19.2 二次根式的乘法与除法（第3课时）教案 2025-2026学年 人教版八年级数学下册

19.2　二次根式的乘法与除法（第3课时） 教学目标 理解最简二次根式的概念，能灵活应用二次根式的性质和乘、除法法则进行化简运算，培养良好的运算习惯，提升运算能力． 教学重点 最简二次根式的概念；二次根式的化简． 教学难点 把二次根式化成最简二次根式． 教学过程 知识回顾 1．二次根式的乘法法则：(a≥0，b≥0)． 二次根式乘法法则的逆用：(a≥0，b≥0)． 2．二次根式的除法法则：(a≥0，b＞0)． 二次根式除法法则的逆用：(a≥0，b＞0)． 【设计意图】复习已学过的二次根式的乘、除法法则，为引出本节课的新知作铺垫． 新知探究 【问题1】在前面的学习中，我们进行了二次根式的乘法、除法运算，得到的结果有，，，，等，观察这些式子中的二次根式，它们有什么特点？ 【师生活动】教师引导学生观察这些式子的被开方数的特征，学生自主观察，尝试总结，学生代表分享想法，师生共同提炼出被开方数的两个共性特点：不含分母，且不能再进行开方．学生在学习任务单上进行记录． 【新知】（1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． 【提醒】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．将一个二次根式化简实际上就是将它化成最简二次根式的形式． 【设计意图】以前面学习中的运算结果为素材，引导学生自主观察、归纳被开方数的特征，自然建构“最简二次根式”的核心概念，明确二次根式运算结果化简的基本要求，培养学生的抽象概括能力和规范表达意识. 例题精讲 【例1】下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？若不是，请说明理由并化简为最简二次根式． （1）； （2） （3）； （4）； （5） （6）． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，随后同桌之间互相交流判断结果与理由，教师巡视指导，并进行集中讲解，同步板书化简步骤与理由，帮助学生明确判断依据与化简方向． 【答案】解：（1）是最简二次根式； （2）不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．； （3）不是最简二次根式，因为被开方数中含能开得尽平方的因数16． ； （4）是最简二次根式； （5）不是最简二次根式，因为被开方数中含能开得尽平方的因式(a＋3)2． ； （6）不是最简二次根式，因为被开方数中含有分母．． 【设计意图】通过例题，帮助学生巩固对最简二次根式概念的理解． 【例2】计算： （1）； （2）； （3）． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成第（1）题，教师巡视指导，选择有代表性的解题方法（用法则转化为商的算术平方根再进行计算、分母有理化），请学生代表进行分享，师生共同总结出两种常见的去掉分母中根号的方法．学生继续完成第（2）、（3）题，教师讲解． 【答案】解：（1）解法一：； 解法二：； （2）； （3）． 【归纳】把一个二次根式化成最简二次根式，一般有以下两种情况： （1）如果被开方数是分数或分式（包括小数），可以利用分数或分式的性质，以及商的算术平方根的性质进行化简，如；也可以利用商的算术平方根的性质以及分母有理化，使分母中不含二次根式，比如． （2）如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后把开得尽平方的因数或因式开出来，从而将式子化简． 【设计意图】通过展示并对比不同解法，帮助学生掌握去除分母中根号的方法，体会解法的多样性，提升运算策略与运算能力. 【例3】现在来看引言中的问题． 广播电视塔高h（单位：km）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径，R≈6 400 km．那么，广播电视节目信号的传播半径之比，与广播电视塔的高度之比有怎样的关系呢？如果广播电视塔高h增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r是否也会增加到相应的倍数呢？ 【师生活动】回顾章引言的情境和问题，学生借助已学知识在学习任务单上进行解答，教师请学生代表分享推导过程，重点强调“可约去，最后求出的传播半径之比与地球半径无关”． 【答案】解：设两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km． 由题意可知，它们的传播半径分别为km，km， 所以它们的传播半径之比是． 可以看出，这个比与地球半径无关．这样，只要知道h1，h2，就可以求出广播电视节目信号的传播半径的比值． 【设计意图】呼应章引言提出的问题，引导学生经历“实际问题→数学建模→运算化简→结论分析”的完整过程，切实体会数学知识在现实情境中的应用价值，提升运算能力和应用意识． 课堂练习 1．化简，使结果中的二次根式为最简二次根式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 2．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 3．一个长方体的体积V＝，高h＝，求它的底面积S． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 解：． 答：这个长方体的底面积为． 【设计意图】通过练习，帮助学生进一步掌握运算法则，强化“被开方数不含分母、不含能开得尽平方的因数（因式）”的化简标准，提升学生的运算能力，为后续二次根式的加、减法运算奠定基础． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．最简二次根式有哪些特点？ 2．如何将一个二次根式化简为最简二次根式？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第11～12页习题19.2第4，8，9题． 学科网（北京）股份有限公司 $