数学（浙江卷01）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 融合生成式AI用户数据、《九章算术》文化素材，梯度覆盖中考核心知识，通过新定义“级高星函数”、菱形动态翻折等题，考查数学抽象、推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、代数运算、统计|第3题以6.02亿AI用户考科学记数法，第7题用《九章算术》雀燕问题考方程组建模| |填空题|6/18|因式分解、概率、解直角三角形|第14题结合电路图考概率计算，第15题通过监测点方位考三角函数应用| |解答题|8/72|方程、几何综合、函数新定义|23题定义“级高星函数”考二次函数性质，24题菱形翻折动态问题综合空间观念与推理能力，贴合中考命题趋势|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．截至2025年12月，我国生成式人工智能（AI）的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（   ） A． B． C． D． 5．将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 6．晓新同学连续20天测量体温（单位：）时得到如下数据： 温度：（） 35.8 36.0 36.3 36.4 36.5 36.7 36.8 次数 2 5 4 1 6 1 1 那么晓新同学这20天体温的中位数和众数分别是（    ） A．36.3，36.4 B．36.4，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.5 7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕．并雀、燕重一斤，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，问雀、燕一枚各重几何？”．译文：“今有5只雀、6只燕．5只雀、6只燕重量合计为1斤，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位置后，重量相等，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 9．如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 10．已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算_____． 12．因式分解： _______________． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 14．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．            15．如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 16．如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若 ，则的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算、化简求值 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 18．（8分）解方程（组） (1)； (2)． 19．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 20．（8分）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分分别记为分，分，分，分，竞赛结束后两个年级各抽取名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 八年级 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 21．（8分）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 22．（10分）如图，是的直径，且.点C是上的一动点，连接，，在的延长线上取一点D，使得，点G为的中点，点E为的中点，连接交于点F. （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）当时，求的长； （3）当时，连接，若，求的长. 23．（10分）定义：对于二次函数和，若二次函数，我们称二次函数y为函数，的“级高星函数”．如，就是和的“级高星函数”． (1)若和的“级高星函数”，则________； (2)已知二次函数图象的对称轴为直线，二次函数图象的顶点B的坐标为． ①求，的“级高星函数”y的表达式及其最值； ②的顶点为A，，的“级高星函数”y的图象的顶点为C，且经过点，若，求m，n的值． 24．（12分）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．截至2025年12月，我国生成式人工智能（AI）的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 4．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（   ） A． B． C． D． 5．将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 6．晓新同学连续20天测量体温（单位：）时得到如下数据： 温度：（） 35.8 36.0 36.3 36.4 36.5 36.7 36.8 次数 2 5 4 1 6 1 1 那么晓新同学这20天体温的中位数和众数分别是（    ） A．36.3，36.4 B．36.4，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.5 7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕．并雀、燕重一斤，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，问雀、燕一枚各重几何？”．译文：“今有5只雀、6只燕．5只雀、6只燕重量合计为1斤，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位置后，重量相等，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 9．如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 10．已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算_____． 12．因式分解： _______________． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 14．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．            15．如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 16．如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若 ，则的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算、化简求值 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 18．（8分）解方程（组） (1)； (2)． 19．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 20．（8分）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分分别记为分，分，分，分，竞赛结束后两个年级各抽取名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 八年级 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 21．（8分）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 22．（10分）如图，是的直径，且.点C是上的一动点，连接，，在的延长线上取一点D，使得，点G为的中点，点E为的中点，连接交于点F. （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）当时，求的长； （3）当时，连接，若，求的长. 23．（10分）定义：对于二次函数和，若二次函数，我们称二次函数y为函数，的“级高星函数”．如，就是和的“级高星函数”． (1)若和的“级高星函数”，则________； (2)已知二次函数图象的对称轴为直线，二次函数图象的顶点B的坐标为． ①求，的“级高星函数”y的表达式及其最值； ②的顶点为A，，的“级高星函数”y的图象的顶点为C，且经过点，若，求m，n的值． 24．（12分）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学·全解全析 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的相反数是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的相反数为． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，正确； B、不是同类项，不能合并，原运算错误； C、，原运算错误； D、，原运算错误. 3．截至2025年12月，我国生成式人工智能（AI）的用户规模最新官方数据为6.02亿人，将数据602000000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．如图，能够塞住木板上三个孔洞的塞子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：一个塞子能够堵住孔形样板上的每一个洞，只有图B符合题意． 5．将一元一次不等式组的解集在数轴上表示出来，下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示其解集为： 6．晓新同学连续20天测量体温（单位：）时得到如下数据： 温度：（） 35.8 36.0 36.3 36.4 36.5 36.7 36.8 次数 2 5 4 1 6 1 1 那么晓新同学这20天体温的中位数和众数分别是（    ） A．36.3，36.4 B．36.4，36.5 C．36.5，36.3 D．36.3，36.5 【答案】D 【详解】解：∵一共有20个数据，将数据从小到大排列后，偶数个数据的中位数为中间两个数的平均数，即第10个和第11个数据的平均数， 累计次数得：前两组累计次数为，前三组累计次数为 ， ∴第10个和第11个数据都是， ∴中位数为 ， 又∵这组数据中，出现的次数最多，为次， ∴众数为， 因此中位数和众数分别是和． 7．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕．并雀、燕重一斤，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平，问雀、燕一枚各重几何？”．译文：“今有5只雀、6只燕．5只雀、6只燕重量合计为1斤，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻，将1只雀、1只燕交换位置后，重量相等，问雀、燕1只各重多少？”设每只雀重斤，每只燕重斤，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，根据将1只雀、1只燕交换位置后，重量相等可得， 可列方程组为：． 8．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A．＞2 B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】解：∵ 方程 是关于的一元二次方程，且有实数根， ∴ 二次项系数满足 ，即 ， 根的判别式满足 ， 解得 综上，的取值范围是且． 故选：C． 9．如图，在等边中，，点D在上，点E在上，且．连接与交于点F，则（    ） A．36 B．42 C．48 D．60 【答案】C 【详解】解：是等边三角形 ， 在和中 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 过点作于， 是等边三角形 ， ， 在中，， ． 10．已知抛物线（是常数，）经过点，有下列结论： ①； ②当时，随的增大而增大； ③关于的方程有两个不相等的实数根． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】①∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴即， 故①结论正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，随的增大而增大， 故②结论正确； ③∵，， ∴， 对于方程，即， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故③结论正确； 综上所述，正确结论的个数是3． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．计算_____． 【答案】2 【详解】解：原式． 12．因式分解： _______________． 【答案】 【详解】解： ． 13．如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【详解】， ， ∴与的位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为． 14．电路图中有3个开关，A、B、C和两个小灯泡、，同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率____．            【答案】 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关，能形成闭合电路的结果有4种， ∴同时闭合两个开关，能形成闭合电路的概率是， 15．如图，监测点P到道路的距离为，道路上的货车A在监测点P的北偏西方向，道路上的汽车B在监测点P的东北方向，此时货车A和汽车B相距_________（结果保留根号）． 【答案】 【详解】解：过点P作于点D， 根据题意，得， 故， 解得， 故． 16．如图，内接于，是的直径，点是下方上一点，连接，若 ，则的度数为________． 【答案】/度 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴是等腰三角形，， ∵， ∴，即平分， ∴， ∵是弧所对的圆周角，是弧所对的圆心角， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（8分）计算、化简求值 (1)计算： (2)先化简，再求值：，其中 【详解】（1）解： （2分） ．（2分） （2）解： ；（2分） 当时，原式．（2分） 18．（8分）解方程（组） (1)； (2)． 【详解】（1）解： 由得，，解得，（2分） 将代入①得，，解得， ∴原方程组的解为；（2分） （2）解： （2分） 解得，（1分） 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为．（1分） 19．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，中，，两点为格点，为格线上任意点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图1中，作出的重心； (2)在图2中，取的中点，连接，作． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （4分） （2）解：如图，即为所求； （4分） 20．（8分）为了更好地传承雷锋精神，在雷锋纪念日来临之际，某校组织七、八年级学生开展了一次“学雷锋”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，其中相应等级的得分分别记为分，分，分，分，竞赛结束后两个年级各抽取名学生的竞赛成绩进行整理分析．部分信息如下： 信息一：七、八年级学生竞赛成绩统计表 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 八年级 信息二：七、八年级学生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出 ， ，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； (2)根据以上数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生竞赛成绩较好?请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有人，八年级有人参加本次知识竞赛，且规定不低于分的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人? 【详解】（1）解：∵七年级共抽取人，成绩由高到低排在第25和26位的是B等级9分， ∴中位数，（1分） ∵由八年级扇形统计可知，八年级等级人数最多， ∴众数，（1分） ∵七年级成绩等级人数为：（人）， ∴七年级竞赛成绩统计图补充完整如下： （2分） （2）七年级竞赛成绩更好，理由如下： 在平均数相同的情况下，七年级的中位数大于八年级的中位数，说明七年级学生的成绩中游水平更高，且七年级的方差小于八年级的方差，七年级成绩更稳定；（2分） （3）（人）， 答：估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有648人．（2分） 21．（8分）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：，（1分） 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：．（1分） （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴，（3分） ∴， 故答案为：．（1分） （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月，（2分） ∴该厂资金紧张期共有5个月． 22．（10分）如图，是的直径，且.点C是上的一动点，连接，，在的延长线上取一点D，使得，点G为的中点，点E为的中点，连接交于点F. （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）当时，求的长； （3）当时，连接，若，求的长. 【详解】（1）与相切，理由如下：（1分） ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，（2分） ∴直线与相切；                  （2）如解图①，连接， （1分）        图① ∵是的直径， ∴， 在Rt中，是中线， ∴， ∴， ∴，即， ∴的长为；（2分）                （3）如解图②，，点E是的中点， ∴是的中位线， ∴点F是的中点，是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， （2分）                    ∴， ∵是等腰三角形， ∴， ∵点G为的中点， ∴.  （2分）                           图② 23．（10分）定义：对于二次函数和，若二次函数，我们称二次函数y为函数，的“级高星函数”．如，就是和的“级高星函数”． (1)若和的“级高星函数”，则________； (2)已知二次函数图象的对称轴为直线，二次函数图象的顶点B的坐标为． ①求，的“级高星函数”y的表达式及其最值； ②的顶点为A，，的“级高星函数”y的图象的顶点为C，且经过点，若，求m，n的值． 【详解】（1）解：由题意得， ； 故答案为：；（1分） （2）解：的对称轴为， ， 的顶点为， ，即，（1分） ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为．（2分） ②解：， 经过点， ，即， ， 顶点，（1分） 又，顶点，顶点， 设直线的解析式为， ， ， 直线为，（1分） ， 设点到的距离为，由， ， 过点作，交轴于，设的解析式为，代入， ，即直线为， 设上一点的坐标为， ， ， ，（2分） 当时，， 过作，则为即， 将代入，得， 即， ，（1分） 当时，， 过作，则为即 将代入，得 ，即， ，（1分） 综上，或． 24．（12分）在边长为6的菱形中，，点E、F是边、上的点，连接， (1)如图1，将沿翻折使B的对应点落在中点上，此时四边形是什么四边形？并说明理由． (2)如图2，若，以为边在右侧作等边； ①连接，当是以为腰的等腰三角形时，求的长度． ②直接写出的最小值． 【详解】（1）解：四边形是菱形，（1分） 理由如下：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴，（1分） ∵将沿翻折使B的对应点落在中点上， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形；（1分） （2）解：①如图2，连接，在上截取，连接，连接，并延长，交于点N，过点C作直线于H， （1分） ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形，（1分） ∴，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形，（1分） ∴，， ∴，， ∴，， 当时，， ∴， ∴；（2分） 当时，过点M作于Q，过点G作于P， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，（2分） 综上所述：的长为3或， ②由（2）①可知：点G在上运动，且，与的距离为， ∴当点G与点H重合时，的最小值为．（2分） / 学科网（北京）股份有限公司 $