第3章 整式乘法（单元复习）压轴题专项训练 2025-2026学年浙教版七年级数学下册

**基本信息** 以幂的运算、整式乘除、乘法公式为核心，通过6大题型系统构建“概念-运算-应用”三层训练体系，突出公式双向应用与几何直观结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识要点|3要点15公式|公式双向应用、符号规则、字母代换|从幂运算到整式乘除再到乘法公式，层层递进| |题型训练|6类20+例题|逆运算转化、参数系数法、图形面积代数化|基础运算→综合应用→创新拓展，覆盖运算能力与推理意识|

整式乘法复习 【知识要点】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 要点三、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型1：同底数幂的运算与逆运算 1.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法的逆用，根据同底数幂乘法的逆运算法则把y表示为，进而得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则________． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是________． 【答案】 3 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用， （1）根据定义可得，由即可得出． （2）由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：（1）由定义可知即， ∵， ∴， （2）由定义可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为3；． 3.（24-25七年级下·浙江湖州·期末）已知，，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察发现四个数的指数都是17的倍数，利用幂的乘方化为指数相同的数进而比较即可求解． 【详解】解：∵，， ， ， ∵， ∴最大， 故选B． 【点睛】本题考查了幂的乘方以及有理数的乘方运算的意义，化为指数相同的数是解题的关键． 题型2：整式乘法展开求参数 1.（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握，以及明白结果不含某项可得，则该项系数为0．利用多项式乘多项式的法则进行运算，再根据结果不含x的二次项可得，x的二次项系数为0，进行求解即可． 【详解】解： ， 由于结果中不含x的二次项， ∴， ∴． 故选：A． 2.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且常数项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则得到，即可得到． 【详解】解：∵多项式与的乘积展开式中不含的二次项，常数项为， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运算法则，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 【答案】3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式．根据展开式中含项的系数为3，求得的值即可． 【详解】解：∵ ， ∵代数式中含项的系数为3， ∴， 解得， 故答案为：3． 4.（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根据完全平方式的结构，中间项为平方项两数乘积的2倍或倍，从而建立方程求解，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． 【详解】解：多项式是完全平方式，可表示为， 比较中间项系数得：，即， 解得：或， 因此，的值为5或1， 故选：A． 题型3：知二求二 1.（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，分解因式，设，则，将原方程转化为关于的方程，通过代数变形直接求解的值即可得到答案． 【详解】解：设，则， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴， 故选D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为_______． 【答案】36 【分析】本题考查完全平方公式，将两式相加后利用完全平方公式即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴两式相加得：， ∴， 故答案为：36． 题型4：整式除法 1.（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 【答案】(1)， (2)余式是，商是7 (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）由，得，用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由题可得： 故答案为：，； （2）解：竖式如下： 即余式是，商是7； （3）解：∵， ∴， 竖式如下： ∴． 2.（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 【答案】(1)2， (2)， (3) 【分析】本题考查整式的混合运算，解题的关键是读懂题意，能用竖式计算多项式除以多项式． （1）用竖式计算即可得到答案； （2）用竖式计算即可得到答案； （3）用竖式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： 故答案为：2； （2）解： 故答案为：；； （3）解： ∴， 故答案为： 题型5：整式乘法与图形综合 1.（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了整式乘法混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．设，得出，，再求出，将代入求值即可． 【详解】解：设， 则 ， ， ∴ ， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个大长方形由4个正方形①、②、③、④和1个小长方形⑤组成． 已知大长方形面积等于48，正方形④的面积等于1，则正方形①与正方形③的面积之和为_______． 【答案】 【分析】本题考查用代数式表示实际问题中的数量关系,完全平方公式，代数式求值．设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据大长方形面积等于48，可找出，进而即可得出结论． 【详解】解：设正方形③的边长为x，则正方形②的边长为，正方形①的边长为，根据题意得：， 整理得：， ∴， ∴正方形①与正方形③的面积之和为， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，正确理解题意，分析图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，设长方形的长是，宽是，表示出覆盖的面积为，再表示出未覆盖的面积为，利用正方形的面积为，构成等式，化简可得到结果． 【详解】解：设长方形的长是，宽是， 正方形的边长为， ，， ， 两个长方形覆盖的面积为， ， 两个长方形覆盖的面积为， ， 即， ， ， ， ， ， 长方形的周长的， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，设，则可得到，，据此根据长方形面积计算公式求出，，再根据，求出的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 5.（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式的相关计算法则是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）设，分别求出，进而求出，再由的值始终保持不变进行求解即可． 【详解】（1）解： 由题意得： ； （2）解：设，则 的值与x无关， ． 6.（24-25七年级下·浙江衢州·期末）用图①所示的4张边长为m，n的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图②所示的大正方形，中间阴影部分是小正方形． 【字母表示】 （1）用含m，n的代数式表示大正方形与小正方形的面积之差； 【观察归纳】 （2）观察图②，写出，，之间的等量关系； 【问题解决】 （3）若，，求的值． 【答案】（1）或；（2）；（3）． 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）用代数式表示大正方形与小正方形的面积差即可； （2）根据（1）中两种方法所表示的面积相等对称等式即可； （3）利用（2）的结论代入计算即可． 【详解】解：（1）大正方形的边长为，因此面积为，小正方形的边长为，因此面积为， 所以大正方形与小正方形的面积之差； 由拼图可知，大正方形与小正方形的面积之差就是4个图①的面积，即， 因此大正方形与小正方形的面积之差为或； （2）由（1）可得， 即，，之间的等量关系为； （3），， ． 7.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是________． 【答案】7 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设，根据正方形的周长为8，可推出，根据三角形的面积是3，推出，再由线段中点的定义得到，根据列式求解即可． 【详解】解；设， ∵正方形的周长为8， ∴， ∴； ∵三角形的面积是3， ∴，即， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 题型6：新定义与规律探究 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 【答案】 【分析】根据资料提示确定展开式中与的指数关系，再确定系数的关系，由此即可求解． 【详解】解：根据材料提示可知，，其中的指数从逐次递减直到次数为，的指数从逐次递增直到次数为， ∴， ∴， ∴含项的系数是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查定义新运算，数字规律，理解题目中数字规律，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了整式乘法的计算能力．根据题中“三乘”对应的展开式进行代入求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴m的值是24， 故选：D． 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 【答案】(1)成立，过程见解析； (2)①0；②； (3)． 【分析】本题考查了多项式乘法的系数规律探究及应用，解题的关键是理解并运用“系数之和的乘积相等”“首末项系数乘积对应相等”的规律，简化计算过程． （1）类比探究：先展开多项式，再分别验证系数之和、首末项系数的规律； （2）基础应用①：利用“系数之和的乘积”直接计算； 基础应用②：通过首末项系数对应关系求参数，再验证中间项； （3）拓展应用：根据首末项系数列方程求p，再代入中间项系数关系求q． 【详解】（1）展开计算： ． 验证规律： 左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边右边；． 左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为，左边右边． （2）①∵左边两个多项式各项系数之和的乘积为， ∴故展开式各项系数之和为0； 故答案为：0． ②由首项系数乘积：，得； 由末项系数乘积：，得； 验证中间项：（与右边中间项系数一致）， ∴， 故答案为：． （3）依据“左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和”、“左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数”这两条规律列方程组：整理得： 解得． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 【答案】（1）；（2）；（3）系数为80 【分析】本题考查了图形的数字规律： （1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； （2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解； （3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解． 【详解】解：（1）； （2），第三项的系数为； ，第三项的系数为； ，第三项的系数为， ，第三项的系数为， ……， ，第三项的系数为； （3）由（2）得：中含的项的系数是． 6．（24-25七年级下·浙江·期末）回答下列问题： （1）填空： ________；________；_________． （2）猜想：____________．（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：（结果保留乘方） ①； ②． 【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①211-2；② 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【详解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2； （a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3； （a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4； （2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn； （3）①原式=210+29+28+…+23+22+2 =（2-1）•（210+29•1+28•12+…+23•16+22•18+2•19+110）-110 =211-111-1 =211-2； ② = = = = = 【点睛】此题考查了数字的规律和多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键． . 7.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． (1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． (2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． (3)在（2）的条件下，若，当时，求的值． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【分析】本题考查新定义，代数式的运算，以及利用完全平方公式的变形求值： （1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）根据新定义，进行求解即可； （3）将值代入求出的值，再利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：对于①，将互换后，得到，不符合题意； 对于②，将互换后，得到，符合题意； 对于③，将互换后，得到，符合题意； 对于④，将互换后，得到，符合题意； 故答案为：②③④ （2）∵是对称式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由题意，得： ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江、小美一起讨论问题时发现，定义一种运算就要研究它的运算律．对于运算： 实数a，b，规定．小滨通过计算，，发现． 小江：该运算满足． 小美：该运算满足． 小江、小美同学的说法是否正确？请说明理由． 【答案】小江的说法正确，理由见解析． 【分析】本题主要考查了整式混合运算的应用，解题的关键是正确理解新运算法则，准确计算．根据新定义运算分别计算进行判断即可． 【详解】解：小江的说法正确，理由如下： 因为 ． 所以． 小美的说法错误，理由如下： ． ． 所以． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)8 (2)2 【分析】题目主要考查新定义运算，负整数指数幂，有理数的混合运算，理解题意是解题关键． （1）根据题意代入计算求解即可． （2）首先根据得出，接着变形为，然后整理原式变形求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 温故知新 1.（25-26七年级下·浙江台州·阶段检测）计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为____________________． 【答案】/0.25 【分析】本题考查多项式乘多项式不含某一项的问题．先根据多项式乘多项式法则进行展开，再根据展开式中不含x项，得到x项的系数为0，即可求出a的值． 【详解】解： ， ∵展开式中不含x项， ∴， 解得， 故答案为：． 3.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是_______． 【答案】7或 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，解题的关键是明确完全平方公式的形式． 根据完全平方公式的形式，确定出一次项系数与常数项的关系，进而求出的值． 【详解】∵多项式是一个完全平方式， ∴， 即， 解得：或， 故答案为：7或． 4.（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【思路点拨】 本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解．由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【解题过程】 解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 5.（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的乘法与图形的面积，根据阴影部分面积等于两个正方形的面积加上1个三角形的面积，减去空白三角形的面积，即可求解． 【详解】解：阴影部分面积等于 故选：C． 7.（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 【答案】 【分析】根据公式，令，代入公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 令， 得 ， ， ， ∴m的值是． 8.已知，，，则　　． 【答案】：3; 【解析】：解：，，， ，，， 则原式． 答案：3． 9.（24-25七年级下·浙江·期末）（1）填空： _________； __________； __________________． （2）猜想：______（其中为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算： ①； ②． 【答案】（1）a2-b2；a3-b3；a4-b4；（2）an-bn；（3）①4094；② 【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）利用得出的规律将原式变形，计算即可求出值． 【详解】解：（1）（a-b）（a+b）=a2-b2； （a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3； （a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4-b4； （2）猜想：（a-b）（an-1+an-2b+…+abn-2+bn-1）=an-bn； （3）① = = = = =4094； ② = = = = = = 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 【答案】(1)该住宅的面积 (2)购买地砖至少需要花费4500元 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，有理数乘法的应用，理解题意并正确列式是解题关键． （1）根据图形列式计算即可； （2）先根据卫生间的面积求出，再计算出卧室以外的面积，乘以地砖的价格求解即可． 【详解】（1）解： 即该住宅的面积； （2）解：由图形可知，卫生间的面积为， 卫生间的地面面积为， ， ， 卧室1的面积为， 卧室2的面积为， 卧室以外的面积为， （元）． 答：购买地砖至少需要花费4500元． 11.（25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 【答案】(1) (2)①8；② (3) 【分析】（1）用两种方法表示出阴影部分的面积即可得出结果； （2）利用平方差公式进行计算即可； （3）逆用公式，进行计算即可． 【详解】（1）解：由图2可知，阴影部分的面积为； 由图1可知，阴影部分的面积为； 故可得：； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：原式 ； （3）解：原式 ． 12.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如 图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 13.（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是__________； (2)若，则__________； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见详解， (2)16 (3)17 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形的面积公式、梯形的面积公式． （1）根据题意，方法一：阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，列出代数式即可；方法二：阴影部分的面积正方形的面积长方形的面积小长方形的面积，代入字母求出代数式即可； （2）根据（1）代入数据计算即可； （3）根据题意，延长交于点H，设正方形的边长为x，正方形的边长为，两个正方形的面积和是47，得出方程，根据 ，列出代数式，求出阴影部分面积即可． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分的面积： 方法二：阴影部分的面积： 故答案为： （2）解：若， （3）解：如图：延长交于点H 设正方形的边长为x，正方形的边长为， 得， ， ， 即， ， 即 答：图中阴影部分的面积是17． 14.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已 知M是的中点，点P在线段 上，分别以，为边，作正方形和正方形，设，．    (1)如图1，用关于a，b的代数式表示正方形和正方形的面积之差． (2)如图2，连结，，若 ，求四边形的面积， (3)如图3，连结，，，若正方形 和正方形  的面积之和为50， 四边形的面积为24，求的面积． 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握两个公式是解题的关键． （1）结合所给的已知条件先求出两个正方形的边长，从而计算出它们各自的面积，从而求出两正方形的面积之差； （2）根据题意得出 ，再代入即可求解． （3）根据（2）可得，正方形 和正方形的面积之和为，根据正方形 和正方形的面积之和为50， 四边形的面积为24，得出，，即可得，，根据完全平方公式得出，，再根据 即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点，， ， ∵四边形和四边形是正方形， ，， 令正方形和正方形的面积之差为， ． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：根据（1）（2）可得正方形和四边形的面积之差为，， 正方形 和正方形的面积之和为， ∵正方形 和正方形的面积之和为50， 四边形的面积为24， ∴，， ∴，， ∴，， ∴（负值已舍去），（负值已舍去）， ∴ ． 15.（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，则______ ； 【类比应用】 (2)若关于的方程满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用完全平方公式的变形，代入已知的和的值计算； （2）先由方程变形得到，再利用完全平方公式变形代入求值。 【详解】（1）解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以； （2）解：∵，且， ， ， 由完全平方公式可得：，， ， ∵， 16.通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）代数式的最大值为： ； （2）若与，判断的大小关系，并说明理由； （3）已知：，，求代数式的值． 【思路点拨】 本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、完全平方公式的应用，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （2）先表示出，然后由完全平方式的非负性可得，由此即可得解； （3）由完全平方公式可得，代入可得，然后由完全平方式的非负性可得，，求出，代入进行计算即可． 【解题过程】 （1）解：， 当时，由最大值，为， 代数式的最大值为， 故答案为：； （2）解：，， ， ，， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 17.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 【答案】：（1）; （2）155；（3）9；（4）42； 【解析】：解：（1）大正方形的面积， 又大正方形的面积， ． 答案：． （2）由（1）得， ，， ， 答案：155． （3）， ，，， ， 答案：9． （4）由图可知，， ， 将，代入， 得原式． 阴影部分的面积为42． 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式乘法复习 【知识要点】 要点一、幂的运算 1.同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 5.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 特别说明：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 要点二、整式的乘法和除法 1.单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 2.单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). 3.多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. 4.单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. 5.多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 要点三、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 特别说明：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. 2. 完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 题型1：同底数幂的运算与逆运算 1.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，若用含的代数式表示，则__________． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）规定：若实数x，y，z满足，则记作． (1）根据题意，，则________． (2）若记，，则a，b，c三者之间的关系式是________． 3.（24-25七年级下·浙江湖州·期末）已知，，，，这四个数中，最大的数是（    ） A． B． C． D． 题型2：整式乘法展开求参数 1.（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知a，b是常数，若化简的结果中不含x的二次项，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 2.（24-25七年级下·浙江宁波·期末）多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且常数项为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知代数式中含项的系数为3，则n的值为________． 4.（24-25七年级下·浙江台州·期末）若多项式是完全平方式，则的值为（   ） A．5或1 B． C．5 D．2 题型3：知二求二 1.（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）若，则的值是（ ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若，，则的值为_______． 题型4：整式除法 1.（24-25七年级下·河北保定·期中）阅读材料 我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算．可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． ∵余式为0，∴可以整除． 解决问题 (1)请在竖式的两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)用竖式计算求的余式和商； (3)若多项式，则______． 2.（24-25八年级上·北京·期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，例如：计算，可用竖式除法． 步骤如下： ①把被除式、除式按某个字母降幂排列，并把所缺的项用零补齐； ②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项； ③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），再把两式相减； ④把相减所得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止． 被除式=除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除． 余式为0，可以整除． 请根据阅读材料，回答下列问题（直接填空）： (1)请在两个方框内分别填入正确的数或式子； (2)多项式除以商式为______，余式为______； (3)多项式的一个因式是，则该多形式因式分解的结果为______． 题型5：整式乘法与图形综合 1.（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）图1是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，图2是把两个边长为的正方形纸片和一个边长为的正方形纸片放置在长方形内，阴影部分是未被这三张正方形纸片覆盖的部分．设图1阴影部分面积为，图2阴影部分面积为．若，，则________（用含m的代数式表示）． 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）一个大长方形由4个正方形①、②、③、④和1个小长方形⑤组成． 已知大长方形面积等于48，正方形④的面积等于1，则正方形①与正方形③的面积之和为_______． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）在一个边长为的正方形内放置两个形状和大小相同的长方形，若两个长方形重叠部分的面积为，正方形内未被两个长方形盖住部分的面积之和为（阴影部分的面积之和），若，则被放置的长方形的周长是______． 4．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是______． 5.（24-25七年级上·上海浦东新·期中）学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求m的值”，通常的解题方法是：把看作字母，m看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即原式，所以，则． (1)若多项式的值与x的取值无关，求a值； (2)5张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设左上角的面积为，右下角的面积为，当的长变化时，发现的值始终保持不变，请求出a与b的数量关系． 6.（24-25七年级下·浙江衢州·期末）用图①所示的4张边长为m，n的长方形纸片，无重叠、无缝隙地拼成图②所示的大正方形，中间阴影部分是小正方形． 【字母表示】 （1）用含m，n的代数式表示大正方形与小正方形的面积之差； 【观察归纳】 （2）观察图②，写出，，之间的等量关系； 【问题解决】 （3）若，，求的值． 7.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是________． 题型6：新定义与规律探究 1．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）． … 请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是______． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）小聪观察等式（按降幂排序），发现如下规律： ①左边两个多项式各项系数之和的乘积等于右边多项式各项系数之和： 左边，右边，左边=右边； ②左边两个多项式首项系数的乘积等于右边多项式的首项系数： 左边，右边为3，左边=右边： 左边两个多项式末项系数的乘积等于右边多项式的末项系数： 左边，右边为2，左边=右边． (1)类比探究： 请通过展开计算，判断规律（1）和规律（2）是否成立；（类比小聪的表述写出必要的过程） (2)基础应用： 请根据上述规律填空： ①若m，n为常数，则的展开式中各项系数之和为__________； ②若t，r为常数，满足，则__________； (3)拓展应用： 若p，q为常数，且，请用上述发现规律列方程（组）求p，q的值． 5．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 6．（24-25七年级下·浙江·期末）回答下列问题： （1）填空： ________；________；_________． （2）猜想：____________．（其中为正整数，且）； （3）利用（2）猜想的结论计算：（结果保留乘方） ①； ②． 7.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义：代数式中只含有两个字母（如x，y），若把其中的一个字母（x）均换成另一个字母（y），同时另一个字母（y）均换成这个字母（x），若所得代数式是和原代数式相同的代数式，我们称这样的代数式为“对称式”．如，，等． (1)代数式①，②，③，④中，是对称式的有____． (2)若关于m，n的代数式（k是常数，）是对称式，求常数k的值． (3)在（2）的条件下，若，当时，求的值． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江、小美一起讨论问题时发现，定义一种运算就要研究它的运算律．对于运算： 实数a，b，规定．小滨通过计算，，发现． 小江：该运算满足． 小美：该运算满足． 小江、小美同学的说法是否正确？请说明理由． 9．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）定义关于*的一种运算：是整数），例如：． (1)求的值． (2)若，求的值． 温故知新 1.（25-26七年级下·浙江台州·阶段检测）计算_________ 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）已知的展开式中不含x项，则常数a的值为____________________． 3.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知多项式是一个完全平方式，则实数m的值是_______． 4.（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 5.（24-25七年级下·浙江温州·期末）现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，在线段上取点，分别以，为边在的同侧作两个正方形，若，，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 8.已知，，，则　　． 9.（24-25七年级下·浙江·期末）（1）填空： _________； __________； __________________． （2）猜想：______（其中为正整数，且）． （3）利用（2）猜想的结论计算： ①； ②． 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图是某住宅的平面结构示意图及有关尺寸（墙壁厚度忽略不计，单位：）． (1)求该住宅的面积（用含，的代数式表示）． (2)该住宅的主人计划把卧室以外的地面都铺上地砖，其中卫生间的地面面积为．如果地砖的价格是每平方米80元，那么购买地砖至少需要花费多少元？ 11.（25-26七年级下·河南郑州·期中）【公式探究】 (1)如图1，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示），通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式： （用含，的等式表示）； 【公式应用】 (2)请应用上述乘法公式解答下列各题： ①已知，，则的值为 ； ②计算：（使用乘法公式简便计算）． 【公式拓展】 (3)使用数学公式，有时可以简便我们的计算，请逆用上面的数学公式，进行计算： 12.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如 图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 13.（24-25七年级下·重庆大渡口·期末）通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：．图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． (1)如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于的等式是__________； (2)若，则__________； (3)如图5，点是线段上的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积． 14.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已 知M是的中点，点P在线段 上，分别以，为边，作正方形和正方形，设，．    (1)如图1，用关于a，b的代数式表示正方形和正方形的面积之差． (2)如图2，连结，，若 ，求四边形的面积， (3)如图3，连结，，，若正方形 和正方形  的面积之和为50， 四边形的面积为24，求的面积． 15.（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，则______ ； 【类比应用】 (2)若关于的方程满足，求的值． 16.通过课堂的学习知道，我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 再例如求代数式的最小值，． 可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）代数式的最大值为： ； （2）若与，判断的大小关系，并说明理由； （3）已知：，，求代数式的值． 17.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题： （1）写出图2中所表示的数学等式 　　． （2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题： 若，，则　　． （3）小明同学用图3中张边长为的正方形，张边长为的正方形，张边长分别为、的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则　　． （4）如图4所示，将两个边长分别为和的正方形拼在一起，，，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，，你能求出阴影部分的面积吗？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $