小升初专题21 圆（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题21 圆 知识点01：圆的有关意义： 在一个平面内，一个动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫作圆。 知识点02：圆的各部分名称： 圆中心的一点叫作圆心，一般用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，一般用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示。圆有无数条半径和无数条直径。 知识点03：圆的特征： ①在同圆或等圆中，d = 2r或r=d÷2，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 ②圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 知识点04：圆周率： 圆的周长与径的比叫作圆周路，用“π”表示。π= 3.14159265……。 知识点05：扇形的认识： ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点06：圆的周长： 1、圆的周长相关知识点： ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 2、常用的3.14的倍数： 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点07：圆的面积： 1、 圆的面积推导： ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 2、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 【例1】体育课上，老师组织学生在篮球场的半圆形区域进行定点投篮练习（篮框位于半圆的圆心处），同学们分别站在如图所示的A、B、C、D四个位置。请回答下列问题； (1)请问同学们在A、B、C、D四个点投篮是否公平？________（填写“公平”或“不公平”） (2)图中________和________点的投篮距离相等，结合几何知识简要说明理由：_____________________。 【答案】(1)不公平 (2) B D 圆心到圆上的点的长度等于半径的长度 【分析】（1）由题意可知，同学们在A、B、C、D四个点投篮不公平，A、C点在圆上，B、D点在圆上，因为距离不同。 （2）图中B、D点在圆上，B和D点的投篮距离相等，结合几何知识简要说明理由：圆心到圆上的点的长度等于半径的长度。 【详解】（1）同学们在A、B、C、D四个点投篮不公平。 （2）图中B和D点的投篮距离相等，结合几何知识简要说明理由：圆心到圆上的点的长度等于半径的长度。 1．画一个直径为4厘米的圆，在圆内画一个最大的正方形，求这个正方形的面积。（保留作图痕迹） 【答案】8平方厘米 【分析】在圆内画一个最大的正方形，由图分析可知：正方形面积＝直径×半径÷2×2，据此解答。 【详解】画图如下： 正方形面积： 4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝4×2 ＝8（平方厘米） 答：这个正方形面积是8平方厘米。 【点睛】将正方形面积转化为两个底是直径，高是半径的三角形面积，是解答的关键。 2．（1）以BC为直径在长方形ABCD内画一个半圆，并标出圆心O。 （2）求出这个半圆的面积。 【答案】（1）见详解 （2）6.28平方厘米 【分析】（1）以BC为直径在长方形ABCD内画一个半圆，这个半圆的直径等于长方形的长4厘米，半径是4÷2＝2（厘米），以长方形长的中点为圆心画一个半圆即可； （2）根据圆形面积公式S＝r2，除以2再求出半圆的面积即可。 【详解】（1）作图如下： （画法不唯一） （2）3.14×22÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 答：半圆的面积是6.28平方厘米。 【点睛】本题考查了圆的画法以及圆的面积公式的灵活运用知识，结合题意分析解答即可。 3．以点O为圆心，分别画出半径2厘米和3厘米的同心圆，并计算出这个圆环的面积。（π取3.14） 【答案】图形见详解；15.7平方厘米 【分析】圆心决定圆的位置，圆的半径决定圆的大小，以点O为圆心，分别以半径2厘米和3厘米画同心圆即可；然后根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此代入数值进行计算即可。 【详解】如图所示： 3.14×（32－22） ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方厘米） 答：这个圆环的面积是15.7平方厘米。 【点睛】本题考查圆环的面积，熟记公式是解题的关键。 【例2】有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的小路。（圆周率取值3.14） （1）这条小路的面积是多少？   （2）沿环形小路的两旁边缘每隔5米装一盏灯，一共要安装多少盏灯？ 【答案】（1）113.04平方米 （2）23盏 【分析】（1）已知圆形花坛直径是16米，则半径等于直径的一半16÷2＝8米，在它的周围修建一条2米宽的小路，则加上小路后大圆半径是8＋2＝10米；小路的面积实际上就是圆环的面积，根据“圆环面积＝π（R2－r2）计算出小路的面积。 （2）要计算装灯的数量，需要先求出环形小路两旁的周长，先求外圆周长C＝2πR，再计算内圆周长C＝2πr，分别用周长除以间隔距离计算出内圆和外圆安装的灯数，最后相加。 【详解】（1）16÷2＝8（米） 8＋2＝10（米） 3.14×（102－82） ＝3.14×（100－64） ＝3.14×36 ＝113.04（平方米） 答：这条小路的面积是113.04平方米。 （2）外圆周长：2×3.14×10＝62.8（米） 62.8÷5≈13（盏） 内圆周长：2×3.14×8＝50.24（米） 50.24÷5≈10（盏） 一共：13＋10＝23（盏） 答：一共要安装23盏灯。 1．张大伯家有一个圆锥形小麦堆，量得它的底面周长是12.56米，高是1.5米，如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 【答案】4396千克 【分析】利用圆锥底周长公式：C＝2πr，转化为r＝C÷π÷2，计算其底面半径，再利用体积公式：V＝πr2计算其体积，再乘700千克，计算小麦的质量即可。 【详解】12.56÷3.14÷2＝2（m） ＝3.14×4×1.5× ＝6.28（m3） 6.28×700＝4396（千克） 答：这堆小麦的质量为4396千克。 2．中山街道种粮大户牛山三家有一个圆锥形小麦堆，底面周长是18.84米，高2米，如果每立方米小麦大约重750千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（结果保留整数） 【答案】14吨 【分析】根据底面周长C＝2πr，求出半径r，再根据：圆锥的体积＝πr2h，求出圆锥体，这堆小麦的重量＝每立方米小麦的重量×这堆小麦的体积，计算结果再根据1吨＝1000千克保留整数，也就是对十分位进行四舍五入法估算。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 3×3×3.14×2××750 ＝9×3.14×2××750 ＝28.26×2××750 ＝56.52××750 ＝18.84×750 ＝14130（千克） 14130千克＝14.13吨≈14吨 答：那么这堆小麦大约重14吨。 3．一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深2.5米，如果每平方米用水泥8千克，共需水泥多少千克？ 【答案】904.32千克 【分析】利用底面周长除以3.14除以2求出底面半径，利用底面积公式S＝πr2求出底面积，再利用侧面积＝Ch求出侧面积，再把底面积和侧面积相加即可求出需要用水泥的面积。将用水泥的面积乘8，求出共需水泥多少千克。 【详解】25.12÷3.14÷2＝4（米） （3.14×42＋25.12×2.5）×8 ＝（3.14×16＋62.8）×8 ＝（50.24＋62.8）×8 ＝113.04×8 ＝904.32（千克） 答：共需水泥904.32千克。 【例3】将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。 【答案】19.7厘米 【分析】阴影部分的周长相当于一个半径是2厘米的圆周长一半＋一个半径是3厘米的圆周长一半＋2条线段，根据圆周长公式：S＝2πr，用2×3.14×2÷2即可求出一个半径是2厘米的圆周长一半，用2×3.14×3÷2即可求出一个半径是3厘米的圆周长一半，阴影部分左边的线段相当于直径（2×2）厘米减去3厘米，右边的线段是半径3厘米，据此用加法求出阴影部分的周长。 【详解】2×3.14×2÷2＝6.28（厘米） 2×3.14×3÷2＝9.42（厘米） 2×2－3＝1（厘米） 6.28＋9.42＋1＋3＝19.7（厘米） 答：阴影部分的周长19.7厘米。 1．按要求使用作图工具规范作图和计算。在长4cm、宽2cm的长方形内画一个最大的半圆，半圆的周长是（        ）cm。 【答案】见详解；10.28 【分析】根据题意可知，在这个长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的直径等于长方形的长，以长边的中点为圆心，以2厘米为半径画出这个半圆即可。 根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】如图： 3.14×4÷2＋4 ＝6.28＋4 ＝10.28（cm） 这个半圆的周长是10.28cm。 【点睛】本题考查在长方形内画一个最大的半圆，以及半圆周长的求法。 2．图形与操作。 (1)按要求在图中画一画。 (2)计算变化后图形中阴影部分的面积。 (3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 【答案】(1)见详解 (2)8平方厘米 (3)20.56厘米 【分析】（1）先确定旋转中心为O点，根据阴影①绕O点逆时针旋转90°，阴影②绕O点顺时针旋转90°的方向和度数，画出旋转后的图形。 （2）变化后阴影部分的面积是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是正方形的边长，根据三角形的面积公式可计算出阴影部分面积。 （3）原图中阴影部分的周长是一个直径为4cm的圆的周长，依据圆的周长公式为计算出圆的周长，最后加上两条4厘米的线段长度得到阴影部分的周长。 【详解】（1）见下图 （2）4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（平方厘米） 所以，变化后图形中阴影部分的面积8平方厘米。 （3）3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 原图中阴影部分的周长是20.56厘米。 【点睛】关键点是知道并发现将①和②通过旋转后阴影部分的面积变成一个等腰直角三角形。 3．如图，把扇形的两条半径无缝拼接（不重叠），可以卷成一个空心圆锥。如果再配一个底面，圆锥的高就是8厘米，圆锥的容积是多少？（厚度不计） 【答案】301.44立方厘米 【分析】根据题意可知，扇形的弧长12π厘米就是圆锥的底面周长，根据圆的周长公式C＝2πr，可知r＝C÷π÷2，由此求出圆锥的底面半径；再根据圆锥的体积（容积）公式V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），圆锥的高是8厘米，把求出的半径和高代入即可求出圆锥的容积。 【详解】圆锥的底面半径：12π÷π÷2＝6（厘米） ×3.14×62×8 ＝×3.14×36×8 ＝12×3.14×8 ＝37.68×8 ＝301.44（立方厘米） 答：圆锥的容积是301.44立方厘米。 【例4】某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径都为，小圆半径都为，且。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作简要说明） 【答案】问号的油漆用得多 【分析】由图可知，句号的涂色部分是大圆挖去小圆，面积用大圆面积减去小圆面积；逗号的涂色部分是大圆的一半，面积用大圆面积除以2；问号的涂色部分是大圆的环形（大圆减小圆）加上一个小圆，面积用的环形面积加上小圆面积。根据圆的面积公式S＝πr2，结合题目中R＝2r的条件，将半径代入分别求出三个标点的涂色面积，最后对比三个面积的大小，即可判断出哪个标点用的油漆更多。 【详解】句号的面积：π（R2－r2） ＝π[（2r）2－r2）] ＝π[4r2－r2] ＝π×3r2 ＝3πr2 逗号的面积：π×R2÷2 ＝π×（2r）2÷2 ＝π×4r2÷2 ＝4πr2÷2 ＝2πr2 问号的面积：π（R2－r2）＋πr2 ＝π[（2r）2－r2）]＋πr2 ＝π[4r2－r2]＋πr2 ＝π×3r2＋πr2 ＝πr2＋πr2 ＝πr2 πr2＞3πr2＞2πr2 答：问号的油漆用得多。 1．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 【答案】12.56平方米；15.7平方米 【分析】2秒后波纹为一个半径为（1×2＝2）米的圆的面积，根据圆的面积＝即可求出2秒后波纹的面积； 一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹为半径为（1×3＝3）米的圆，第二个波纹为半径为（1×2）米的圆，用第一个波纹产生的圆的面积减去第二个波纹产生的圆的面积即可求出产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米。 【详解】3.14×（1×2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方米） 3.14×（1×3）2－3.14×（1×2）2 ＝3.14×32－3.14×22 ＝3.14×9－3.14×4 ＝3.14×（9－4） ＝3.14×5 ＝15.7（平方米） 答：2秒后波纹的面积是12.56平方米；产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大15.7平方米。 2．在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆周率取3.14） 【答案】1.42平方厘米 【分析】根据圆的面积公式：S＝πr2，用大圆面积减去小圆面积，这时剩下的面积是大阴影部分和长方形白色部分的面积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积差。长方形的面积＝长×宽。 【详解】3.14×42×－3.14×22× ＝3.14×16×－3.14×4× ＝12.56－3.14 ＝9.42（平方厘米） 9.42－4×2 ＝9.42－8 ＝1.42（平方厘米） 答：两个阴影部分的面积差1.42平方厘米。 【点睛】用大圆面积减去小圆面积，这时剩下的面积是大阴影部分和长方形白色部分的面积之和，用它们的和减去长方形的面积就是两个阴影部分的面积差。 3．“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【答案】（1）12.56平方分米 （2）37.68立方分米 【分析】（1）已知这只木桶内部的底面直径是4分米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出木桶内部的底面积。 （2）木桶侧面上的木板长度有3分米、5分米和7分米三种，因为木桶能盛水的体积取决于最短的那块木板，所以这个木桶最多能装水的高度是3分米，根据圆柱的体积（容积）公式V＝Sh，求出这个木桶在地面平放时最多能装水的体积。 【详解】（1）3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 答：这个木桶内部的底面积是12.56平方分米。 （2）12.56×3＝37.68（立方分米） 答：这个木桶在地面平放时最多能装37.68立方分米的水。 【例5】健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 【答案】约0.90平方米 【分析】圆柱的体积＝底面积（S＝πr2）×高，据此先求出圆柱形沙包的体积，也就是圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥的体积＝Sh，得出沙堆的占地面积＝圆锥形沙堆的体积÷（×沙堆的高），据此解答即可。注意单位的统一，1米＝100厘米，结果保留两位小数，看小数点后第三位小数，根据“四舍五入法”取舍。 【详解】40厘米＝0.4米 50厘米＝0.5米 沙堆的体积：3.14×（0.4÷2）2×1.2 ＝3.14×0.22×1.2 ＝3.14×0.04×1.2 ＝0.1256×1.2 ＝0.15072（立方米） 沙堆的占地面积： 0.15072÷（×0.5） ＝0.15072÷÷0.5 ＝0.15072×3÷0.5 ＝0.45216÷0.5 ＝0.90432 ≈0.90（平方米） 答：这个沙堆的占地面积约是0.90平方米。 1．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） 【答案】16014 【分析】利用圆的面积公式S＝πr2，通过大圆面积减去相邻小圆面积，再交替相加的方法计算涂色部分面积。 【详解】3.14×802－3.14×402＋3.14×202－3.14×102 ＝3.14×6400－3.14×1600＋3.14×400－3.14×100 ＝3.14×（6400－1600＋400－100） ＝3.14×5100 ＝16014 答：阴影部分的面积是16014。 【点睛】本题解题的核心思路是利用圆的面积公式，结合“交替加减相邻圆面积”的策略，将不规则阴影部分转化为多个圆面积的组合运算。 2．如图，一张直径为16分米的圆桌上面铺了一块直径是18分米的圆形桌布。这块桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 【答案】53.38平方分米 【分析】因为一张直径为16分米的圆桌上面铺了一块直径是18分米的圆形桌布，桌布下垂部分可看作是一个圆环。圆桌的半径（内圆半径）为16÷2＝8分米，圆形桌布的半径（外圆半径）为18÷2＝9分米。根据圆环的面积公式S＝π（R2－r2）（π取3.14，R为外圆半径，r为内圆半径），把数据代入计算即可。 【详解】18÷2＝9（分米） 16÷2＝8（分米） 3.14×（92－82） ＝3.14×（81－64） ＝3.14×17 ＝53.38（平方分米） 答：这块桌布下垂部分的面积是53.38平方分米。 3．北京天坛公园是北京著名的景点，公园里的皇穹宇的围墙俗称回音壁（如图），是闻名世界的声学奇迹。回音壁的墙高约4米，墙内的直径约60米。墙内景区的面积约有多大？ 【答案】2826平方米 【分析】求墙内景区的面积，就是求一个直径约60米的圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（60÷2）2 ＝3.14×302 ＝3.14×900 ＝2826（平方米） 答：墙内景区的面积约有2826平方米。 【例6】为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 【答案】见详解； 28.26平方米 【分析】根据环形的画法，先画出两个大小不同的同心圆，标注好内圆的半径4米和环宽1米，再根据环形面积公式：，把数据代入公式解答。 【详解】作图如下： 4＋1＝5（米） 3.14×（52－42） ＝3.14×（25－16） ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 答：铺设地砖的面积是28.26平方米。 1．公园里一个圆形花坛直径是16米，要在它的周围修一条2米宽的鹅卵石小路，这条鹅卵石小路的面积是多少平方米？ 【答案】113.04平方米 【分析】根据题意，先计算圆形花坛的半径，即用直径16÷2；再计算包括鹅卵石小路在内的大圆半径，即花坛半径加2米；然后分别利用圆的面积公式计算大圆和花坛的面积，用大圆面积减花坛面积得到鹅卵石小路的面积。据此解答 【详解】16÷2＝8（米） 8＋2＝10（米） 3.14×102－3.14×82 ＝3.14×100－3.14×64 ＝314－200.96 ＝113.04（平方米） 答：这条鹅卵石小路的面积是113.04平方米。 2．阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3） （2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 【答案】（1）3630立方厘米 （2）16厘米 （3）1710立方厘米 【分析】（1）求这个圆柱的体积是多少立方厘米，，代入数值即可解答； （2）内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，设内圆直径为厘米，外圆直径为22厘米，，解比例即可解答； （3）求这个零件（如图3）的体积，用外圆柱的体积减内圆柱的体积，据此解答。 【详解】（1） （立方厘米） 答：这个圆柱的体积是3630立方厘米。 （2）设内圆直径为厘米， 答：这个零件底面的内圆直径是16厘米。 （3） （立方厘米） （立方厘米） 答：这个零件（如图3）的体积是1710立方厘米。 【点睛】本题借“长方体加工空心圆柱”的实际场景，考查圆柱体积计算、比例应用、空心立体体积求法，核心是用“公式＋比例＋整体减部分”的思路解题。 3．芳芳家门口有一个圆形水池，水池的直径是2米，现在水池的周围要修一条0.5米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】3.925平方米 【分析】根据题意可知，水池的半径是（2÷2）米，也就是1米，则这个圆环的外圆半径是（1＋0.5）米，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），代入数据即可求出小路的面积。 【详解】2÷2＝1（米） 1＋0.5＝1.5（米） 3.14×（1.52－12） ＝3.14×（2.25－1） ＝3.14×1.25 ＝3.925（平方米） 答：这条小路的面积是3.925平方米。 【例7】如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 【答案】（1）相等；原因见详解 （2）①； 【分析】（1）图①：两个半圆的面积和等于直径是2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米圆的面积，根据正方形面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出阴影部分面积。 图②：四个空白面积加起来是一个直径2分米的圆的面积；阴影部分面积＝正方形面积－直径为2分米的圆的面积，据此求出阴影部分面积。 图③：三个空白面积加起来就是直径2分米的圆的面积，阴影部分面积＝正方形面积－圆的面积，据此求出阴影部分面积，再进行比较，即可解答。 （2）选择图①（选法不唯一），用阴影部分的面积÷正方形面积，即可解答。 【详解】（1）图①： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图②： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 图③： 2×2－3.14×（2÷2）2 ＝2×2－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方分米） 0.86＝0.86＝0.86，阴影部分的面积相等。 答：阴影部分的面积相等，因为计算的阴影部分的面积结果相同。 （2）0.86÷（2×2） ＝0.86÷4 ＝ 我选择第①图，计算出阴影面积占正方形面积的。（选择的图答案不唯一） 1．人民公园有一个圆形花坛，花坛半径是5米，国庆节在花坛中间部分用波斯菊摆了一个最大的正方形（如图），外围种上千日红。这个花坛中千日红所占的面积是多少平方米？ 【答案】 28.5平方米 【分析】观察图形可知正方形的对角线的长度等于圆的直径的长度，正方形的面积可由对角线平均分成两个直角三角形，三角形的高为半径，底为直径，据此求出正方形的面积，即种波斯菊的面积；用圆的面积减去正方形的面积求出种千日红的面积，将数据代入圆的面积公式及三角形的面积公式S＝ah÷2计算即可。 【详解】3.14×52－（5×2）×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方米） 答：这个花坛中千日红所占的面积是28.5平方米。 2．中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】2.28平方米 【分析】根据圆的面积S＝πr2 可知，r2 ＝S÷π。从图中可知，圆的直径就是大正方形的边长，而大正方形的面积＝边长×边长＝r×r＝r2  ；小正方形的面积可以看出两个等腰直角三角形组成，三角形的底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积，再乘2即可求出小正方形的面积；最后用圆形的面积减去小正方形的面积即可。 【详解】解：设圆半径为r。 r2＝6.28÷3.14＝2（平方米） 2r×r÷2＝r2＝2（平方米） 2×2＝4（平方米） 6.28－4＝2.28（平方米） 答：整个图形中所有空白部分的面积是2.28平方米。 3．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 【答案】28.5平方厘米 【分析】已知圆的半径是5厘米，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 把圆内的正方形用一条对角线平均分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形的面积公式S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积； 那么阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，代入数据计算，即可求解。 【详解】3.14×52－5×2×5÷2×2 ＝3.14×25－10×5÷2×2 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 答：它的面积是28.5平方厘米。 一、填空题 1．从一张边长10厘米的正方形纸片上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 【答案】78.5 【分析】由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，正方形的边长已知，于是利用圆的面积公式即可求解。 【详解】 （平方厘米） 2．如图所示，在半径是4cm的圆里画一个最大的正方形，阴影部分的面积是______。 【答案】18.24 【分析】 由图可知，在半径是4cm的圆里画一个最大的正方形，则这个正方形的对角线长为这个圆的直径，这个正方形由4个完全相等的等腰直角三角形组成，这个直角三角形的腰长为圆的半径4cm，再根据三角形的面积＝底×高÷2即可求出正方形的面积，用圆的面积＝求出半径为4cm的圆的面积，用圆的面积减去正方形的面积即可求出阴影部分的面积。 【详解】4×4÷2×4 ＝8×4 ＝32（cm²） 3.14×4²－32 ＝3.14×16－32 ＝50.24－32 ＝18.24（cm²） 即阴影部分的面积是18.24cm²。 3．有一个直径为1分米的圆，这个圆的外面和里面各有一个正方形（如下图）。里面正方形的面积与外面正方形面积的比是( )。 【答案】1∶2 【分析】 从图中可知，外面正方形的边长等于圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长，求出外面正方形的面积；里面正方形可以分成两个直角三角形，如图：三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是里面正方形的面积。然后再求里面正方形的面积与外面正方形面积的比。最后根据比的基本性质化简比即可。 【详解】1×1＝1（平方分米） 1×（1÷2）÷2 ＝1×0.5÷2 ＝0.25（平方分米） 0.25×2＝0.5（平方分米） 0.5∶1 ＝（0.5×2）∶（1×2） ＝1∶2 里面正方形的面积与外面正方形面积的比是1∶2。 【点睛】通过观察分析出圆的直径和大正方形边长相等的关系，进而求出大正方形的面积。小正方形可以分成两个三角形，三角形的底和高分别与圆的直径和半径找到相应的关系，然后进行计算，最后将面积比化简成最简整数比。 4．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的道理。 (1)图1中，如果外面正方形的面积是64平方分米，那么内圆的面积是( )平方分米。 (2)图2中，如果外圆的面积是28.26平方分米，则圆内正方形的面积是( )平方分米。 【答案】(1)50.24 (2)18 【分析】解答这道题的关键是理解外方内圆和外圆内方两种图形之间的关系，明确在正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在圆里画一个最大的正方形，圆的直径等于正方形对角线的长。 （1）题目中已知外面正方形的面积是64平方分米，因正方形的面积＝边长×边长，64＝8×8，所以正方形的边长为8分米，据此解答。 （2）圆中最大的正方形计算面积时，可以用正方形的对角线将正方形分成两个三角形，三角形的底是圆的直径，三角形的高是圆的半径。如下图： 利用三角形的面积＝底×高÷2计算即可。题目中已知圆的面积是28.26平方分米。即，由此可得，则分米。据此计算即可。 【详解】（1）因为64＝8×8，所以正方形的边长为8分米，则圆的直径＝8分米。 （分米） （平方分米） 所以，图1中圆的面积是50.24平方分米。 （2）因为圆的面积是28.26平方分米。即平方分米，由此可得平方分米，则分米。 （分米） （平方分米） 所以，图2中正方形的面积是18平方分米。 5．小芳家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品（如下图），圆形绣花部分的直径是2米，这幅十字绣空白部分的面积是( )平方米。 【答案】0.86 【分析】十字绣空白部分的面积可以用正方形的面积减去圆的面积得到。正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2。正方形的边长等于圆的直径。 【详解】r＝2÷2＝1（米） 2×2－3.14×12 ＝4－3.14 ＝0.86（平方米） 所以，这幅十字绣空白部分的面积是0.86平方米。 6．某装饰画采用“外方内圆”“外圆内方”造型，圆的半径为2dm，外方内圆中正方形与圆的面积差是( )dm2；外圆内方中圆与正方形的面积差是( )dm2。 【答案】 3.44 4.56 【分析】根据题意可知，正方形内圆的直径等于外正方形的边长；根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝π×半径2，代入数据，求出外正方形面积和圆的面积，再用外正方形面积－圆的面积，即可求出外方内圆中正方形与圆的面积差。 圆内的正方形的对角线等于圆的直径；圆内正方形的面积分成两个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据三角形面积＝底×高÷2，即三角形面积＝圆的直径×圆的半径÷2，则圆内的正方形的面积＝圆的直径×圆的半径，据此求出圆内正方形面积，再用圆的面积－圆内正方形面积，即可解答。 【详解】2×2＝4（dm） 4×4＝16（dm2） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（dm2） 16－12.56＝3.44（dm2） 12.56－4×2 ＝12.56－8 ＝4.56（dm2） 某装饰画采用“外方内圆”“外圆内方”造型，圆的半径为2dm，外方内圆中正方形与圆的面积差是3.44dm2；外圆内方中圆与正方形的面积差是4.56dm2。 7．“圆”是中国文化的一个重要元素。圆，有圆满之意，符合中国人内心深处的向往。在中国建筑中经常能见到“外圆内方”的设计。如图圆的直径是2米。那么圆和正方形之间部分的面积是( )平方米。 【答案】1.14 【分析】 “外圆内方”的设计，正方形为圆内最大的正方形，如图，可以将正方形沿对角线平均分成两个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，利用求出圆的面积，利用三角形的面积＝底×高÷2求出正方形面积的一半，再乘2求出正方形面积，最后用圆的面积减去正方形面积。 【详解】（米） （平方米） （平方米） （平方米） 圆和正方形之间部分的面积是1.14平方米。 8．建筑工地上，工人师傅用圆规画了一个周长为25.12米的圆，准备在圆内铺一个最大的正方形地砖区域，这个正方形区域的面积是( )平方米。（π取3.14） 【答案】32 【分析】已知所画圆的周长为25.12米，根据圆的周长公式C＝πd可知，d＝C÷π，由此求出圆的直径；再根据r＝d÷2，求出圆的半径。 如下图，连接圆内最大正方形的一条对角线，把正方形平均分成两个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。 【详解】圆的直径：25.12÷3.14＝8（米） 圆的半径：8÷2＝4（米） 正方形的面积：8×4÷2×2 ＝32÷2×2 ＝16×2 ＝32（平方米） 9．在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米，剩余部分的面积是( )平方厘米。 【答案】 50.24 13.76 【分析】在一个正方形内画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，用正方形的边长除以2求出圆的半径，根据圆的面积＝求出圆的面积；剩余部分的面积是正方形的面积减去圆的面积，正方形的面积＝边长×边长。 【详解】8÷2＝4（厘米） 3.14×＝3.14×16＝50.24（平方厘米） 8×8－50.24 ＝64－50.24 ＝13.76（平方厘米） 10．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的道理。图一中，外面正方形的面积是4dm2，则正方形内最大的圆的面积是( )dm2。图二中，外圆的面积是3.14dm2，则圆中最大正方形的面积是( )dm2。 【答案】 3.14 2 【分析】（1）根据正方形面积＝边长×边长，求出正方形的边长，正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长，代入圆的面积公式中S＝πr2，求出圆的面积。 （2）圆内最大的正方形可以看作是两个以圆的直径（对角线）为底，半径为高的三角形面积的和，因此先根据圆的面积求出半径，再根据三角形面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，求出正方形的面积。 【详解】（1）因为4＝2×2，所以正方形的边长为2dm。 圆的面积：3.14×（2÷2）2 ＝3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（dm2） （2）半径：3.14÷3.14＝1（dm） 直径：1×2＝2（dm） 正方形面积：2×1÷2×2 ＝2×1 ＝2（dm2） 11．我国“天问三号”火星探测器的某传感器保护罩是外圆内方的结构，圆的直径是10厘米，这个保护罩中正方形的面积是( )平方厘米，圆与正方形的面积比是( )（π取3.14）。 【答案】 50 157∶100 【分析】“外圆内方”的结构意味着正方形的对角线长度等于圆的直径。将正方形看作两个完全一样的三角形，底为直径，高为半径，据此算出正方形面积；圆的面积＝，算出圆的面积后写出比，并化简为最简整数比。 【详解】正方形面积：10×5÷2×2 ＝50÷2×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 圆的面积：3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5 78.5∶50＝785∶500＝157∶100 这个保护罩中正方形的面积是50平方厘米；圆与正方形的面积比是157∶100。 12．从一张周长是8dm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是( )dm，剩余部分的面积是( )dm2。 【答案】 2 0.86 【分析】根据题意，从正方形纸上剪下一个最大的圆，那么这个圆的直径等于正方形的边长；已知正方形纸的周长是8dm，根据正方形的边长＝周长÷4，求出正方形的边长，也是最大圆的直径； 那么剩余部分的面积＝正方形的面积－圆的面积，根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出剩余部分的面积。 【详解】圆的直径：8÷4＝2（dm） 圆的半径：2÷2＝1（dm） 圆的面积： 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（dm2） 正方形的面积：2×2＝4（dm2） 剩余部分的面积：4－3.14＝0.86（dm2） 13．如图，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形，这个圆的半径是( )cm，面积是( )，这个正方形的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 4 50.24 32 64 【分析】根据d＝C÷π，求出圆的直径，直径再除以2就得到半径，圆的面积＝πr2；圆的直径等于正方形的边长，正方形的周长＝边长×4；正方形的面积＝边长×边长，据此解答。 【详解】25.12÷3.14＝8（cm） 半径：8÷2＝4（cm） 圆的面积：3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） 正方形周长：8×4＝32（cm） 面积：8×8＝64（cm2） 14．过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是40cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2。如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 【答案】 456 1600 【分析】根据圆的面积S＝πr2，算出圆的面积；连接正方形的对角线，把正方形分成4个面积相等的三角形，根据三角形的面积＝底×高÷2算出一个三角形的面积，再乘4算出正方形的面积，用圆的面积减去正方形的面积即可算出正方形与圆之间部分的面积；需要的正方形纸的边长等于圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长计算解决。 【详解】（1）40÷2＝20（cm） 3.14×202－20×20÷2×4 ＝3.14×400－20×20÷2×4 ＝1256－800 ＝456（cm2） 所以正方形与圆之间部分的面积是456cm2； （2）40×40＝1600（cm2） 所以正方形纸的面积至少是1600cm2。 15．如图正方形的边长为10cm，则圆的周长是__________cm，圆的面积是__________。 【答案】 31.4 78.5 【分析】据图可知，圆的直径等于正方形的边长10cm，再根据圆的周长＝πd，圆的面积＝π（d÷2）2，代入数据计算即可。 【详解】3.14×10＝31.4（cm） 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 正方形的边长为10cm，则圆的周长是31.4cm，圆的面积是78.5cm2。 16．下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。（取3.14） 【答案】10.26 【分析】把正方形拆成两个三角形，三角形的底边是圆的直径，高是圆的半径，一个三角形的面积＝底×高÷2＝圆的直径×圆的半径÷2。那么正方形的面积＝三角形的面积×2。圆的面积＝。阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。从图上已知正方形的对角线为6厘米，圆的直径为6厘米。 【详解】一个三角形的面积：6×（6÷2）÷2 ＝6×3÷2 ＝9（平方厘米） 正方形的面积：9×2＝18（平方厘米） 圆的面积：3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 28.26－18＝10.26（平方厘米） 17．如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是( )平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是( )。 【答案】 15.7 2∶1 【分析】分析题目，假设内圆的半径是r厘米，外圆的半径是R厘米，正方形的边长等于内圆的直径，即2r，根据正方形的面积＝边长×边长可以求出r2，再根据圆的面积＝πr2求出内圆的面积；正方形的一条对角线把正方形分成两个完全相同的等腰三角形，等腰三角形的底是外圆的直径，即2R，高是外圆的半径，即R，根据三角形的面积＝底×高÷2可知正方形的面积可以表示为：2R×R÷2×2＝2R2，据此用正方形的面积除以2即可求出R2，根据圆的面积＝πr2列式求出外圆的面积，最后根据比的意义写出外圆面积和内圆面积之比并根据比的基本性质把结果化成最简整数比。 【详解】假设内圆的半径是r厘米，外圆的半径是R厘米。 根据2r×2r＝10可得：4r2＝10，则r2＝2.5； 3.14×2.5＝7.85（平方厘米） 10÷2×3.14 ＝5×3.14 ＝15.7（平方厘米） 外圆的面积∶内圆的面积＝15.7∶7.85＝（15.7÷7.85）∶（7.85÷7.85）＝2∶1 两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是15.7平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是2∶1。 18．在一个直径是10cm的圆里画一个最大的正方形，正方形的面积是( )m2。 【答案】0.005 【分析】根据题意，连接正方形的两个对角线，则两个对角线成的夹角为90度，那正方形的面积就是由一条对角线分成的两个三角形的面积，再根据三角形的面积公式，解答即可。 【详解】如图： 正方形ABCD的面积就是三角形ABD的面积和三角形BCD的面积和， 三角形ABD的面积是：×BD×OA＝×10×OA＝5OA， 三角形BCD的面积是：×BD×OC＝×10×OC＝5OC， 正方形ABCD的面积是：5OA＋5OC＝5（OA＋OC）＝5×AC＝5×10＝50（） 50＝0.005m2。 所以这个正方形的面积是0.005m2。 19．在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8cm2，那么这个圆的面积是( )cm2。 【答案】6.28 【分析】在正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。已知正方形的面积为8cm2，根据正方形面积公式S＝a2（a为边长），可得（2r）2＝8，即4r2＝8，两边同时除以4，解得r2＝2。根据圆的面积公式S＝πr2（r为半径，π取3.14），将r2＝2代入计算即可。 【详解】解：设圆的半径为r，则正方形的边长为2r。 （2r）2＝8 4r2＝8 r2＝8÷4 r2＝2 3.14×2＝6.28（cm2） 圆的面积是6.28cm2。 20．如图大正方形的面积是64m2，小正方形的面积是( )m2。 【答案】32 【分析】从图中可知，圆的直径等于大正方形的边长；已知大正方形的面积是64m2，根据正方形的面积＝边长×边长，可确定大正方形的边长是8m，即圆的直径是8m。 如下图，把圆内的小正方形用对角线平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是小正方形的面积。 【详解】因为64＝8×8，那么大正方形的边长是8m，则圆的直径是8m。 圆的半径：8÷2＝4（m） 小正方形的面积：8×4÷2×2＝32（m2） 小正方形的面积是32m2。 二、选择题 21．软木画又称“木画”，是国家非物质文化遗产之一。一幅软木画，其框架如图，已知圆的面积是，则下列说法正确的是（    ）。 A．正方形的边长是圆的直径 B．正方形的面积和圆的面积的比是 C．正方形的面积是 D．圆与正方形的面积差为 【答案】C 【分析】已知圆的面积是25πdm2，根据圆的面积公式为S＝πr2，可求出r2＝25，进而得到半径r＝ 5dm，直径d＝10dm。观察框架图中正方形与圆的位置关系，正方形的对角线等于圆的直径，即可判断A选项；正方形的对角线等于圆的直径，根据“正方形面积＝对角线×对角线÷2”，计算出正方形面积，即可判断C选项；用正方形的面积∶圆的面积即可判断B选项；用圆的面积减去正方形的面积求差，即可判断D选项。据此解答。 【详解】A．观察框架图中正方形与圆的位置关系，正方形的对角线等于圆的直径，而非边长等于直径，A选项错误。 B．50∶25π ＝（50÷25）∶（25π÷25） ＝2∶π B选项错误。 C．10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（dm2） C选项正确。 D．25π－50＝25（π－2） 25（π－2）≠（25π－2） D选项错误。 故答案为：C 22．如图内圆与外方的面积比是π∶4，下面四幅图中阴影部分与整个图形的面积比也是π∶4的有（    ）。 A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据题意，假设小正方形的边长为1，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2，分别求出四个图形阴影部分与整个图形的面积比；然后再化简即可。 【详解】假设小正方形的边长为1； ①阴影部分的面积：×π×12＝×π×1＝； 整个图形的面积：1×1＝1； 阴影部分与整个图形的面积比：∶1＝（×4）∶（1×4）＝π∶4 ②阴影部分的面积：×π×12＝×π×1＝； 整个图形的面积：1×1×2＝2； 阴影部分与整个图形的面积比：∶2＝（×2）∶（2×2）＝π∶4 ③阴影部分的面积：×π×12×2＝×π×1＝； 整个图形的面积：1×1×2＝2； 阴影部分与整个图形的面积比：∶2＝（×2）∶（2×2）＝π∶4 ④阴影部分的面积：π×12＝π 整个图形的面积：1×1×4＝4； 阴影部分与整个图形的面积比：π∶4 所以，四幅图中阴影部分与整个图形的面积比都是π∶4 故答案为：D 23．要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片，至少需要一张面积是（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．50.24 B．32 C．64 D．56.52 【答案】C 【分析】已知圆的面积是50.24平方厘米，由圆的面积公式，可得r2＝50.24÷3.14＝16，4×4＝16，因此圆的半径r＝4厘米。 要剪出这个圆形纸片，所需正方形纸片的边长至少要等于圆的直径（这样圆才能完整地容纳在正方形内），圆的直径为4×2＝8厘米，所以正方形的边长为8厘米。 最后根据“正方形面积＝边长×边长”即可求出正方形纸片的面积。据此解答。 【详解】50.24÷3.14＝16 4×4＝16 所以圆的半径是4厘米 4×2＝8（厘米） 8×8＝64（平方厘米） 所以至少需要一张面积是64平方厘米的正方形纸片。 故答案为：C 24．在一张长为6m、宽为4m的长方形纸板上剪下一个最大的圆，所剪的圆的面积是（    ）。 A．12.56m2 B．28.26m2 C．50.24m2 D．113.04m2 【答案】A 【分析】根据题意，在长方形纸板上剪下一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；则圆的半径是长方形的宽除以2，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，即可求出这个圆的面积。 【详解】3.14×（4÷2）2 ＝3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（m2） 在一张长为6m、宽为4m的长方形纸板上剪下一个最大的圆，所剪的圆的面积是12.56m2。 故答案为：A 25．下面描述错误的是（    ）。 A．在“外方内圆”中正方形与圆之间部分的面积值是0.86 B．用数形结合的方法求“1＋3＋5＋7…＋15”的和时，可以转化为正方形，和就等于正方形的面积，即可以写成“几个几”的形式计算 C．一个数（0除外）乘分数的积一定比原来的数小 D．大牛和小牛的数量比是，表示大牛比小牛少 【答案】C 【分析】A．在“外方内圆”中，设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，正方形与圆之间部分的面积值等于正方形的面积减去圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝进行解答，由于题干未说明半径等于多少，小学默认半径是1； B．数形结合中，连续奇数的和等于项数的平方，据此数出项数，用项数乘项数解答； C．一个数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原数；一个数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原数；据此判断； D．大牛和小牛的数量比是，把大牛看作4份，小牛看作5份，根据求一个数比另一个数少几分之几，用这两个数的差除以另一个数解答。 【详解】A．设圆的半径为r，则正方形的边长为2r，－3.14＝4－3.14＝0.86，当r＝1时，0.86＝0.86×1×1＝0.86，所以原题说法正确； B．1＋3＋5＋7…＋15＝8×8＝64，所以可以转化为边长是8的正方形，原题说法正确； C．当分数大于1时，一个数（0除外）乘分数的积一定比原来的数大；当分数小于1时，一个数（0除外）乘分数的积一定比原来的数小。所以原题说法错误； D．（5－4）÷5＝1÷5＝，所以大牛和小牛的数量比是，表示大牛比小牛少，原题说法正确。 所以说法错误的是一个数（0除外）乘分数的积一定比原来的数小。 故答案为：C 26．一个圆的半径为，圆内最大正方形的面积是（    ）。 A．400 B．200 C．100 D．50 【答案】B 【分析】 圆内画一个最大的正方形，正方形的对角线等于圆的直径，如图，将正方形分成两个同样的等腰直角三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径，根据，求出一个三角形的面积，乘2就是正方形的面积。 【详解】 （） 所以一个圆的半径为，圆内最大正方形的面积是200。 故答案为：B 27．在圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的面积比是（    ）。 A．2∶1 B． C． D． 【答案】D 【分析】如下图： 在圆内画一个最大的正方形，这个正方形的对角线恰好等于圆的直径。假设圆的半径为r，观察图形发现，正方形的面积等于底是2r，高为r的三角形ABC的面积乘2，依据三角形的面积公式，代入底2r和高r得三角形ABC的面积＝＝，则正方形的面积为，依据圆面积公式，最后将两者的面积进行比并化简，即可得到结果。 【详解】如下图： 设圆的半径为r ＝＝ 圆与正方形的面积比是：∶＝∶ 所以，圆与正方形的面积比是∶。 故答案为：D 【点睛】关键点是利用圆内最大正方形的对角线等于圆的直径，将正方形面积转化为三角形面积之和进行计算。 28．我国传统建筑中经常能见到“外方内圆”的设计。如图，如果正方形的面积是，那么圆的面积是（    ）。（忽略边框的宽度，π取3.14） A．12.56 B．24 C．25.12 D．31.4 【答案】C 【分析】根据题意，正方形的面积＝边长×边长；正方形内画最大的圆，圆的直径等于正方形边长；所以正方形面积＝直径×直径；直径＝半径×2，所以正方形面积＝（半径×2）×（半径×2），正方形面积＝半径2×4，半径2＝正方形面积÷4，据此求出半径2，再根据圆的面积＝π×半径2，进而求出圆的面积。 【详解】3.14×（32÷4） ＝3.14×8 ＝25.12（dm2） 圆的面积是25.12dm2。 故答案为：C 29．如图，一个正方形的对角线长2厘米，在里面画一个最大的圆，圆面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解答这道题的关键是利用正方形的对角线求出正方形的面积，正方形的一条对角线将正方形分割成了两个三角形，对角线的长度是三角形的底，对角线长度的一半是三角形的高，根据三角形的面积＝底×高÷2求出三角形面积后，再乘2即可求出正方形面积。如下图，用正方形面积除以4求出红色小正方形的面积。红色小正方形的面积＝半径×半径＝，再利用即可求出圆的面积，这里的圆周率按计算。最后用圆的面积除以正方形面积即可。 【详解】根据分析： （厘米） 正方形面积：   （平方厘米） （平方厘米） 圆的面积： 所以，圆的面积是正方形面积的。 故答案为：A 30．要剪一个面积是的圆形纸片，至少需要（    ）的正方形纸片。 A．12.56 B．14 C．16 D．20 【答案】C 【分析】根据题意可知，这是一个外方内圆的图形，即在一个正方形内剪一个最大的圆，那么圆的直径等于正方形的边长；已知圆的面积是12.56cm2，根据圆的面积公式S＝πr2，可知r2＝S÷π，由此求出圆半径的平方，进而求出圆的半径，半径乘2即是圆的直径，也就是正方形的边长；最后根据正方形的面积＝边长×边长，求出这个正方形纸片的面积。 【详解】12.56÷3.14＝4（cm2） 因为4＝2×2，所以圆的半径是2cm。 2×2＝4（cm） 4×4＝16（cm2） 至少需要面积是16cm2的正方形纸片。 31．下列两个图形中的圆面积相等，比较阴影部分的面积，正确的是（    ）。 A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法比较 【答案】B 【分析】观察图形可知，图①中的阴影部分的面积＝正方形面积－圆的面积，正方形的边长＝圆的直径；图②中阴影部分的面积＝圆的面积－正方形的面积，圆的直径＝正方形的对角线长度，且正方形面积可以看作是两个以对角线长度（直径）为底，半径为高的三角形面积之和。 据此设圆的半径为r，利用圆的面积公式S＝πr2，正方形面积＝边长×边长，三角形面积＝底×高÷2，分别求出两个图形的阴影部分面积，进行比较即可。 【详解】设圆的半径为r，则直径为2r。 图①：正方形面积为2r×2r＝4r2 圆的面积：πr2 阴影部分面积：4r2－πr2＝（4－π）r2 图②：正方形面积为2r×r÷2×2＝2r×r＝2r2 圆的面积：πr2 阴影部分面积：πr2－2r2＝（π－2）r2。 π取3.14代入计算，可得： 图①中的阴影部分的面积：（4－3.14）r2＝0.86r2 图②中的阴影部分的面积：（3.14－2）r2＝1.14r2 因为0.86＜1.14，所以0.86r2＜1.14r2，即图①中的阴影部分的面积＜图②中的阴影部分的面积。 32．如图，在一个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是圆的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆的半径是。圆的面积＝πr2（r为半径）；正方形可以看作4个完全相同的、两条直角边均为半径的直角三角形，一个三角形的面积＝半径×半径÷2；正方形的面积＝一个三角形的面积×三角形数量；求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用正方形的面积除以圆的面积。 【详解】设圆的半径是。 正方形的面积是圆的。 33．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（    ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 【答案】D 【详解】假设正方形的边长是6，则甲图形圆的半径是6÷3÷2＝1，乙图形的圆的半径是6÷2÷2＝1.5，丙图形圆的半径是6÷2＝3，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2，用正方形的面积减去圆的面积和或圆的面积求出剩下的面积，再进行比较即可解答。 【解答】设正方形的边长是6。 甲：6÷3÷2＝1 6×6－3.14×12×9 ＝6×6－3.14×1×9 ＝36－28.26 ＝7.74 乙：6÷2÷2＝1.5 6×6－3.14×1.52×4 ＝6×6－3.14×2.25×4 ＝36－28.26 ＝7.74 丙：6÷2＝3 6×6－3.14×32 ＝6×6－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74 7.74＝7.74＝7.74 所以白铁皮剩下的废料一样多。 34．如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是( )。 A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 【答案】A 35．如图3个正方形大小相同，其中涂色部分面积相等的是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①②③ 【答案】B 【分析】①中涂色部分的面积＝正方形的面积－2个半圆的面积； ②中涂色部分的面积＝4个圆的面积； ③中涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积； 设正方形的边长是2cm，则各图中圆的半径等于正方形边长的一半；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算，求出各图中涂色部分的面积，再比较，即可得解。 【详解】设正方形的边长是2cm。 圆的半径是：2÷2＝1（cm） ①涂色部分的面积： 2×2－3.14×12÷2×2 ＝2×2－3.14×1÷2×2 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） ②涂色部分的面积： 3.14×12÷4×4 ＝3.14×1÷4×4 ＝3.14（cm2） ③涂色部分的面积： 2×2－3.14×12 ＝2×2－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（cm2） 所以，如图3个正方形大小相同，其中涂色部分面积相等的是①和③。 故答案为：B 36．如图，把一个折叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是1米。折叠方桌和圆桌的面积比是（    ）。 A．4∶3.14 B．3.14∶4 C．2∶3.14 D．3.14∶2 【答案】C 【分析】圆桌面的面积可以用圆的面积公式S＝πr2求出，连接正方形的对角线，两条对角线将正方形分成4个小三角形，它们的底和高都是1，据此可算出正方形的面积；写出比即可。 【详解】圆桌面的面积为：3.14×12＝3.14（平方米） 方桌面的面积为： 4×（1×1÷2） ＝4×0.5 ＝2（平方米） 所以折叠方桌和圆桌的面积比是2∶3.14。 故答案为：C 37．小林在正方形中画一个最大的圆，圆的面积是50.24平方厘米，这个正方形的边长（    ）厘米。 A．48 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【分析】在正方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径等于这个正方形的边长，根据圆的面积公式：，用50.24平方厘米除以3.14计算出的值，进而求出半径和正方形的边长即可。 【详解】50.24÷3.14＝16（平方厘米） 因为4×4＝16，所以圆的半径是4厘米 4×2＝8（厘米），则圆的直径也就是这个正方形的边长是8厘米。 故答案为：D 38．在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以正方形的边长为直径的圆是正方形里面最大的圆，假设出正方形的边长，根据“”和“”分别求出圆和正方形的面积，最后求出圆的面积除以正方形面积的商。 【详解】假设正方形的边长为1。 圆的面积： ＝ ＝ ＝ 正方形的面积：1×1＝1 ÷1＝ 这个圆的面积是正方形面积的。 39．如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。已知大正方形的周长是12cm，那么小正方形的面积是（    ）cm2。 A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 【答案】A 【分析】已知大正方形周长是12cm，正方形周长公式：周长＝边长×4，所以大正方形边长：12÷4＝3cm。由图可知：大正方形的边长＝圆的直径＝小正方形的对角线长度，即小正方形对角线为3cm。正方形的面积可以用对角线乘积的一半计算，求出小正方形的面积。 【详解】12÷4＝3（cm） 3×3÷2 ＝9÷2 ＝4.5（cm2） 所以小正方形的面积是4.5cm2。 故答案为：A 【点睛】本题的关键在于：大正方形的边长等于圆的直径，而圆的直径又恰好是小正方形的对角线，因此我们可以通过大正方形的周长先求出边长，再利用对角线与正方形面积的关系算出小正方形的面积。 40．在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 【答案】A 【分析】根据圆的面积＝πr2（r为半径）求出外圆半径；外圆直径＝外圆半径×2。正方形对角线的长度等于外圆的直径，将正方形看作两个完全一样、底是外圆直径、高是外圆半径的直角三角形，正方形的面积＝三角形的面积×2＝底×高÷2×2；正方形的边长是内圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长求出内圆半径的平方；再代入圆的面积公式求出内圆面积。 【详解】113.04÷3.14＝36（cm2） 因为6×6＝36，所以外圆半径是6cm。 外圆直径是：6×2＝12（cm） 正方形的面积是： 12×6÷2×2 ＝72÷2×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 设内圆的半径是cm。内圆的直径是正方形的边长，所以： 内圆面积是：3.14×18＝56.52（cm2） 正方形内的圆的面积是56.52cm2。 三、解答题 41．周阿姨家装修时，准备将一块周长为62.8厘米的圆形无用木板，加工成一块最大的正方形木板。这块正方形木板的面积是多少平方厘米？ 【答案】200平方厘米 【分析】先根据“”求出圆形木板的半径，在圆形木板上画两条互相垂直的直径，依次连接直径与圆的四个交点就可以得到圆中最大的正方形，则正方形的面积等于以圆的半径为直角边的等腰直角三角形面积的4倍，最后根据“”求出这块正方形木板的面积，据此解答。 【详解】分析可知： 62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（厘米） 10×10÷2×4 ＝100÷2×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） 答：这块正方形木板的面积是200平方厘米。 42．（1）如果正方形的边长是2厘米，计算图①阴影部分的面积。 （2）在图②的正方形中，用圆规画出图①的图案。 【答案】（1）0.86平方厘米； （2）画法见详解 【分析】 （1）可以将图①里面的空白部分进行旋转，变成。这个圆的直径是正方形的边长。用2除以2得到圆的半径，再根据圆的面积S＝πr2，算出空白部分面积。正方形的面积＝边长×边长，代入计算出正方形的面积。阴影部分面积＝正方形的面积－空白部分面积。 （2）以正方形的四个顶点分别为四个圆的圆心。2÷2＝1（厘米），圆规两脚间的距离为1厘米，分别在正方形内画四个的圆，涂上未被圆覆盖的四个角落部分。 【详解】（1）2÷2＝1（厘米） 2×2－3.14×12 ＝4－3.14×12 ＝4－3.14×1 ＝4－3.14 ＝0.86（平方厘米） 答：图①阴影部分的面积是0.86平方厘米。 （2）2÷2＝1（厘米） 如图： 43．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 【答案】41.04平方米 【分析】圆形的面积＝πr²，代入数字可计算出圆形面积，将正方形面积如图沿对角线分成两个三角形，三角形的底为圆的直径，高为圆的半径，据此根据三角形面积＝（底×高）÷2算出三角形面积之后再乘2可算出正方形面积；用圆面积－正方形面积就是种太阳花的面积。 【详解】3.14×62－（6×2）×6÷2×2 ＝3.14×36－12×6÷2×2 ＝113.04－72 ＝41.04（平方米） 答：种太阳花的面积有41.04平方米。 44．李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】图见详解；方案一；理由见详解 【分析】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【详解】如图： 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 45．《周髀算经》是中国古老的数学著作之一，其中有一条最基本而重要的准则规矩方圆之道。“方圆图”是外方内圆，“圆方图”是外圆内方。如下图，如果两个圆的周长都是31.4厘米，请你选择一个正方形，并求出它的面积。 你选择的是（    ）号图形中的正方形。 列式计算： 【答案】 选择①（或②）；100平方厘米（或50平方厘米） 【分析】①先根据“圆的周长＝πd（d为直径）”代入数值计算出圆的直径，圆的直径就是正方形的边长；再根据“正方形的面积＝边长×边长”代入直径长度即可计算正方形的面积； ②先根据“圆的周长＝πd（d为直径）”代入数值计算出圆的直径，再用圆的直径除以2计算出圆的半径。圆的直径就是正方形的对角线长度，可将正方形看作底为直径，高为半径的两个完全相同的三角形，根据“三角形的面积＝底×高÷2”代入数值计算出一个三角形的面积，最后用一个三角形的面积乘2即可。 【详解】选择①： 31.4÷3.14＝10（厘米） 10×10＝100（平方厘米） 答：正方形的面积是100平方厘米。 选择②： 31.4÷3.14＝10（厘米） 10×（10÷2）÷2×2 ＝10×5÷2×2 ＝50÷2×2 ＝25×2 ＝50（平方厘米） 答：正方形的面积是50平方厘米。 46．学校手工社团和书法社团联合制作窗花，他们先用圆形红纸镂空，剪出窗花的形状，然后写上祝福语送给敬老院，每张窗花的整体是一个圆形，圆内有一个最大的正方形（如下图），每张圆形窗花内部镂空的部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】观察图片，圆形窗花内部镂空的部分的面积等于圆的面积减去圆内最大正方形的面积。圆内最大正方形由两个面积相等的三角形组成。三角形的面积＝底×高÷2，则图中最大正方形的面积＝2×（底×高÷2）。观察图片可知，三角形的底为20厘米，高为20÷2＝10厘米。圆的直径已知，半径＝直径÷2。根据圆的面积＝π，代入数值计算即可。 【详解】 如图：圆内最大正方形由两个面积相等的三角形组成 所以，每张圆形窗花内部镂空的部分的面积为： ×π－2×［20×（20÷2）÷2］ ＝10×10×3.14－2×（20×10÷2） ＝100×3.14－2×（200÷2） ＝314－2×100 ＝314－200 ＝114（平方厘米） 答：每张圆形窗花内部镂空的部分的面积是114平方厘米。 47．2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】168.56平方厘米 【分析】解答这道题需明确：正方形的面积＝边长×边长；圆的面积。在正方形里面画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。题目中已知小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片，则圆的直径为28厘米，利用求出圆的半径后求出圆的面积。求出正方形面积后，用正方形面积减去圆的面积即可。 【详解】求圆的面积： （厘米） （平方厘米） 求正方形面积： （平方厘米） 求剩余部分面积： （平方厘米） 答：正方形纸剩余部分的面积是168.56平方厘米。 48．奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】98平方厘米 【分析】圆周长＝2r＝d，那么将圆周长除以3.14可求出圆的直径，再除以2可求出圆的半径。画出中间的最大的正方形的一条对角线，发现这条对角线将正方形平均分成两个三角形。每个三角形的底和圆的直径相等，高和圆的半径相等。三角形面积公式＝底×高÷2，据此求出一个三角形的面积，再乘2求出两个三角形的面积，即圆中间最大正方形的面积。 【详解】如图： 43.96÷3.14＝14（厘米） 14÷2＝7（厘米） 14×7÷2×2 ＝98÷2×2 ＝49×2 ＝98（平方厘米） 答：中间最大正方形的面积是98平方厘米。 49．我国古代建筑与现代装饰常采用“外方内圆再嵌方”的几何结构（如图）：一款边长4dm的正方形装饰画框，框内画最大圆形底色，圆内再画最大正方形图案。求圆的面积是多少？圆内正方形的面积是多少？ 【答案】12.56平方分米；8平方分米 【分析】观察图片，在大正方形里画最大的圆，圆的直径等于大正方形边长4dm，那么半径r＝4÷2＝2dm，根据圆的面积公式S＝πr²，π取3.14，可求出圆的面积。 圆内最大正方形的对角线是圆的直径4分米，把圆内最大的正方形沿对角线分成两个相等的等腰直角三角形，三角形的底是直径4分米，高是直径的一半，即4÷2＝2（分米）。根据三角形面积公式S＝ah，求出一个三角形的面积，再乘2得到小正方形的面积。 【详解】圆的面积：3.14×（4÷2）² ＝3.14×4 ＝12.56（平方分米） 圆内正方形的面积：×4×（4÷2）×2 ＝×4×2×2 ＝2×2×2 ＝8（平方分米） 答：圆的面积是12.56平方分米，圆内正方形的面积是8平方分米。 50．画一画，算一算。 (1)请在下面的正方形里画出一个最大的圆，标出圆心和半径。 (2)在圆和正方形之间的部分涂上颜色，涂颜色部分的面积是多少平方厘米？（先量出需要的数据，再计算） 【答案】(1)见详解 (2)2.7864平方厘米 【分析】（1）在正方形内画最大的圆，圆心位于正方形中心，圆的直径等于正方形边长； （2）正方形面积＝边长×边长，圆面积＝，正方形面积－圆的面积＝涂色部分面积。 【详解】（1） （2） 涂色部分如图： 测量正方形边长约为3.6厘米，即圆的直径＝3.6厘米； 涂色部分面积：3.6×3.6－3.14×（3.6÷2）² ＝12.96－3.14×1.8² ＝12.96－3.14×3.24 ＝12.96－10.1736 ＝2.7864（平方厘米） 答：涂颜色部分的面积是2.7864平方厘米。 （测量允许存在轻微误差） 51．画一个直径为4厘米的圆代表“中国梦”，并在圆内画一个最大的正方形象征“四方同心”，求出正方形的面积。 【答案】画图见详解；8平方厘米 【分析】画图时，先以2厘米为半径画直径4厘米的圆，再画两条互相垂直的直径，连接直径的四个端点，即可画出圆内最大的正方形。 圆内最大正方形的对角线长度等于圆的直径，把这个正方形沿对角线分成两个完全相同的等腰直角三角形，每个三角形的底就是正方形的对角线（4厘米），高是对角线长度的一半（2厘米），根据三角形面积＝底×高÷2，求出三角形的面积，再乘2，求出正方形的面积。 【详解】画图如下： 4×（4÷2）÷2×2 ＝4×2÷2×2 ＝8÷2×2 ＝4×2 ＝8（平方厘米） 答：正方形的面积是8平方厘米。 52．体育老师组织学生做游戏。需要在操场上画一个半径是5米的圆。你能用什么方法画出这个圆？简单写一写你的方法。若在这个圆中再画一个最大的正方形，作为同学们休息的区域，这个正方形的面积是多少平方米？ 【答案】画圆方法见详解；50平方米 【分析】画圆时，先确定圆心的位置，再用5米长的绳子作为圆的半径，据此绕圆心画出这个圆。 如下图，用一条对角线把圆内最大的正方形平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，就是这个正方形的面积。 【详解】画圆的方法：准备一根5米长的绳子，将其一端固定，另一端系上粉笔，拉直绳子，拿着绳子的另一端绕固定点转一圈，画出一个半径为5米的圆。 如图： 圆的直径：5×2＝10（米） 正方形的面积：10×5÷2×2＝50（平方米） 答：圆中最大的正方形的面积是50平方米。 53．“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 【答案】114平方厘米 【分析】圆的直径20厘米，半径就是10厘米，先根据圆的面积公式计算圆的面积。 正方形的对角线等于圆的直径20厘米，把正方形看成2个完全相同的三角形，每个三角形的底是20厘米，高是10厘米，用“×2”算出正方形面积。 最后用“用圆的面积－正方形的面积”据此可解答。 【详解】r＝20÷2＝10（厘米） （平方厘米） 20×10÷2×2 ＝200÷2×2 ＝100×2 ＝200（平方厘米） 314－200＝114（平方厘米） 答：“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是114平方厘米。 54．一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） (1)圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ (2)如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ 【答案】(1)3.14平方米；2平方米 (2)12人 【分析】（1）圆的面积公式：S＝πr2（r是半径），已知直径2米，可以求出半径再代入公式求出面积。正方形对角线即为圆的直径，把正方形看成2个以对角线为底、对角线一半为高的三角形，因此正方形面积为对角线乘一半的对角线除以2再乘2。 （2）圆的周长公式：C＝πd，代入直径求出周长，每人需要0.5米宽的位置，人数＝周长÷每人所需宽度，不够1人坐的位置需舍弃，因此人数需向下取整数。 【详解】（1）半径：2÷2＝1（米） 3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） （2×1÷2）×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 答：圆形桌面的面积是3.14平方米，折叠后正方形桌面的面积是2平方米。 （2）3.14×2＝6.28（米） 6.28÷0.5＝12.56（人） 向下取整为12人。 答：这张圆桌大约能坐12人。 55．如图，圆中的三个正方形（阴影部分）甲、乙、丙的边长分别是3厘米、2厘米、1厘米。圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】56.52平方厘米 【分析】由图可知，大正方形的边长等于三个小正方形的边长之和，求出大正方形的边长，根据“”求出大正方形的面积，连接大正方形的对角线，大正方形被分成两个完全相同的等腰直角三角形，斜边长度等于圆的直径，斜边上的高等于圆的半径，根据“”求出半径的平方，最后根据“”求出圆的面积。 【详解】 3＋2＋1＝6（厘米） 6×6＝36（平方厘米） 36÷2＝18（平方厘米） 解：设圆的半径为r厘米。 2r×r÷2＝18 2r2÷2＝18 r2＝18 3.14×18＝56.52（平方厘米） 答：圆的面积是56.52平方厘米。 56．课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40平方厘米，求涂色部分的面积。淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。” (1)淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 (2)涂色部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)对；见详解 (2)8.6平方厘米 【分析】（1）由图可知，圆的直径等于大正方形的边长，把正方形分成四个相等的小正方形后，圆的半径等于小正方形的边长，由“”可知，半径的平方等于小正方形的面积，每个小正方形的面积等于大正方形面积的，最后根据“”可以求出圆的面积； （2）先根据淘气的说法求出圆的面积，涂色部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。 【详解】（1）分析可知，淘气说得对，作图如下： （2）半径的平方：40÷4＝10（平方厘米） 圆的面积：3.14×10＝31.4（平方厘米） 涂色部分的面积：40－31.4＝8.6（平方厘米） 答：涂色部分的面积是8.6平方厘米。 57．下图是一个圆形纸板，现从这个圆形纸板上剪下一个最大的正方形。 （1）在圆内画出剪下正方形纸板的示意图。 （2）量出圆形纸板的直径。（取整厘米数） （3）求出剪去正方形纸板后剩余部分的面积。 【答案】（1）见详解 （2）5厘米 （3）7.125平方厘米 【分析】（1）剪的最大正方形，正方形的对角线等于圆的直径，据此画出正方形； （2）用直尺量出圆的直径； （3）根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，正方形的对角线等于圆的直径，正方形分成两个三角形，底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形面积公式：面积=底×高÷2，即三角形面积=圆的直径×圆的半径÷2，则正方形面积＝圆的直径×半径，代入数据，求出圆的面积和正方形的面积，再用圆的面积－正方形面积，即可解答。 【详解】（1）如图： （2）测量圆的直径是5厘米。 （3）3.14×（5÷2）2－5×（5÷2） ＝3.14×2.52－5×2.5 ＝3.14×6.25－12.5 ＝19.625－12.5 ＝7.125（平方厘米） 答：剩余部分的面积是7.125平方厘米。 58．如图是一个“外方内圆”的图形，圆的直径是2cm。     （1）请计算正方形面积和圆面积的比。（圆周率用字母π代替） （2）请在正方形的外面再画一个圆，使得圆与正方形的四个顶点正好相交。（保留作图痕迹） （3）观察图形，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 【答案】（1）4∶π； （2）见详解； （3）小圆和大圆的面积比是多少？ 【分析】（1）由图知：圆的直径＝正方形的边长＝2cm，根据圆的面积＝和正方形面积＝边长×边长，计算出圆的面积和正方形的面积后，用正方形的面积∶圆的面积，化成最简比即可。 （2）连接正方形的两条对角线，对角线的交点就是外圆的圆心；以这个交点为圆心，以对角线的一半为半径画圆，这个圆就会与正方形的四个顶点相交。 （3）观察图形两个圆属于同心圆，可以提问外面这个大圆的面积比里面小圆的面积大多少？也可以提问小圆和大圆的面积比是多少？ 【详解】（1）半径：2÷2＝1（cm） 圆的面积： ＝＝ 正方形面积：2×2＝4（） 正方形面积∶圆的面积＝4∶ （2）根据分析，左图如下： （3）根据分析，提出问题：小圆和大圆的面积比是多少？（答案不唯一） 【点睛】本题的解题关键是理解“外方内圆”中圆与正方形的边长关系，以及外接圆的圆心和半径的特征。 59．画一个直径是2厘米的圆，在里面画一个最大的正方形，并将正方形用斜线涂上阴影，请你求出空白部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】图见详解；1.14平方厘米 【分析】这道题的核心是先按要求画图，再求空白部分的面积。已知圆的直径是2厘米，先根据半径等于直径除以2，求出圆的半径，再利用半径画圆，圆画好后再画两条互相垂直的直径，顺次连接两条直径的4个端点即可画出圆内最大的正方形。先根据求出圆的面积，把正方形分成两个三角形，三角形底是圆的直径，高是圆的半径，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出三角形面积，再用三角形面积乘2求出正方形面积。最后利用空白部分的面积等于圆的面积减去正方形的面积解答即可。 【详解】求半径：（厘米） 如图： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：空白部分的面积是1.14平方厘米。 【点睛】解答这道题的关键是熟知圆内最大正方形面积的计算方法，把正方形分成两个三角形，三角形的底是圆的直径，高是半径，求出三角形面积再乘2就是圆内最大正方形面积。 60．（1）画一个直径是6厘米的圆，标出圆心、半径。 （2）在这个圆中画一个最大的正方形。 （3）算出圆与正方形之间部分的面积。 【答案】（1）（2）见详解 （3）10.26平方厘米 【分析】（1）半径为6÷2＝3（厘米），圆规两脚间的距离为3厘米，把圆规针脚即圆心O固定在一点，旋转一周得到圆，标出圆心和半径。 （2）画出两条互相垂直的直径，顺次连接两条直径的四个端点，得到圆内最大正方形。 （3）根据圆的面积＝πr²，正方形面积等于以3为直角边的4个等腰直角三角形的面积之和。用圆的面积减去正方形面积即可。 【详解】 （1）如图所示： （2）如图所示： （3）圆的面积：3.14×3² ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 正方形面积：3×3÷2×4＝18（平方厘米） 28.26－18＝10.26（平方厘米） 答：圆与正方形之间的面积为10.26平方厘米。 【点睛】用圆的面积减去正方形的面积即为圆与正方形之间的面积。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21 圆 知识点01：圆的有关意义： 在一个平面内，一个动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫作圆。 知识点02：圆的各部分名称： 圆中心的一点叫作圆心，一般用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，一般用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，一般用字母d表示。圆有无数条半径和无数条直径。 知识点03：圆的特征： ①在同圆或等圆中，d = 2r或r=d÷2，所有的半径都相等，所有的直径都相等。 ②圆是轴对称图形，圆的直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。 知识点04：圆周率： 圆的周长与径的比叫作圆周路，用“π”表示。π= 3.14159265……。 知识点05：扇形的认识： ①圆上两点之间的部分叫作弧。 ②一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 ③顶点在圆心的角叫作圆心角。 ④在同一个圆中，圆心角越大，扇形就越大。 ⑤在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关，圆心角越大，扇形就越大。 知识点06：圆的周长： 1、圆的周长相关知识点： ①实际上，任何一个圆的周长除以对应的直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π(pài)表示。π是一个无限不循环小数。 ②π=3.141592653…… ③在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。 ④如果用C表示圆的周长，那么C与直径d或半径r的关系是： C=πd 或 C=2πr d=C÷π r=C÷π÷2 ⑤半圆周长计算公式： 已知半圆的半径求半圆周长：=πr+2r 已知半圆的直径求半圆周长：=πd÷2+d 2、常用的3.14的倍数： 1π=3.14 2π=6.28 3π=9.42 4π=12.56 5π=15.7 6π=18.84 7π=21.98 8π=25.12 9π=28.26 10π=31.4 知识点07：圆的面积： 1、 圆的面积推导： ①在推导圆的面积公式的过程中，把一张圆形纸片分成若干等份，然后把它剪开，照如图的样子拼成一个近似的长方形。 (1)拼成的长方形的长相当于圆的( )，宽相当于圆的( )。 (2)如果圆的半径是8cm，则这个长方形的长是( )cm，面积是( ）。 (3)如果圆的周长比长方形的周长少10cm，那么圆的半径是( )cm，面积是( )。 ②圆的面积计算相关公式： （1） 已知半径（r）求圆的面积：=π （2）已知直径（d）求圆的面积：r=d÷2，=π （3）半圆面积公式：S半圆=πr²÷2 （4）圆面积公式：=πr²÷4 （5）圆环面积公式：=（-)π（其中R表示大圆的半径，r表示小圆的半径） 2、常用的平方数： 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16² =256 17²=289 18²=324 19²=361 20²=400 【例1】体育课上，老师组织学生在篮球场的半圆形区域进行定点投篮练习（篮框位于半圆的圆心处），同学们分别站在如图所示的A、B、C、D四个位置。请回答下列问题； (1)请问同学们在A、B、C、D四个点投篮是否公平？________（填写“公平”或“不公平”） (2)图中________和________点的投篮距离相等，结合几何知识简要说明理由：_____________________。 1．画一个直径为4厘米的圆，在圆内画一个最大的正方形，求这个正方形的面积。（保留作图痕迹） 2．（1）以BC为直径在长方形ABCD内画一个半圆，并标出圆心O。 （2）求出这个半圆的面积。 3．以点O为圆心，分别画出半径2厘米和3厘米的同心圆，并计算出这个圆环的面积。（π取3.14） 【例2】有一个圆形花坛，直径是16米，在它的周围修建一条2米宽的小路。（圆周率取值3.14） （1）这条小路的面积是多少？   （2）沿环形小路的两旁边缘每隔5米装一盏灯，一共要安装多少盏灯？ 1．张大伯家有一个圆锥形小麦堆，量得它的底面周长是12.56米，高是1.5米，如果每立方米小麦的质量为700千克，这堆小麦的质量为多少千克？ 2．中山街道种粮大户牛山三家有一个圆锥形小麦堆，底面周长是18.84米，高2米，如果每立方米小麦大约重750千克，那么这堆小麦大约重多少吨？（结果保留整数） 3．一个圆柱形水池，底面周长是25.12米，深2.5米，如果每平方米用水泥8千克，共需水泥多少千克？ 【例3】将半径分别是3厘米和2厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。 1．按要求使用作图工具规范作图和计算。在长4cm、宽2cm的长方形内画一个最大的半圆，半圆的周长是（        ）cm。 2．图形与操作。 (1)按要求在图中画一画。 (2)计算变化后图形中阴影部分的面积。 (3)你能求出原图中阴影部分的周长吗？试一试。 3．如图，把扇形的两条半径无缝拼接（不重叠），可以卷成一个空心圆锥。如果再配一个底面，圆锥的高就是8厘米，圆锥的容积是多少？（厚度不计） 【例4】某开发区的大标语牌上要画出如下图所示的三种标点符号：句号、逗号、问号。已知大圆半径都为，小圆半径都为，且。若均匀用料，画哪个标点符号油漆用得多？（作简要说明） 1．水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹，设波纹以每秒1米的速度向四周扩散，2秒后波纹的面积是多少平方米？如果隔一秒会产生一个新的波纹并且后面的波纹以相同的速度向四周扩散，一滴水滴入水中三秒后，产生的第一个波纹比第二个波纹的面积大多少平方米？ 2．在图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2厘米和4厘米，求两个阴影部分的面积差。（圆周率取3.14） 3．“木桶效应”是指一只木桶能盛多少水，并不取决于最长的那块木板，而是取决于最短的那块木板。为了形象直观地说明“木桶效应”蕴含的道理，老师特意制作了一只木桶（如图）。已知这只木桶内部的底面直径是4分米，木桶侧面上的木板长短不一，长度有3分米、5分米和7分米三种。 （1）这个木桶内部的底面积是多少平方分米？ （2）这个木桶在地面平放时最多能装多少立方分米的水？ 【例5】健身房内有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径是40厘米，高是1.2米。在一次训练中，沙子全部流到地上形成了一个高50厘米的近似圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方米？（结果保留两位小数） 1．如图，半径分别为10、20、40、80的四个圆的圆心在同一条直线上，而且半径为20的圆的圆心在半径为10的圆周上，半径为40的圆的圆心在半径为20的圆周上，半径为80的圆的圆心在半径为40的圆周上，那么阴影部分的面积是多少？（取3.14） 2．如图，一张直径为16分米的圆桌上面铺了一块直径是18分米的圆形桌布。这块桌布下垂部分的面积是多少平方分米？ 3．北京天坛公园是北京著名的景点，公园里的皇穹宇的围墙俗称回音壁（如图），是闻名世界的声学奇迹。回音壁的墙高约4米，墙内的直径约60米。墙内景区的面积约有多大？ 【例6】为美化校园环境，实验小学需翻新广场中央的圆形花坛，并紧贴花坛外围铺设一条宽1米的环形地砖带。已知花坛的半径为4米，请计算铺设地砖的面积是多少平方米？（先绘制示意图，再解答） 1．公园里一个圆形花坛直径是16米，要在它的周围修一条2米宽的鹅卵石小路，这条鹅卵石小路的面积是多少平方米？ 2．阅读下面资料，解决问题。 生物在进化过程中，为了求得生存，有些动物的骨、植物的茎是空心的，而且截面的内圆直径和外圆直径之比大约都是8∶11，研究表明，当一根空心管的底面的内圈直径和外圆直径之比是8∶11时最不容易弯曲。根据这个研究，人们制成了空心零件、自行车的车身架等，以达到耗费最少材料而使其最坚固的目的。 （1）要加工这样一个零件，有一块长方体木料（如图1），先把这块木料加工成一个圆柱。这个圆柱的体积是多少？（π取3） （2）按照上面的研究，用刚才加工的圆柱制作这样一个零件（如图2）。这个零件底面的内圆直径是多少厘米？ （3）这个零件（如图3）的体积是多少立方厘米？（π取3） 3．芳芳家门口有一个圆形水池，水池的直径是2米，现在水池的周围要修一条0.5米宽的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【例7】如图三个图，都是在边长2分米的正方形内画半圆或圆。 （1）它们的阴影面积相等么？请说明理由。 （2）我选择第 图，计算出阴影面积占正方形面积的。 1．人民公园有一个圆形花坛，花坛半径是5米，国庆节在花坛中间部分用波斯菊摆了一个最大的正方形（如图），外围种上千日红。这个花坛中千日红所占的面积是多少平方米？ 2．中国建筑中经常能见到如图的设计。如果图中圆的面积是6.28平方米，那么整个图形中所有空白部分的面积是多少平方米？（π取3.14） 3．如图所示是一件圆形镂空挂坠（单位：厘米）。它的面积是多少？（π取3.14） 一、填空题 1．从一张边长10厘米的正方形纸片上剪下一个最大的圆，这个圆的面积是( )平方厘米。 2．如图所示，在半径是4cm的圆里画一个最大的正方形，阴影部分的面积是______。 3．有一个直径为1分米的圆，这个圆的外面和里面各有一个正方形（如下图）。里面正方形的面积与外面正方形面积的比是( )。 4．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的道理。 (1)图1中，如果外面正方形的面积是64平方分米，那么内圆的面积是( )平方分米。 (2)图2中，如果外圆的面积是28.26平方分米，则圆内正方形的面积是( )平方分米。 5．小芳家的客厅里挂了一幅正方形的十字绣作品（如下图），圆形绣花部分的直径是2米，这幅十字绣空白部分的面积是( )平方米。 6．某装饰画采用“外方内圆”“外圆内方”造型，圆的半径为2dm，外方内圆中正方形与圆的面积差是( )dm2；外圆内方中圆与正方形的面积差是( )dm2。 7．“圆”是中国文化的一个重要元素。圆，有圆满之意，符合中国人内心深处的向往。在中国建筑中经常能见到“外圆内方”的设计。如图圆的直径是2米。那么圆和正方形之间部分的面积是( )平方米。 8．建筑工地上，工人师傅用圆规画了一个周长为25.12米的圆，准备在圆内铺一个最大的正方形地砖区域，这个正方形区域的面积是( )平方米。（π取3.14） 9．在一个边长为8厘米的正方形内画一个最大的圆，圆的面积是( )平方厘米，剩余部分的面积是( )平方厘米。 10．“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的道理。图一中，外面正方形的面积是4dm2，则正方形内最大的圆的面积是( )dm2。图二中，外圆的面积是3.14dm2，则圆中最大正方形的面积是( )dm2。 11．我国“天问三号”火星探测器的某传感器保护罩是外圆内方的结构，圆的直径是10厘米，这个保护罩中正方形的面积是( )平方厘米，圆与正方形的面积比是( )（π取3.14）。 12．从一张周长是8dm的正方形纸上剪下一个最大的圆，这个圆的直径是( )dm，剩余部分的面积是( )dm2。 13．如图，在周长为25.12cm的圆外画一个最小的正方形，这个圆的半径是( )cm，面积是( )，这个正方形的周长是( )cm，面积是( )。 14．过春节贴年画是我国的传统习俗。如图，这幅“福”字年画中，圆的直径是40cm，“福”字所在的正方形与圆之间部分的面积是( )cm2。如果在一张正方形纸中剪这样的年画，正方形纸的面积至少是( )cm2。 15．如图正方形的边长为10cm，则圆的周长是__________cm，圆的面积是__________。 16．下图中阴影部分的面积是( )平方厘米。（取3.14） 17．如图，两个同心圆中间有一个正方形，正方形的面积是10平方厘米，外圆的面积是( )平方厘米，外圆的面积与内圆的面积比是( )。 18．在一个直径是10cm的圆里画一个最大的正方形，正方形的面积是( )m2。 19．在正方形里面画一个最大的圆，已知正方形的面积等于8cm2，那么这个圆的面积是( )cm2。 20．如图大正方形的面积是64m2，小正方形的面积是( )m2。 二、选择题 21．软木画又称“木画”，是国家非物质文化遗产之一。一幅软木画，其框架如图，已知圆的面积是，则下列说法正确的是（    ）。 A．正方形的边长是圆的直径 B．正方形的面积和圆的面积的比是 C．正方形的面积是 D．圆与正方形的面积差为 22．如图内圆与外方的面积比是π∶4，下面四幅图中阴影部分与整个图形的面积比也是π∶4的有（    ）。 A．①② B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 23．要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片，至少需要一张面积是（    ）平方厘米的正方形纸片。 A．50.24 B．32 C．64 D．56.52 24．在一张长为6m、宽为4m的长方形纸板上剪下一个最大的圆，所剪的圆的面积是（    ）。 A．12.56m2 B．28.26m2 C．50.24m2 D．113.04m2 25．下面描述错误的是（    ）。 A．在“外方内圆”中正方形与圆之间部分的面积值是0.86 B．用数形结合的方法求“1＋3＋5＋7…＋15”的和时，可以转化为正方形，和就等于正方形的面积，即可以写成“几个几”的形式计算 C．一个数（0除外）乘分数的积一定比原来的数小 D．大牛和小牛的数量比是，表示大牛比小牛少 26．一个圆的半径为，圆内最大正方形的面积是（    ）。 A．400 B．200 C．100 D．50 27．在圆内画一个最大的正方形，圆与正方形的面积比是（    ）。 A．2∶1 B． C． D． 28．我国传统建筑中经常能见到“外方内圆”的设计。如图，如果正方形的面积是，那么圆的面积是（    ）。（忽略边框的宽度，π取3.14） A．12.56 B．24 C．25.12 D．31.4 29．如图，一个正方形的对角线长2厘米，在里面画一个最大的圆，圆面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 30．要剪一个面积是的圆形纸片，至少需要（    ）的正方形纸片。 A．12.56 B．14 C．16 D．20 31．下列两个图形中的圆面积相等，比较阴影部分的面积，正确的是（    ）。 A．①＞② B．①＜② C．①＝② D．无法比较 32．如图，在一个圆内画一个最大的正方形，正方形的面积是圆的（    ）。 A． B． C． D． 33．用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（    ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 34．如图，在相同的两个正方形里剪圆形，比较剩下部分的面积，结果是( )。 A．一样大 B．甲大 C．乙大 D．无法确定 35．如图3个正方形大小相同，其中涂色部分面积相等的是（    ）。 A．①和② B．①和③ C．②和③ D．①②③ 36．如图，把一个折叠方桌的桌面四边撑开，就成了圆桌，圆桌的半径是1米。折叠方桌和圆桌的面积比是（    ）。 A．4∶3.14 B．3.14∶4 C．2∶3.14 D．3.14∶2 37．小林在正方形中画一个最大的圆，圆的面积是50.24平方厘米，这个正方形的边长（    ）厘米。 A．48 B．32 C．16 D．8 38．在一个正方形里画一个最大的圆，这个圆的面积是正方形面积的（    ）。 A． B． C． D． 39．如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。已知大正方形的周长是12cm，那么小正方形的面积是（    ）cm2。 A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 40．在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 三、解答题 41．周阿姨家装修时，准备将一块周长为62.8厘米的圆形无用木板，加工成一块最大的正方形木板。这块正方形木板的面积是多少平方厘米？ 42．（1）如果正方形的边长是2厘米，计算图①阴影部分的面积。 （2）在图②的正方形中，用圆规画出图①的图案。 43．为喜迎春节，园林公司计划在一个半径为6米的圆形街心花园里种花（如下图），正方形花坛里种红牡丹，其余地方种太阳花。种太阳花的面积有多少平方米？ 44．李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 45．《周髀算经》是中国古老的数学著作之一，其中有一条最基本而重要的准则规矩方圆之道。“方圆图”是外方内圆，“圆方图”是外圆内方。如下图，如果两个圆的周长都是31.4厘米，请你选择一个正方形，并求出它的面积。 你选择的是（    ）号图形中的正方形。 列式计算： 46．学校手工社团和书法社团联合制作窗花，他们先用圆形红纸镂空，剪出窗花的形状，然后写上祝福语送给敬老院，每张窗花的整体是一个圆形，圆内有一个最大的正方形（如下图），每张圆形窗花内部镂空的部分的面积是多少平方厘米？ 47．2026年马年春节是2月17日，小薇和同学们准备剪窗花。小薇先用边长是28厘米的正方形纸张裁剪出一个最大的圆形纸片（如图所示），剪出圆形纸片后，正方形纸剩余部分的面积是多少平方厘米？ 48．奶奶剪的“福”字窗花采用了外圆内方的造型，窗花最外层圆形的周长是43.96厘米，那么中间最大正方形的面积是多少平方厘米？（π取3.14） 49．我国古代建筑与现代装饰常采用“外方内圆再嵌方”的几何结构（如图）：一款边长4dm的正方形装饰画框，框内画最大圆形底色，圆内再画最大正方形图案。求圆的面积是多少？圆内正方形的面积是多少？ 50．画一画，算一算。 (1)请在下面的正方形里画出一个最大的圆，标出圆心和半径。 (2)在圆和正方形之间的部分涂上颜色，涂颜色部分的面积是多少平方厘米？（先量出需要的数据，再计算） 51．画一个直径为4厘米的圆代表“中国梦”，并在圆内画一个最大的正方形象征“四方同心”，求出正方形的面积。 52．体育老师组织学生做游戏。需要在操场上画一个半径是5米的圆。你能用什么方法画出这个圆？简单写一写你的方法。若在这个圆中再画一个最大的正方形，作为同学们休息的区域，这个正方形的面积是多少平方米？ 53．“福”字指福气、福运，春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，寄托了人们对幸福生活的向往，也是对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的直径是20厘米，“福”字所在的正方形与圆之间的部分面积是多少平方厘米？ 54．一张可折叠的圆桌，折叠后形成一个正方形桌面。已知圆形桌面的直径是2米。（π取3.14） (1)圆形桌面的面积是多少平方米？折叠后正方形桌面的面积是多少平方米？ (2)如果一个人需要0.5米宽的位置就餐，这张圆桌大约能坐多少人？ 55．如图，圆中的三个正方形（阴影部分）甲、乙、丙的边长分别是3厘米、2厘米、1厘米。圆的面积是多少平方厘米？ 56．课堂上老师组织探究活动：已知正方形的面积是40平方厘米，求涂色部分的面积。淘气举手说：“解决问题的关键是求出圆的面积。此时，我们求不出圆的半径，但能把正方形分成四个相等的小正方形，先求出小正方形的面积，它恰好是圆的半径的平方，从而可求出圆的面积。” (1)淘气说得对吗？如果对，请你在图上将淘气的想法表示出来。如果不对，请说明理由。 (2)涂色部分的面积是多少平方厘米？ 57．下图是一个圆形纸板，现从这个圆形纸板上剪下一个最大的正方形。 （1）在圆内画出剪下正方形纸板的示意图。 （2）量出圆形纸板的直径。（取整厘米数） （3）求出剪去正方形纸板后剩余部分的面积。 58．如图是一个“外方内圆”的图形，圆的直径是2cm。     （1）请计算正方形面积和圆面积的比。（圆周率用字母π代替） （2）请在正方形的外面再画一个圆，使得圆与正方形的四个顶点正好相交。（保留作图痕迹） （3）观察图形，请你提出一个值得思考的数学问题。（不用解答） 59．画一个直径是2厘米的圆，在里面画一个最大的正方形，并将正方形用斜线涂上阴影，请你求出空白部分的面积是多少平方厘米？ 60．（1）画一个直径是6厘米的圆，标出圆心、半径。 （2）在这个圆中画一个最大的正方形。 （3）算出圆与正方形之间部分的面积。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $