专题06图形的性质（7大考点）（浙江专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题06 图形的性质 考点01 平行线的性质与判定 1．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质，结合平角的定义，对顶角相等，求出每个角的度数，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选B． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，可得，再利用邻补角的含义可得答案． 【详解】解：如图，标记角，    ∵， ∴，而， ∴， ∴； 故选C 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，邻补角的含义，熟记平行线的判定与性质是解本题的关键． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    【答案】/90度 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 考点02 三角形的性质 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可知：与互余，与互余，根据同角的余角相等可得结论． 【详解】由示意图可知：和都是直角三角形， ，， ， 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质的应用，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是， 只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出求出第三边的取值范围是本题的关键． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】连接,根据三角形重心的性质可知：P在上，由三角形中线平分三角形的面积可知：，证明和,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答． 【详解】解：如图，连接，   点P是的重心，点D是边的中点，P在上， ， ， ， ， ， ， ， 设的面积为m，则的面积为，的面积为， 四边形的面积为6， ， ， 的面积为9， 的面积是18． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中，准确作出辅助线是解题的关键． 4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）．    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】由，可得，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明可得；证明，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故B是真命题； 若，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，故C是真命题； 若，则在和中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 5．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      【答案】8 【分析】利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理的应用，掌握“三角形的中位线是第三边的一半”是解题的关键． 7．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    【答案】4 【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ． 【答案】 【分析】由题意可得：为等边三角形，四边形为平行四边形，，（1）分别求得四边形的周长与的周长，根据题意，求解即可；（2）分别求得四边形的面积与的面积，根据题意，求解即可． 【详解】解：等边三角形与等边三角形中，， ∴和为等边三角形，， ∴，四边形为平行四边形， 又∵等边三角形与等边三角形 ∴，，， ∴， （1）平行四边形的周长为：， 的周长为： 由题意可得： 即：； （2）过点作，过点作，如下图：    在中，，，， ∴ 则平行四边形的面积为 在中，，，， ∴ 则的面积为： 由题意可得： 化简可得： 故答案为：； 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握并灵活利用等边三角形的性质求得对应线段的长度． 9．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据等边对等角导角得到，再结合圆的切线性质得到，即可证明垂直； （2）先得到是等边三角形，则，解求出，根据，求出，再由梯形面积公式求解． 【详解】（1）证明：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵以点O为圆心，长为半径的半圆与相切于点E， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：． 考点03 勾股定理 1．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，求得的长度，利用勾股定理即可解答，利用全等三角形的性质得到是解题的关键． 【详解】解：是四个全等的直角三角形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与折叠，直角三角形的性质，由折叠可得，，即可得到，再分别在和利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，使点A落在边上的点F处， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．首先过点作，使，连接、，利用勾股定理可求，利用两边成比例且夹角相等，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，当点、、三点共线时有最大值可求的最大值． 【详解】解：如下图所示，过点作，使，连接、， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， 当点、、三点共线时有最大值，． 故答案为： ． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 【答案】 【分析】先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，最后根据条件可知是的中位线，求得的长． 【详解】解，∵，于点D， ∴．                     ∵， ∴．                             ∵于点D， ∴， ∴在中，．     ∵， ∴，         ∵E为AB的中点， ∴． 【点睛】此题考查了三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟记三角形中位线的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 考点04 三角形的全等 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用，可求出x以及的值，此题得解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程是解题的关键． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出即可． 【详解】根据题中所给的作图步骤可知， 是的角平分线，即． 当时，又，且， 所以， 所以， 故A选项不符合题意． 当时， ， 又，且， 所以， 所以， 故B选项不符合题意． 当时， 因为，，， 所以， 所以， 又， 所以， 即． 又， 所以， 则方法同（2）可得出， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    【答案】或或 【分析】根据对顶角相等可得，再添加边相等，可利用或判定． 【详解】解：∵在与中，，， ∴添加，则； 或添加，则； 或添加，则； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【分析】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 考点05 平行四边形的性质 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又 ， 四边形是平行四边形． （2）解： ，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 考点06 矩形 菱形 正方形的性质 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案． 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，正方形的边长为，证明，先后求得，，，利用三角形面积公式求得，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形，且， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理，即， ∴， 同理， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 【答案】C 【分析】过点作，交的延长线于点，的延长线于点，易得：，利用矩形的性质和三角形的面积公式，可得，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：过点作，交的延长线于点，的延长线于点，    ∵矩形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴只需要知道的面积即可求出的值； 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，求三角形的面积．解题的关键是得到 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 【答案】A 【分析】根据题意，分别证明四边形是菱形，平行四边形，矩形，即可求解． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵、， ∴ ∵对称， ∴， ∴ ∵对称， ∴， ∴， 同理， ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， 如图所示，    当三点重合时，， ∴ 即 ∴四边形是菱形， 如图所示，当分别为的中点时， 设，则，， 在中，， 连接，， ∵， ∴是等边三角形， ∵为中点， ∴，， ∴， 根据对称性可得， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴四边形是矩形，      当分别与重合时，都是等边三角形，则四边形是菱形    ∴在整个过程中，四边形形状的变化依次是菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形， 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据矩形性质得出，推出则有等边三角形，即，然后运用余切函数即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形性质和判定、矩形的性质、余切的定义等知识点，求出是解答本题的关键． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点作，连接数 、，延长到点，使，连接，根据可得，利用可证，再利用可证，从而可得，利用勾股定理可得，利用梯形中位线定理可以求出，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可以求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作，连接数、，延长到点，使，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ， 点是的中点， 是梯形的中位线，                                       ，， ， ， 又， ， ， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 7．（2023·浙江·中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】连接与交于O．先证明是等边三角形，由，得到，，即可得到，利用勾股定理求出的长度，即可求得的长度． 【详解】解：连接与交于O．    ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，且， ∴是等边三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、角所对直角边等于斜边的一半，关键是熟练掌握菱形的性质． 8．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 【答案】/ 【分析】此题考查了菱形的性质，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 设，，首先根据菱形的性质得到，，连接，，直线l交于点F，交于点G，得到点，D，O三点共线，，，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】∵四边形是菱形， ∴设， ∴， 如图所示，连接，，直线l交于点F，交于点G， ∵线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上， ∴，， ∴ ∴点，D，O三点共线 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 由对称可得， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是 ．    【答案】或 【分析】根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故答案为：或．    【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理，解题的关键是掌握菱形的对角线平分内角；等腰三角形两底角相等，三角形的内角和为；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 10．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用矩形的性质、勾股定理求出，利用证明，根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，据此可利用证明； （2）由正方形的性质可得，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质的三角形全等即可证明． （2）根据菱形的性质和已知条件可推出度数，再根据第一问的三角形全等和直角三角形的性质可求出和度数，从而求出度数，证明了等边三角形，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：菱形， ， 又， ． 在和中， ， ． ． （2）解：菱形， ， ， ． 又， ． 由（1）知， ． ． ， 等边三角形． ． 【点睛】本题考查了三角形全等、菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握全等的方法和菱形的性质． 考点07 四边形的综合题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)与垂直，理由见解析 【分析】（1）由正方形的性质，得到，结合垂直于同一条直线的两条直线平行，可得，再根据平行线的性质解答即可； （2）连接交于点，由证明，再根据全等三角形对应角相等得到，继而证明四边形为矩形，最后根据矩形的性质解答即可． 【详解】（1）解：在正方形中， ∴， ∴． （2）与垂直，理由如下． 连接交于点． ∵为正方形的对角线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 在正方形中，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判断与性质、矩形的判定与性质等知识，综合性较强，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角得出，根据矩形的性质得出，，即可证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据，得出，设，则， ，，根据相似三角形的性质列出等式，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，即． （2）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 设，∵， ∴，， ∴， 解得， ∴．    【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．      (1)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)画图见解析 (3) 【分析】（1）先证明，，再证明，即可得到结论； （2）根据新定义分两种情况进行讨论即可；①，结合图形再确定满足或的格点D；②，结合图形再确定满足的格点D； （3）如图，过作于，可得四边形是矩形，，，证明四边形为平行四边形，可得，，设，而，，，由新定义可得，由勾股定理可得：，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵对角线平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为邻等四边形． （2）解：，，即为所求； （3）如图，过作于，      ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 设，而， ∴，， 由新定义可得， 由勾股定理可得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， ∴四边形的周长为． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 图形的性质 考点01 平行线的性质与判定 1．（2025·浙江·中考真题）如图所示，直线被直线c所截．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，已知，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，点分别在的边上，且，点在线段的延长线上．若，，则 ．    考点02 三角形的性质 1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·浙江金华·中考真题）在下列长度的四条线段中，能与长的两条线段围成一个三角形的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（　　）    A．15 B．18 C．24 D．36 4．（2023·浙江台州·中考真题）如图，锐角三角形中，，点D，E分别在边，上，连接，．下列命题中，假命题是（    ）．    A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·浙江·中考真题）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    6．（2023·浙江金华·中考真题）如图，把两根钢条的一个端点连在一起，点分别是的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ．      7．（2023·浙江·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 ．    8．（2023·浙江台州·中考真题）如图，点在线段上（点C在点之间），分别以为边向同侧作等边三角形与等边三角形，边长分别为．与交于点H，延长交于点G，长为c．    （1）若四边形的周长与的周长相等，则之间的等量关系为 ． （2）若四边形的面积与的面积相等，则a，b，c之间的等量关系为 ． 9．（2025·浙江·中考真题）如图，在中，，点O在边上，以点O为圆心，长为半径的半圆，交于点D，与相切于点E，连接 (1)求证：． (2)若，求四边形的面积． 考点03 勾股定理 1．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形组成，连接．若，则（    ） A．5 B． C． D．4 2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在边上，且，将沿折叠，使点A落在边上的点F处，则（   ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，中，于点，则的最大值为 ． 4．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，在中，，于点D，点E为AB的中点，连结DE．已知，，求BD，DE的长． 考点04 三角形的全等 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，点D，E都在边上，．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于内一点F.连结并延长，交于点G．连结，.添加下列条件，不能使成立的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江·中考真题）如图，在与中，，请添加一个条件 ，使得．    4．（2023·浙江衢州·中考真题）已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 考点05 平行四边形的性质 1．（2024·浙江·中考真题）如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．    (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积等于2，求的面积． 考点06 矩形 菱形 正方形的性质 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以其三边为边在的同侧作三个正方形，点在上，与交于点与交于点．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，以钝角三角形的最长边为边向外作矩形，连结，设，，的面积分别为，若要求出的值，只需知道(   )    A．的面积 B．的面积 C．的面积 D．矩形的面积 4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，为对角线的中点，．动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持．点关于的对称点为；点关于的对称点为．在整个过程中，四边形形状的变化依次是（    ） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 5．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点．若，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 7．（2023·浙江·中考真题）如图，在菱形中，，则的长为（    ）       A． B．1 C． D． 8．（2024·浙江·中考真题）如图，在菱形中，对角线，相交于点O，．线段与关于过点O的直线l对称，点B的对应点在线段上，交于点E，则与四边形的面积比为 9．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是 ．    10．（2023·浙江台州·中考真题）如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点C作，垂足为点F，则的长为 ． 11．（2025·浙江·中考真题）【问题背景】 如图所示，某兴趣小组需要在正方形纸板上剪下机翼状纸板（阴影部分），点E在对角线上． 【数学理解】 (1)该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出的证明过程． (2)若裁剪过程中满足，求“机翼角”的度数． 12．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在菱形中，于点，于点，连接    (1)求证：； (2)若，求的度数． 考点07 四边形的综合题 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在正方形中，是对角线上的一点（与点不重合），分别为垂足．连接，并延长交于点．    (1)求证：． (2)判断与是否垂直，并说明理由． 2．（2023·浙江温州·中考真题）如图，已知矩形，点E在延长线上，点F在延长线上，过点F作交的延长线于点H，连结交于点G，．    (1)求证：． (2)当，时，求的长． 3．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．      (1)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形． (2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D． (3)如图3，四边形是邻等四边形，，为邻等角，连接，过B作交的延长线于点E．若，求四边形的周长． / 学科网（北京）股份有限公司 $$