专题06 函数图像与性质（6大题型专练）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测
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内容正文：
专题06 函数图像与性质
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 正比例函数图像与性质
题型02 一次函数图像与性质
题型03 二次函数图像与性质
题型04 反比例函数图像与性质
题型05 函数图像与性质的综合
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 正比例函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．在第二、四象限
C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大
【答案】D
【分析】此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数的性质．根据一次函数的性质：，随的增大而增大，函数从左到右上升；，随的增大而减小，函数从左到右下降进行分析即可．
【详解】解：A、当时，．所以图象不过，故错误；
B、因为，所以一次函数的图象在第一、三象限，故错误；
C、关于原点成中心对称，故错误；
D、因为，所以随的增大而增大，故正确．
故选：D．
【典例02】（2025·浙江杭州·一模）已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则________．
【答案】2
【分析】本题主要考查了点的平移、正比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．
设，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，然后代入求解即可．
【详解】解：设，则把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴，解得：，
∵
∴．
故答案为：2．
方法透视
考向解读
1. 图象特征：正比例函数 ( y = kx ) 的图象是过原点的直线。
2. 象限分布：当 ( k > 0 ) 时，图象经过第一、三象限；当 ( k < 0 ) 时，图象经过第二、四象限。
3. 增减性：当 ( k > 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大；当 ( k < 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小。
4. 求解析式：利用图象上一点的坐标代入 ( y = kx ) 求出 ( k ) 的值。
方法技能
正比函数过原点，( k ) 定象限看增减；
一点坐标代入求，平移对称要灵活。
变式演练
【变式01】（2022·浙江绍兴·一模）已知中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【答案】B
【分析】假设其中一个点在上，将坐标代入求出k值，再验证另外三个点的坐标是否满足，即可求解．
【详解】解：假设在直线上，
则，
，
，
当时，，可知不在该直线上，
当时，，可知在该直线上，
当时，，可知在该直线上，
综上可得，不在此直线上的点是，
故选B．
【点睛】本题考查一次函数（正比例函数）图象上点的坐标的特征，属于基础题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
【变式02】（2020·浙江宁波·一模）正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（ ）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【答案】A
【分析】根据正比例函数的性质可知：函数的图象过一、三象限或二、四象限，再由其图象经过不同象限的两点即可判断．
【详解】解：∵正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），
∴m＞0，n＞0，
故选：A．
【点睛】本题考查了正比例函数的图象和性质，属于基础题型，熟知正比例函数图象上点的坐标特征是关键．
【变式03】（2023·浙江杭州·三模）点是正比例函数上一点，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点仍在正比例函数的图象上，则的值为______．
【答案】
【分析】设，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为，代入，解方程即可求解．
【详解】解：设，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点的坐标为，
∵在正比例函数的图象上，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了点的平移，正比例函数的性质，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．
题型02 一次函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2026·浙江·二模）在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】由点，点在一次函数图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可 ．
【详解】解：∵点，点在一次函数图象上，
∴，
解得：，
、当时，则，
当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，
当时，；当时，；故该选项判断错误，不符合题意；
、当时，则，
∵点在第一象限内，
∴，，
∴，故该选项判断正确，符合题意；
、同理可得该选项判断错误，不符合题意．
【典例02】（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】
对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”．
【初步探究】
(1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式；
【深入思考】
(2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值．
【答案】(1)
(2)的最小值为．
【分析】（1）利用待定系数法求得原函数为，根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，列式求解即可；
（2）根据题意两个函数有交点，即方程在范围内有解，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵函数经过点，
∴将点代入函数：，即，
∴原函数为，
根据“关联函数”的定义：两个函数的函数值之和为2，设关联函数为，
则：，
∴，
∴函数的“关联函数”表达式为；
（2）解：函数在上向上平移m个单位后，
解析式为：，
它的“关联函数”为，
∵两个函数有交点，即方程在范围内有解，
解方程：，得，
∴，
解不等式：，得，
解不等式：，得，
∴的取值范围是，则的最小值为．
方法透视
考向解读
1. 图象特征：一次函数 ( y = kx + b ) 的图象是一条直线，( k ) 决定方向，( b ) 决定与 ( y ) 轴的交点。
2. 增减性：( k > 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大；( k < 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小。
3. 图象平移：遵循“左加右减、上加下减”的原则。
4. 新定义函数：理解新运算规则，分类讨论，转化为方程或不等式求解。
方法技能
一次函数 ( k ) 与 ( b )，增减交点看分明；
平移变换口诀记，联立方程解交点。
变式演练
【变式01】（2025·浙江台州·三模）若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据平移的规律求出的图象向左平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解．
【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位后得到，
由题意，得，
解得．
故选：A．
【变式02】（2025·浙江温州·二模）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，在根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ．
【详解】解：根据题意得，且，
解得：，
A、当时，则，
当时，则，当时，则，故A错误；
B、当时，则，
同理当时，则，当时，则，故B错误；
C、当时，则，且，
∴，故C正确；
D、同理C选项，，故D错误；
故选：C．
【变式03】（2022·浙江金华·模拟预测）定义：图象与轴有两个交点的函数叫做关于直线的对称函数，它与轴负半轴交点记为，与轴正半轴交点记为．
(1)如图：直线：，关于直线的对称函数与该直线交于点．
直接写出点的坐标：（______，0）；（_____，0）；；
为关于直线的对称函数图象上一点（点不与点重合），当时，求点的坐标；
(2)当直线与关于直线的对称函数有两个交点时，求的取值范围．
【答案】(1)①；；②点的坐标为或或
(2)
【分析】令，解得或，从而求得、的坐标，根据图象点；
根据题意求得，即可求得点到轴的距离为，当点在轴上方时，则，解得；当点在轴下方时，则，即可求解；
分两种情况讨论；列出关于的方程，求得的值，结合图象即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：令，解得或，
故点、的坐标分别为、，
函数与轴负半轴交点为，与轴正半轴交点记为，则；
从图象看，时，，故点；
故答案为：；；
，，，
，
，
，
，
设点到轴的距离为，
，
，
当点在轴上方时，则的纵坐标为，
把代入得，，解得，
此时；
当点在轴下方时，则的纵坐标为，
把代入得，，解得；
把代入得，，解得；
此时为或，
综上，点的坐标为或或；
（2）解：当直线与关于的对称函数有两个交点时，
当时，点，将点的坐标代入得：，
解得；
，
当时，，解得，
又，
综上所述：的取值范围是．
【点睛】本题考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标特征，分类讨论是解题的关键．
题型03 二次函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2026·浙江湖州·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次函数顶点式得到，由点P在函数图象上得到 ，结合题意得到，则，由此确定点坐标为 ，根据点 是段上不与P、M重合的点，得到，即，结合题意即可求解．
【详解】解：∵函数 的顶点为，且点 在函数图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，两边同除以 得：，则，
代入得 ，则，
∴点坐标为 ，且，
∵ 是段上不与P、M重合的点，
∴ ，即，
又∵在函数图象上，，
∴ ，即，
故选：D．
【典例02】（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______．
【答案】
【分析】设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，根据抛物线与关于原点成中心对称，在抛物线上，得，
从而或，求解即可．
【详解】解：设为上任一点，它关于原点成中心对称的点为，
那么在抛物线上，
代入可得，
整理得，
∴或，
∴．
方法透视
考向解读
1. 顶点式：，顶点坐标为 ( (h, k) )，对称轴为直线 ( x = h )。
2. 开口方向：( a > 0 ) 时开口向上，有最小值；( a < 0 ) 时开口向下，有最大值。
3. 增减性：在对称轴两侧相反。
4. 图象平移：( h ) 影响左右平移，( k ) 影响上下平移。
方法技能
二次函数看顶点，( a ) 定开口 ( h ) 定轴；
最值增减配对称，平移变换要记牢。
变式演练
【变式01】（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】此题考查了二次函数的图象，二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的正负，正确理解二次函数的图象及性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质解答即可．
【详解】解：由图象可知，开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∴，故①不正确；
∵二次函数的图象经过点，，
∴对称轴为直线，，
∴，，故②正确；
∴当时，图象有最高点，即函数最大值为，
∴当时，，
∴，故③不正确；
∵对称轴为直线，开口向下，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，y随x的增大而先增大后减小．故④不正确；
∴正确的为②，共1个，
故选：A．
【变式02】（2026·浙江·一模）已知抛物线．
(1)若，求图象与轴的交点坐标；
(2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值；
(3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】（1）将代入，再令，解方程求出交点坐标即可；
（2）根据题意可得，点和点关于抛物线的对称轴对称，结合抛物线的对称轴公式可得，，代入解析式求出的值；
（3）将分别代入二次函数与一次函数的解析式求出点和点的坐标，从而得到．分三类讨论，当时，，此时线段随的增大而减小，不符合题意；当时，，在对称轴左侧，随的增大而增大，因此；当时，符合题意．
【详解】（1）解：∵，
∴，
将代入，得，
，
解得，，
∴图象与轴的交点的坐标为和；
（2）解：在二次函数中，对称轴为直线，
∵和在抛物线上，
又∵，
∴点和点关于抛物线的对称轴对称，
∴，即，
将点代入，得，
，
∴；
（3）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
①当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向上，
又∵，
∴当时，线段随的增大而减小，不符合题意；
②当时，，
∴，
∵，
∴图象开口向下，
∴当时，线段随的增大而增大；当时，线段随的增大而减小，
又∵，
∴；
③当时，，
∴，图象开口向上，
∴当时，线段随的增大而增大，符合题意；
综上所述，的取值范围为或．
【变式03】（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数，m为实数．
(1)若，求该函数图象的对称轴．
(2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
(3)若点，，且，，试比较与大小．
【答案】(1)直线
(2)m的值为
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）当时，二次函数的解析式为，再由对称轴公式计算即可得出结果；
（2）先求出二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可得，从而得出在上，随着的增大而增大，由此计算即可得出结果；
（3）由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，先求出、两点的中点坐标的横坐标为，再分情况讨论即可得出结果．
【详解】（1）解：当时，二次函数的解析式为，
故此时二次函数的对称轴为直线；
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵，
∴，
∴，
∴，
故在上，随着的增大而增大，
故当时，取得最小值为，
当时，取得最大值为，
∵函数y的最大值与最小值之差为8，
∴，
解得：（不符合题意舍去），；
故m的值为；
（3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上，
∵点，，且，，
∴、两点的中点坐标的横坐标为：，
当，即时，、两点关于对称轴对称，此时，
当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时，
当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时，
综上所述，当时，；当时，；当时，．
题型04 反比例函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键．
先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择．
【详解】解：如图：
∵的图象在第二象限，
∴，
∵ 的图象都在第一象限，
∴，
当时，，由图象可知，，
∴，
故选：A．
【典例02】（2026·浙江温州·一模）关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点在它的图象上，则也在图象上
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．当时，
【答案】D
【分析】根据反比例函数的解析式和性质，逐一判断各选项的说法，即可找出错误结论．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴它的图象分布在一、三象限，选项A说法正确；
若点在它的图象上，则满足，可得，因此点也满足函数解析式，故选项B说法正确；
∵，
∴当时，的值随的增大而减小，选项C说法正确；
对于选项D，当时，，当时，，
因此当时，不是所有都满足，选项D说法错误．
方法透视
考向解读
1. 图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于原点对称。
2. 象限分布：( k > 0 ) 时，图象在第一、三象限；( k < 0 ) 时，图象在第二、四象限。
3. 增减性：在每个象限内，( k > 0 ) 时 ( y ) 随 ( x ) 的增大而减小；( k < 0 ) 时 ( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。
4. 比例系数 ( k ) 的几何意义：过图象上一点作坐标轴的垂线，围成的矩形面积为。
方法技能
反比函数双曲线，( k ) 定象限增减明；
面积问题用，对称联立求交点。
变式演练
【变式01】（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可．
【详解】解： ，在反比例函数的图象上，且，
，符号相同，
，符号相同，
．
【变式02】（2025·浙江嘉兴·二模）已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查点的坐标和函数的性质，根据函数图象上点的坐标得到，关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，然后逐项判断解答即可．
【详解】根据题意可得，关于y轴对称，当时，y随x的增大而增大，
故符合要求的函数图像为D选项，
故选：D．
【变式03】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．
(2)若，，，求该函数的表达式．
【答案】(1)0
(2)
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键．
（1）根据题意得出，，然后由，即可证得．
（2）由，，则，根据图象上点的坐标特征得出，，即可得到，，根据，得出，，即可得出，，进而求得，，代入即可求得的值．
【详解】（1）证明：反比例函数的图象过点．
，，
，
．
（2）解：，，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
该函数的表达式为．
题型05 函数图像与性质的综合
典例引领
【典例01】（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图像，弄清函数图像与相关参数的关系成为解题的关键．
由题意可得，，然后分别分析各选项，看是否存在矛盾即可解答．
【详解】解：，，
A.该选项的图像要求中，则，对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意；
B. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾；当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意；
C. 该选项的图像要求中，则；对要求，两图像不存在矛盾，当时，对于函数与x轴交点的横坐标为与图像不存在矛盾，不符合题意；
D. 该选项的图像要求中，则，对要求，两图像存在矛盾，符合题意．
故选：D．
【典例02】（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式；
(3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令求解即可；
（2）令，表示出，，，然后根据的长为求解即可；
（3）设，证明得，求出，设，可得，在上取一点，使，连接，求出得，从而，根据得，求出，证明得，求出，求出，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴，．
∴．
（2）∵抛物线与轴交于点．
∴令．
∴．
∴．
∵轴，
∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，即．
∵在直线上，
∴当时，．
∴．
∵轴，
∴．
当时，，
∴，，
∴．
∴．
（3）∵在抛物线上，
设．
∵，
∴，，．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
在上取一点，使，连接．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
在中，，
在中，．
∴．即．
∴．
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∵轴，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴在中，．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象与性质，二次函数与几何综合，锐角三角函数，难度较大，属中考压轴题．
方法透视
考向
解读
1. 图象共存问题：根据一次函数、反比例函数、二次函数中参数的符号，判断在同一坐标系中的图象是否合理。
2. 函数与几何综合：利用相似、全等、勾股定理等几何知识，结合函数解析式建立方程求点坐标或线段长度。
3. 新定义函数：理解新运算规则，分类讨论，转化为方程或不等式求解，注意验证结果是否符合条件。
4. 图象变换：掌握平移、对称、旋转等变换对函数解析式的影响。
方法技能
综合函数看共存，参数符号定图象；
几何建模列方程，数形结合是良方。
变式演练
【变式01】（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，并与x轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式以及它的对称轴；
(2)当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，对称轴是直线
(2)或
【分析】（1）根据一次函数求出点B，C坐标，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：对于，当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的表达式为，
把点代入，得，解得，
∴，对称轴是直线；
（2）解：由图象知，当时，x的取值范围为或．
【变式02】（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与双曲线相交于点．
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)直线：，双曲线：
(2)
(3)8
【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．
（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；
（2）根据图象得出不等式的解集即可；
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．
【详解】（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，两点，分别过，两点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
【变式03】（2025·浙江杭州·二模）已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为延长线上一动点，点在轴正半轴上，连接，且，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接交轴于点，取的中点，连接并延长交于点，当时，求的值．
【答案】(1)3
(2)
(3)4.5
【分析】题目主要考查一次函数与几何综合，全等三角形及相似三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用面积得出方程求解即可；
（2）由题意，得．过作于点．结合图形及线段间的关系确定，然后利用求解即可；
（3）连接．根据三角形中位线的性质得出，过作轴交于．连接，过点作于．过作于，则．利用全等三角形及相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）解：．
令，
．
，
令．
．
（舍）．
即的值为3．
（2）．
．
由题意，得．过作于点．
．
．
．
．
即．
（3）连接．
∵E是中点，，
是的中位线．
∴．
．
过作轴交于．
．
，
．
，
连接．
，
．
．
．
，
∴，
．
，
．
．
过点作于．
．
，
．
．
设，则，
．
过作于，则．
．
．
．
即．
．
题●型●训●练
1．（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段（）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，则，然后分两种情况：当点P在线段上时，当点P在抛物线上时即可求解．
【详解】解：设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点P的横坐标为m，则，
当点P在线段上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或；
当点P在抛物线上时，此时点P的坐标为，
∵将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，
∴点在图形C上，
∴或，
∴（舍去）或（舍去）或；
∴这样的点P的个数为2个．
2．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【分析】先确定和，再根据对称性确定两函数的另一交点坐标，然后结合函数图象，写出反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：函数，的图象都经过点，
，，
正比例函数与反比例函数都关于原点对称，
两函数的另一交点为，如图所示，
由图象可知，当或时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即，
当时，的取值范围是或．
3．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，根据当时得到，借此判断抛物线的开口及最高点坐标即可得出结论.
【详解】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故选：A ．
4．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（ ）．
A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位
【答案】C
【分析】根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”，求出各选项平移后的解析式，代入点验证即可得到结果．
【详解】解：对于选项A：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
对于选项B：平移后解析式为，当时，，不符合题意；
对于选项C：平移后解析式为，当时，，符合题意；
对于选项D：平移后解析式为，当时，，不符合题意．
5．（2026·浙江衢州·一模）如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出点A的坐标，进而求出直线的关系式，可得点D，E的坐标，再根据特殊角的三角函数值求出点F的坐标，然后求出直线的关系式，最后将两个函数关系式联立求出答案即可．
【详解】解：∵点A在双曲线的图象上，且横坐标为1，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，且经过点，，
得，解得，
∴直线的关系式为，
当时，，当时，，
∴点，
∴，
∴，．
在中，，
在中，，
解得，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，且经过点，，
得，解得，
∴直线的关系式为，
将两个函数关系式联立，得，
解得（舍去）或，
当时，，
∴点．
6．（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________．
【答案】3
【分析】根据反比例函数的图象关于原点中心对称和直线过原点，可得点A、B的横纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值，最后代入即可求解．
【详解】解：过原点的直线与反比例函数的图象交于，，
，两点关于原点对称，
，，
，，
，，
则，解得．
7．（2022·浙江绍兴·一模）如图，已知经过原点的直线与反比例函数的图象交、两点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点坐标为________．
【答案】
【分析】利用“一线三垂直”，证明从而求得C点坐标．
【详解】设：，反比例：
将点A代入可得：
；
联立可得：
过点B作y轴的平行线l，过点A、点C作l的垂线，分别交于D，E两点，
则
，，
∴点C的横坐标为点C的纵坐标为
∴．
8．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，将抛物线向下平移，过原点O，与x轴交于点A，则的长为______．
【答案】6
【分析】根据解析式可得平移前的抛物线的对称轴，进而得到平移后的抛物线的对称轴，再根据平移后的抛物线经过原点可得点A的坐标，则可得到答案．
【详解】解：∵原抛物线解析式为，
∴原抛物线的对称轴为直线，
∵将抛物线向下平移，过原点O，与x轴交于点A，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线，
∴点A的坐标为，
∴．
9．（2023·浙江温州·模拟预测）若，，则y的最小值是______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的最值，根据题意将代入计算，再根据二次函数的性质即可解答．
【详解】解：，，
，
，
当时，y的最小值是．
故答案为：．
10．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为_________．
【答案】或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式．
【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上，
设直线l的解析式为，将点和代入解析式得：
，解得，
∴直线l的表达式为，
当时，，即直线l与y轴交点为，
当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，
∴，
∴，
∴直线的表达式或．
故答案为：或．
11．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
(1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值．
(2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在的范围内，，．”
乙同学说：“在的范围内，若，则，．”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
【答案】(1)；
(2)甲同学说法错误；乙同学说法错误，理由见解析
【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可；
（2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可．
【详解】（1）解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大，
所以当时，；当时，．
（2）解：甲同学说法错误；乙同学说法错误．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
，
∵抛物线开口向上，在的范围内，
∴当时，函数最小值为，
当时，，
当时，
∴在的范围内函数最大值；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
二次函数，对称轴为，
时，则在的范围内，随的增大而减小，
时，二次函数有最大值，时，最小值，
∵，
∴，即，
∵，
∴一元二次方程没有实数根，
∴不符合题意；
时，
时，二次函数有最大值，当时，有最小值，
，不符合题意；
时，
当时，有最大值，当时，最小值，
，
若，则，
解得，
只有当时符合题意；
综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的，
即甲同学说法错误，乙同学说法错误．
12．（2022·浙江绍兴·一模）如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，顶点为，且，一次函数的图象经过点、点．
(1)求一次函数的表达式与顶点的坐标；
(2)平移直线使其过点，如轴上方有一点正好在平移后的直线上，且，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据抛物线的解析式即可得出，根据，可求出的长，也就得出了点的坐标，然后根据待定系数法求出直线的解析式；将点坐标代入抛物线的解析式中，可求出的值，确定抛物线的解析式进而可求出点的坐标；
（2）求出平移后的直线的解析式，可根据此解析式设出点坐标．然后过作轴的垂线设垂足为，在构建的直角三角形中，表示出和的长，然后根据的正切值求出的坐标．
【详解】（1）解：在中，令，则，
，
，
又，
，
，
设直线的解析式为，
则，
解得：，，
直线的解析式为．
将代入二次函数解析式得，
，
，
抛物线顶点的坐标为．
（2）解：设平移后的直线解析式为，
∵点在此直线上，
，解得：，
平移后的直线解析式为，
设点的坐标为，作轴，连接，
点在轴上方，
∴，，
在中，由，
，
．
13．（25·浙江宁波·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积．
(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求两函数的解析式的应用．
（1）将点的坐标代入反比例函数 ，求出，将点的坐标代入反比例函数求出，利用待定系数法确定一次函数解析式；
（2）设与轴交于点，根据一次函数解析式得出，进而根据，进行计算即可．
（3）找到一次函数图象在反比例函数图象之上的的取值范围即可．
【详解】（1）解：将点代入，得：，
解得：，
则反比例函数解析式为：；
将点代入，得：，则
将点的坐标代入一次函数解析式，得：
，解得：，
故一次函数解析式为：．
（2）解：设与轴交于点，
一次函数解析式为：，
令，则，
∴点的坐标为，
，
．
（3）解：根据函数图象可知，一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围为：或．
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专题06 函数图像与性质
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 正比例函数图像与性质
题型02 一次函数图像与性质
题型03 二次函数图像与性质
题型04 反比例函数图像与性质
题型05 函数图像与性质的综合
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 正比例函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2023·浙江衢州·模拟预测）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．经过点 B．在第二、四象限
C．关于轴成轴对称 D．随的增大而增大
【典例02】（2025·浙江杭州·一模）已知点A是正比例函数图象上一点，把点A向上平移4个单位，向右平移个单位后的点仍在这个正比例函数的图象上，则________．
方法透视
考向解读
1. 图象特征：正比例函数 ( y = kx ) 的图象是过原点的直线。
2. 象限分布：当 ( k > 0 ) 时，图象经过第一、三象限；当 ( k < 0 ) 时，图象经过第二、四象限。
3. 增减性：当 ( k > 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大；当 ( k < 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小。
4. 求解析式：利用图象上一点的坐标代入 ( y = kx ) 求出 ( k ) 的值。
方法技能
正比函数过原点，( k ) 定象限看增减；
一点坐标代入求，平移对称要灵活。
变式演练
【变式01】（2022·浙江绍兴·一模）已知中有三个点在同一直线上，不在此直线上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点S
【变式02】（2020·浙江宁波·一模）正比例函数图象经过不同象限的两点A（m，﹣1），B（﹣5，n），则下列判断正确的是（ ）
A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜0
【变式03】（2023·浙江杭州·三模）点是正比例函数上一点，把点向右平移个单位，向下平移个单位后的点仍在正比例函数的图象上，则的值为______．
题型02 一次函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2026·浙江·二模）在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【典例02】（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】
对于两个函数，当自变量任取一个值时，它们所对应的函数值之和为2，我们称这两个函数互为“关联函数”．例如：与互为“关联函数”．
【初步探究】
(1)如图，函数经过点，求该函数的“关联函数”表达式；
【深入思考】
(2)在（1）条件下，函数图象的一段向上平移个单位长度后，与它的“关联函数”的图象有交点．求的最小值．
方法透视
考向解读
1. 图象特征：一次函数 ( y = kx + b ) 的图象是一条直线，( k ) 决定方向，( b ) 决定与 ( y ) 轴的交点。
2. 增减性：( k > 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而增大；( k < 0 ) 时，( y ) 随 ( x ) 的增大而减小。
3. 图象平移：遵循“左加右减、上加下减”的原则。
4. 新定义函数：理解新运算规则，分类讨论，转化为方程或不等式求解。
方法技能
一次函数 ( k ) 与 ( b )，增减交点看分明；
平移变换口诀记，联立方程解交点。
变式演练
【变式01】（2025·浙江台州·三模）若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
【变式02】（2025·浙江温州·二模）如图，在“探索一次函数中k，b与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过A，P，则下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【变式03】（2022·浙江金华·模拟预测）定义：图象与轴有两个交点的函数叫做关于直线的对称函数，它与轴负半轴交点记为，与轴正半轴交点记为．
(1)如图：直线：，关于直线的对称函数与该直线交于点．
直接写出点的坐标：（______，0）；（_____，0）；；
为关于直线的对称函数图象上一点（点不与点重合），当时，求点的坐标；
(2)当直线与关于直线的对称函数有两个交点时，求的取值范围．
题型03 二次函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2026·浙江湖州·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线与关于原点成中心对称，则代数式的值为______．
方法透视
考向解读
1. 顶点式：，顶点坐标为 ( (h, k) )，对称轴为直线 ( x = h )。
2. 开口方向：( a > 0 ) 时开口向上，有最小值；( a < 0 ) 时开口向下，有最大值。
3. 增减性：在对称轴两侧相反。
4. 图象平移：( h ) 影响左右平移，( k ) 影响上下平移。
方法技能
二次函数看顶点，( a ) 定开口 ( h ) 定轴；
最值增减配对称，平移变换要记牢。
变式演练
【变式01】（2025·浙江绍兴·三模）如图，二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④当时，y随x的增大而增大．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式02】（2026·浙江·一模）已知抛物线．
(1)若，求图象与轴的交点坐标；
(2)若，是抛物线上不同的两点，且点也在抛物线上，求的值；
(3)在（1）的条件下，作一条垂直于轴的直线，交抛物线于点，交直线于点，当线段随的增大而增大时，求字母的取值范围．
【变式03】（2026·浙江宁波·一模）已知二次函数，m为实数．
(1)若，求该函数图象的对称轴．
(2)当时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值．
(3)若点，，且，，试比较与大小．
题型04 反比例函数图像与性质
典例引领
【典例01】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2026·浙江温州·一模）关于反比例函数，下列说法中错误的是（ ）
A．它的图象分布在一、三象限
B．若点在它的图象上，则也在图象上
C．当时，y的值随x的增大而减小
D．当时，
方法透视
考向解读
1. 图象特征：反比例函数的图象是双曲线，关于原点对称。
2. 象限分布：( k > 0 ) 时，图象在第一、三象限；( k < 0 ) 时，图象在第二、四象限。
3. 增减性：在每个象限内，( k > 0 ) 时 ( y ) 随 ( x ) 的增大而减小；( k < 0 ) 时 ( y ) 随 ( x ) 的增大而增大。
4. 比例系数 ( k ) 的几何意义：过图象上一点作坐标轴的垂线，围成的矩形面积为。
方法技能
反比函数双曲线，( k ) 定象限增减明；
面积问题用，对称联立求交点。
变式演练
【变式01】（2026·浙江台州·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·浙江嘉兴·二模）已知某函数图象经过，，三个点，则该函数图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【变式03】（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系内，反比例函数的图象过点．
(1)若，求证：．
(2)若，，，求该函数的表达式．
题型05 函数图像与性质的综合
典例引领
【典例01】（2024·浙江嘉兴·一模）函数与函数在同一直角坐标系中的大致图象不可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【典例02】（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
(1)如图1，求点的坐标；
(2)如图2，过点作轴，交抛物线于点，过点的直线交的延长线于点，设的长为，求与的函数关系式；
(3)如图3，连接交于点，交抛物线于点，于点，连接， ，求的长．
方法透视
考向
解读
1. 图象共存问题：根据一次函数、反比例函数、二次函数中参数的符号，判断在同一坐标系中的图象是否合理。
2. 函数与几何综合：利用相似、全等、勾股定理等几何知识，结合函数解析式建立方程求点坐标或线段长度。
3. 新定义函数：理解新运算规则，分类讨论，转化为方程或不等式求解，注意验证结果是否符合条件。
4. 图象变换：掌握平移、对称、旋转等变换对函数解析式的影响。
方法技能
综合函数看共存，参数符号定图象；
几何建模列方程，数形结合是良方。
变式演练
【变式01】（2022·浙江宁波·模拟预测）如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过点B和点C，并与x轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式以及它的对称轴；
(2)当时，请直接写出x的取值范围．
【变式02】（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与双曲线相交于点．
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
【变式03】（2025·浙江杭州·二模）已知直线的解析式为，直线交轴于点，交轴于点．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点为延长线上一动点，点在轴正半轴上，连接，且，设点的横坐标为的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取点，连接交轴于点，取的中点，连接并延长交于点，当时，求的值．
题●型●训●练
1．（2026·浙江绍兴·一模）在平面直角坐标系中，点，，由线段与抛物线的一段（）组成的图形C，如图所示．若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2026·浙江温州·一模）已知函数，（，均为常数）的图象都经过点，当时，的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
3．（2026·浙江舟山·一模）已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2026·浙江杭州·模拟预测）二次函数的图象平移后经过点，下列平移方式正确的是（ ）．
A．向右平移1个单位，向下平移1个单位 B．向右平移1个单位，向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，向上平移2个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位
5．（2026·浙江衢州·一模）如图，在直角坐标系中，，点B的坐标是．若反比例函数的图象经过点A，C，且点A的横坐标是1，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·浙江丽水·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为__________．
7．（2022·浙江绍兴·一模）如图，已知经过原点的直线与反比例函数的图象交、两点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，则点坐标为________．
8．（2023·浙江金华·模拟预测）如图，将抛物线向下平移，过原点O，与x轴交于点A，则的长为______．
9．（2023·浙江温州·模拟预测）若，，则y的最小值是______．
10．（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为_________．
11．（2026·浙江湖州·模拟预测）定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
(1)对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值．
(2)对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法：
甲同学说：“在的范围内，，．”
乙同学说：“在的范围内，若，则，．”
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
12．（2022·浙江绍兴·一模）如图，已知二次函数的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，顶点为，且，一次函数的图象经过点、点．
(1)求一次函数的表达式与顶点的坐标；
(2)平移直线使其过点，如轴上方有一点正好在平移后的直线上，且，求点的坐标．
13．（25·浙江宁波·月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求上述反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求的面积．
(3)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
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