解：由图②可得：； （2）解： ， ， ∴结果正确； （3）解：① ； ②∵，结合①， ∴； ③由②可得：， ∴． 8.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图 1：A型卡片是边长为的正方形， B 型卡片是边长为的正方形，C型卡片是长和宽分别为，的长方形． (1)选取 1 张 A型卡片，2 张C型卡片，1 张B型卡片，在纸上按照图 2 的方式拼成一个边长为的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到等式：_____ ； (2)请用上题得到的等式求解下面问题：已知，求的值； (3)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和 ，在虚线框中画出你的拼图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽； (4)选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分． 已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为． 若 ，当与满足什么关系，为定值，且定值为多少？ （用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)26 (3)见解析 (4) 【分析】（1）从个体和从整体两个方面计算大正方形的面积即可解答； （2）设，则，，再利用其变形解答即可； （3）结合长方形面积公式画图即可； （4）设，结合图形，计算得到S的表达式，根据S为定值，与x的值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的面积为：， 方法2：图2中四部分的面积和为：， ∴． （2）解：设，则，， ∴，即， ∴， 即； （3）解：根据题意，画出图形，如图所示： （4）解：设，设右上角阴影为，左下角阴影为， ∵， ∴ ＝， 若S为定值，则S将不随x的变化而变化， ∴时，即时，为定值． 9.（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 10.（25-26七年级下·浙江温州·期中）为迎接五一劳动节，小艺计划在长为厘米，宽为厘米的长方形白纸上制作节日剪贴画．她用4张长为厘米，宽为厘米的长方形纸片，3张边长为厘米的正方形纸片拼成“五一”字样，其余阴影部分为绘画区域，相关尺寸如图所示． (1)用含，的代数式表示绘画区域的面积（结果需化简）． (2)若，，求出绘画区域的面积． 【答案】(1)平方厘米 (2)232平方厘米 【分析】（1）用长方形白纸的面积减去4个长方形纸片的面积，再减去3个正方形纸片的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求，代入求值即可． 【详解】（1）解： 平方厘米， ∴绘画区域的面积为平方厘米； （2）解：当，时，原式， ∴绘画区域的面积为232平方厘米． 11.（23-24七年级下·全国·单元测试）通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $