19.2 二次根式的乘法与除法（第2课时）教学设计2025-2026学年 人教版八年级数学下册

19.2　二次根式的乘法与除法（第2课时） 教学目标 1．类比二次根式乘法法则的探究过程，通过具体运算发现规律，归纳得出二次根式的除法法则，深化对归纳思想的理解，提升类比推理能力. 2．掌握二次根式的除法法则，能灵活应用法则进行运算，提升运算能力． 教学重点 二次根式除法法则的推导与应用． 教学难点 二次根式除法法则的应用． 教学过程 知识回顾 1．二次根式的乘法法则：___(a≥0，b≥0)___________． 2．二次根式乘法法则的逆用： (a≥0，b≥0) ． 【设计意图】复习已学过的二次根式的乘法法则，为引出本节课的新知作铺垫． 新知探究 【问题1】计算下列各式． （1）＝___________，＝___________； （2）＝___________，＝___________； 　　（3）＝___________，＝___________． 观察上述计算结果，我发现了如下规律： ． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成计算，自主发现规律：两个非负数的算术平方根相除，等于这两个数的商的算术平方根． 【答案】（1）；；（2）；；（3）；． 【追问1】类比二次根式的乘法法则，你能用一个式子概括出二次根式的除法法则吗？ 【师生活动】学生尝试用字母表示出二次根式的除法法则，教师补充总结． 【新知】一般地，二次根式的除法法则是(a≥0，b＞0)． 教师总结：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变． 【强调】因为分母不能为0，所以除法法则中b＞0． 【追问2】类比二次根式乘法法则的拓展公式，你能概括出二次根式除法法则的拓展公式吗？ 【师生活动】学生在学习任务单上尝试写出二次根式除法法则的拓展公式，教师请学生代表口答，师生共同总结． 【拓展】（1）(a≥0，b＞0，……，k＞0)． （2）(a≥0，b＞0，n≠0)． 【设计意图】类比二次根式乘法法则的研究过程，让学生通过自主探究得到二次根式的除法法则及拓展公式，培养学生的类比推理和归纳概括能力，增强数学学习的迁移运用意识. 例题精讲 【例1】计算： （1）； （2）． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师适时提醒学生计算结果中应不含能开得尽平方的因数或因式． 【答案】解：（1）； （2）． 【例2】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师巡视指导，并对涉及到带分数转化、系数与根式拆分、连除运算顺序等的问题进行针对性讲解，师生共同梳理除法运算中的易错点和需要注意的事项，学生在学习任务单上同步记录． 【答案】解：（1）； （2）； （3）解法一：∵ a＞0，b＞0， ∴ ； 解法二：∵ a＞0，b＞0， ∴ ； （4）． 【归纳】二次根式的除法运算常见方法： （1）对于，当a是b的倍数或a，b为分数时，常先利用计算； （2）如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数； （3）当被开方数含有完全平方数（式）时，通常先将完全平方数（式）“开方”出来，再进行除法运算； （4）当根号前含有系数时，通常将根号前的系数与系数对应相除，根号内的被开方数与被开方数对应相除，再把除得的商相乘． 【设计意图】通过例题讲解，帮助学生巩固对二次根式除法法则的理解和应用，强化对运算技能的训练，提升运算能力． 新知探究 【问题2】如果把二次根式的除法法则反过来，会得到什么式子？它有什么用途？ 【师生活动】学生在学习任务单上写出二次根式除法法则的逆用形式：(a≥0，b＞0)．教师指出这是商的算术平方根的性质，并请学生以为例，演示“拆分—开方—化简”的过程，帮助学生直观理解逆用法则的作用，即可以将被开方数是“商”的形式的二次根式化简，将能开得尽平方的因数或因式拆出来，移到根号外． 【新知】二次根式除法法则的逆用：把(a≥0，b＞0)反过来，就得到 (a≥0，b＞0)，利用它可以进行二次根式的化简． 【提醒】公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b＞0．例如，计算时，应写为． 【设计意图】类比二次根式乘法法则的研究方法，让学生通过自主探究，明确二次根式除法法则逆用的形式和用途，拓宽法则的应用场景，提升学生的类比推理能力. 例题精讲 【例3】化简： （1）； （2）． 【师生活动】学生在学习任务单上进行化简，完成后，全班交流，师生共同纠错．教师着重强调二次根式除法运算化简的关键是将被开方数的分子、分母分别化为根式形式，再将能开得尽平方的因数或因式开出来，移到根号外． 【答案】解：（1）； （2）． 【例4】设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b．已知S＝，b＝，求a． 【师生活动】学生在学习任务单上完成后，教师着重强调二次根式化简的结果中被开方数不含分母． 【答案】解：因为S＝ab，所以． 【设计意图】通过例题讲解，加深学生对二次根式除法法则正用、逆用的理解，培养学生灵活运用代数运算法则进行计算、化简以及解决实际问题的能力． 课堂练习 1．计算： （1）； （2）； 　　（3）； （4）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，组织全班交流． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 2．化简： （1）； （2）； （3）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，组织全班交流． 【答案】解：（1）； （2）； （3）． 3．计算： （1）； （2）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）； （2）． 【设计意图】通过练习，帮助学生进一步掌握运算法则，强化运算技能的训练，提升知识的应用能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．二次根式的除法法则是什么？使用除法法则时需要注意什么条件？ 2．二次根式除法法则的逆用形式是什么？它主要用来解决什么问题？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第11～12页，习题19.2第2，3（3）、（4），7（3）、（4），10，11题． 学科网（北京）股份有限公司 $