专题03 平行线的拐点模型七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题03 平行线拐点模型的七类题型 典例详解 类型一、猪蹄模型 类型二、铅笔模型 类型三、臭脚模型 类型四、蛇形模型 类型五、羊角模型 类型六、双拐点模型 类型七、多拐点模型 压轴专练 类型一、猪蹄模型 例1（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 变式1-1（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 变式1-2（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)等于 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过作．由（1）①．再得出②，由①②得，即，再求解即可． （3）由角平分线得，，由“猪蹄模型”得，再利用平行线和三角形内角和计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过作． 由（1）①． ， ， ②， ①②得， 即， ， ， ． 答：、、三者之间的数量关系：． （3）证明：、分别平分和， ，， 由（1）结论得：， ， ． ， ， ， 由三角形内角和得： ． 答：等于． 类型二、铅笔模型 例2（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 变式2-1（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先根据“两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行”解答①；再根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再结合已知条件判断②；根据“两直线平行，同旁内角互补”解答③；延长，根据“两直线平行内错角相等”得，再根据，解答④即可． 【详解】解：∵， ∴，则①正确； ∵， ∴． ∵， ∴，则②正确； ∵ ∴， 即，则③正确； 延长， ∵， ∴． ∵， ∴，则④不正确． 正确的为①②③． 变式2-2（20-21七年级下·江苏无锡·期中）（1）已知AB∥CD，E是AB、CD间一点，如图1，给它取名“M型”；有结论：；如图2，给它取名“铅笔头型”，有结论：； ①在图3 “M型”中，AF、CF分别平分∠A、∠C，则∠F与∠E的关系是 ； ②在图4 “铅笔头型”中，延长EC到G，AF、CF分别平分∠A、∠DCG，则∠F与∠E的关系是 ； （2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD． ①如图5，请探究∠1、∠2、∠F之间的数量关系？并说明理由； ②如图6，∠1比∠2的3倍多18°，∠2是∠F的，求∠F的度数． 【答案】（1）①；②；（2）①；② 【分析】（1）①由题意易得，然后根据“M型”角的关系可直接进行求解；②如图，由“铅笔头型”，可得结论：，则由题意得，进而可得，然后根据三角形外角的性质可得，最后问题可求解； （2）①由题意易得，，然后根据三角形内角和可求解；②由题意易得，则有，进而根据三角形外角的性质可得，由三角形内角和可得，最后根据角的和差关系可进行求解． 【详解】解：（1）①由“M型”角的关系可得：，， ∵AF、CF分别平分∠A、∠C， ∴， ∴， ∴∠F与∠E的关系是； 故答案为； ②如图， 由“铅笔头型”，可得结论：， ∵AF、CF分别平分∠BAE、∠DCG， ∴， ∵AB∥CD， ∴， ∵， ∴由三角形外角的性质可得：， ∴； 故答案为； （2）①，理由如下： 由邻补角可得：， ∵EG同时平分∠BEF和∠FGD， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图， ∵∠1比∠2的3倍多18°，∠2是∠F的， ∴， ∴， ∵EG同时平分∠BEF和∠FGD，∠BEF=180°-∠1， ∴，， 由三角形外角的性质可得：， ∴， ∵， ∴， 把代入化简得：， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形内角和与外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和与外角的性质、平行线的性质及角平分线的定义是解题的关键． 类型三、臭脚模型 例3（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质分别表示出、，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∵， ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ 又∵射线平分， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：D． 变式3-1（25-26七年级·全国·假期作业）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为______． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为______． 【答案】 或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 类型四、蛇形模型 例4（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，若，，，那么_________．    【答案】/150度 【分析】本题考查平行线的性质．根据平行线的性质求得，再根据整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 变式4-1（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，运河堤公路沿高邮湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯，这时的公路恰好与第一次拐弯前的公路平行，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，过点作，可得，，得到，即得，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 变式4-2（25-26七年级上·山西临汾·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，，从而利用平行线的性质可得，，根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型五、羊角模型 例5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 【答案】（1）70；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是： （1）延长至G，根据对顶角的性质求出，由[阅读理解]知：，结合即可求解； （2）过P作，根据平行线的性质得出，根据平行线的传递性得出，根据平行线的性质得出，结合即可得出结论； （3）设，，则，，，， 由（2）知：，由[阅读理解]知：，结合，可得出，求出，即可求解． 【详解】解：（1）延长至G， 则， 由[阅读理解]知：， 又， ∴，即， 故答案为：70； （2）， 理由：如图，过P作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （3）设，，则， ∵，的延长线平分， ∴，， ∴， 由（2）知：， ∴， 由[阅读理解]知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式5-1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 (4) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． （1）如图1，过作，则，由，可得，则，根据，计算求解即可； （2）如图2，过作，则，同理（1）可得，，则； ∴； （3）由平分，平分，可得，设，则，，，如图3，过作，过作，由（2）可知，，由，可得，同理（1）可得，则，由，可得，整理作答即可； （4）由题意作图，如图4，由，设，，，，则，，，，则，即；，即；由（2）可知，，如图4，过作，过作，则，同理（1）可得，，，同理，，由，可得． 【详解】（1）解：如图1，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：；证明如下； 如图2，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：，证明如下； ∵平分，平分， ∴， 设，则，，， 如图3，过作，过作， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解：由题意作图，如图4， ∵， ∴设，，，，则，，，， ∴，即； ∴，即； 由（2）可知，， 如图4，过作，过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∵， ∴． 类型六、双拐点模型 例6（25-26七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，直线，，，则____． 【答案】/度 【分析】过点作的平行线，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作的平行线，过点作的平行线， 则，， ， ， ， ∵，， ， ． 变式6-1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点，设，则，设，则，根据题意可知，，，，互相平行，用只含有，，的代数式表示出与即可． 【详解】如图所示，延长交于点，过点作的平行线，交于点，过点作的平行线，交于点． 设，则，设，则． 根据题意可知，，，，互相平行． ∵，， ∴． 同理，根据平行线的性质，可得，，． ∴，． ∴，． ∴． ∴． 故选：B 变式6-2（17-18七年级下·湖北·期中）已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据可证，再根据可证，，然后根据平行公理推论可证； （2）①延长，交直线于点，先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得证； ②先求出，，，，，再过点作，过点作，根据平行线的性质可得，根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，然后根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：①如图，延长，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，，，， ∴，，， ∴， ∵和两角的角平分线交于点，且， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 变式6-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证； （2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解； （3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图，延长交于E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （2）解：； 理由：如图，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，，时， ； （3）解：或或或； 理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ， ∴； 如图2-2，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-3，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 如图2-4，分别过点P、Q作， ∵， ∴， ∴， 当，时， ∴； 综上可得：或或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力． 类型七、多拐点模型 例7（21-22七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，则________度． 【答案】 【分析】通过分析，，，等简单图形的角度和，总结规律即可得出． 【详解】解：如图，图②，③，④：分别过、、作的平行线， 图①：∵， ∴； 图②中：， 图③中：， 图④中：， 总结规律可得：． 【点睛】解决本题的核心是运用平行线性质“两直线平行，同旁内角互补”计算角度和，同时理解并掌握从特殊到一般的归纳推理思想． 变式7-1（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图①，与的数量关系是什么？写出证明过程． （2）如图②，与的数量关系是什么？写出证明过程． 【答案】（1）．证明见解析（2）．证明见解析 【分析】（1）通过作辅助线，利用平行线的性质，将分成与相关的角，进而得出它们的数量关系； （2）同样作辅助线，多次利用平行线的性质，推导与的数量关系． 【详解】解：（1）． 证明：如图①，过点E作． ， ， ， ． （2）． 证明：如图②，分别过点E、G、M作． ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握作辅助线构造平行关系，利用平行线的内错角相等性质推导角的数量关系是解题的关键． 变式7-2（16-17七年级下·江苏扬州·月考）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2=　　； （2）∠1+∠2+∠3=　　； （3）∠1+∠2+∠3+∠4=　　； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n﹣1）180° 【详解】（1） 故答案为：180°， （2）作 故答案为：360°； （3）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN∥CD， ∴∠1+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠4=180°， ∴∠1+∠AEF+∠EFC+∠4=3×180°=540°， 故答案为：540°； （4）根据（1）（2）（3）的结果可知：∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=180（n-1）°， 故答案为：180（n-1）°． 1.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；；等量代换 (2) (3)存在，定值为 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、垂线的性质，熟练掌握平行线的性质，作出辅助平行线是解题的关键． （1）根据平行线的性质，结合等量代换进行证明即可； （2）过点N作，设、，进而得到，结合垂线的性质得到，进而得到，从而得到； （3）由结合（2）中的结论，得、，进而得到，及，由角平分线的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而得到，从而计算的值． 【详解】（1）证明：（已知）； （两直线平行，内错角相等）． （已知）； （两直线平行，同位角相等）． （等量代换）， 故答案为：两直线平行，内错角相等；；等量代换； （2）解：如图2，过点N作， ， ， 、， 、是、的角平分线， ∴、， 设、， 、， ， ， 、， ， ， ， ； （3）解：由（2）知，设、， ， ， ， ， ， 、， ， ， 、， 平分， ， ， ， ， ． 2.（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 【答案】（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）选择明明同学，由，，得，由平行线的性质得，，，进而即可证明；选择欣欣同学，由平行线的性质得，，推出，进而即可证明； （2）过点P作，根据平行线的性质求出和，进而即可求解； （3）过点P作，过点N作，延长交于点Q，则，根据平行线的性质得，，进而证明，根据推出，进而可得，再根据平行线的性质得，，通过等量代换即可求解． 【详解】解：（1）选择明明同学，证明过程如下： ，， ， ， ， ， ， ； 选择欣欣同学，证明过程如下： ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图 ，过点P作， 则， ， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， 即的度数为； （3）如图 ，过点P作，过点N作，延长交于点Q， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 即的度数是． 3.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以 ． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 4.（21-22七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，直线截、于点、，点是直线上的一个动点（点不与、重合），点在射线上． (1)当点在线段上时，如图（1），求证：． (2)当点在射线上时，如图（2），试猜想、、之间的数量关系：________（不要求说明理由）． (3)当点在射线上时，如图（3），试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）过点作利用两直线平行，同旁内角互补，分别表示出即可得证； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）同（1）的方法得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解： 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点作 ，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 5.（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【分析】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【详解】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 6.（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②当与三角形的一边垂直时，或24或30 【分析】本题考查平行线的性质与判定，对顶角相等，垂直的定义； （1）过点作，得到，结合，得到，则，即可得到； （2）①由（1）得，得到，再由角平分线得到，过点作，可以得到； ②当时，，，，，，，再分，，三种情况讨论，分别画出图形，结合图形列出方程求解即可． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得， ∵，， ∴， 整理得， ∵的平分线和的平分线交于点， ∴，， ∴， 过点作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ②当时，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 当时，如图，此时，， ∴， 解得； 当时，交于点，如图，此时，， ∵， ∴， 解得； 当时，交直线于点，如图，此时，， 由（1）同理可得， ∵，， ∴， 解得； 综上所述，当与三角形的一边垂直时，或24或30． 7.（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型． （1）过点E作直线，进一步利用平行线的性质求解即可． （2）如图，过点作，进一步利用平行线的性质求解即可． （3）由（2）可知，进一步结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：过点E作直线，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点作， ， ， ， ， 即； （3）解：．理由如下： 由（2）可知， 平分，平分， ， ， ， ∴． 8.（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，根据平行线判定与性质证明，根据旋转的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先利用平角的意义求得，再利用平行线的性质求得角的度数； （2）先利用平行线的性质得出，再根据两角的和得出，再证明，根据平行线的性质可得出，从而可得，再结合，得出； （3）先说明当时，在内部，再求得，从而可得，再根据，又，可得出，整理得：，根据等式与的大小无关，求得，再求得，从而可得出 【详解】（1）解：如图1， ∵，，， ∴ ∵， ∴； （2）解：如图2，过点作， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴； （3）解：如图： ∵，， ∴， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， ∴当时，在内部. ∵， ∴， ∵， 又∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴， ∴ 9.（18-19七年级下·浙江·月考）如图，已知，，且（为常数，且）． （1）求，的度数（用含的式子来表示）； （2）求的度数； （3）若，，，直线与直线交于点，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】（1）根据非负数的性质，即可得到，进而得出； （2）由四边形内角和，即可知的度数； （3）分四种情况进行讨论，分别依据四边形内角和、三角形内角和以及三角形外角性质，即可求得的度数． 【详解】解：（1）∵ 解得； （2）如下图，∠EBG=180°-n-20°=160°-n， ∴∠F=360°-(160°-n)-(n+80°)-80°=40°. （3）①如图，由，可得， 由，可得， 由，可得，故， ∴四边形中，； ②如图，由可得， 而， ∴四边形中，； ③如图，由，可得， 又， ； ④如图，由，可得， 又， （舍）． 综上所述，的度数为或或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：同位角相等，两直线平行；解决问题的关键是画出图形，运用分类思想进行求解． 10.（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 【答案】（1）134；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据平角得到，根据两直线平行，同旁内角互补得到，即可求解； （2）如图所示，过点作，则，可得，，由，即可求解； （3）如图，作，，可得，，，，再利用角度的加减即可解答． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 证明：如图，过点作，则直线， ，， ， ， ， ； （3）如图，作，， ， ，，，， ． 11.（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 【答案】任务一：同位角相等，两直线平行；任务二：；任务三：或或 【分析】本题主要考查了旋转的定义，平行线的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．根据平行线的判定即可解答；先过点A作，交于点，再根据平行线的性质进行解答即可；根据旋转的定义得出符合条件的情况，再利用平行线的性质，分情况讨论即可． 【详解】解：任务一：由平移得，， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 任务二：如图，过点作，交于点， 又， ， ，， ． ， ． 答：的度数为． 任务三：需分情况讨论： 当时，如图所示， ； 当时，如图所示， 过点作交于点， 则， 同理任务二可得，； 当，且在直线b的下方时，如图所示， 则， ； 综上，的度数为或或． 12.（25-26七年级·全国·假期作业）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴ ． 13．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平行线拐点模型的七类题型 典例详解 类型一、猪蹄模型 类型二、铅笔模型 类型三、臭脚模型 类型四、蛇形模型 类型五、羊角模型 类型六、双拐点模型 类型七、多拐点模型 压轴专练 类型一、猪蹄模型 例1（24-25七年级下·全国·课后作业）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 变式1-1（2026七年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 变式1-2（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图1的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接，，则有．请你证明这个结论． (2)【运用】如图2，，、是、之间的两点，且，请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，找出、、三者之间的数量关系，并说明理由． (3)【延伸】如图3，，点、分别在、上，、分别平分和，且．如果，那么等于多少？（用含的代数式表示，请直接写出结论，无需证明） 类型二、铅笔模型 例2（25-26七年级下·湖南衡阳·开学考试）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为__________． 变式2-1（25-26七年级上·福建漳州·期末）如图，已知，以下4个结论：①；②；③；④，正确的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 变式2-2（20-21七年级下·江苏无锡·期中）（1）已知AB∥CD，E是AB、CD间一点，如图1，给它取名“M型”；有结论：；如图2，给它取名“铅笔头型”，有结论：； ①在图3 “M型”中，AF、CF分别平分∠A、∠C，则∠F与∠E的关系是 ； ②在图4 “铅笔头型”中，延长EC到G，AF、CF分别平分∠A、∠DCG，则∠F与∠E的关系是 ； （2）若直线AB与直线CD不平行，连接EG，且EG同时平分∠BEF和∠FGD． ①如图5，请探究∠1、∠2、∠F之间的数量关系？并说明理由； ②如图6，∠1比∠2的3倍多18°，∠2是∠F的，求∠F的度数． 类型三、臭脚模型 例3（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，，射线平分，点F为的反向延长线上的一点，连接，且满足，若，，则与满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 变式3-1（25-26七年级·全国·假期作业）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为______． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为______． 类型四、蛇形模型 例4（25-26八年级上·四川达州·期末）如图，若，，，那么_________．    变式4-1（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，运河堤公路沿高邮湖边修建时，需要拐弯绕道而过，经过三次拐弯，这时的公路恰好与第一次拐弯前的公路平行，若，则的度数为______． 变式4-2（25-26七年级上·山西临汾·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 类型五、羊角模型 例5．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【阅读理解】 我们经常过某个点作已知直线的平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．例如：如图1，，点M，N分别在直线，上，点P在直线，之间．设，，求证：． 证明：如图2，过点P作，∴． ∵，，∴， ∴，∴． 【类比应用】 （1）如图3，，，°，则 （2）如图4，，点M，点N分别在直线，上，点P在直线的上方，连接，．则，与之间有何数量关系？请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图5，，点M，N分别是，上两点，点E在，之间，连接，．点P在直线的上方，连接，，若的延长线平分，求的度数． 变式5-1．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）经过平行线中的拐点作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，则__________； (2)如图2，，点P在直线上方，探究之间的数量关系，并证明： (3)如图3，，点P在直线上方，的角平分线所在的直线和的角平分线所在的直线交于点G（点G在直线的下方），请写出和之间的数量关系，并证明： (4)如图4，，点P在直线上方，分别是的三等分线，且．直线与直线交于点M，直线与直线交于点N（点N在直线的下方）．请直接写出与之间的数量关系．（请自行画图分析） 类型六、双拐点模型 例6（25-26七年级下·江苏无锡·开学考试）如图，直线，，，则____． 变式6-1（25-26七年级上·重庆·期末）如图，已知，点G在射线的上方且满足，点H在射线的反向延长线上，满足，若，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 变式6-2（17-18七年级下·湖北·期中）已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 变式6-3（25-26七年级上·河南南阳·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线． (1)如图1所示，当机械臂时，与的数量关系是______． (2)如图2所示，当，，时，求的度数．（用含的代数式表示） (3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含，的代数式表示，只需写出任意两个符合题意的结果．） 类型七、多拐点模型 例7（21-22七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，则________度． 变式7-1（2025八年级上·全国·专题练习）（1）如图①，与的数量关系是什么？写出证明过程． （2）如图②，与的数量关系是什么？写出证明过程． 变式7-2（16-17七年级下·江苏扬州·月考）已知如图，AB∥CD，试解决下列问题： （1）∠1+∠2=　　； （2）∠1+∠2+∠3=　　； （3）∠1+∠2+∠3+∠4=　　； （4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=　　． 1.（25-26七年级上·湖南长沙·期末）已知：，E、G是上的点，F、H是上的点，满足． (1)如图1，求证：．下面是小益给出的证明，请你根据他的思路，将横线上的内容补充完整： 证明：（已知）； （______）． ∵EFGH（已知）； ∴______（两直线平行，同位角相等）． ∴∠1＝∠2（    ）． (2)如图2，过F点作交GH延长线于点M，作、的角平分线交于点N，交于点P，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，请问是否存在为定值，使得平分？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2.（25-26八年级上·山西晋中·期末）材料一：如图，某数学兴趣小组的同学们在学习平行线的过程中，他们发现一个点与一组平行线的位置关系有多种多样： 材料二：在研究的过程中同学们总结出：可以先过某一点作已知直线的平行线，再将角进行拆分或重组从而解决问题．为此，老师给出如下问题： 如图①，，，交于点Q，交于点P．请判断与有怎样的数量关系； 如图②，明明同学通过在点F处作，利用平行线的性质实现了角的转移，进而解决了问题； 如图③，欣欣同学受到了明明方法的启发，另辟蹊径，在点Q处作，同样也有着异曲同工之妙． 【问题解决】 （1）请判断与有怎样的数量关系，并选择一名同学的解题思路，写出证明过程； 【类比运用】 （2）如图④，，反向延长的平分线，交直线于点F，点H在直线上，连接，若，，求的度数； 【变式探究】 （3）如图⑤，，平分，且，，请直接写出的度数． 3.（25-26七年级上·河北邯郸·期末）（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 4.（21-22七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，直线截、于点、，点是直线上的一个动点（点不与、重合），点在射线上． (1)当点在线段上时，如图（1），求证：． (2)当点在射线上时，如图（2），试猜想、、之间的数量关系：________（不要求说明理由）． (3)当点在射线上时，如图（3），试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 5.（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 6.（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，，点在之间，过作射线分别交直线于点，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若的平分线和的平分线交于点，交于， ①求度数； ②当时，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，设运动时间为秒，，当与三角形的一边垂直时，求出的值． 7.（25-26八年级上·广东河源·期末）如图1，，为直线上的点，和交于点． (1)若，则的度数是___________． (2)求证：． (3)如图2，平分，平分，若，试用含的代数式表示的度数． 8.（25-26七年级上·福建福州·期末）在数学活动课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，，且和直角三角形，， (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，在探究过程中组同学把图1中的直线向上移动，始终保持．并把的位置改变，发现，请说明理由； (3)如图3，组同学改变三角板的位置，将直角三角板的一边放在直线上，另一边在直线的下方．过点作射线，使，将图3中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数），求的值． 9.（18-19七年级下·浙江·月考）如图，已知，，且（为常数，且）． （1）求，的度数（用含的式子来表示）； （2）求的度数； （3）若，，，直线与直线交于点，求的度数． 10.（25-26七年级上·四川乐山·期末）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线，三角形是直角三角形，点C在直线n上，，，． 操作发现： （1）如图1，若，则=_______； 实践探究： （2）如图2，创新小组的同学把直线m向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值．在说明理由时，组内小乐说：“过点B作直线m的平行线进行等角转化．”请你写出这个定值，并说明理由（可以用小乐的方法，也可以用其它方法）； 拓展延伸： （3）如图3，缜密小组在图2的基础上作射线、，相交于点G，且，，求的度数． 11.（25-26八年级上·山西晋中·期末）【项目化学习】“玩转三角尺”． 【项目背景】：在数学实践活动课中，项目学习小组的同学们用一副三角尺进行数学探究活动，如下图，利用三角尺和三角尺进行了操作探究活动．（其中，，，）请你一起探究，完成以下任务． 任务一：如图1，项目学习小组的同学们将三角尺沿方向移动，得到，王丽发现此时，她的判断依据是：_________ 任务二：项目学习小组的同学们将这两个三角尺进行了如图2摆放，并过点E作直线a平行于边所在的直线b，且点A与点F重合，求的度数． 任务三：在图2的条件下，项目学习小组的同学们固定三角尺，将三角尺绕点C逆时针旋转，如图3，请你一起进行操作探究活动，在旋转过程中，当三角尺的边所在直线与所在直线平行时，直接写出满足条件的度数． 12.（25-26七年级·全国·假期作业）直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 13．（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $