专题02整式乘法中求参数六类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

专题02 整式的乘法中求参数问题六类题型 典例详解 类型一、整式乘法展开不含某项问题 类型二、整式乘法展开后无关问题 类型三、抄错看错问题 类型四、求完全平方公式展开式中的参数 类型五、多项式除法整除问题 类型六、多项式除多项式有余式问题 压轴专练 类型一、整式乘法展开不含某项问题 【典例1】（25-26七年级下·重庆·期中）若的结果不含项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·月考）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【变式1-2】（24-25七年级下·河南平顶山·月考）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【变式1-3】（21-22七年级下·全国·单元测试）已知与的积不含的项，也不含的项，求的值． 【变式1-4】（20-21七年级·全国·假期作业）多项式与多项式的乘积中，不含的项，也不含的项，求的值． 类型二、整式乘法展开后无关问题 【典例2】（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【变式2-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【变式2-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【变式2-3】（22-23七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 类型三、抄错看错问题 【典例3】（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）甲、乙两人分别计算．甲抄错a的符号，得到结果是，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是，问该题的正确结果是___________． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【变式3-2】（23-24八年级上·河南南阳·月考）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 【变式3-3】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）小明与小乐两人共同计算．小明抄错为，得到的结果为；小乐抄错为，得到的结果为．求原代数式中的a，b的值． 类型四、求完全平方公式展开式中的参数 【典例4】（25-26七年级下·安徽安庆·期中）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【变式4-1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 【变式4-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）若是一个完全平方式，则___________． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 【变式4-4】（25-26七年级下·广东茂名·期中）如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【变式4-5】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则____ ． 类型五、多项式除法整除问题 【典例5】（24-25八年级下·山东菏泽·月考）阅读下列材料： 因为，所以这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为． 回答下列问题： (1)根据上面的材料，猜想：多项式的值为，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？ (2)探求规律：一般地，如果关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式之间有何种关系？ (3)应用： ①已知能整除，求的值； ②已知能整除二次三项式，的二次项系数为，并且当时，多项式的值等于，求二次三项式． 【变式5-1】（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图 ， 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0， 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ； (2)已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； (3)已知能被整除，则 ； (4)如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【变式5-2】（21-22八年级下·山东枣庄·月考）先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． (1)类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； (2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 【变式5-3】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图： +， ． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为，能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为______ ； (2)已知能被整除，则 ______ ； (3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 类型六、多项式除多项式有余式问题 【典例6】（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【变式6-1】（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 【变式6-2】（21-22八年级上·福建厦门·期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）： ②用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止， 被除式＝除式×商式＋余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算除以的商式和余式，可以用竖式演算如图： 所以除以的商式为，余式为． （1）计算的商式为__________________，余式为__________． （2）能被整除，求a，b的值． 【变式6-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)请你帮小明求出多项式； (2)小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 1.（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知代数式 是一个完全平方公式的展开式，那么的值是_____． 2.（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为__________，余式为__________． 3.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值等于_______． 4.（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知与的积不含项，也不含项，求系数、的值． 5.（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 6.（22-23七年级下·四川巴中·期末）阅读以下问题的解答过程：若多项式能被整除，求常数a的值．解法如下： ∵二次三项式中最高次项是，已知因式中最高次项是x， 又∵， ∴另一因式的最高次项应为．因此，可设另一因式为（其中m是常数项）． 即得，．∴． 可得，．∴，． 仿照以上解题方法，解答以下问题：已知被整除，则k的值为________． 7.（20-21七年级下·江苏无锡·期中）甲、乙两人分别计算(3x＋a)(4x＋b)．甲抄错a的符号，得到结果是12x2＋17x＋6，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2＋7x－6，问： （1）a、b分别是多少？ （2）该题的正确答案是多少？ 8.（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在整理错题本时发现一道题： “试说明代数式的取值与a无关” 由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①；②；③中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答． (1)缺失部分为______（填序号）； (2)试说明上述代数式的值与a无关． 9．（25-26七年级下·四川成都·月考）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 10．（23-24八年级上·四川资阳·期末）若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式的乘法中求参数问题六类题型 典例详解 类型一、整式乘法展开不含某项问题 类型二、整式乘法展开后无关问题 类型三、抄错看错问题 类型四、求完全平方公式展开式中的参数 类型五、多项式除法整除问题 类型六、多项式除多项式有余式问题 压轴专练 类型一、整式乘法展开不含某项问题 【典例1】（25-26七年级下·重庆·期中）若的结果不含项，则a的值为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行化简，根据化简结果，得出的系数应为，解出的值即可． 【详解】解：原式 ， 若结果不含项， 即， 解得． 【变式1-1】（25-26七年级下·重庆·月考）已知的展开式中不含的一次项，且常数项是，则的值是（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】根据展开式不含一次项、常数项为求出和的值，再计算即可． 【详解】解：先展开原式并合并同类项：， 展开式中不含的一次项，且常数项为， ， 解得， ． 【变式1-2】（24-25七年级下·河南平顶山·月考）已知的展开式中不含项和项，求的值． 佳佳的解法如下： 解：， 展开式中不含项和项， 解得：， ， ． 请问佳佳的解法正确吗？如果不正确，请写出正确的解题过程． 【答案】佳佳的解法不正确，正确过程见解析． 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及结果中不含某项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据多项式乘多项式计算法则化简出结果，再根据展开式中不含项和项得项和项前的系数为，即可求出、的值，再将、的值代入原式即可求解． 【详解】解：佳佳的解法不正确，正确解答如下： ． 展开式中不含项和项， ， 解得：， ， ， ， ， ． 【变式1-3】（21-22七年级下·全国·单元测试）已知与的积不含的项，也不含的项，求的值． 【答案】 【分析】由题意得， ，由积不含的项，也不含的项，可得，计算求解的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意得， 积不含的项，也不含的项， ∴，解得， ∴． ∴的值为1． 【点睛】本题考查了多项式乘多项式，多项式的项，代数式求值，解二元一次方程组等知识．解题的关键在于正确的运算． 【变式1-4】（20-21七年级·全国·假期作业）多项式与多项式的乘积中，不含的项，也不含的项，求的值． 【答案】． 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则化简原式，令x4和x3的系数为0求得a、b值，即可求解． 【详解】解： ． ∵两多项式乘积中不含的项，也不含的项， ∴①，②， 联立①②，解得，， ∴． 【点睛】本题考查多项式乘以多项式运算法则、代数式求值、解二元一次方程组，解答的关键熟练掌握多项式中不含某一项时，只需这一项系数为0即可． 类型二、整式乘法展开后无关问题 【典例2】（25-26七年级上·河南安阳·期末）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值． 通常的解题思路是：把，看作字母，看作系数，合并同类项，具体解题过程如下： 原式 ∵代数式的值与的取值无关， ∴， 解得： 【理解应用】 (1)若关于的多项式的值与的取值无关，则的值为 ； (2)已知，，且的值与的取值无关，求，的值； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出相关的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，故将多项式整理为，令系数为0，即可求出； （2）先计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解：， ∵其值与的取值无关， ∴， 解得． 故答案为：． （2）解： ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，． 【变式2-1】（25-26七年级上·四川成都·期末）【知识回顾】 已知代数式的值与x的取值无关，求y的值． 解题方法：把x看作字母，y看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以， 即． 【理解运用】 (1)若关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)已知的值与x无关，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式加减运算中的无关型问题： （1）把x看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解； （2）先将所给整式化简，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解：， 的值与x的取值无关， ， ； （2）解： ， 整式的值与x无关， ， ． 【变式2-2】（25-26八年级上·吉林长春·期末）【知识回顾】 七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_____； （2）已知，，且的值与x无关，求y的值． 【能力提升】 （3）7张如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，直接写出a与b的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及由题意得出关于y的方程是解题的关键． （1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，令x系数为0，即可求出m； （2）根据整式的混合运算顺序和法则化简可得，根据其值与x无关得出，即可得出答案； （3）设，由图可知 ，即可得到关于x的代数式，根据取值与x可得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵多项式的值与x的取值无关 ∴ 解得： 故答案为：； （2）∵，， ∴ ∵的值与x无关 ∴，即； （3）由图可知 ， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变． ∴取值与x无关， ∴ ∴． 【变式2-3】（22-23七年级下·湖南常德·期中）知识回顾：七年级学习代数式求值时，遇到过这样一类题“代数式 的值与的取值无关，求的值”，通常的解题方法是：把看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． 理解应用： (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求值； (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案； （2）先把进行化简，然后计算，结合多项式的值与的取值无关，即可求出答案． 【详解】（1）解： ，               其值与的取值无关， ，                           解得：，                       即：当时，多项式的值与的取值无关； （2）解：，，                                ；                                   的值与无关， ，即． 【点睛】本题考查了整式的加减乘混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 类型三、抄错看错问题 【典例3】（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）甲、乙两人分别计算．甲抄错a的符号，得到结果是，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是，问该题的正确结果是___________． 【答案】 【分析】先“将错就错”进行求解a、b的值，再将a、b值代入原式即可求解． 【详解】解：由题意得： ， ， ∴，解得：； ∴a、b的值分别为、3； ∴， ∴该题的正确答案是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)若整式中的的符号不抄错，第二个多项式中的系数没抄漏，请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解：甲抄错了的符号的计算结果为：， 故：对应的系数相等，，； 乙漏抄了第二个多项式中的系数，计算结果为：． 故对应的系数相等，，， ， 解得：， ； （2）解：由（1）可知，， 正确的计算结果： ． 【变式3-2】（23-24八年级上·河南南阳·月考）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：，由于甲抄错为，得到的结果为；而乙抄错为，得到的结果为． (1)你能否知道式子中的a，b的值各是多少？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按照甲、乙两人抄的错误的式子进行计算，得到，，解关于的方程组即可求出a、b的值； （2）把a、b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）根据题意可知，甲抄错为，得到的结果为， 那么， 可得 乙抄错为，得到的结果为， 可知 可得， 解关于的方程组，可得，； （2）正确的式子： 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法以及二元一次方程组，掌握多项式乘多项式运算法则是正确解决问题的关键． 【变式3-3】（21-22七年级下·浙江宁波·期中）小明与小乐两人共同计算．小明抄错为，得到的结果为；小乐抄错为，得到的结果为．求原代数式中的a，b的值． 【答案】 【分析】根据小明抄错了第一个多项式中的a符号，得出的结果为，可知，于是；再根据小乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为，可知常数项是，可知，可得到，解关于的方程组即可求出a、b的值． 【详解】解：根据题意可知，由于小明抄错了第一个多项式中的a的符号，得到的结果为， ∴， 可得， 小乐由于漏抄了第二个多项式中的x的系数，得到的结果为， ∴， 即， 可得， 解关于的方程组，可得． 【点睛】本题主要是考查多项式的乘法，解二元一次方程组，根据题意得出a、b的方程组，是解题的关键． 类型四、求完全平方公式展开式中的参数 【典例4】（25-26七年级下·安徽安庆·期中）若是完全平方式，则的值为（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，根据完全平方式首末项确定中间项的系数，列方程计算得到的值． 【详解】解：∵完全平方公式为， 原式 ∴中间项系数满足， 分两种情况计算：当时， 解得：； 当时， 解得：； ∴的值为或． 【变式4-1】（25-26七年级下·甘肃白银·期中）已知多项式是完全平方式，则m的值为（　　） A．9 B．9或 C． D．9或 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的形式列出关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】∵多项式是完全平方式，完全平方公式为 ∴对应公式可得，，，中间项满足 整理得 分两种情况计算： 当时，，解得 当时，，解得 ∴的值为或． 【变式4-2】（25-26七年级下·四川达州·期中）若是一个完全平方式，则___________． 【答案】或 【分析】根据完全平方式的形式是，先确定出、对应的值，即可求出的值． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， ， 解得：或． 【变式4-3】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若一个关于x的多项式的完全平方是，则的值为____． 【答案】25或 【分析】根据完全平方式的结构特征作答，记住完全平方式的特征是解题的关键，形如这样的式子是完全平方式． 【详解】解：由于多项式是完全平方式，且常数项， 因此该多项式可以写成的形式， 因为， 通过比较与的一次项系数， 可得， 解得或． 【变式4-4】（25-26七年级下·广东茂名·期中）如果关于x的多项式是一个完全平方式，那么m的值为_______． 【答案】10或 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，掌握完全平方公式的形式是解题关键，根据完全平方公式的结构，对比多项式系数即可求解m的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴中间项系数满足，即或， 解得或． 【变式4-5】（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式，则____ ． 【答案】7或 【分析】根据完全平方公式的结构特征进行计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x、y的完全平方公式的展开式， ∴， 解得或． 类型五、多项式除法整除问题 【典例5】（24-25八年级下·山东菏泽·月考）阅读下列材料： 因为，所以这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为．另外，当时，多项式的值为． 回答下列问题： (1)根据上面的材料，猜想：多项式的值为，多项式的因式、多项式能被整除，这三者之间存在着一种什么样的联系？ (2)探求规律：一般地，如果关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式之间有何种关系？ (3)应用： ①已知能整除，求的值； ②已知能整除二次三项式，的二次项系数为，并且当时，多项式的值等于，求二次三项式． 【答案】(1)此多项式能被整除；若，则此多项式的值为； (2)能被整除； (3)①；②． 【分析】（1）根据题意可知若，所以能被整除，且当时，多项式的值为，从而求解； （2）由（1）得出的关系，可得到多项式能被整除，至此可求； （3）可根据第（1）问得到的规律列出关于的方程，从而确定的值； 因为能整除二次三项式，说明多项式有一个因式为，因为当时，，说明多项式有一个因式为，据此得到． 此题考查了整式的除法，是一道推理题，要掌握好整式的除法法则是解题的关键． 【详解】（1）由多项式有因式， 所以此多项式能被整除； 若，则此多项式的值为； （2）由（1）可知，满足三个条件中的一个，那么它必定具备另外两个条件， 即当时，多项式的值为，能被整除； （3）因为能整除， 所以当时，， 即当时，， 解得； 因为能整除二次三项式， 所以多项式有一个因式为． 又因为当时，多项式的值等于， 所以多项式有一个因式为， 所以． 【变式5-1】（2024七年级下·江苏·专题练习）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法．多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图 ， 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式．若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如： 余式为0， 能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为 ； (2)已知关于的二次多项式除以，商式是，余式是，求这个多项式； (3)已知能被整除，则 ； (4)如图2，有2张卡片，3张卡片，1张卡片，能否将这6张卡片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)能，一边长为的长方形，另一边长为 【分析】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． （1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）根据被除式除式商式余式进行计算，即可求出多项式； （3）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （4）根据题意，得到6张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （2）解：关于的二次多项式除以，商式是，余式是， 该二次多项式为：， 即多项式为：； （3）解：列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：3； （4）解：能， 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，3张卡片，1张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为0， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【变式5-2】（21-22八年级下·山东枣庄·月考）先阅读下列材料，然后解题： 材料：因为，所以，即能被整除．所以是的一个因式，且当时，． (1)类比思考，所以，即能被______整除，所以______是的一个因式，且当x＝______时，； (2)拓展探究：根据以上材料，已知多项式能被整除，试求m的值． 【答案】(1)或；或；−2或−3； (2)m＝−5． 【分析】（1）根据材料结合整式的乘除运算可直接得出答案； （2）根据整式除法的运算法则结合材料可知，当时，，即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴能被或整除， ∴或是的一个因式，且当x＝－2或－3时，； 故答案为：或；或；−2或−3； （2）∵多项式能被整除， ∴是的一个因式， ∴当时，，即， ∴m＝−5． 【点睛】本题主要考查了整式的乘除运算，正确理解材料中的方法并能灵活运用是解题的关键． 【变式5-3】（22-23七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，得出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法叫类比法多项式除以多项式可以类比于多位数的除法进行计算． 如图： +， ． 即多项式除以多项式用竖式计算，步骤如下： ①把被除式和除式按同一字母的指数从大到小依次排列（若有缺项用零补齐）． ②用竖式进行运算． ③当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式若余式为零，说明被除式能被除式整除． 例如：余式为，能被整除． 根据阅读材料，请回答下列问题： (1)多项式除以多项式，所得的商式为______ ； (2)已知能被整除，则 ______ ； (3)如图，有张卡片，张卡片，张卡片，能否将这片拼成一个与原来总面积相等且一边长为的长方形？若能，求出另一边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)能，另一边长为 【分析】（1）列竖式进行计算即可得到答案； （2）列竖式计算，根据整除的意义，利用对应项的系数对应倍数即可得到答案； （3）根据题意，得到张卡片的总面积为，列竖式计算，根据能被整除，即可得到答案． 【详解】（1）解：列竖式如下： 多项式除以多项式，所得的商式为， 故答案为：； （2）列竖式如下： 能被整除， ， 解得：， 故答案为：； （3）解：能，理由如下： 根据题意，卡片的面积是，卡片的面积是，卡片的面积是， 张卡片，张卡片，张卡片的总面积为， 列竖式如下： 余式为， 能被整除，商式为， 可以拼成与原来总面积相等且一边长为的长方形，另一边长为． 【点睛】本题考查了利用竖式计算整式的除法，解题关键是注意同类项的对应，理解被除式除式商式余式． 类型六、多项式除多项式有余式问题 【典例6】（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)余式是，商是7 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即余式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 【变式6-1】（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：2； （2）解： 故答案为：；； （3）解： ∴， 故答案为： 【变式6-2】（21-22八年级上·福建厦门·期中）【阅读材料】多项式除以多项式，可用竖式进行演算，步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐（或留出空白）： ②用被除式的第一项去除被除式第一项，得到商式的第一项，写再被除式的同次幂上方； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），从被除式中减去这个积； ④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止， 被除式＝除式×商式＋余式，若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 例如：计算除以的商式和余式，可以用竖式演算如图： 所以除以的商式为，余式为． （1）计算的商式为__________________，余式为__________． （2）能被整除，求a，b的值． 【答案】（1），-41；（2）a=-15，b=10． 【分析】（1）根据整式除法的竖式计算方法，整体进行计算即可； （2）根据整式除法的竖式计算方法，要使x3-x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式为0，可以得到a、b的值． 【详解】解：（1） 故答案为：，-41； （2）由题意得： ∵能被整除， ∴a+10=-5，b=10， 即：a=-15，b=10． 【点睛】本题主要考查了考查整式除法的意义和方法，理解除法的竖式计算方法是正确解答的前提． 【变式6-3】（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）学习了《整式的乘除》这一章之后，小明联想到小学除法运算时，会碰到余数的问题，那么多项式除法类比着也会出现余式的问题．例如，如果一个多项式（设该多项式为）除以的商为，余式为，那么这个多项式是多少？ 他通过类比小学除法的运算法则： 被除数除数商余数，推理出多项式除法法则：被除式除式商余式． 请根据以上材料，解决下列问题： (1)请你帮小明求出多项式； (2)小明继续探索，已知关于的多项式除以的商为，余式为，请你根据以上法则，分别求出、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列出算式，求出即可； （2）根据题意列出算式，再根据多项式相等求出即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ； （2）解：根据题意得， ， 所以，． 1.（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知代数式 是一个完全平方公式的展开式，那么的值是_____． 【答案】7或 【分析】完全平方公式的展开式是，根据a的值确定一次项系数． 【详解】解：由题意得， ， ， 或． 2.（23-24七年级下·浙江金华·期末）在求多项式除以多项式时，可类似于正整数除法的“列竖式”得到商式和余式，例如：通过“列竖式”可求得的商式为，余式为22，如图所示．运用此方法，那么的商式为__________，余式为__________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了整式的除法运算，仿照条件中的方法，列出竖式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示： 的商式为，余式为3， 故答案为：，3． 3.（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若是完全平方式，则m的值等于_______． 【答案】或． 【分析】根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴， 解得或． 4.（23-24八年级上·河南安阳·期中）已知与的积不含项，也不含项，求系数、的值． 【答案】，． 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，首先利用多项式乘法法则计算出再根据积不含的项，也不含的项，可得含的项和含的项的系数等于零，即可求出与的值，关键是掌握多项式与多项式相乘的法则． 【详解】解： ， ∵积不含的项，也不含的项， ∴，， 解得：，， ∴系数、的值分别是，． 5.（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 6.（22-23七年级下·四川巴中·期末）阅读以下问题的解答过程：若多项式能被整除，求常数a的值．解法如下： ∵二次三项式中最高次项是，已知因式中最高次项是x， 又∵， ∴另一因式的最高次项应为．因此，可设另一因式为（其中m是常数项）． 即得，．∴． 可得，．∴，． 仿照以上解题方法，解答以下问题：已知被整除，则k的值为________． 【答案】 【分析】判断出另一因式为二次三项式，设另一因式为，利用多项式乘多项式法则去括号，列出方程即可求解． 【详解】解：∵多项式的最高次项是，因式中最高次项是， 又∵， ∴另一因式的最高次项应为．可设另一因式为（其中m、n是常数项）， ∴，即， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查了多项式的乘法，掌握乘法公式以及多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 7.（20-21七年级下·江苏无锡·期中）甲、乙两人分别计算(3x＋a)(4x＋b)．甲抄错a的符号，得到结果是12x2＋17x＋6，乙漏抄第二个括号中x的系数，得到结果是3x2＋7x－6，问： （1）a、b分别是多少？ （2）该题的正确答案是多少？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意可“将错就错”进行求解a、b的值； （2）由（1）可直接进行求解． 【详解】（1）由题意得： ， ， ∴，解得：； ∴a、b的值分别为-2、3； （2）由（1）可得： ， ∴该题的正确答案是． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 8.（25-26八年级上·重庆·期中）两个多项式相除，可以先把这两个多项式都按照同一字母降幂排列，然后再仿照两个多位数相除的计算方法用竖式进行计算．例如，仿照计算如下： 因此．阅读完上述材料后，解决下列问题： (1)计算，商式是______，余式是______； (2)试判断能否被整除，说明理由（请用材料的竖式解答）； (3)利用上述方法解决：若多项式能被整除，求的值． 【答案】(1)，1 (2)能被整除，理由见解析 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，理解题中求解方法是解答的关键． （1）仿照题干求解方法求解即可； （2）根据题干求解方法，得到余式为0可得结论； （3）根据题干求解方法和余式为0得到对应系数关系，，进而求得a、b值，代值求解即可． 【详解】（1）解：（1）的商式是，余式是1； 故答案为：，1； （2）解：能被整除，理由如下： （3）解：， 若多项式能被整除，如图， 所以，， 解得，， ∴． 8．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）小明同学在整理错题本时发现一道题： “试说明代数式的取值与a无关” 由于时间久远题干部分内容及答案已经缺失，请你从3个选项：①；②；③中选择一项填入缺失部分，使得代数式的取值与a无关，并帮助他完成作答． (1)缺失部分为______（填序号）； (2)试说明上述代数式的值与a无关． 【答案】(1)③ (2)见解析 【分析】本题主要考查了乘法公式，熟知平方差公式和完全平方公式是解题的关键． （1）分别把①，②，③，代入到缺失的位置，利用乘法公式把所得代数式先去括号，然后合并同类项化简，看最后的结果的取值是否与a的值有关即可； （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）解： ， ∴填入①时，原代数式的结果的取值与a的值有关，故①不符合题意； ， ∴填入②时，原代数式的结果的取值与a的值有关，故②不符合题意； ， ∴填入③时，原代数式的结果的取值与a的值无关，故③符合题意； 故答案为：③； （2）证明： ， ∴原代数式的结果的取值与a的值无关． 9．（25-26七年级下·四川成都·月考）已知的展开式中不含的一次项，常数项是． (1)求，的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将乘式展开，以为主元进行合并同类项，不含的一次项，即一次项系数为零，结合常数项是，求出，的值； （2）先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵展开式中不含的一次项，常数项是， ∴，， ∴，； （2）解：， ， ， ， ， 当，时， 原式， ， ． 10．（23-24八年级上·四川资阳·期末）若的展开式中不含的二次项和一次项． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的乘法，平方差公式的应用． （1）根据整式的乘法运算法则展开，再根据展开式中不含的二次项和一次项，即整理后该项系数为零，据此建立等式求出、的值，将、的值代入中计算，即可解题． （2）把原式化为，再利用平方差公式逐步计算即可解题． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含的二次项和一次项， ∴， 解得：， ∴． （2）解： ， ， ， ， 上式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $