利用导数证明不等式 导学案——2027届高三数学一轮复习

第五节　利用导数证明不等式

命题点一　移项构造函数证明不等式

例1：(2026·海口模拟)设函数f(x)＝ln x－x＋1.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1<<x.

 

学霸笔记：证明不等式f(x)≥g(x)成立时，可以类比作差法，构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或φ(x)＝g(x)－f(x)，进而证明h(x)min≥0或φ(x)max≤0.一般地，当y＝f(x)，y＝g(x)为基本初等函数时，常用此法．

提醒：有的不等式需要先变形再移项作差．

 

跟踪训练　(2026·绥化模拟)已知函数f(x)＝x3－6x.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)当x∈(0，＋∞)时，求证：f(x)≥－3x－2.

命题点二　最值法证明不等式

例2：(链接·2023年新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.

(1)讨论f(x)的单调性．

(2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋.

 

学霸笔记：将不等式转化为函数最值来证明不等式，其主要思想是依据函数在固定区间的单调性，直接求得函数的最值，然后由f(x)≤或f(x)≥f(x)min直接证明不等式．一般地，函数不等式的一边是与自变量无关的关系式或者最值可以确定的关系式时常用此方法．

 

跟踪训练　已知函数f(x)＝ln x＋，a∈R.

(1)当a＝1时，求f(x)的最小值；

(2)当a>0时，证明：f(x)≥.

 

 

命题点三　构造双函数法证明不等式

例 3：(2026·福州模拟)已知函数f(x)＝ax2－x ln x.

(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；

(2)若a＝e，证明：f(x)<xex＋1.

 

学霸笔记：若直接求证比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目的．一般地，ex与ln x要分离，常构造xn与ln x，xn与ex的积、商的形式．

　跟踪训练　设函数f(x)＝aex ln x＋，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝e(x－1)＋2.

(1)求a，b；

(2)证明：f(x)>1.

 

 

 

 

第五节　利用导数证明不等式

考教衔接·活用教材

例1　解析：(1)函数f(x)＝ln x－x＋1的定义域为(0，＋∞)，

导函数为f′(x)＝－1，

由f′(x)>0，可得0<x<1；由f′(x)<0，可得x>1.

即有f(x)的单调增区间为(0，1)；单调减区间为(1，＋∞)．

(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，要证明1<<x，只需证明ln x<x－1<x ln x.

由(1)可得f(x)＝ln x－x＋1在(1，＋∞)递减，

可得当x>1时，f(x)<f(1)＝0，即有ln x<x－1.

设F(x)＝x ln x－x＋1，x>1，F′(x)＝1＋ln x－1＝ln x.

当x>1时，F′(x)>0，可得F(x)在(1，＋∞)上单调递增，即有F(x)>F(1)＝0，

即有x ln x>x－1，则原不等式成立．

即当x∈(1，＋∞)时，1<<x.

跟踪训练　解析：(1)由题意得f(2)＝－4，f′(x)＝3x2－6，所以切线的斜率为k＝f′(2)＝6.

因为切点为(2，－4)，