19.2 二次根式的乘法与除法（第1课时）教案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

19.2　二次根式的乘法与除法（第1课时） 教学目标 1．经历二次根式乘法法则的探究过程，能从具体数字的运算中发现规律，从特殊到一般，归纳得出二次根式的乘法法则，提升逻辑推理能力，进一步感受归纳法在代数学习中的重要作用． 2．掌握二次根式的乘法法则，能灵活应用法则进行运算，提升运算能力． 教学重点 二次根式乘法法则的推导与应用． 教学难点 二次根式乘法法则的应用． 教学过程 新课导入 【思考】如图，小明家有一块长方形菜地，长为m，宽为m，你能求出菜地的面积吗？ 【师生活动】师生共同列出菜地面积的算式，即×．教师小结在学习了二次根式的概念和性质之后，接下来，要从乘法开始学习二次根式的运算，学完本节课就可以计算出相应结果． 【设计意图】从学生熟悉的长方形面积计算引入，将二次根式与几何实际问题相结合，为本节课学习二次根式的乘法作铺垫． 新知探究 【问题1】计算下列各式． （1）＝___________，＝___________； （2）＝___________，＝___________； （3）＝___________，＝___________． 观察上述计算结果，我发现了如下规律： ． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成计算，自主发现规律．教师组织全班交流，师生达成共识：两个非负数的算术平方根相乘，等于这两个数乘积的算术平方根．由此可以得出二次根式的乘法法则． 【答案】（1）6，6；（2）20，20；（3）30，30 【新知】一般地，二次根式的乘法法则是(a≥0，b≥0)． 教师总结：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变． 【设计意图】选取被开方数为完全平方数的二次根式进行计算，结果简洁直观，便于学生观察和总结规律．通过“具体计算—观察对比— 归纳猜想”的过程，培养学生自主探究的能力，为开展代数研究积累方法经验． 【追问1】如果有3个二次根式相乘，能用乘法法则进行计算吗？如 【师生活动】师生共同讨论，明确对于多个二次根式相乘，可以先运用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则进行计算．进一步得出“二次根式的乘法法则同样适用于三个及三个以上的二次根式相乘”的拓展结论． 【答案】． 【拓展】(a≥0，b≥0，……，k≥0)． 【追问2】如果二次根式有系数，又该如何计算呢？如 【师生活动】学生在学习任务单上尝试计算，教师巡视时关注学生是否能区分“系数”与“根式”的运算．随后教师集中讲解，明确二次根式是一类特殊实数的一般形式，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也同样适用．对于有系数的二次根式相乘，可以类比单项式乘法，将系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘． 【答案】． 【拓展】(a≥0，b≥0)． 【设计意图】从“两个二次根式相乘”拓展到“三个及以上二次根式相乘”的运算，再通过类比“单项式乘法”，明确带系数的二次根式的乘法计算方法，帮助学生形成更系统、更具一般性的二次根式乘法运算知识体系，为后续复杂运算铺垫基础． 例题精讲 【例1】计算： （1）； （2）； （3）． 【师生活动】教师引导学生根据乘法法则进行计算，强调法则的应用条件和计算步骤．第（1）题直接应用法则计算，巩固法则的基本用法；第（2）、（3）题在应用法则后则需要进一步化简． 【答案】解：（1）； （2）； （3）． 【设计意图】通过选取不同类型的二次根式乘法计算题，从简单的整数型到分数型，层层递进，巩固学生对二次根式乘法法则的理解及应用． 【例2】计算： （1）； （2）； （3）． 【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师巡视指导，适时选取学生的典型解法展示，引导学生辨析解题步骤的合理性，同时规范解题书写． 【答案】解：（1）； （2）； （3）． 【设计意图】进一步巩固对二次根式乘法法则的灵活运用，规范运算步骤，提升学生的运算能力． 新知探究 【问题2】如果把二次根式的乘法法则反过来，会得到什么式子？它有什么用途？ 【师生活动】师生共同写出逆用形式：(a≥0，b≥0)．教师指出这是积的算术平方根的性质，并进行举例，如，师生共同总结出“拆分—开方—化简”的过程，帮助学生直观理解逆用法则的作用，即可以将被开方数是“积”的形式的二次根式化简，将能开得尽平方的因数或因式拆出来，移到根号外． 【新知】二次根式乘法法则的逆用：把(a≥0，b≥0)反过来，就得到(a≥0，b≥0)，利用它可以进行二次根式的化简． 【设计意图】明确二次根式乘法法则逆用的形式和用途，让学生知道正用法则可以进行乘法计算，逆用法则可以进行化简，拓宽法则的应用场景，同时培养学生的逆向思维能力． 例题精讲 【例3】化简： （1）； （2）． 【师生活动】学生在学习任务单上进行化简，完成后，全班交流，师生共同纠错．教师着重强调二次根式乘法运算化简的关键是将被开方数进行因数分解或因式分解，然后将能开得尽平方的因数或因式开出来，移到根号外．讲解第（2）题时，教师可适时提醒：被开方数4a2b3含有偶数次因数4（4＝22）和因式a2，b²，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外；字母和数遵循同样的运算法则，用字母表示更具一般性． 提示：本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数． 【答案】解：（1）； （2）． 【例4】计算： （1）； （2）； （3）． 【师生活动】学生在学习任务单上尝试独立解题，完成后，全班交流，师生共同纠错．教师在讲解第（1）题时，可以提醒学生，在被开方数是积的形式时，就可以考虑因数分解或因式分解，如由可以直接得到，而不必先写成再分解．同时鼓励学生一题多解，并比较不同解法的特点． 【答案】解：（1）； 　　（2） （3）． 【设计意图】通过例题讲解，加深学生对二次根式乘法法则正用、逆用的理解，培养学生灵活运用代数运算法则进行计算和化简的能力，提升学生的运算能力． 课堂练习 1．计算： （1）； （2）； 　　（3）； （4）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，组织全班交流． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 2．化简： （1）； （2）； （3）． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，教师巡视指导，组织全班交流． 【答案】解：（1）； （2）； （3） ． 3．一个长方形的长和宽分别是和，求这个长方形的面积． 【师生活动】学生独立完成学习任务单上的练习，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：S＝． 答：这个长方形的面积为． 【设计意图】通过练习，帮助学生进一步掌握运算法则，强化运算技能的训练，提升知识的应用能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．二次根式的乘法法则是什么？使用乘法法则时需要注意什么条件？ 2．二次根式乘法法则的逆用形式是什么？它主要用来解决什么问题？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 教材第11～12页，习题19.2第1，3（1）、（2），5，6，7（1）、（2），12，13题． 学科网（北京）股份有限公司 $